BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(Tiết 3)
Kiểm tra bài cũ
Chứng minh các bất đẳng thức sau
với mọi a, b không âm
với với mọi a, b không âm
Mục tiêu tiết học
Qua tiết học học sinh cần:
1. Về kiến thức:
- Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm.
- Biết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm.
2. Về kĩ năng:
- Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm vào việc chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
a) Đối với hai số không âm:
Định lý: Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Nghĩa là: trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng
Ta thường gọi là bất đẳng thức Côsi
Chứng minh định lí chính là bài 1 bài tập về nhà, ta chỉ cần chia tiếp hai vế cho 2
Ngoài dạng đã nêu ta còn có thể sử dụng BĐT Côsi ở một số dạng khác như:
Hoàn thành hoạt động 2 (SGK)
Trong hình 4.1, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và b
Chứng minh
Hệ quả 1
Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau
Ý nghĩa hình học
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2
Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau
Ý nghĩa hình học
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất
Hãy chứng minh hệ quả 1?
Chứng minh:
Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có:
Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau
Hoàn thành ví dụ 4 (SGK)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì
Chứng minh:
Hoàn thành ví dụ 5 (SGK)
Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải:
Ví dụ: Chứng minh sau đúng hay sai?
Sai, vì chưa có điều kiện a > 0
Bài tập
Hãy sử dụng BĐT Côsi cho hai số để giải các bài toán sau
(Nhóm 1,4 làm bài 1. Nhóm 2, 5 làm bài 2. Nhóm 3, 6 làm bài 3
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
b) Đối với ba số không âm:
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nghĩa là: trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng
Hoàn thành ví dụ 6 (SGK)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì
Chứng minh:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân có tên quốc tế là AM – GM (Arithmetic Means and Geometric Means)
AM-GM có thể coi là một viên kim cương trong bất đẳng thức cổ điển. Thậm chí có rất nhiều bài toán mà đôi khi phương pháp hiện đại phải dừng chân thì như một phép màu, AM-GM lại thể hiện sự kì diệu của mình.
AM - GM là bất đẳng thức quan trọng nhất, đựoc sự dụng nhiều nhất trong chương trình Toán THPT và các kì thi tuyển sinh đại học, là đề tài tưởng như vô tận đề những người yêu toán có thể sáng tạo ra những bất đẳng thức mới.
AM – GM có rất nhiều cách chứng minh, trong đó cách chứng minh bằng quy nạp của nhà toán học lỗi lạc người Pháp Côsi (Augustin Louis Cauchy) đựoc coi là hay nhất. Vì thế nhiều người đã lầm tưởng là do Côsi sáng tạo ra. Trong các sách của Việt Nam thường hay gọi AM – GM là BĐT Côsi, vì thế cái tên gọi này đã trở nên quen thuộc với đa số giáo viên và học sinh Việt Nam.
Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức Côsi
Bài tập về nhà
1. Bài tập số 12, 13 trang 110 SGK.
2. Bài tập phần luyện tập trang 112 SGK
3. Phát biểu các hệ quả và ý nghĩa hình học của BĐT Côsi cho ba số tương tự như của BĐT Côsi cho hai số.
4. Sử dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh BĐT Côsi cho ba số.
Giải bài 1
Ta có
Giải bài 2
(2) đúng với mọi a, b ≥ 0, do đó (1) đúng với mọi a, b ≥ 0
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi x = y, hoặc a = 0, b = 0
Giải bài 3
Suy ra điều phải chứng minh
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Giải bài 1
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Giải bài 2
Giải bài 3
nguon VI OLET
