Giải PT $$\log _2 x + \log _3 (x + 1) = \log _4 (x + 2) + \log _5 (x + 3)$$


Lời giải.
Xét $$ f(x) = \log _2 x + \log _3 (x + 1) - \log _4 (x + 2) - \log _5 (x + 3) $$
 ta có
$$ f^/ (x) = {1 \over {x\ln 2}} + {1 \over {(x + 1)\ln 3}} - {1 \over {(x + 2)\ln 4}} - {1 \over {(x + 3)\ln 5}}. $$

Với x > 0 ta có $$ {1 \over {x\ln 2}} > {1 \over {(x + 2)\ln 4}} $$
 và $$ {1 \over {(x + 1)\ln 3}} > {1 \over {(x + 3)\ln 5}}. $$
 Do đó, $$ f^/ (x) > 0,\forall x \in (0; + \infty ). $$

Mặt khác, f(2) = 0 nên PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

nguon VI OLET