Chương I. §1. Mệnh đề

§1. Mệnh đề (proposition)
§2. Tập hợp (set)
§3. Các phép toán trên tập hợp
§4. Số gần đúng. Sai số
MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
CHƯƠNG I
Ngôn ngữ thông thường
Câu khẳng định
Câu phủ định
Câu cảm thán, nghi vấn,...
Ngôn ngữ toán học
Mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ 1: Xét các câu sau, hãy cho biết đó là loại câu gì.
1. Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội.
2. Bây giờ là 1 giờ phải không?
4. Ngon quá!
3. Số 15 là số lẻ.
5. 13 chia hết cho 3.
→ Câu khẳng định
→ Câu khẳng định
→ Câu khẳng định
→ Câu nghi vấn
→ Câu cảm thán
Mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.


Mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai hoặc không biết được đúng sai.
1. Mệnh đề
Ta thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa như P, Q, R, S…
 Định nghĩa:
mệnh đề đúng mệnh đề sai.
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
1. Mệnh đề
Ví dụ 2: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
8 là số tự nhiên.
Hình chữ nhật có 4 góc vuông.
Hôm nay trời đẹp quá!
Băng cốc là thủ đô của Nhật Bản.
Ví dụ 3: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?
ℼ là số hữu tỷ.
Hình vuông là một hình chữ nhật.
Bạn có chăm học không ?
15 + 3 < 5
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
Câu KHẲNG ĐỊNH
Biến
Mệnh đề chứa biến
x, y, a, b,.....
2. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: a) 1 + x = 2.
b) n là số nguyên tố.
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
Nhìn chung, mệnh đề chứa biến là khẳng định có chứa tham số hoặc biến (x, y, n, a, b…) chưa xác định được đúng, sai, chỉ xác định được đúng, sai với giá trị cụ thể của biến, tham số.
2. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.
a) 2 + 3 = 7
b) x + y >1
d) 4 + x = 3
f) Tình yêu là gì?
Chú ý:
- Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề.
- Không phải câu khẳng định nào có tham số đều là mệnh đề chứa biến. Ví dụ: “x2  0” là mệnh đề đúng.
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
2. Mệnh đề chứa biến
MĐ
MĐ
MĐ
MĐCB
MĐCB
II. Phủ định của một mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ: Xét hai mệnh đề sau:
Nam: “Dơi là một loài chim”
Minh: “Dơi không phải là một loài chim”
Nam: “Dơi là một loài chim”
Minh: “Dơi không phải là một loài chim”
MỆNH ĐỀ
PHỦ ĐỊNH một MỆNH ĐỀ
Thêm (bớt) từ KHÔNG
Kí hiệu: P, Q,...
Kí hiệu:
II. Phủ định của một mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
Định nghĩa:
Chú ý: Để phủ định một mệnh đề ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ không trước vị ngữ của mệnh đề đó.
II. Phủ định của một mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ: Phủ định các mệnh đề sau:
P: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”
Q: “15 không chia hết cho 5”
: “Hà Nội không là thủ đô của Việt Nam”
: “15 chia hết cho 5”
Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.
§1. MỆNH ĐỀ
a) P: 1794 chia hết cho 3
c) R: π< 3,15
d) S: |-125| ≤ 0
Ví dụ: (Bài tập 2. Trang 9, SGK).
§1. MỆNH ĐỀ
Trong môn Ngữ văn các em đã được học các câu có cấu trúc quan hệ nguyên nhân – hệ quả như:
Nếu trời mưa thì đường ướt.
Nếu tôi cố gắng học tập thì tôi sẽ đạt kết quả cao.
Trong toán học, những câu có cấu trúc “Nếu… thì…” nối các mệnh đề với nhau được gọi là mệnh đề kéo theo.
III. Mệnh đề kéo theo
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P  Q.
Mệnh đề P  Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “P suy ra Q”.
Ví dụ: P: Trái đất không có nước.
Q: Trên trái đất không có sự sống.
P  Q:
§1. MỆNH ĐỀ
Nếu trái đất không có nước thì trên trái đất không có sự sống.
III. Mệnh đề kéo theo
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề kéo theo và xác định tính đúng, sai của nó:
a) P: 2 < 3, Q: 6 < 7.
b) P: Tôi là chim, Q: Tôi biết bay
c) P: ABC là tam giác vuông, Q: ABC có một góc lớn hơn 90 độ.
§1. MỆNH ĐỀ
P  Q: Nếu 2 < 3 thì 6 < 7.
P  Q: Nếu tôi là chim thì tôi biết bay.
P  Q: Nếu ABC là tam giác vuông thì ABC có một góc lớn hơn 90 độ.
III. Mệnh đề kéo theo
§1. MỆNH ĐỀ
Chú ý: Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: “2 < 3 kéo theo 5 >6” là mệnh đề sai.
Đúng
Sai:

Mệnh đề sai
III. Mệnh đề kéo theo
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ:
Chú ý: Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
III. Mệnh đề kéo theo
§1. MỆNH ĐỀ
P  Q
P
Mệnh đề giả thiết
P là điều kiện đủ để có Q
Q
Mệnh đề kết luận
Q là điều kiện cần để có P
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q
Điều kiện cần, điều kiện đủ
*
Điều kiện cần, điều kiện đủ
Ví dụ: Định lí: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
§1. MỆNH ĐỀ
III. Mệnh đề kéo theo
*
Tứ giác ABCD là hình vuông ABCD là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật là điều kiện cần để ABCD là hình vuông.
Phát biểu định lí trên sử dụng “điều kiện đủ”, “điều kiện cần”.
là điều kiện đủ để
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.
Ví dụ. Cho mệnh đề: “Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân”.
§1. MỆNH ĐỀ
 Định nghĩa:
Mệnh đề đảo:
“Nếu ABC là một tam giác cân thì ABC là một tam giác đều”.
P
Q
Cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề trên.
Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.
§1. MỆNH ĐỀ
 Định nghĩa:
Ví dụ. Cho mệnh đề: “Nếu ABC là một tam vuông thì tam giác ABC có 1 góc bằng 90⁰. ”
Mệnh đề đảo: “Nếu tam giác ABC có 1 góc bằng 90⁰ thì ABC là một tam giác vuông”.
Trong trường hợp mệnh đề thuận và mệnh đề đảo đều đúng, ta có 2 mệnh đề tương đương.
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Nếu P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là 2 mệnh đề tương đương. Kí hiệu P  Q và đọc là:
§1. MỆNH ĐỀ
 Định nghĩa:
P tương đương Q, hoặc
P khi và chỉ khi Q, hoặc
P là điều kiện cần và đủ để Q.
Ví dụ: ABC có góc A bằng 900  ABC vuông tại A.
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Đối với một số mệnh đề toán học, thay vì phát biểu thành lời một cách rõ ràng, người ta có thể dùng kí hiệu để viết lại mệnh đề đơn giản và gọn gàng hơn.
Ví dụ. Mệnh đề “Với mọi số thực x đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0” ta có thể viết thành:
Kí hiệu  đọc là “với mọi”.
a. Kí hiệu 
xℝ: x2  0 hay
x2  0, xℝ.
Mệnh đề “x R: |x|  0”được phát biểu thành lời là:
c. Mọi số thực đều có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 0.
b. Với mọi số x thuộc vào tập hợp số nguyên, giá trị tuyệt đối của x lớn hơn hoặc bằng 0.
a. Có một số thực x mà giá trị tuyệt đối của nó lớn hơn 0.
d. Mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0.
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
a. Kí hiệu 
Ví dụ:
b. Kí hiệu 
Mệnh đề “Có một số nguyên n nhỏ hơn 0” có thể được viết lại như sau:
n  Z : n < 0
Kí hiệu  đọc là có một, tồn tại một hay có ít nhất một.
Chú ý: Kí hiệu  mang ý nghĩa có ít nhất chứ không phải duy nhất, tức là có thể có 1, 2, 3 hoặc nhiều hơn.
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Mệnh đề “Có một số cộng với 6 bằng 0”được kí hiệu là:
c.  x R: x + 6 = 0.
b.  n R: n + 6 = 0.
a.  n Q: n + 6 = 0.
d.  x Z: x + 6 = 0.
b. Kí hiệu 
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ:
Đáp án.
§1. MỆNH ĐỀ
c. Phủ định của mệnh đề chứa , 
Dùng kí hiệu  để viết lại mệnh đề sau:
P: Mọi số thực đều có bình phương không âm.
P: x  R: x2  0.
Có một số thực mà bình phương của nó là số âm.
x  R: x2 < 0.
Phủ định của mệnh đề chứa  là mệnh đề chứa  và ngược lại.
V. Kí hiệu  và 