Chương III. §1. Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số
Cấp số cộng
Cấp số nhân
§2.
§3.
§4.
CHƯƠNG III
Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

§1.
Phương pháp quy nạp Toán học
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
§1.
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
PHÉP QUY NẠP
PHÉP SUY DiỄN
PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN
PHÉP SUY DiỄN
PHÉP QUY NẠP
“Quy nạp và suy diễn
gắn chặt với nhau như
phân tích và tổng hợp”
PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ
?
Ph. Ăng-ghen
“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”

(1820-1895)
Hoạt động 1:
Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai
b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai
P(n): “
>3n +1 ” và Q(n): “
 n ” với nN*
Xét hai mệnh đề chứa biến:
?
?
P(n) : “ 3n > 3n+1 ”
Q(n) : “ 2n > n ”
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ”
b. Với mọi nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN*
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
2
8
16
32
5
4
3
2
1
4
T
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
F
Với n =1;2;3;4;5
P(n) Sai
Với n =1;2;3;4;5
Q(n) Đúng
Ghi nhận:
Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ
Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp
Với nN* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh.
Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1:
Bước 2:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp).
I. Phương pháp quy nạp Toán học:
Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Bước3 :
Chứng minh rằng với nN* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng.
2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:
Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)
3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :
Ví dụ 1:
II. Ví dụ áp dụng :
Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2
Thật vậy:
Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2
Vậy: (1) đúng với mọi nN*.
1
1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 22
9
= 32
16
= 42
25
= 52
= 12
+ 3
+ 5
+ 7
+ 9
n
+...+
(2n – 1)
= n2
2
.2
1
.1
3
.3
4
.4
5
.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*
Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) = n2
Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải :
Đặt An = n3 – n (1)
1) Với n = 1, ta có : A1= 0
…
3
2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:
Ak = (k3 – k)
…
3 (giả thiết quy nạp)
3) Ta chứng minh Ak+1
...
3
Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1
= (k3- k) +3(k2+k)
= Ak+ 3(k2+k)
Ak
…
3 và 3(k2+k)
...
3 nên Ak+1
…
3 .
Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2
Chứng minh rằng với mọi nN*
Nhóm 2:
HOẠT ĐỘNG NHÓM
CMR : Với mọi nN* có un = 13n –1 6
…
Nhóm 1:
Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM
Thật vậy:
CMR : Với mọi nN* có un = 13n – 1 6 (2)
…
uk+1 = 13k+1– 1 = 13k .13 –1
= 13k.(12+1) – 1
= 12.13k +13k – 1
= 12.13k + uk
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Chứng minh rằng với mọi nN*
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có:
Chú ý:
Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức : a) 3n > 3n + 1 b) 2n+1 > 2n + 3
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2
Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp)
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số
tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .
Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .
Củng cố:
Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k  p) (giả thiết quy nạp)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .
Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận.
Dặn dò:
1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp
2/ Làm các bài tập 1& 2 trang 82 SGK.
3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK