Tổ Toán
Trường THTH-ĐHSP TP.HCM
Chào mừng Quý Thầy Cô
đến dự giờ LỚP 10A4
A. KHỞI ĐỘNG
Cho một sợi dây không co dãn có độ dài là 2a, (a > 0) có hai đầu được cột chặt vào hai cây đinh nhỏ.
Trên bảng con của mỗi nhóm đều có 2 lỗ tròn nhỏ F1 và F2 . Khoảng cách F1F2 = 2c, (c > 0).
Đặt hai cây đinh vào hai lỗ tròn F1 và F2 , giữ chặt. Dùng viết lông kéo căng sợi dây để vạch lên đường cong (E) trên bảng con.
Hãy cho biết tính chất của điểm M bất kỳ trên đường cong (E) đối với hai điểm F1 và F2?
Hãy nhận xét về độ lớn giữa c và a ? Tính tỉ số
Hãy so sánh độ “gầy”, “mập” của đường cong của nhóm mình với các nhóm khác . Tìm cho nhóm mình một cách giải thích về độ “gầy”, “mập” trên.
Hãy nhận xét về tính đối xứng của đường cong (E).
B. Nhận xét về đường cong (E)
Tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (E) đến F1 và F2 luôn bằng chiều dài sợi dây là 2a (không đổi).
F1M + F2M = 2a
Độ lớn c luôn nhỏ hơn a.
Nếu c a thì không vẽ được (E).
Nếu c càng nhỏ so với a thì (E) càng “mập”
Nếu c càng lớn so với a thì (E) càng “gầy”
Như vậy, độ “mập”, “gầy” của (E) phụ thuộc vào độ lớn của tỉ số e = c / a
0 < e < 1
e càng nhỏ thì (E) càng “mập” .
e càng lớn thì (E) càng “ gầy” .
(E) nhận đường thẳng chứa F1F2 và đường trung trực của F1F2 làm trục đối xứng
(E) nhận trung điểm của F1F2 làm tâm đối xứng.
Ta gọi các đường cong (E) nói trên là các đường elip. Vậy đường elip là gì ?
Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống
ELIP
Đường
Bài 5 :
I . CÁC ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)
Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F1M + F2M = 2a
Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c
Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.
Tỉ số gọi là tâm sai của elip.
M (E ) F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )
2c
?
II . Phương trình chính tắc của elip
( x ; y )
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2 như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ F1 , F2 là
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 , F2 . Tiêu cự F1F2 = 2c như hình vẽ.
M (E) F1M + F2M = 2a
với a > c > 0
F1 ( - c ; 0)
F2 ( c ; 0)
và
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
M
( x ; y )
(E)
�
Ta có
�
M(x ; y) (E) F1M + F2M = 2a (1)
F1 ( - c ; 0)
F2 ( c ; 0)
F1M2 =
( x + c )2 + y2
F2M2 =
( x - c )2 + y2
F1M2 - F2 M2 =
và F1M2 + F2 M2 =
4cx (*)
2x2 + 2y2 + 2c2 (**)
(*) F1M - F2M =
(1) và (2) F1M =
và F2M =
(3)
Các đoạn thẳng F1M và F2M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M
Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)
Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình :
(a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (4)
Vì a > c > 0 nên a2 > c2. Đặt b2 = a2 - c2 (b > 0), ta có
(5)
là phương trình chính tắc của elip đã cho.
Ta gọi phương trình :
GHI NHỚ
Định nghĩa : M (E ) F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )
Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự
Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?
NHÓM I: Có a = 6, c = 2
b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E1) là:
NHÓM II: Có a = 7, c = 4
b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E2) là:
NHÓM III: Có a = 7, c = 6
b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E3) là:
NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5
b2 = a2 – c2 = 1056/25. Do đó pt (E4 ) là:
E. (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 1) , N2( 8 ; – 5) và N3( – 1 ; 6)
Ví dụ 2: Cho (E):
. Hãy chọn mệnh đề SAI :
A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0)
B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6
C. (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4)
?
Ví dụ 3: Cho (E):
và điểm M (x0 ; y0 ) (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT:
D. (E) đi qua M1( 3 ; 16/5) , M2( – 3 ; 16/5) , M3( 3 ; – 16/5 ) và M4(– 3 ; – 16/5)
A. Các điểm M1( – x0 ; y0 ) , M2 ( x0 ; – y0) , M3 (– x0 ; – y0) cũng thuộc (E)
C. – a x0 a và – b y0 b
?
B. (E) cắt các trục tọa độ tại A1(– a ; 0) , A2( a ; 0) , B1(0 ; – b) , B2(0 ; b)
D. Tất cả đều đúng
III.Nhận xét về hình dạng của elip
x
F1
F2
O
– c
c
M
( x0 ; y0 )
�
�
�
�
M2
( x0 ; – y0 )
M1
M3
(– x0 ; – y0 )
(x0 ; - y0 )
A1
A2
y
B1
B2
?
?
�
�
�
�
�
a
– a
– b
b
1.Tính đối xứng
Xét elip (E) có pt chính tắc:
Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng
(E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0). Ta có A1A2 = 2a
(E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b). Ta có B1B2 = 2b
2. Hình chữ nhật cơ sở
Ta gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E).
Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A1A2 là trục lớn của (E )
Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B1B2 là trục nhỏ của (E )
( a ; b )
( a ; - b )
(- a ; b )
(- a ; - b )
Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)
2. Tâm sai của elip
Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là :
Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elip
Ta có 0 < c < a nên tâm sai của elip luôn nhỏ hơn 1 :
0 < e < 1
Do đó :
Từ đó suy ra
hay
Nếu e càng nhỏ thì b càng gần bằng a
(E) càng “mập”
Nếu e càng lớn thì b càng nhỏ so với a
(E) càng “gầy”
Ví dụ 3: Hãy vẽ hình chữ nhật cơ sở của elip của nhóm. Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ và tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở.
Ví dụ 4: Cho (E): x2 + 4y2 = 4. Hãy chọn mệnh đề đúng:
A. Độ dài trục lớn là 4, độ dài trục nhỏ là 2, tâm sai e = 2
B. Tọa độ các đỉnh của h.c.n cơ sở là (2;1), (2; -1), (-2 ; 1), (-2 ; -1)
C. Tiêu điểm F1(-3;0) , F2 (3 ; 0), đỉnh A1(-2 ; 0), A2(2 ;0)
D. Tiêu điểm F1 , F2 , đỉnh B1(-1 ; 0), B2(1 ;0)
?
Ví dụ 5: Pt chính tắc của (E) có độ dài trục bé là 8, tiêu cự là 4 là:
?
VÍ DỤ 6: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có tâm sai e = 1/2 và độ dài trục lớn là 12 . Viết phương trình chính tắc của (E).
Tìm điểm M (E) biết tung độ M nhỏ hơn 0 và F2M = 4.
Hướng dẫn giải
Ta có 2a = 12 a = 6
Lại có e = c/a c = ae = 3
b2 = a2 - c2 = 36 – 9 = 27
Vậy pt chính tắc của (E) là :
Ta có F2M = 4 a - exM = 4 xM = 4 (thay a = 6, e = 0.5)
Vì M (E) nên
Vậy
Ví dụ 7: Tìm tâm sai của elíp biết độ dài trục lớn bằng ba lần độ dài trục nhỏ .
Theo giả thiết suy ra : a = 3b
Hướng dẫn giải
Mà a2 = b2 + c2 9b2 = b2 + c2
Ta có
Tổng kết
y
Phương trình chính tắc của elip :
Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2
Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0)
Tâm sai
Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)
Trục lớn A1A2 = 2a
Trục nhỏ B1B2 = 2b
Các trục đối xứng : x’Ox , y’Oy
Tâm đối xứng : gốc tọa độ O
F1M = a + ex
F2M = a – ex
Tổ Toán
Trường THTH - ĐHSP TP.HCM
Cảm ơn quý Thầy, Cô đã tham dự buổi thao giảng.
Trân trọng kính chào.
Vì a > c nên a2 - c2 > 0, đặt b2 = a2 - c2 , ta có
(**)
nguon VI OLET
