I, DÃY SỐ
I. Kiến thức cần ghi nhớ
1. Đối với số tự nhiên liên tiếp :
a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1.
c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1.
2. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1).
c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
e) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
f) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
........
3. Dãy số cách đều:
a) Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là:
(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
1a,Kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước cộng với nhau. Nên ta có :
Số hạng thứ bảy là :11+18=29
Số hạng thứ tám là :18+29=47
Số hạng thứ chín là : 29+47 =76.Vậy ta có dãy a) 1, 3, 4, 7, 11, 18,29,47,76.
b, Kể từ số hạng thứ ba bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số thứ tự trong nhóm rồi cộng 1. Nên ta có :
Số hạng thứ năm là :12+5+1=18 ;
Số hạng thứ sáu là :18+6+1=25
Số hạng thứ bảy là : 25+7+1 =33.Vậy ta có dãy b) 0, 3, 7, 12,18, 25,33.
Bài 5: Cho dãy số : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 trong dãy. b) Số 2002 có thuộc dãy này không?
Giải :a)Khoảng cách của dãy số là :3
Nên số hạng thứ 100 là:
1+ ( 100 -1) x 3 = 318
B, Nếu 2002 là số hạng của dãy thì (2002 -1) phải chia hết cho 3
Mà (2002 -1) : 3 = 667 nên 2002 là sô hạng thuộc dãy số trên
Bài 6: Cho dãy số : 3, 18, 48, 93, 153, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Bài tập tương tự: Cho dãy số : 3, 16, 42, 81,...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Số 10142 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Bài 7: Cho dãy số : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 .
a) Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b) Số hạng thứ 50 của dãy là số nào?
Bài 8: Hãy cho biết :
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, … hay không?
b) Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11,… hay không?
c) Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, … ?
Hãy giải thích tại sao?
Số hạng của dãy là 90 nên 50 không thuộc dãy; Dãy số chia hết cho 5 mà133 không chia hết cho 5nên không thuộc dãy.
b) Dãy chia 3 dư 2 còn 1996 chia 3 dư1 nên không thuộc dãy.
c) . Kể từ số hạng thứ hai trong dãy đều là số chẵn. Dứng trước 666 là 333 (lẻ) nên 666 không thuộc dãy. Tương tự 1000;9999 đều không thuộc dãy.
Bài 9: Cho dãy số 1, 7, 13, 19, 25, … Hãy cho biết các số: 351, 400, 570, 686, 1975 có thuộc dãy số đã cho hay không?
Bài 10: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, ..., 2005. Hỏi:
Dãy số có bao nhiêu số hạng?
Cho dãy số :1, 5,15,34,... Hãy biến đổi mỗi số hạng trong nhóm thành 1 tổng và viết đến số hạng thứ 20.
Giải b,1=1
5=2+3
15=4+5+6
34=7+8+9+10....
Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
2013 - (50 – 1) x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là
(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?
Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:
(15 - 1) x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:
915 x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:
(122 - 28) : 2 = 47
Đáp số: 47
Một số bài tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.
a, Tính tổng của dãy số trên?
b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?
c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số?
Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?
Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?
Bài 5: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng?
Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?
Bài 1:
a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị
Số số hạng: (2014 - 1) : 3 + 1 = 672 (số)
Tổng của dãy số là: (2014 + 1) x 672 : 2 = 677040
b, Số hạng thứ 99 của dãy là: 1 + (99 - 1) x 3 = 295
c, Nhận thấy 4 = 1 x 3 + 1; 7 = 2 x 3 + 1;…; 2014 = 671 x 3 + 1
Nên 1995 – 1 = 1994 phải chia hết cho 3 mới thuộc dãy số. Mà phép chia 1994 cho 3 là phép chia có dư nên 1995 không thuộc dãy số
Bài 2:
Dãy số chẵn có ba chữ số là 100, 102, 103, …, 998
Số số hạng của dãy số là: (998 - 100) : 2 + 1 = 450 (số)
Tổng của dãy số là: (998 + 1) x 450 : 2 = 224775
Trung bình cộng của dãy số là: 224775 : 450 = 499,5
Bài 3:
Số đầu của dãy số là: 2010 – (60 – 1) x 2 = 1892
Tổng của dãy số là: (2010 + 1892) x 60 : 2 = 117060
Bài 4:
Số cuối của dãy số là: 1 + (2014 - 1) x 2 = 4027
Tổng của dãy số là: (4027 + 1) x 2014 : 2 = 4056196
Bài 5:
Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 4 đơn vị
Số cuối của dãy số là: 1 + (100 - 1) x 4 = 397
Tổng của dãy số là: (397 + 1) x 100 : 2 = 19900
Bài 6:
Vì tổng số nhà của dãy số đó bằng 2000 nên tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là:
2000 x 2 : 20 = 200
Vì dãy số có 20 nhà nên hiệu của số nhà cuối với số nhà đầu là:
(20 - 1) x 2 = 38
Số nhà cuối là: (200 + 38) : 2 = 119
Bài tập Tính nhanh tổng dãy số có quy luật cách đều
Bài 1: Tính nhanh:
a. 5 + 10 + 15 + ............ + 2015.
b. 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ................ + 96 + 99 + 102.
c. 1,02 + 2,03 + 3,04 + ..................... + 9,10.
d. 10,11 + 11,12 + 12,13 + ................ + 98,99 + 99,100.
(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)
Bài 1:
a. Số số hạng của dãy số là: (2015 - 5) : 5 + 1 = 403 (số)
Tổng của dãy số là: (2015 + 5) x 403 : 2 = 407030
b. 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ................ + 96 + 99 + 102
Số số hạng của dãy số 3, 6, 9, …, 99, 102 là: (102 - 3) : 3 + 1 = 34
Tổng của dãy số 3, 6, 9, …, 99, 102 là: (102 + 3) x 34 : 2 = 1785
Tổng trên bằng: 1 + 2 + 1785 = 1788
c. Số số hạng của dãy số là: (9,1 – 1,02) : 1,01 + 1 = 9 (số)
Tổng của dãy số là: (9,1 + 1,02) x 9 : 2 = 45,54
d. Số số hạng của dãy số 10,11; 11,12; 12,13; …; 98,99 là: (98,99 – 10,11) : 1,01 + 1 = 89 (số)
Tổng của dãy số 10,11; 11,12; 12,13; …; 98,99 là: (98,99 + 10,11) x 89 : 2 = 4854,95
Tổng trên bằng: 4854,95 + 99,100 = 4954,05
Bài 2:
a. (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ............ + (x + 99) = 90387
x + 1 + x + 2 + x + 3 + … + x + 99 = 90387
99 x x + 1 + 2 + 3 + … + 99 = 90387
99 x x + (99 + 1) x 99 : 2 = 90387
99 x x = 90387 – 4950
99 x x = 85437
x = 85437 : 99 = 863
b. (1 + 4 + 7 + .......................... + 100) : x = 17
x = (1 + 4 + …. + 100) : 17
x = (100 + 1) x 34 : 2 : 17
x = 101
Bài 3:
a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị
Số số hạng: (2014 - 1) : 3 + 1 = 672 (số)
Tổng của dãy số là: (2014 + 1) x 672 : 2 = 677040
b, Số hạng thứ 99 của dãy là: 1 + (99 - 1) x 3 = 295
c, Nhận thấy 4 = 1 x 3 + 1; 7 = 2 x 3 + 1;…; 2014 = 671 x 3 + 1
Nên 1995 – 1 = 1994 phải chia hết cho 3 mới thuộc dãy số. Mà phép chia 1994 cho 3 là phép chia có dư nên 1995 không thuộc dãy số
Bài 4:
Dãy số gồm các số lẻ có ba chữ số là 101, 103, …, 999
Số số hạng của dãy số: (999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số)
Tổng của dãy số là: (999 + 101) x 450 : 2 = 247500
Trung bình cộng của dãy số: 247400 : 450 = 550
Bài 6:
Vì tổng số nhà của dãy số đó bằng 1400 nên tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là:
1400 x 2 : 25 = 112
Vì dãy số có 25 nhà nên hiệu của số nhà cuối với số nhà đầu là:
(25 - 1) x 2 = 48
Số nhà cuối là: (112 + 48) : 2 = 80
Số nhà đầu là: (112 – 48) : 2 = 32
Bài 7: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy số đó là số 2018? (Violympic lớp 5)
Bài 8: Cho tổng: A = 0 + 5 + 10 + 15 + .............. + x. Tìm x biết tổng A có 99 số hạng?
Bài 9: Cho tổng: B = 0,3 + 1,3 + 2,3 + 3,3 + .............. + y. Tìm y biết tổng B có 55 số hạng?
Bài 10: Cho dãy số: 0; 1; 2; 3; 4; ..............................; 2018 Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số?
Bài 7:
Số đầu của dãy số là: 2018 – (60 - 1) x 2 = 1900
Tổng của dãy số là: (2018 + 1900) x 60 : 2 = 117540
Bài 8: x là: 0 + (99 - 1) x 5 = 490
Bài 9: y là: 0,3 + (55 - 1) x 1 = 54,3
Bài 10: Số số hạng của dãy số: (2018 - 0) : 1 + 1 = 2019 (số)
Bài 11: Một cuốn sách có 200 trang. Hỏi người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của cuốn sách đó? Bài 12: Cho dãy số: 1; 2; 3; .............. ; x. Chữ số thứ 2018 được dùng để viết dãy số trên là chữ số nào?
Bài 13: Tích sau có tận cùng là chữ số nào?
0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9 x ... x 17,9 x 18,9.
Bài 14: Cho dãy số tự nhiên: 19; 28; 37; 46; ..........
a. Tìm số thứ 1997 của dãy.
b. Số 19971998; 19981999 có mặt trong dãy số đó không? Vì sao?
Bài 11:
Từ 1 đến 9 người ta cần dùng 9 chữ số để đánh dấu trang
Từ 10 đến 99 người ta cần dùng (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số, hay người ta cần 90 x 2 = 180 chữ số để đánh dấu trang
Từ 100 đến 200 người ta cần dùng (200 – 100) : 1 + 1 =101 số, hay người ta cần 101 x 3 = 303 chữ số để đánh dấu trang
Số chữ số cần để đánh dấu trang là: 9 + 180 + 303 = 492 (chữ số)
Bài 12: Số 2018 của dãy trên là số: 1 + (2018 - 1) x 1 = 2018
Bài 13:
Nhận thấy cứ ba số lại có tận cùng bằng 9
Dãy trên có 10 số nên chữ số tận cùng bằng 1
Bài 14:
a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 9 đơn vị
Số 1997 của dãy là số: 19 + (1997 - 1) x 9 = 17983
b, Giả sử số 19971998 thuộc dãy số thì số số hạng của dãy là:
(19971998 - 19) : 9 + 1 = 2219109,778 (vô lý vì số số hạng của dãy là một số tự nhiên)
Vậy số 19971998 không thuộc dãy số
Giả sử số 19981999 thuộc dãy số thì số số hạng của dãy là:
(19981999 – 19) : 9 + 1 = 2220221 (thỏa mãn) nên số 19981999 thuộc dãy số trên
Bài 15: Tìm trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên?
Bài 16: Tính nhanh:
1011 + 1112 + 1213 + 1314 + ............... + 9899 + 9910
Bài 17: Tính nhanh:
1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + ........... + 301 + 302
Bài 15:
Số lẻ cuối cùng của dãy trên là: 1 + (22 - 1) x 2 = 43
Tổng của 22 số lẻ đầu tiên bằng: (43 + 1) x 22 : 2 = 484
Trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên là: 484 : 22 = 22
Bài 16:
Từ 1011 đến 9899 tổng của dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 101 đơn vị
Số số hạng của dãy số: (9899 - 1011) : 101 + 1 = 89 (số)
Tổng của dãy số trên là: (9899 + 1011) x 89 : 2 + 9910 = 495405
Bài 18: Cho dãy số: 14; 16; 18; .................; 94; 96; 98.
a. Tính tổng giá trị của dãy số trên.
b. Tìm số có giá trị lớn hơn trung bình cộng của dãy số là 8. Cho biết số đó là số thứ bao nhiêu của dãy số trên?
Bài 19: Cho dãy số: 36; 45; 54; .............
a. Hãy viết thêm 3 số thích hợp vào dãy số trên.
b. Số thứ 20 của dãy số trên là số nào?
c. Số 3469 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 18:
a. Số số hạng của dãy số trên: (98 - 14) : 2 + 1 = 43 (số)
Tổng của dãy số trên là: (98 + 14) x 43 : 2 = 2408
b. Trung bình cộng của dãy là số: 2408 : 43 = 56
Số cần tìm là số: 56 + 8 = 64
Số đó là số thứ: (64 - 14) : 2 + 1 = 26
Bài 19:
a. Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 9 đơn vị
3 số tiếp theo là: 63, 72, 81
b. Số thứ 20 của dãy là số: 36 + (20 - 1) x 9 = 207
c. Giả sử số 3469 thuộc dãy số trên. Số số hạng của dãy là: (3469 - 36) : 9 + 1 = 382,4 (vô lý vì số số hạng là một số tự nhiên)
Vậy 3469 không thuộc dãy số trên
Bài 20: Tính nhanh:
17,75 + 16,25 + 14,75 + 13,25 + ................. + 4,25 + 2,75 + 1,25
Bài 20:
Số số hạng của dãy số trên là: (17,75 – 1,25) : 1,5 + 1 = 12 (số)
Tổng của dãy số là: (1,25 + 17,75) x 12 : 2 = 114
nguon VI OLET
