BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. ÔN TẬP.
1.Định nghĩa bất đẳng thức:
Cho 2 số thực a , b . Các mệnh đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a ≤ b được gọi là những bất đẳng thức.
- Ví dụ:
2. Tính chất và hệ quả:
Tính chất 1: Tính chất 5:
Tính chất 2: Tính chất 6:
Tính chất 3: Tính chất 7:
Tính chất 4: Tính chất 8:
Hệ quả:
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:
Nếu c>0 thì a>b khi và chỉ khi ac>bc
Nếu c<0 thì a>b khi và chỉ khi acTính chất 4:
Hệ quả:
Tính chất 5:
Tính chất 6:
Tính chất 7:
Tính chất 8:
3. Áp dụng:
Bài tập:
1. Không dùng bảng số hoặc máy tính,hãy so sánh hai số : và 3
2. Chứng minh rằng :
3. Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc.
Giải bài tập 1:
Giả sử . Do 2 vế của đẳng thức đều dương nên :
Vậy:
Giải bài tập 2:
Giải bài tập 3
Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau:
Do a,b,c là độ dài tam giác nên tất cả các vế của các BĐt đều dương.Nhân vế với vế của 3 BDDT trên ta được:
Lấy căn bậc 2 hai vế suy ra điều phải chứng minh.
hi
Tiết 41:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức Cô si
II. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
1.Định nghĩa giá trị tuyệt đối:
2. Tính chất:
Bất đẳng thức viết dưới dạng kép:
Chứng minh:
Ta có: (*)
Thật vậy (*)
Áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và –b ta có:
Tóm lại:
III. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
1. Đối với 2 số không âm:
Định lý:
Dấu “=” xảy ra khi
tức là a = b.
Chứng minh:
Với ta có:
Do đó:
Dấu đẳng thức xảy ra khi tức là:a=b
Hệ quả và ứng dụng
Hệ quả:
- Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Ứng dụng:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
2. Đối với 3 số không âm
Với mọi , ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
3.Bài tập áp dụng:
Bài1:Chứng minh nếu a,b,c là 3 số dương bất kì thì:
Bài 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
với x>0.
Bài 3:Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương thì:
Giải
BT1:
Giải
BT2:
Do x>0 nên ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0 là
Giải
BT3: Vì a,b,c là 3 số dương nên:
(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c) và
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Do đó:
Đẳng thức xảy ra khi:
Vậy đẳng thức xảy ra khi a=b=c.(Đpcm)
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1:Cho hình vẽ:
Với AH=a, BH=b.Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
Bài 2: Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1.
CM:
Bài 3: Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. CMR:
a.
b.
Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm.
Xin cảm ơn !
Tâm
nguon VI OLET
