pt hpt bpt

PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản  .  .  .  .  .  Lưu ý Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa. Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm. Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức. 2/ Phương trìn

Thể loại Giáo án bài giảng Khác (Toán học)

Số trang 1

Ngày tạo 11/12/2013 4:49:09 AM +00:00

Loại tệp docx

Kích thước 2.49 M

Tên tệp pt bpt hpt docx

Download

PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản

 .  .

 .  .

 .

 Lưu ý

Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.

Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.

Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.

2/ Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

 .  .

 .  .

 .

 Lưu ý

Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn như trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.

3/ Một số phương trình – Bất phương trình cơ bản thường gặp khác

Dạng 1.

● Ta có:

● Thay vào ta được: .

Dạng 2. với .

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1. Giải bất phương trình:

Bài giải

Thí dụ 2. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với thì là một nghiệm của

● Với thì

● Vậy phương trình có hai nghiệm là .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 1. Giải các phương trình sau:

1/ . ĐS: .

2/ . ĐS: .

3/ . ĐS: .

4/ . ĐS: .

5/ . ĐS: .

6/ . ĐS: .

7/ . ĐS: .

8/ . ĐS: .

9/ . ĐS: .

10/ . ĐS: .

11/ . ĐS: .

12/ . ĐS: .

13/ . ĐS: .

14/ . ĐS: .

15/ . ĐS: .

16/ . ĐS: .

Bài tập 2. Giải các phương trình sau

1/ . ĐS: .

2/ . ĐS: .

3/ . ĐS: .

4/ . ĐS: .

Bài tập 3. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 4. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 5. Giải bất phương trình: .

Bài tập 6. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 7. Giải bất phương trình: .

Bài tập 8. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 9. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 10. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 11. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 12. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 13. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 14. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 15. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 16. Giải: .

Bài tập 17. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 18. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 19. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 20. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 21. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 22. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 23. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 24. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 25. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 26. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 27. Giải phương trình: . ĐS: Vô nghiệm.

Bài tập 28. Giải phương trình: . ĐS: Vô nghiệm.

Bài tập 29. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 30. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 31. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 32. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 33. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 34. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 35. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 36. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 37. Giải bất phương trình: . ĐS: .

B – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Sử dụng biến đổi cơ bản

Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình về dạng tích đơn giản hơn và biết cách giải.

Một số biến đổi thường gặp

● với là hai nghiệm của .

● Chia Hoocner để đưa về dạng tích số ("Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo").

● Các hằng đẳng thức thường gặp.

● .

2/ Tổng các số không âm

Dùng các biến đổi (chủ yếu là hằng đẳng thức) hoặc tách ghép để đưa về dạng:

3/ Sử dụng nhân liên hợp

 Dự đoán nghiệm bằng máy tính bỏ túi .

 Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung hoặc bội của trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số: .

 Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp

Biểu thức	Biểu thức liên hiệp	Tích

4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử. Khi đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số. Thông thường thì đó là phương trình bậc hai theo t (tham số x) và giải bằng cách lập Δ.

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1/ Sử dụng biến đổi đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số

Thí dụ 3. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 4. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có: nên vô nghiệm.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 5. Giải phương trình:

Bài giải

Thí dụ 6. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

Thí dụ 7. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 8. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 9. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

Đến đây, giải tiếp tục được kết quả .

Thí dụ 10. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

vô nghiệm.

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 11.

Bài giải

Thí dụ 12. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 13. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 14. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Với

● Với . Giải ra ta phương trình vô nghiệm.

● Vậy phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 15. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 38. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 39. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 40. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 41. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 42. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 43. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 44. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 45. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 46. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 47. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 48. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 49. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 50. Giải phương trình: ..

Bài tập 51. Giải phương trình: .

Bài tập 52. Giải phương trình: .

Bài tập 53. Giải phương trình: .

Bài tập 54. Giải phương trình: .

Bài tập 55. Giải phương trình: .

Bài tập 56. Giải phương trình: .

Bài tập 57. Giải phương trình: .

Bài tập 58. Giải phương trình: .

Bài tập 59. Giải phương trình: .

2/ Biến đổi về tổng hai số không âm

Thí dụ 16. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là .

Thí dụ 17. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là .

Thí dụ 18. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 19. Giải:

Bài giải

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 60. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 61. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 62. Giải phương trình: .

Bài tập 63. Giải phương trình: .

Bài tập 64. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 65. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 66. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 67. Giải phương trình: .

Bài tập 68. Giải phương trình:.

Bài tập 69. Giải phương trình: . ĐS: .

3/ Sử dụng nhân liên hợp

Thí dụ 20. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có: nên .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 21. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 22. Giải phương trình:

 Nhận xét:

Sử dụng cho biểu thức: với các giá trị nguyên trong khoảng tập xác định , ta nhận được khi nghĩa là là một nghiệm của phương trình.

Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho khi nhân lượng liên hợp xuất hiện nhân tử hoặc bội của nó.

Ta không nên ghép cặp với nhau, mặc dù nó xuất hiện nhân tử và đặc biệt là biểu thức không xuất hiện . Hơn nữa, sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện hạng tử dưới mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x, điều đó sẽ gây khó khăn cho ta khi giải quyết (đánh giá) biểu thức trong .

Do đó, ta suy nghĩ đi tìm hai số trong hai biểu thức để sau khi nhân lượng liên hợp, cả hai đều xuất hiện . Vì vậy, hai số phải thỏa mãn đồng nhất:

. Nên ta có lời giải sau:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Xét hàm số trên thấy

● Xét hàm số trên .

nghịch biến và

● Từ hàm số có đồ thị không thể cắt nhau. Do đó vô nghiệm.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 23. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

Vì nên .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 24. Giải phương trình:

Bài giải

● Ta có: xác định.

● Thay vào phương trình thỏa. Vậy phương trình có nghiệm .

Thí dụ 25. Giải phương trình:

Bài giải

● Vì không là nghiệm phương trình nên

● Vậy nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 26. Giải phương trình:

Bài giải

Do không là nghiệm phương trình, nên với ta được:

● Vậy phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 27. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có . Do đó .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 28. Giải phương trình:

Bài giải

● Với đặt

tức là vô nghiệm.

● Với đặt

tức là vô nghiệm.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 29. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Do

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 30. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của hệ là .

Thí dụ 31. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Nếu luôn đúng. Do đó: là một tập nghiệm của bất phương trình .

● Khi

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 32. Giải bất phương trình:

Bài giải

Nhận xét: . Nên ta có lời giải sau:

● Điều kiện: .

● Do thì:

nên .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: .

Thí dụ 33. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

(dạng ).

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 34. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 35. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Khi luôn đúng.

● Khi .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là .

Thí dụ 36. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với: thì luôn đúng.

● Với:

● Do .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 37. Giải bất phương trình:

Bài giải

Do nên phương trình .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 70. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 71. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 72. Giải phương trình: .

Bài tập 73. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 74. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 75. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 76. Giải phương trình: .

Bài tập 77. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 78. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 79. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 80. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 81. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 82. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 83. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 84. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 85. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 86. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 87. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 88. Giải phương trình: .

Bài tập 89. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 90. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 91. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 92. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 93. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 94. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 95. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 96. Giải phương trình: .

Bài tập 97. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 98. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 99. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 100. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 101. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 102. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 103. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 104. Giải phương trình: .

Bài tập 105. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 106. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 107. Giải phương trình: .

Bài tập 108. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 109. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 110. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 111. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 112. Giải phương trình: .

Bài tập 113. Giải phương trình: .

Bài tập 114. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 115. Giải phương trình: .

Bài tập 116. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 117. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 118. Giải: .

Bài tập 119. Giải phương trình: .

Bài tập 120. Giải phương trình: .

Bài tập 121. Giải phương trình: .

Bài tập 122. Giải phương trình: .

Bài tập 123. Giải phương trình: .

Bài tập 124. Giải phương trình: .

Bài tập 125. Giải phương trình: .

Bài tập 126. Giải phương trình: .

Bài tập 127. Giải phương trình: .

Bài tập 128. Giải phương trình: .

Bài tập 129. Giải phương trình: .

Bài tập 130. Giải: .

Bài tập 131. Giải phương trình: .

Bài tập 132. Giải phương trình: .

Bài tập 133. Giải phương trình: .

Bài tập 134. Giải phương trình: .

Bài tập 135. Giải phương trình: .

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Bài tập 136. Giải bất phương trình: .ĐS: .

Bài tập 137. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 138. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 139. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 140. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 141. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 142. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 143. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 144. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 145. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 146. Giải bất phương trình: .

Bài tập 147. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 148. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 149. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 150. Giải bất phương trình: .

Bài tập 151. Giải bất phương trình: .

Bài tập 152. Giải bất phương trình: .

Bài tập 153. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 154. Giải bất phương trình: .

Bài tập 155. Giải bất phương trình: .

Bài tập 156. Giải bất phương trình: .

Bài tập 157. Giải bất phương trình: .

Bài tập 158. Giải bất phương trình: .

Bài tập 159. Giải bất phương trình: .

Bài tập 160. Giải bất phương trình: .

Bài tập 161. Giải bất phương trình: .

Bài tập 162. Giải bất phương trình: .

Bài tập 163. Giải bất phương trình: .

Bài tập 164. Giải bất phương trình: .

Bài tập 165. Giải bất phương trình: .

Bài tập 166. Giải bất phương trình: .

Bài tập 167. Giải bất phương trình: .

Bài tập 168. Giải bất phương trình: .

Bài tập 169. Giải bất phương trình: .

Bài tập 170. Giải bất phương trình: .

Bài tập 171. Giải bất phương trình: .

Bài tập 172. Giải bất phương trình: .

Bài tập 173. Giải bất phương trình: .

4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Thí dụ 38. Giải phương trình sau:

Bài giải

● Đặt . Lúc đó:

● Lúc đó, ta xem là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số.

● Với vô nghiệm.

● Với .

● Vậy phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 39. Giải phương trình sau:

Bài giải

● Đặt .

● Lúc đó, ta xem là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số.

● Với .

● Vậy phương trình có hai nghiệm .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 174. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 175. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 176. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 177. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 178. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 179. Giải phương trình: .

Bài tập 180. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 181. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 182. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 183. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 184. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 185. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 186. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 187. Giải phương trình: . ĐS: .

C – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Đặt một ẩn phụ

Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản thường gặp:

 .

 .

2/ Đặt hai ẩn phụ

Thông thường, ta tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp (đồng bậc) hoặc hệ phương trình đối xứng loại 2, đẳng cấp,… Ta thường gặp một số dạng cơ bản sau:

 đặt .

 đặt .

 đưa về hệ đối xứng loại II: .

 đặt đưa về hệ đối xứng loại II.

 Lưu ý:

 Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ, tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa.

 cần lưu ý một số khai triễn và biến đổi sau:

● hay tổng quát hơn: .

● .

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1/ Đặt một ẩn phụ

Thí dụ 40. Giải phương trình:

Bài giải

● Đặt .

● Với .

● Vậy phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 41. Giải phương trình:

Bài giải

● Đặt . Lúc đó:

● Với .

● Vậy nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 42. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Đặt .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 43. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Đặt:

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 44. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Với

● So với điều kiện nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 45. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Với .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 46. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

Do .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 47. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

Ta có: .

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của hệ là .

Thí dụ 48. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với là nghiệm bất phương trình.

● Với chia hai vế của cho ta được:

● Đặt

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 49. Giải phương trình:

Bài giải

● Đặt .

● .

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .

Thí dụ 50. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Chia hai vế phương trình cho ta được:

● Đặt .

● Với .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 51. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt . Khi đó:

● Với (vô nghiệm)

● Với .

● Vậy nghiệm của phương trình là .

Bài tập 188. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Chia hai vế cho ta được:

● Đặt và lúc đó:

● Với .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 52. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Do không là nghiệm của nên chia hai vế cho ta được:

● Đặt và ta được:

● Với .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 53. Giải phương trình:

Bài giải

● Tập xác định: .

● Chia hai vế cho ta được:

● Đặt và lúc đó:

● Với .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 54. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với điều kiện nên chia hai vế cho ta được:

● Đặt và lúc đó:

● Với .

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: .

2/ Đặt hai ẩn phụ

Thí dụ 55. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiên: .

● Đặt

● Với .

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 56. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiên: .

● Đặt

● Lúc đó:

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 57. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt

● Từ

● Với .

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 58. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Đặt

● Vậy phương trình có ba nghiệm: .

Thí dụ 59. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt

● Từ

● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 60. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

Xét nên ta có lời giải sau:

● Điều kiện: .

● Đặt

● Với .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là .

Thí dụ 61. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

Xét nên có lời giải sau:

● Điều kiện: .

● Đặt

● Với .

● So với điều kiện, nghiệm phương trình là .

Thí dụ 62. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt . Lúc đó:

● Do không là nghiệm của nên chia hai vế của cho ta được: .

● Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lưu ý: ta có thể giải bằng cách, chia hai vế của cho và thu được phương trình: rồi đặt và cũng được phương trình .

Nhận xét: Dạng bài tổng quát của bài toán là Đặt và đưa về phương trình đẳng cấp mà đã biết cách giải.

Thí dụ 63. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Đặt và lúc đó

● Do không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho :

● Với .

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm .

Thí dụ 64. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Đặt

● Vậy phương trình có hai nghiệm : .

Thí dụ 65. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt

● Từ

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 66. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Đặt .

● Ta có: .

● Trường hợp 1. .

● Trường hợp 2. .

Thí dụ 67. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt

● Từ

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là: .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Đặt một ẩn phụ

Bài tập 189. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 190. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 191. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 192. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 193. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 194. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 195. Giải phương trình: .

Bài tập 196. Giải phương trình: .

Bài tập 197. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 198. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 199. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 200. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 201. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 202. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 203. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 204. Giải phương trình: .

Bài tập 205. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 206. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 207. Giải phương trình: ..

Bài tập 208. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 209. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 210. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 211. Giải phương trình: .

Bài tập 212. Giải phương trình: .

Bài tập 213. Giải phương trình: .

Bài tập 214. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 215. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 216. Giải bất phương trình: .

Bài tập 217. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 218. Giải bất phương trình: .

Bài tập 219. Giải bất phương trình: .

Bài tập 220. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 221. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 222. Giải bất phương trình: .

Bài tập 223. Giải bất phương trình: .

Bài tập 224. Giải bất phương trình: .

Bài tập 225. Giải bất phương trình: .

Bài tập 226. Giải bất phương trình: .

Bài tập 227. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 228. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 229. Giải phương trình: .

Bài tập 230. Giải phương trình: .

Bài tập 231. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 232. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 233. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 234. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 235. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 236. Giải phương trình: .

Bài tập 237. Giải phương trình: .

Bài tập 238. Giải phương trình: .

Bài tập 239. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 240. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 241. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 242. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 243. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 244. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 245. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 246. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 247. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 248. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 249. Giải phương trình: .

Bài tập 250. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 251. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 252. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 253. Giải bất phương trình: .ĐS:.

Bài tập 254. Giải phương trình: .

Bài tập 255. Giải phương trình: .

Bài tập 256. Giải phương trình: .

Bài tập 257. Giải phương trình: . ĐS: Phương trình vô nghiệm.

Bài tập 258. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 259. Giải phương trình: .

Bài tập 260. Giải bất phương trình: .

Bài tập 261. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 262. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 263. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 264. Giải phương trình: .

Bài tập 265. Giải phương trình: .

Bài tập 266. Giải phương trình: .

Bài tập 267. Giải phương trình: .

Bài tập 268. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 269. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 270. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 271. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 272. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 273. Giải phương trình: .ĐS: Vô nghiệm.

Bài tập 274. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 275. Giải phương trình: .

Bài tập 276. Giải phương trình: . ĐS: Phương trình vô nghiệm.

Bài tập 277. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 278. Giải phương trình: .

Bài tập 279. Giải phương trình: .ĐS: .

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp hoặc hệ

Bài tập 280. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 281. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 282. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 283. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 284. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 285. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 286. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 287. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 288. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 289. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 290. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 291. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 292. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 293. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 294. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 295. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 296. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 297. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 298. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 299. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 300. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 301. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 302. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 303. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 304. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 305. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 306. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 307. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 308. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 309. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 310. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 311. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 312. Giải phương trình: .

Bài tập 313. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 314. Giải phương trình: .

Bài tập 315. Giải phương trình: .

Bài tập 316. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 317. Giải phương trình: .

Bài tập 318. Giải phương trình: .

Bài tập 319. Giải phương trình: .

Bài tập 320. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 321. Giải phương trình: .

Bài tập 322. Giải phương trình: .

Bài tập 323. Giải phương trình: .

Bài tập 324. Giải phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 325. Giải bất phương trình: .

Bài tập 326. Giải bất phương trình: .

Bài tập 327. Giải phương trình: .

Bài tập 328. Giải phương trình: .

Bài tập 329. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 330. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 331. Giải phương trình: .

D – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HÌNH HỌC



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Giải phương trình và bất phương trình bằng bất đẳng thức

Để giải được phương trình hay bất phương trình bằng bất đẳng thức ta dựa vào hai ý tưởng sau:

 Biến đổi phương trình về dạng mà trong đó:

 với là hằng số.

 Lúc đó, nghiệm của phương trình là tất cả các giá trị x thỏa mãn hệ .

 Biến đổi phương trình về dạng với a là hằng số mà trong đó:

 Ta dùng bất đẳng thức hoặc đánh giá được kết quả: hay .

 Lúc đó, nghiệm phương trình là tất cả các giá trị x thỏa mãn dấu của đẳng thức xảy ra.

Các bất đẳng thức quen thuộc:

 Bất đẳng thức Cauchy :

 Với thì . Dấu xảy ra khi .

 Mở rộng cho n số không âm ta có: .

Dấu xảy ra khi .

 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki .

 Với bất kỳ, ta luôn có: .

Dấu xảy ra khi .

 Với bất kỳ: .

Dấu xảy ra khi .

 Bất đẳng thức cộng mẫu số (BĐT Cauchy Schwarz) là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức BCS.

 Với và , ta luôn có: .

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

 Bất đẳng thức về trị tuyệt đối

Điều kiện	Nội dung

2/ Giải phương trình và bất phương trình bằng cách ứng dụng của hình học

 Bất đẳng thức tam giác

Cho ΔABC có độ dài các cạnh BC, AC, AB tương ứng là . Ta luôn có:

 hay .

 .

Như vậy, ta chọn có tọa độ thích hợp, dĩ nhiên liên quan đến bất đẳng thức, chứng minh rồi sử dụng một trong hai bất đẳng thức ở trên suy ra kết quả.

 Bất đẳng thức véctơ

Cho .

 Dấu xảy ra cùng phương.

 . Dấu xảy ra cùng phương.

 . Do nên .

Bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức Bunhiacôpxki.

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 68. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt . Ta có:

. Dấu xảy ra .

Dấu xảy ra .

● Nghiệm của phương trình thỏa mãn nghĩa là dấu trong đồng thời xảy ra .

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 69. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Áp dụng BĐT B.C.S cho các số ta được:

Hay

● Ta có:

Hay

● Từ Dấu trong đồng thời xảy ra .

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 70. Giải phương trình: .

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với điều kiện áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương :

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là .

Thí dụ 71. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có: .

Dấu xảy ra .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 72. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có:

● Từ Dấu trong xảy ra

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 73. Giải phương trình:

Bài giải

● Ta có:

● Dấu xảy ra khi và chỉ khi :

● Từ phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 74. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

● Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta được:

● Lấy

● Từ Đẳng thức xảy ra dấu trong đồng thời xảy ra .

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 75. Giải phương trình:

Bài giải

Dấu xảy ra khi .

● Từ Phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 76. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm: ta được:

● Từ dấu trong xảy ra

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm .

Thí dụ 77. Giải phương trình:

Bài giải

● Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta được:

● Ta lại có:

● Cộng ta được:

● Từ Dấu trong đồng thời xảy ra .

Thí dụ 78. Giải bất phương trình: .

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có: .

● Bất phương trình có nghiệm .

Thí dụ 79. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Với thì

● Với thì luôn đúng là một nghiệm của .

● Với thì . Điều này luôn thỏa vì

là tập nghiệm của .

● Với thì . Trái hoàn toàn với . Do đó, không là tập nghiệm của .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Thí dụ 80. Giải phương trình:

Bài giải

● Tập xác định .

● Đặt .

● Mặt khác: và dấu xảy ra cùng phương

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 81. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Mặt khác:

● Từ bất phương trình có nghiệm khi đẳng thức xảy ra dấu trong xảy ra cùng phương .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 332. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 333. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 334. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 335. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 336. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 337. Giải bất phương trình: . ĐS: .

Bài tập 338. Giải bất phương trình: . HD: .

Bài tập 339. Giải phương trình: .HD: .

Bài tập 340. Giải bất phương trình: .HD: .

Bài tập 341. Giải phương trình: . .

Bài tập 342. Giải phương trình: .HD: .

Bài tập 343. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 344. Giải các phương trình sau

1/ .

2/ .

3/ .

4/ .

5/ .

6/ .

7/ .

8/ .

9/ .

10/ .

11/ .

Bài tập 345. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 346. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 347. Giải phương trình: .

Bài tập 348. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 349. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 350. Giải phương trình: . Đặt , .

Bài tập 351. Giải phương trình: . HD Giải phương trình: .

Bài tập 352. Giải phương trình: .HD: Chọn , .

Bài tập 353. Giải bất phương trình: .HD: Đặt ,.

Bài tập 354. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 355. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 356. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 357. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 358. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 359. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 360. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 361. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 362. Giải phương trình: .

E – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác (hay ngược lại).

 Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu thức

 lợi thế của phương pháp này là đưa phương trình ban đầu về một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải như: phương trình đẳng cấp, đối xứng, cổ điển, ……

 Nhược điểm của phương pháp này là khi chuyển về lượng giác lại khó tìm được nghiệm tường minh của phương trình.

 Vì hàm lượng giác là tuần hoàn, nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa là luôn luôn dương

(Dựa vào điều kiện vòng tròn lượng giác)

 Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp

Bài toán có chứa	Lượng giác hóa bằng cách đặt

 Lưu ý: Xem lại các công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình lượng giác (chuyên đề: Phương trình lượng giác và ứng dụng của cùng tác giả).

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 82. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

Thí dụ 83. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

● Với .

● Vậy phương trình có hai nghiệm là .

Thí dụ 84. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 85. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 86. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Ta có:

● Với .

● Do .

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 87. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

Thí dụ 88. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Nếu thì nên phương trình đã cho không có nghiệm khi .

● Nếu thì đặt .

● Do .

● Vậy nghiệm của phương trình là .

Thí dụ 89. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

Do .

● Với .

● Với

Theo định lí Viét thì là nghiệm của phương trình bậc hai:

Do .

● Vậy phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 90. Giải phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Do .

● Vậy phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 91. Giải phương trình:

Bài giải

● Trường hợp 1. Vế trái vô nghiệm vô nghiệm.

● Trường hợp 2. vế trái vô nghiệm vô nghiệm.

● Trường hợp 3. đặt .

● Do .

Thí dụ 92. Giải phương trình: với .

Bài giải

Thí dụ 93. Giải bất phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Vì luôn đúng nên tập nghiệm của là .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 363. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 364. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 365. Giải phương trình: . HD:

Bài tập 366. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 367. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 368. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 369. Giải pt: . ĐS .

Bài tập 370. Giải pt: .

Bài tập 371. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 372. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 373. Giải phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 374. Giải phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 375. Giải phương trình: .

Bài tập 376. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 377. Giải phương trình: .

Bài tập 378. Giải phương trình: . ĐS: .

Bài tập 379. Giải phương trình: .

Bài tập 380. Giải phương trình: .

Bài tập 381. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 382. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 383. Giải phương trình: . HD: .

Bài tập 384. Giải phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 385. Giải phương trình: .

Bài tập 386. Giải bất pt: .HD: Đặt .

Bài tập 387. Giải bất phương trình: .HD: .

Bài tập 388. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 389. Giải phương trình: .ĐS: .

Bài tập 390. Giải phương trình: . ĐS: .

PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A – HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Giải hệ bằng phương pháp thế, phương pháp cộng

a/ Hệ có chứa một phương trình bậc nhất

Phương pháp giải: Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại.

b/ Hệ phương trình bậc hai có dạng:

Phương pháp giải:

 Kiểm tra xem có phải là nghiệm không, nếu là nghiệm thì nhận nghiệm này.

 Với đặt (hoặc đặt ). Lúc đó:

c/ Hệ dạng

Trong đó: với là các biểu thức đẳng cấp bậc thỏa mãn .

Phương pháp giải:

Sử dụng kỹ thuật đồng bậc: .

Nói một cách khác: kỹ thuật đồng bậc là sự kết hợp giữa hai phương trình (bằng phương pháp thế) để được một phương trình thuần nhất dạng: . Sau đó, đưa phương trình này thành phương trình bậc hai hay phương trình tích số hoặc tìm ra mối liên hệ giữa x và y trực tiếp. Kết hợp với phương trình còn lại.

Thí dụ như: .

2/ Hệ phương trình đối xứng loại I: với và .

Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.

Phương pháp giải:

 Biến đổi về tổng – tích và đặt đưa về hệ mới với ẩn .

 Giải hệ tìm được và điều kiện có nghiệm là .

 Tìm nghiệm bằng cách giải phương trình hoặc nhẩm nghiệm với S, P đơn giản.

 Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:

● .

…………………………………………………………

3/ Hệ phương trình đối xứng loại II:

Nhận dạng: Đổi chỗ ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi.

Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng thu được một nhân tử tức có . Cụ thể các bước như sau:

 Trừ và vế theo vế ta được:

 Biến đổi về phương trình tích: .

 Lúc đó: .

 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ .

4/ Hệ phương trình đẳng cấp: .

 Giải hệ khi (hoặc ).

 Khi đặt . Thế vào hệ ta được hệ theo t và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được .

Lưu ý:

Ở trên là hệ đẳng cấp bậc hai, nếu hệ đẳng cấp bậc ba hoặc bốn,… ta cũng giải tương tự.

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 94. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Thay vào ta được:

● Với .

Thí dụ 95. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

(do thì nên không là nghiệm)

● Thay vào phương trình ta được:

● Với .

Thí dụ 96. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

. Thế vào ta được:

● Vậy nghiệm hệ là .

Thí dụ 97. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với thì nên là nghiệm của .

● Với đặt thì

● Thay vào .

● Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Thí dụ 98. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Do không là nghiệm của hệ phương trình nên chia hai vế phương trình hai của hệ cho

● Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Thí dụ 99. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Thay vào ta được:

● Thay vào phương trình ta được: .

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 100. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với vô nghiệm.

● Với .

● Vậy tập nghiệm của hệ là .

Thí dụ 101. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Trường hợp 1. .

● Trường hợp 2. và thỏa mãn hệ.

● Trường hợp 3. lấy chia ta được:

không là nghiệm của nên chia hai vế của cho ta được:

● Với .

● Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: .

Thí dụ 102. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Hệ

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 103. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Lấy

● Từ .

Thí dụ 104. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

với .

● Vậy nghiệm hệ là .

Thí dụ 105. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

với

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 106. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Đặt

với

● Với .

● Vậy nghiệm hệ là .

Thí dụ 107. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 108. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: . Đặt .

với.

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 109. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Vậy nghiệm hệ là: .

Thí dụ 110. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 111. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● So với điều kiện, hệ có hai nghiệm: .

Thí dụ 112. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Giải .

● Giải

Thay vào vô lí Loại .

● Vậy hệ có hai nghiệm là .

Thí dụ 113. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Do không là nghiệm hệ. Đặt :

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 114. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với không là nghiệm của hệ .

● Với đặt . Từ

● Với

● Vậy nghiệm của hệ là: .

Thí dụ 115. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Do không thỏa mãn hệ nên chia hai vế cho ta được:

● Với .

● Vậy nghiệm hệ là: .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 391. Giải các hệ phương trình sau

1/ . ĐS: .

2/ . ĐS: .

3/ . ĐS: .

4/ . ĐS: .

5/ . ĐS: .

6/ . ĐS: .

7/ . ĐS: .

Bài tập 392. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 393. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 394. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 395. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 396. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 397. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 398. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 399. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 400. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 401. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 402. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 403. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 404. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 405. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 406. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 407. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 408. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 409. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 410. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 411. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 412. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 413. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 414. Giải hệ phương trình: ..

Bài tập 415. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 416. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 417. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 418. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 419. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 420. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 421. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 422. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 423. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 424. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 425. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 426. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 427. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 428. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 429. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 430. Giải hệ phương trình: .ĐS: .

Bài tập 431. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 432. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 433. Giải hệ phương trình: .ĐS: .

Bài tập 434. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 435. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 436. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 437. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 438. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 439. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 440. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 441. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 442. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 443. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 444. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 445. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 446. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 447. Giải hệ phương trình: .ĐS: .

Bài tập 448. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 449. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 450. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 451. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 452. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 453. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 454. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 455. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 456. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 457. Giải hệ phương trình: .

B – BIẾN ĐỔI MỘT PHƯƠNG TRÌNH THÀNH TÍCH & KẾT HỢP PHƯƠNG TRÌNH CÒN LẠI



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Lựa chọn một phương trình biến đổi về tích số (thường lựa chọn phương trình phức tạp và có khả năng biến đổi được).

 Dùng các phép biến đổi đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình về dạng tích đơn giản hơn và biết cách giải.

Một số biến đổi thường gặp

● với là hai nghiệm của .

● Chia Hoocner để đưa về dạng tích số.

● Các hằng đẳng thức thường gặp.

● .

 Kết hợp với phương trình còn lại, lưu ý: .

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 116. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Kết hợp với ta được hệ:

● Vậy nghiệm hệ là .

Thí dụ 117. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Trường hợp 1. .

● Trường hợp 2.

● Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: .

Thí dụ 118. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

Kết hợp với hệ

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 119. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Kết hợp với phương trình ta được:

● Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 120. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Với thay vào ta được:

● Với (vô lí) nên loại .

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 121. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Thay vào :

● Thay vào ta được nghiệm duy nhất của hệ là .

Thí dụ 122. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Thay vào ta được:

● Do

vô nghiệm.

● So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 458. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 459. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 460. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 461. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 462. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 463. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 464. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 465. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 466. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 467. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 468. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 469. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 470. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 471. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 472. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 473. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 474. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 475. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 476. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 477. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 478. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 479. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 480. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 481. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 482. Giải hệ phương trình: .

C – GIẢI HỆ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ CƠ BẢN



Thí dụ 123. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

với

● Với .

● Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .

Thí dụ 124. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: . Đặt .

● Với .

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 125. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: . Đặt . Khi đó:

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 126. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt .

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm .

Thí dụ 127. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

với .

● Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: .

Thí dụ 128. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt . Lúc đó:

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: .

Thí dụ 129. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

với

● So với điều kiện, nghiệm của hệ là .

Thí dụ 130. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với không là nghiệm của hệ .

● Với chia hai vế cho ta được:

với

● Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: .

Thí dụ 131. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với thì .

● Với chia hai vế của mỗi phương trình trong cho ta được:

với

● Vậy nghiệm của hệ là .

Thí dụ 132. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Với không là nghiệm hệ.

● Với

với

● Vậy hệ có hai nghiệm: .

Thí dụ 133. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

● Đặt

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .

Thí dụ 134. Giải hệ phương trình:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: .

Với

● Đặt . Khi đó:

● Thay a, b vào ta được hệ: .

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 483. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 484. Giải hệ phương trình: ĐS: .

Bài tập 485. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 486. Giải hệ phương trình: . HD: .

Bài tập 487. Giải hệ phương trình: ĐS: .

Bài tập 488. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 489. Giải hệ phương trình: . HD: .

Bài tập 490. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 491. Giải hệ phương trình:

Bài tập 492. Giải hệ phương trình: .ĐS: .

Bài tập 493. Giải hệ phương trình: . HD: .

Bài tập 494. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 495. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 496. Giải hệ phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 497. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 498. Giải hệ phương trình: . HD: .

Bài tập 499. Giải hệ phương trình: .ĐS: .

Bài tập 500. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 501. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 502. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 503. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 504. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 505. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 506. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 507. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 508. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 509. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 510. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 511. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 512. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 513. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 514. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 515. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 516. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 517. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 518. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 519. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 520. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 521. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 522. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 523. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 524. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 525. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 526. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 527. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 528. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 529. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 530. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 531. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 532. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 533. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 534. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 535. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 536. Giải hệ phương trình: . HD: Đặt .

Bài tập 537. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 538. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 539. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 540. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 541. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 542. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 543. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 544. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 545. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 546. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 547. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 548. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 549. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 550. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 551. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 552. Giải hệ phương trình: .

D – GIẢI HỆ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC



Thí dụ 135. Giải hệ phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Ta có: .

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

● Thay vào ta chỉ nhận .

● Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 136. Giải hệ phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Dấu xảy ra .

Dấu trong xảy ra dấu trong đồng thời xảy ra .

● Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Thí dụ 137. Giải hệ phương trình:

Bài giải

● Điều kiện: .

● Lấy .

● Ta có: . Dấu xảy ra khi

● Ta lại có:

và dấu xảy ra khi

● Lấy và dấu xảy ra khi .

● Từ nghiệm hệ là .

Thí dụ 138. Giải hệ phương trình:

Bài giải

● Lấy ta được:

● Ta có:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

● Tương tự, ta chứng minh được:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

● Lấy

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

● Theo bất đẳng thức Cauchy:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

● Từ Nghiệm hệ phương trình là .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 553. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 554. Giải hệ phương trình: . Đáp số: .

Bài tập 555. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 556. Giải hệ pt: ..

Bài tập 557. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 558. Giải hệ phương trình: .HD: Đặt .

Bài tập 559. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 560. Giải hệ phương trình: .

Bài tập 561. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 562. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 563. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 564. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 565. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

Bài tập 566. Giải hệ phương trình: . ĐS: .

E – GIẢI HỆ BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA & SỐ PHỨC HÓA



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Lượng giác hóa

Xem lại phần lượng giác hóa của phương trình.

2/ Số phức hóa

 Dựa vào các phép biến đổi số phức

 Dựa vào dạng lượng giác của số phức và hai số phức bằng nhau (thực thực và ảo ảo).

 Dựa vào sự tương đương của một phương trình nghiệm phức với một hệ phương trình hai ẩn . Nghĩa là giải phương trình và tìm được nghiệm thì nghiệm hệ ban đầu là .