Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
1) Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:
Giả sử A là biến cố bất kỳ, dãy lập thành hệ đầy đủ các biến cố.
a) Công thức xác suất toàn phần:
Nếu P( ) > 0, i = 1,2,...,n thì
b) Công thức Bayes:
Nếu P(A) > 0 thì
.
Ví dụ 1.
Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện hàng là 20, 15, 10. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng ( giả sử 3 kiện có cùng khả năng bị rút) rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng 3 kiện hàng đó đều có 20 sản phẩm.
a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt.
b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 2.
Giải:
Gọi các biến cố:
= “Lấy được kiện hàng thứ i”, i = 1, 2, 3.
A = “Sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt”.
Ta thấy lập thành hệ đầy đủ các biến cố.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:




Ở đây các xác suất có điều kiện được tính trực tiếp. Diễn đạt thành lời
Là xác suất lấy ra một sản phẩm tốt với điều kiện sản phẩm này ở kiện hàng 1 hay là xác suất để lấy ra một sản phẩm tốt của kiện hàng 1. Theo bài ra ta có ngay xác suất cần tính bằng:
b) Theo công thức Bayes, ta có:

Vấn đề khó khăn khi tính xác suất bằng công thức toàn phần và công thức Bayes là phải nhận ra được mô hình của bài toán và phải chỉ ra được nhóm đầy đủ các biến cố.
Trước hết ta thấy rằng nhóm đầy đủ là không duy nhất. Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ nào có quan hệ với biến cố A phù hợp với mô hình.
Nếu bài toán đề cập đến hai phần, biến cố A liên quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp xảy ra ở phần đầu.
Nếu phép thử gồm hai bước hay hai giai đoạn; biến cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp có thể của bước 1 hay giai đoạn 1.

Ví dụ 2. Với 3 kiện hàng như trong bài 1, ta chọn ngẫu nhiên 1 kiện và từ kiện đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thấy là sản phẩm tốt. Trả sản phẩm đó lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3.
Ví dụ 3. Tỉ số ô tô tải và ô tô con đi qua đường có trạm bơm dầu là . Xác suất để cho 1 ô tô tải qua đường được nhận dầu là 0,1; xác suất để cho 1 ô tô con qua đường được nhận dầu là 0,2. Có 1 ô tô đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để ô tô đó là ô tô tải.
Ví dụ 4. Có 2 kiện hàng gồm 12 sản phẩm và 10 sản phẩm. Trong mỗi kiện hàng có 1 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất cho vào kiện hàng thứ 2, rồi từ kiện hàng thứ 2 rút ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm rút ra lần thứ hai là sản phẩm xấu.
2. Định nghĩa:
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu:
P(AB) = P(A).P(B)
Ta hiểu rằng hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.
a) Tính chất 1.
Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi:
P(A / B) = P(A) hoặc P(B / A) = P(B)
b) Tính chất 2.
Hai biến cố A và B là độc lập với nhau thì điều kiện cần và đủ là A, độc lập hoặc , B độc lập hoặc , độc lập.