Hình học 8. Chương I. §3. Hình thang cân

HÌNH HỌC 8
HÌNH THANG CÂN
Tiết 3
KIỂM TRA BÀI CŨ
1. Nêu định nghĩa hình thang?
2. Tìm x, y trong hình thang ABCD?
TRẢ LỜI
1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
2. Xét hình thang ABCD, có:
KIỂM TRA BÀI CŨ
Hình thang ABCD có gì đặt biệt?
Hình thang ABCD có:
Hình thang ABCD là hình thang cân
TIẾT 3
HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
2. Tính chất
3. Dấu hiệu nhận biết
Hình thang ABCD là hình thang cân


TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình vẽ sau có gì đặc biệt?

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
m
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Cách vẽ hình thang cân:
1. Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
?2 Cho hình sau:
Tìm các hình thang cân
Tính các góc còn lại của hình thang đó.
Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân?
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
?2
a) Tìm các hình thanh cân
b) Tính các góc còn lại của hình thang đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân?
Bài làm
- Xét tứ giác ABCD, có:
Mà hai góc A và D là hai góc trong cùng phía nên AB//DC. (1)
- Ta có:
- Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân
Vậy ABCD là hình thang cân, và
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
?2
a) Tìm các hình thanh cân
b) Tính các góc còn lại của hình thang đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân?
Bài làm
Xét tứ giác EFGH, có:
Nên GF không song song với HE.
Nên EF không song song với GH
Vậy EFGH không là hình thang
Ta có:
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
?2
a) Tìm các hình thanh cân
b) Tính các góc còn lại của hình thang đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân?
Bài làm
- Xét tứ giác MNIK, có:
Mà hai góc K và M là hai góc trong cùng phía nên KI//MN. (1)
- Ta có:
- Từ (1) và (2) suy ra MNIK là hình thang cân.
Vậy MNIK là hình thang cân, và
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
?2
a) Tìm các hình thanh cân
b) Tính các góc còn lại của hình thang đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân?
Bài làm
Xét tứ giác PQST, có:
Nên PQ // ST (1)
Ta lại có:
Từ (1) và (2) suy ra PQST là hình thang cân.
Vậy PQST là hình thang cân, và
(Do PQ và ST cùng vuông góc với PT)
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
?2 Cho hình sau:
Các hình thanh cân là:
* Nhận xét: Trong hình thang cân hai góc đối bù nhau.
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
2. Tính chất:
Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
GT
KL
ABCD, có AB//CD
AD = BC
Chứng minh: Xét hai trường hợp
a) AD cắt BC ở O (giả sử AB1
1
2
2
Ta có:
(gt)
 ODC cân tại O
 OD = OC (1)
Ta có:
(gt)
Nên
 OAB cân tại O
 OA = OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OD – OA = OC – OB
Hay AD = BC
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
2. Tính chất:
Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
GT
KL
ABCD, có AB//CD
AD = BC
Chứng minh: Xét hai trường hợp
b) AD // BC
1
1
2
2
 AD = BC (hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau)
Vậy trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
2. Tính chất:
Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
? Với hình thang cân ABCD (AB //CD) có những đoạn thẳng nào bằng nhau?
Còn có đoạn thẳng nào bằng nhau nữa không?
AD = BC
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
2. Tính chất:
Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
GT
KL
ABCD, có AB//CD
AC = BD
Chứng minh:
Xét ABD và BAC, có:
AB là cạnh chung
AD = BC (cạnh bên của hình thang cân)
Vậy ABD = BAC (c – g – c)
Suy ra BD = AC (hai cạnh tương ứng)
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
Bài tập:
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau
là hình thang cân
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau
b) Sai. Hình thang ABCD (AB //CD) AD = BC, nhưng không là hình thang cân vì
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
S
Đ
Chú ý: Có những hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân.
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
3. Dấu hiệu nhận biết:
? 3
m
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
3. Dấu hiệu nhận biết:
Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
GT
KL
ABCD, có AB//CD
AC = BD
ABCD là hình thang cân
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
1) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
3. Dấu hiệu nhận biết:
m
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
Chú ý: Cách vẽ hình thang cân
Cách 1: vẽ hai góc kề một đáy bằng nhau
Cách 2: vẽ hai đường chéo bằng nhau
BÀI TẬP
BÀI 11/SKG TRANG 74
Nhìn vào hình vẽ ta thấy :
+ AB = 2cm
+ CD = 4cm.
Xét tam giác vuông ADE có AE = 1cm, DE = 3cm.
⇒ AD2 = AE2 + DE2 (Định lý Pytago)
= 12 + 32 = 10
⇒ AD = √10 cm
ABCD là hình thang cân nên BC = AD = √10 cm.
Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = √10 cm.
Bài tập: Bài 12 trang 74 SGK
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB Chứng minh
AD = BC (vì ABCD là hình thang cân)
(vì ABCD là hình thang cân)
TIẾT 3. HÌNH THANG CÂN
BÀI 13
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
Do ABCD là hình thang cân nên:    AD = BC;  AC = BD;
Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:    AD = BC (gt)
    AC = BD (gt)
   DC cạnh chung
⇒ ΔADC = ΔBCD (c.c.c)
⇒ ΔECD cân tại E
⇒ EC = ED.
Mà AC = BD
⇒ AC – EC = BD – ED
hay EA = EB.
Vậy EA = EB, EC = ED (dpcm)
Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng góc A = 50o.

Mà hai góc ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BC
⇒ Tứ giác DECB là hình thang.
Mà hai góc ở đáy B và C bằng nhau nên hình thang DECB là hình thang cân.
Bài 16 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
⇒ ΔAEC = ΔADB
⇒ AE = AD
Vậy tam giác ABC cân tại A có AE = AD
Theo kết quả bài 15a) suy ra BCDE là hình thang cân.
- Chứng minh ED = EB.
ED // BC ⇒  (Hai góc so le trong)
Mà  ⇒ ΔEDB cân tại E ⇒ ED = EB.
Vậy ta có EBCD là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Hình thang ABCD (AB // CD) có 
Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh định lý: "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại tại E. Chứng minh rằng:
a) ΔBDE là tam giác cân.
b) ΔACD = ΔBDC
c) Hình thang ABCD là hình thang cân.












b) △BDE cân tại B (chứng minh trên)
⇒D1ˆ=E (định nghĩa)   (1)
Lại có: AC//BE  (giả thiết)
⇒C1ˆ=Eˆ (cặp góc so le trong)   (2)
Từ (1) và (2) ⇒C1^=D1^
Xét ΔACD và ΔBDC có:
AC=BD  (giả thiết)
C1ˆ=D1ˆ  (chứng minh trên)
DC: cạnh chung
⇒ΔACD=ΔBDC(c.g.c)
c) ΔACD=ΔBDC  (chứng minh trên)
⇒ADC^=BCD^ (cặp góc tương ứng)
Xét hình thang ABCD có: ADCˆ=BCDˆ  (chứng minh trên)
⇒ABCD là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang)




GHI NHỚ
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Định lý 1:
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Định lý 2:
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
1) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Hướng dẫn về nhà
* Học định nghĩa, các tính chất của hình thang cân, dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
* Làm bài tập 11; 13; 15 trang 74; 75 SGK.
* Xem trước bài tập: Luyện tập trang 75 SGK.
Hướng dẫn:
Bài 11 (trang 74 SGK) Độ dài cạnh ô vuông là 1cm. Suy ra:
AB = 2cm; CD = 4cm; AD = BC =
Bài 13 (trang 74 SGK) ACD và  BDC có:
AD = BC (cạnh bên hình thang cân ABCD)
AC = BD (đường chéo hình thang cân ABCD)
DC là cạnh chung
Vậy ACD =  BDC (c-c-c)
Do đó EDC cân ED = EC
Mà BD = AC Vậy EA = EB.