Chương III. §3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Tiết 32
Hình ảnh sợi dây dọi vuông góc với nền nhà
Qu? d?i c?a th? xõy
I. ĐỊNH NGHĨA
d
a
�
II. DI?U KI?N D? DU?NG TH?NG VUễNG GểC V?I M?T PH?NG
Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Chứng minh
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG



II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
b
a
d
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng d vuông góc với a và b. Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b hay không?
.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Chứng minh rằng: CD  (SAD)
c. Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB, SAD. Chứng minh SC (AHK)
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b. Ch?ng minh r?ng: BD ? (SAC)
A
S
B
C
D
H
K
III. TÍNH CHẤT
Tính chất 1
d
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm O và vuông góc với đường thẳng d cho trước?
Đặc biệt, khi chọn d qua A,B và I là trung điểm AB thì ta cũng có duy nhất một mặt phẳng qua I và vuông góc với AB
A
B
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB.
III. TÍNH CHẤT
I
III. TÍNH CHẤT
Tính chất 2
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tứ giác lồi thì nó vuông góc với hai cạnh còn lại của tứ giác đó.
B
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
1
A
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh liên tiếp của một ngũ giác thì nó vuông góc với ba cạnh còn lại của ngũ giác đó.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường chéo của một tứ giác lồi thì nó vuông góc với tất cả các cạnh của tứ giác đó.
C
D
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2
3
Cho hình chóp S.ABCcó AS, AC, AB vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
A
B
C
D
A
S
B
C
D
S
D
D
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 1
a
b
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 2
a
�
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
�
Tính chất 3
a
b
IV. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
A
1. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng vuông góc với . Phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng
A,
IV. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
2. Định lí ba đường vuông góc
a
b
A
B
A,
B,
b,
IV. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
d
A
H
d,
O
a. Tính góc giữa SC, SB và (ABC)
b. Tính góc giữa SC và (SAB)
Ví dụ :Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
a. Chứng minh rằng: BC  (SAB)
BC  (SAB)
Vì SA  (ABC) nên SA  BC
Ta có BC  SA, BC  AB
b. Chứng minh rằng: AH  SC
Vì BC  (SAB) và AH nằm trong (SAB) nên BC  AH.
Ta lại có: AH  BC, AH  SB nên AH  (SBC).
Từ đó suy ra AH  SC.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tứ giác lồi thì nó vuông góc với hai cạnh còn lại của tứ giác đó.
B
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
1
A
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh liên tiếp của một ngũ giác thì nó vuông góc với ba cạnh còn lại của ngũ giác đó.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường chéo của một tứ giác lồi thì nó vuông góc với tất cả các cạnh của tứ giác đó.
C
D
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2
1
Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách đều hai điểm A và B là tập hợp nào sau đây?
Đường thẳng trung trực của đoạn AB.
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB
Một mặt phẳng song song với AB.
Một đường thẳng song song với AB.
B
A
C
D
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2
3
Cho hình chóp S.ABCcó AS, AC, AB vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
A
B
C
D
A
S
B
C
D
S
D
D
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Chứng minh
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG




Chứng minh
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Khi đó:
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
5. Định lí ba đường vuông góc
5. Định lí ba đường vuông góc
A. Phép chiếu vuông góc
B. Định lí ba đường vuông góc

-Cho đường thẳng a không nằm trong
mp (P). Hãy xác định hình chiếu a’ của
đường thẳng a trên (P).






Hoạt động 1:
A
B
B’
A’
a’
-Là đường thẳng a’
Tr? l?i:
b
A
B
B’
A’
a’
Ho?t d?ng 2:
V?i du?ng th?ng b n?m trong (P).
CM n?u b vuụng gúc v?i a. Suy ra b vuụng gúc v?i a` v� ngu?c l?i.
Tr? l?i:
b ? a v� b ? AA` thỡ b ? (a,a`) do dú, b ? a`.
b ? a` v� b ? AA` thỡ b ? (a.a`) do dú,b ? a.

? N?u a n?m trong (P) thỡ di?u trờn cũn dỳng khụng?
? N?u a ? (P) thỡ hỡnh chi?u c?a a l� a nờn k?t qu? trờn l� dỳng
Chú ý :
Vớ d?:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú dỏy l� hỡnh vuụng.
SA ? (ABCD). CM: BD ? SC.
Cm:
Ta cú:
BD ? AC (do ABCD l� hv).
BD ? SA (do SA ? (ABCD)).
BD ? SC. (dpcm)
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
P
a
A
A’
I
a’
a
P
? XD giao di?m M c?a a v?i (P)
? Ch?n A ? a khỏc M,
sao cho d? XD chõn vuụng gúc H c?a A t?i (P).

? XD hỡnh chi?u H c?a A - Tỡm du?c a`.
Gúc gi?a a, a` c?n tỡm.
? PP CHUNG XD GểC Gi?A DU?NG V� M?T ?
Câu 1.
Góc giữa đường thẳng SD và mp(ABCD) là:
Góc ASD
Góc SDA
Góc SDB
Góc SDC
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và SA = a6 .
Câu 2. Góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là:
Góc ASC
Góc SCD
Góc SCB
Góc SCA
Câu 3. Tính góc giữa:
đt SC và mp (ABCD);
đt SC và mp (SAB);
đt SB và mp (SAC);
Vớ d?: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú dỏy ABCD l� hỡnh vuụng c?nh a; SA vuụng gúc v?i m?t ph?ng (ABCD)
v� SA = a?6 .
O

Bài toán 1

Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ()
a
b
c
d
b cắt c
 Phương pháp chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ():
Ta chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ()
b cắt c
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB)
b) Gọi AH là đường cao trong tam giác SAB. CMR AH  SC
a
b
c
O
Tính chất 3
Tính chất 4
Tính chất 5
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
Các khẳng định sau đúng hay sai?
Nếu a // (P) và b  (P) thì b  a
Nếu a // (P) và b  a thì b  (P)
Nếu a // (P), b // a thì b // (P)
Hai đường thảng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nhau