Chương III
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Vectơ trong không gian
Buổi 1
1. Các định nghĩa
- Giá của vectơ:
- Hai vectơ cùng phương:
- Hai vectơ bằng nhau:
- Độ dài của véctơ:
- Véctơ-không :
- Vectơ:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian
1. Các định nghĩa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Lời giải
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian
1. Các định nghĩa
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng .
Lời giải
A
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
(1) Tổng của hai vectơ:
(2) Hiệu của hai vectơ:
(3) Phép nhân vectơ với một số:
Tích của vectơ với số thực k là một vectơ, kí hiệu , xác định bởi:
+ Hướng: nếu k > 0;
nếu k < 0.
Độ dài:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
(1) Tổng của hai vectơ
(2) Hiệu của hai vectơ
(3) Phép nhân vectơ với một số
Chú ý 1:
+ Quy tắc 3 điểm: ;
+ Quy tắc hình bình hành:
+ Quy tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Ta có: Tứ giác ABCD là hình bình hành
Mặt khác
Quy tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Khi đó:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
(1) Tổng của hai vectơ
(2) Hiệu của hai vectơ
(3) Phép nhân vectơ với một số
Chú ý 2:
+ Tính chất trung điểm:
+ Tính chất của trọng tâm tam giác:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
(1) Tổng của hai vectơ
(2) Hiệu của hai vectơ
(3) Phép nhân vectơ với một số
Chú ý 3: G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
Hoặc
Chứng minh
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD
Ta có:
Ta có:
G
N
M
A
D
C
B
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh .
Lời giải
Cách 1 (biến đổi tương đương với đẳng thức luôn đúng):
(đúng)
Cách 2 (biến đổi vế này bằng vế kia):
Ta có:
Cách 3 (biến đổi vế này bằng vế kia):
Ta có
đpcm.
đpcm.
đpcm.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Hãy thực hiện các phép toán:
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các phép toán vectơ trong không gian
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Ta có:
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
nên
Do đó
b) Ta có:
Vì G là trọng tâm tam giác BCD
Vậy:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ đều khác vectơ – không.
Từ một điểm O bất kì, ta vẽ
Có hai trường hợp:
Nếu OA, OB, OC không cùng
nằm trong một mặt phẳng thì ta nói
ba vectơ không đồng phẳng.
o
B
A
O
Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ
đồng phẳng.
Chú ý: Trong trường hợp này giá của các vectơ luôn luôn song song với một mặt phẳng.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
2. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ
đồng phẳng.
Lời giải
Gọi P là trung điểm AC thì dễ thấy:
chứa MN và song song với AD và BC
cùng song song với một mp
đpcm.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
2. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Lời giải
Dễ thấy:
Tứ giác CDEF có CD song song và bằng EF CDEF là hình bình hành
Từ (1) và (2) suy ra mp(AFC) chứa AF và song song với hai đường thẳng IK, ED.
cùng song song với một mặt phẳng.
đồng phẳng đpcm.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1. Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ . Khi đó ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho . Ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.
Ví dụ 1: Cho hai vectơ
đều khác vectơ . Khi đó vectơ được xác định như hình vẽ bên và dễ thấy đồng phẳng vì các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.
Chú ý: Cho ba vectơ trong không gian. Nếu
và một trong các số m, n, p khác 0 thì đồng phẳng vì chẳng hạn số
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.
Lời giải
Gọi P là trung điểm của AC.
Ta có:
đồng phẳng (đpcm).
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC.
Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Lời giải
Ta có:
đồng phẳng.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 2. Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng . Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho
Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD. EFGH có
. Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ qua ba vectơ .
Lời giải
Ta có
Mặt khác
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
. Hãy phân tích các vectơ qua các vectơ .
Lời giải
Ta có:
Ta có:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho . Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Lời giải
Đặt
Ta có:
Mặt khác
Từ (1), (2), (3) đồng phẳng.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N
lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN//BD’.
Lời giải
Đặt
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N
lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN//BD’.
Lời giải
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy các điểm M, N xác định bởi .
TIẾT HỌC ĐÃ KẾT THÚC
BUỔI HỌC ĐÃ KẾT THÚC
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT!
nguon VI OLET
