tới dự chuyên đề toán của trường THCS Nha Trang
Chµo mõng c¸c thÇy c« gi¸o
vµ c¸c vÞ ®¹i biÓu
GV: Đào văn Tiến
CHUYÊN Đề: Sử DụNG ĐịNH Lý MÊNÊLAUS
Để GIảI MộT Số BàI TOáN TíNH Tỷ Số Và DIệN TíCH TAM GIáC
LỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình giải các bài toán hình học như bài toán về diện tích hay bài toán về tỷ số giữa các đoạn thẳng hay tỷ số giữa diện tích các hình đôi khi ta gặp các bài toán rất phức tạp mà nếu giải bằng phương pháp thông thường thì ta gần như bế tắc song nếu giải bằng cách sử dụng định lý Mênêlaus thì bài toán đó trở nên đơn giản vô cùng.
Vậy định lý Mênêlaus là gì? Cách sử dụng nó ra sao? Đó là vấn đề mà hôm nay tôi muốn đưa ra để trao đổi với các bạn.
PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUS
Trên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm A1, B1, và C1 (Không trùng với đỉnh nào của tam giác).
Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A1, B1 ,C1 thẳng hàng là:
CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN CẦN
Qua các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường vuông góc AH, BI, và CK với đường thẳng A1B1C1.
Rõ ràng ta có AH // BI // CK.
Khi đó ta có:
ΔABC.
A1BC; B1AC; C1AB
Chứng minh
CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Trong 3 điểm A1, B1, C1 có ít nhất 1điểm nằm ngoài ΔABC
Chứng minh
A1, B1 ,C1 thẳng hàng
Giả sử A1C1 cắt AC tại B’1.
Thế thì theo định lý Mênêlaus ta có:

Do đó:
Thế mà trên đoạn thẳng AC chỉ có duy nhất 1 điểm chia trong nó theo một tỷ số cho trước nên B’1 ≡ B1.
Hay A1, B1 ,C1 thẳng hàng
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Trong ΔABC đường phân giác AD chia cạnh BC theo tỷ số 1: 2. Hỏi đường trung tuyến CE chia đường phân giác đó theo tỷ số nào?
Giải:
Gọi {K} = AD∩CE theo đầu bài ta có:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADB
với cát tuyến CKE ta có:
.
Thay vào (1) ta có:
Bài 2: Trên trung tuyến AD của tam giác ABC lấy điểm K sao cho AK=3.KD. Gọi {P} = BK∩AC. Tính tỷ số diện tích của ΔABP và ΔBCP.
Giải:
Vì ΔABP và ΔCBP có chung đường cao nên:
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADC với cát tuyến BKP ta có:
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Giải:
Vì ΔABC và ΔQBC có chung cạnh đáy BC do đó
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAIB với cát tuyến CQK ta có:
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 4: CMR: Trong tam giác cân: trung điểm cạnh đáy, giao điểm của đường phân giác một góc kề với cạnh đáy và cạnh đối diện, giao điểm của đường phân giác ngoài của góc còn lại kề cạnh đáy với đường thẳng chứa cạnh đối diện là 3 điểm thẳng hàng.
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 4:
Giải:
Gọi A’ là trung điểm cạnh BC, BB’ là phân giác ABC,
CC’ là phân giác ngoài đỉnh C của ΔABC cân tại A.
Ta phải chứng minh: C’, A’, B’ thẳng hàng.
+ Vì CC’ là phân giác ngoài đỉnh C nên theo tính chất
đường phân giác ta có:
Từ đó ta có:
Do đó theo định lý đảo của định lý Mênêlaus thì C’, A’, B’ thẳng hàng.
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5:
Giải:
Ta có SMNP = SABC – (SAMB + SBNC + SCPA) (1)
Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAA’C với cát tuyến BMB’ ta có:
Lập luận tương tự ta có: ΔBB’A với cát tuyến CNC’ ta có
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 5:
Áp dụng Mênêlaus vào ΔCC’B với
cát tuyến APA’ ta có:
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
đã tới dự chuyên đề toán của trường THCS Nha Trang
cảm ơn các thầy cô giáo
và các vị đại biểu
nguon VI OLET