Chương II. §2. Mặt cầu

BÀI 2: MẶT CẦU
1. Nêu định nghĩa đường tròn ?
2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M bất kì. Nêu các vị trí tương đối của điểm M so với (O;R) ?
1. Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cè định một khoảng không đổi R.
2. Có 3 vị trí tương đối giữa M và đường tròn (O;R):
* Nếu OM = R thì M nằm trên đường tròn.
* Nếu OM > R thì M nằm ngoài đường tròn.
* Nếu OM < R thì M nằm trong đường tròn.
Xét trong mặt phẳng:
NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
GIỚI THIỆU VỀ MẶT CẦU
Trái Đất
Quả bóng đá
Quả bóng chuyền
Quả bóng bàn
BÀI 2: MẶT CẦU
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
MẶT CẦU
KHỐI CẦU
TIẾT 16, BÀI 2:
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
1. Mặt cầu
Kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là : S(O; r) hoặc (S)
Định nghĩa:
S(O, r) = {M | OM = r, r > 0}
BÀI 2: MẶT CẦU
* Dây cung:
là đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên mặt cầu.
O
M
C
D
* Đường kính:
là dây cung đi qua tâm mặt cầu.
VD: dây cung CM, MD
VD: đường kính CD
* Chú ý: Một mặt cầu được xác định khi ta biết:
- Tâm và bán kính
- Hoặc đường kính.
+ Các khái niệm liên quan về mặt cầu
BÀI 2: MẶT CẦU
2. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.
Cho mặt cầu S(O; r) và điểm A bất kì trong không gian.
- Nếu OA > r  điểm A nằm ngoài mặt cầu.
- Nếu OA = r  điểm A nằm trên mặt cầu.
- Nếu OA < r  điểm A nằm trong mặt cầu.
Nằm trong mc
Nằm trên mc
Nằm ngoài mc
BÀI 2: MẶT CẦU
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.
Định nghĩa khối cầu
BÀI 2: MẶT CẦU
3. Biểu diễn mặt cầu
- Dùng phép chiếu vuông góc lên mp  đường tròn.
- Vẽ hình biểu biễn của 1 số đường tròn nằm trên mặt cầu.
- Vẽ một số điểm nằm trên mặt cầu, bán kính của mặt cầu ...
O
A
B
BÀI 2: MẶT CẦU
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.
Xem mặt cầu là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của đtròn đó.
Khi đó:
- Giao tuyến của mcầu với nửa mp bờ là trục của mcầu: kinh tuyến
- Giao tuyến của mcầu với các mp vuông góc với trục: vĩ tuyến
- Giao điểm của mcầu với trục: cực của mặt cầu.
Kinh tuyến
cực
O
A
B
Vĩ tuyến
cực
BÀI 2: MẶT CẦU
Câu hỏi :Cho hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB.
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính r = IA, tức là mặt cầu đường kính AB.
Giải: Gọi I là trung điểm AB, ta có:
BÀI 2: MẶT CẦU
H
r
P
Cho một mặt cầu S(O;r) và mp(P) bất kỳ.
Gọi H = hc O/mp(P)
Đặt OH = d = dO,mp(P)
Ta xét các trường hợp sau :
II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
d
BÀI 2: MẶT CẦU
Khi đó mọi điểm M  (P) thì
OM > OH. Vậy mọi điểm thuộc (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S).
Vậy (S)  (P) = 
TH 1: Nếu d > r:
M
BÀI 2: MẶT CẦU
Khi đó điểm H  (S). Do đó
 M (P), M  H => OM > OH = r.
Vậy (S)  (P) = H
TH 2: Nếu d = r:
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
BÀI 2: MẶT CẦU
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
BÀI 2: MẶT CẦU
Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn C(H, r` ) với
Vậy (S)(P) = C(H, r` )
TH 3: Nếu d < r:
P
.
O
.
.
H
.
M
r′
r
d
BÀI 2: MẶT CẦU
Đặc biệt khi d = 0:
P
.
O
.
.
H
.
M
r′
r
d
BÀI 2: MẶT CẦU
P
.
O
.
H
M
r′
r
d
Đặc biệt khi d = 0:
BÀI 2: MẶT CẦU
P
.
O
.
H
M
r′
r
d
Đặc biệt khi d = 0:
BÀI 2: MẶT CẦU
A
P
.
H
M
r′
r
d
O
Đặc biệt khi d = 0:
BÀI 2: MẶT CẦU
P
.
M
r
O
Đặc biệt khi d = 0:
- C(O;r) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;r).
- Mp(P) gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
Đường tròn lớn
Mặt phẳng kính
BÀI 2: MẶT CẦU
Khi d > r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
M
r
H
P
Khi d > r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
M
r
H
P
Khi d > r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
M
r
H
P
Khi d > r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
M
r
H
P
Khi d = r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
M
r
P
d
Khi d < r
H
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
O
r
P
H
M
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Khi d < r
O
r
P
H
M
Khi d < r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
P
O
r
Tóm tắt vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Khi d = 0
Chọn đáp án đúng trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 2: Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mp(P), biết rằng khoảng cách từ tâm O đến mp(P) là OH bằng
BÀI 2: MẶT CẦU
ĐÁP ÁN:
Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mp(P), biết rằng khoảng cách từ tâm O đến mp(P) bằng
Giải: Vì d = < r nên mp(P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính:
Đáp án B đúng
BÀI 2: MẶT CẦU
VÍ DỤ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, biết DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt cầu. Xác định tâm mặt cầu đó.
OM > r
OM < r
M nằm trên S(O;r)
(P) cắt (S) theo một đường tròn C(H;r′), với H: h/c của O lên (P) và:
d = r
(P) không cắt (S)
1/ Nêu định nghĩa mặt cầu:

2/ Hãy điền vào dấu “…”
CỦNG CỐ