60 bai hinh hoc lop 9

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i

H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M, N, P. Chøng minh r»ng:

1.                Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
2.                Bèn ®iÓm B, C, E, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3.                AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4.                H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5.                X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.

Lêi gi¶i: 

1.    XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

 CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)

 CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)

=>  CEH +  CDH = 1800

Mµ  CEH  vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã  CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp

2.    Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEC = 900.

CF lµ ®­êng cao => CF  AB => BFC = 900.

Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BC.

VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

3.    XÐt hai tam gi¸c  AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung

=>  AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD.

* XÐt hai tam gi¸c  BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung

=>  BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC.

4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC)

C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)

=> C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM =>  CHM c©n t¹i C

=> CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM  vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.

5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn

=> C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)

Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp

                 C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)

                 E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.

Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn  néi tiÕp tam gi¸c  DEF.

Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn

ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.

1.                Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
2.                Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3.                Chøng minh ED = BC.
4.                Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  (O).
5.                TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Lêi gi¶i: 

1.                            XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

 CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)

      CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)

     =>  CEH +  CDH = 1800

    Mµ  CEH  vµ  CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã  CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp

2. Theo gi¶ thiÕt:  BE lµ ®­êng cao => BE  AC => BEA = 900.

AD lµ ®­êng cao => AD  BC => BDA = 900.

Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AB.

VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c  ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn

=> D lµ trung ®iÓm cña BC.   Theo trªn  ta cã BEC = 900 .

VËy tam gi¸c  BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC.

4.                V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c  AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1).

Theo trªn DE = BC => tam gi¸c  DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2)

Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3

Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t¹i E.

VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  (O) t¹i E.

5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c  OED  vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32   ED = 4cm

Bµi 3  Cho  nöa ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn  kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.

1.                Chøng minh AC + BD = CD.
2.                Chøng minh COD = 900.

3.Chøng minh AC. BD = .

4.Chøng minh   OC // BM

5.Chøng minh AB  lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ®­êng kÝnh CD.

6.Chøng minh MN  AB.

7.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Lêi gi¶i: 

1.    Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

    Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD

2.                Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900.
3.    Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c  COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ).

¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, 

Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .

4.                Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1)

Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).

5.                Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh.

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB

IO // AC , mµ AC  AB => IO  AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn  ®­êng kÝnh CD

6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra

=> MN // BD mµ BD  AB => MN  AB.

7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.

Bµi 4  Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn  néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn  bµng tiÕp gãc

A , O lµ trung ®iÓm cña IK.

1.                Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
2.                Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  (O).
3.                TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn  (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

Lêi gi¶i:  (HD)

1.  V× I lµ t©m ®­êng trßn  néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn  bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B

Do ®ã BI  BK hayIBK = 900 .

T­¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

2.                            Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH.

C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ).

I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c  OIC c©n t¹i O)

Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  (O).

3.                            Tõ gi¶ thiÕt  AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.

AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)

CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)

OC = = 15 (cm)

Bµi 5 Cho ®­êng trßn  (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA,  gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.

1.          Chøng minh 4 ®iÓm O, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
2.          Cminh 5 ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .
3.          Chøng minh   OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4.          Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
5.          Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
6.          T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d

Lêi gi¶i:

2. V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK  NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã  OAM = 900; OBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc  900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OM.VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

3.  Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R      => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I .

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã  OAM = 900 nªn tam gi¸c  OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao.

¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.

4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.

5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng (V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi AB).

6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn  t©m A b¸n kÝnh AH = R

Bµi 6  Cho tam gi¸c  ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn  t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ  ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn  (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  t¹i D c¾t CA ë E.

1.                Chøng minh tam gi¸c  BEC c©n.
2.                Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
3.                Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn  cña ®­êng trßn  (A; AH).
4.                Chøng minh BE = BH + DE.

Lêi gi¶i: (HD)

1.  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).

V× AB CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam gi¸c  c©n.  => B1 = B2 .

2. Hai tam gi¸c  vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI = AH.

3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.

4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bµi 7  Cho ®­êng trßn  (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao

cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.

1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.

2. Chøng minh BM // OP.

3. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Cm tg OBNP lµ hbh .

4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. C m I, J, K th¼ng hµng.

Lêi gi¶i: 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n  cung AM;   AOM lµ gãc ë t©m

ch¾n cung AM  => ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>   AOP =   (2)  Tõ  (1) vµ (2) =>   ABM =  AOP (3) 

Mµ  ABM vµ  AOP  lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra  BM // OP. (4)

3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB).=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN  (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)

Tõ  (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).

4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ

Ta  còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c  POJ. (6)

DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO  ( t/c ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6)

   AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP (so le) (7)

   Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8).

Tõ  (7) vµ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®­êng cao => IK  PO. (9)

Tõ  (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng.

Bµi 8  Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB  vµ  ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM  c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.

1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM.IB

3)  Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.

4) Chøng minh r»ng: Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.

5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.

Lêi gi¶i:

1. Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).

AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).

=> KMF + KEF = 1800. Mµ KMF vµ KEF lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tgnt

2/ Ta cã IAB = 900 (v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn).

¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => AI2 = IM.IB

1.    Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME  (lÝ do ……)

=> ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1)

Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE  AF hay BE lµ ®­êng cao cña tam gi¸c  ABF (2).

Tõ  (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B .

2.    BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3)

Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ  tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ  tia ph©n gi¸c HAK  (5)

Tõ  (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®­êng cao nªn ®ång thêi lµ ®­¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6).

Tõ  (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng).

3.    (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK =>  tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang.

§Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn  th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n.

AKFI  lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB.

ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7)

Tam gi¸c  ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8)

Tõ  (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI  lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau).

VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.

Bµi 9 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn  Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).

1/ Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi.  2/ Chøng minh   ABD =  DFB.

3/ Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Lêi gi¶i:

1. C thuéc nöa ®­êng trßn  nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ) => BC  AE.

ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c  ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®­êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao ), mµ AB lµ ®­êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi.

2.  ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ).

=> ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c  b»ng 1800)(1)

 ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ).

=> AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c  b»ng 1800) (2)

Tõ  (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD)

3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 .

ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD).

Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra  ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c ECD vµ EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi 10  Cho  ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB  vµ  ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.

1.Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n. 2.Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  .

 Lêi gi¶i:

1. Ta cã SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ) => AMS = 900 . Nh­ vËy P vµ M cïng nh×n AS d­íi mét gãc b»ng  900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AS.

VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®­êng trßn  nªn M’ còng n»m trªn ®­êng trßn  => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau

=>AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)

Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’  AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)

 => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2).

=> Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’.

Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ASP=AMP (nt cïng ch¾n  AP  )

=> AS’P = AMP => tam gi¸c  PMS’ c©n t¹i P.

3.  Tam gi¸c  SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c  SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3)

Tam gi¸c  PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4)

Tam gi¸c  OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5).

Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  t¹i M

Bµi 11.  Cho tam gi¸c  ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi  ®­êng trßn  (O)  t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh :

1.                Tam gi¸c  DEF cã ba gãc nhän.
2.                DF // BC.           3.  Tø gi¸c BDFC néi tiÕp.            4.   

Lêi gi¶i:

       1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c  ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE).

 Chøng minh t­¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900. Nh­ vËy tam gi¸c  DEF cã ba gãc nhän.

        2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC.

       3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n)

=> BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn  .

       4. XÐt hai tam gi¸c  BDM vµ CBF Ta cã  DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c  c©n).

BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF .

=> BDM CBF =>

Bµi 12  Cho ®­êng trßn  (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn

t¹i N cña ®­êng trßn  ë P. Chøng minh :

1.                Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
2.                Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
3.                CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.
4.                Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo.

Lêi gi¶i:

1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ).

Nh­ vËy M vµ N cïng nh×n OP d­íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.

2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM)

Tam gi¸c  ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN

=> OPM = OCM.

XÐt hai tam gi¸c  OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)

Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2).

Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.

3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC

=> => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.

4. ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®­êng th¼ng  cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D.

V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.

Bµi 13 Cho tam gi¸c  ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A, VÏ nöa ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn  ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.

1.                Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt.
2.                BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
3.                AE. AB = AF. AC.
4.                Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn  .

Lêi gi¶i:

1. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn )

=> AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)

CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn )

=> AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)

EAF = 900 ( V× tam gi¸c  ABC vu«ng t¹i A) (3)

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).

2.  Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn  (O1) vµ (O2)     

=> B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800  mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.

3. XÐt hai tam gi¸c  AEF vµ ACB ta cã  A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn)

=> AEF ACB => => AE. AB = AF. AC.

* HD c¸ch 2: Tam gi¸c  AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*)

    Tam gi¸c  AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC (**)

               Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC

4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 .

O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2.

=> E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900

=> O1E EF .

Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã O2F  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn  .

Bµi 14  Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn  cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K.

§­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn  (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn  (I), (K).

1.Chøng minh EC = MN.

2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn  (I), (K).

3.TÝnh MN.

4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn

Lêi gi¶i:

1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m K)

=> ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)

AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)

AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3)

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt  => EC = MN (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt  )

2. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn  (I) vµ (K)      

=> B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3

=> B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ  b¸n kÝnh) => tam gi¸c  KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5)

Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN   t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N.

Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M,

VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn  (I), (K).

3. Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC  AB (gt) 

=> EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.

4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm

Ta cã S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = . IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 = . 202 = 400.

Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn lµ  S = ( S(o) - S(I) - S(k))

S = ( 625- 25- 400) = .200 = 100 314 (cm2)

Bµi 15  Cho tam gi¸c  ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn  (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng  BM c¾t ®­êng trßn  (O) t¹i D. ®­êng th¼ng  AD c¾t ®­êng trßn  (O) t¹i S.

1.                Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2.                Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.
3.                Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn  (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng  BA, EM, CD ®ång quy.
4.                Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.
5.                Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn  néi tiÕp tam gi¸c  ADE.

Lêi gi¶i:

1.    Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c  ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => CDB = 900 nh­ vËy D vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2.    ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).

D1= C3 => => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®­êng trßn  (O) ch¾n hai cung b»ng nhau)

=> CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

3. XÐt CMB Ta cã BACM; CD  BM; ME  BC nh­ vËy BA, EM, CD lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c  CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy.

4. Theo trªn Ta cã => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1)

5. Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn (O)) => MEB = 900.

Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®­êng trßn  => A2 = B2 .

Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD)

=> A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2)

Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®­êng trßn  néi tiÕp tam gi¸c  ADE

TH2 (H×nh b)

 C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS

=> => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

Bµi 16  Cho tam gi¸c  ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn  ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng  CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn  t¹i F, G.

Chøng minh :

1.                Tam gi¸c  ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c  EBD.
2.                Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp .
3.                  AC // FG.
4.                C¸c ®­êng th¼ng  AC, DE, FB ®ång quy.

Lêi gi¶i:

1. XÐt hai tam gi¸c  ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c  ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB   CAB .

2.  Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp .

      *  BAC = 900 ( v× tam gi¸c  ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) hay BFC = 900  nh­ vËy F vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp.

3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG.

4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®­êng cao cña tam gi¸c  DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S.

Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.

1.                Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.
2.                Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.
3.                Chøng minh OH  PQ.

Lêi gi¶i:

1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt)

=> AQM = 900 nh­ vËy P vµ Q cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp.

* V× AM lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña AM.

2. Tam gi¸c  ABC cã AH lµ ®­êng cao => SABC = BC.AH.

Tam gi¸c  ABM cã MP lµ ®­êng cao => SABM = AB.MP

Tam gi¸c  ACM cã MQ lµ ®­êng cao => SACM = AC.MQ

Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

Mµ AB = BC = CA (v×  tam gi¸c  ABC ®Òu) => MP + MQ = AH.

3. Tam gi¸c  ABC cã AH lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c  POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®­êng cao => OH  PQ

Bµi 18 Cho ®­êng trßn  (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B)  ; trªn ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®­êng trßn  ; MA vµ MB thø tù c¾t ®­êng trßn  (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC.

1.    Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2.    Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng  AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.
3.    Gäi K lµ t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp .

 Lêi gi¶i:

1. Ta cã : ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn )

=> MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).

ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®­êng trßn )

=> MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).

=> MCI + MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c  MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c  MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  AB nªn MH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c  MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.

3.  OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4

KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 .

Mµ A1 + M1 = 900 ( do tam gi¸c  AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 .

XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK  lµ hai gãc ®èi  nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi 19.  Cho ®­êng trßn  (O) ®­êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD.

1.                Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .
2.                Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.
3.                Chøng minh BI // AD.
4.                Chøng minh I, B, E th¼ng hµng.
5.                Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Lêi gi¶i:

      1. BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï);  DE  AB t¹i M => BMD = 900

=> BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp.

     2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung)

=> Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .

     3. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DC; theo trªn BI  DC => BI // AD. (1)

     4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2).

Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.)

     5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c  IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh )        => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 .     Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI   O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Bµi 20.  Cho ®­êng trßn  (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng:

1.   Tø gi¸c MDGC néi tiÕp .

2.   Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 

3.  Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.

4.  B, E, F th¼ng hµng

5.  DF, EG, AB ®ång quy.

6.  MF = 1/2 DE.

7.  MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Lêi gi¶i:

1. BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) 

Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900

=> CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp

2. BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE  AB t¹i M)  nh­ vËy F vµ M cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BD  => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .

3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung)

=> Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .

4. ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => AD  DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi

=> BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF .

Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BF  DF mµ qua B chØ cã mét ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng.

5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c  BDE

=> EC còng lµ ®­êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy

6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra

MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c  vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn).

7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1

O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF   O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Bµi 21.  Cho ®­êng trßn  (O) ®­êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®­êng tron t©m I ®i qua A,  trªn (I) lÊy P  bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q.

1.                Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn  (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A.

2. Chøng minh IP // OQ.

3. Chøng minh r»ng AP = PQ.

4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c  AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt.

Lêi gi¶i:

1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh cña ®/ trßn  (O) vµ ®­êng trßn  (I) . VËy ®/ trßn  (O) vµ ®­êng trßn  (I) tiÕp xóc nhau t¹i A .

2.  OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1

     IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh )  => A1 = P1

    => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ.

3. APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ) => OP  AQ => OP lµ ®­êng cao cña OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®­êng trung tuyÕn => AP = PQ.

4. (HD) KÎ QH  AB ta cã SAQB = AB.QH. mµ AB lµ ®­êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO.

ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt.

Bµi 22.  Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®­êng th¼ng  vu«ng gãc víi DE, ®­êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®­êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K.

1.          Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .
2.          TÝnh gãc CHK.
3.          Chøng minh KC. KD = KH.KB
4.          Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®­êng nµo?

Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE t¹i H nªn BHD = 900 => nh­ vËy H vµ C cïng nh×n BD d­íi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BD  => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1)

BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2).

Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 .

3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung

=> KHC  KDB => => KC. KD = KH.KB.

4. (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C).

Bµi 23.  Cho tam gi¸c  ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c  ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE.

1.                Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng.
2.                §­êng th¼ng  HD c¾t ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c  vu«ng c©n.
3.                Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
4.                Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  ABC.

Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450

Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c  ABC vu«ng ë A => BAC = 900

=> BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng.

2. Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ) nªn tam gi¸c  BFC vu«ng t¹i F. (1).

FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c  vu«ng c©n t¹i F.

3. Theo trªn  BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng).

=> CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®­êng trßn  suy ra CDF =  CMF , mµ CDF =  450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF =  450 hay CMB = 450.

Ta còng cã CEB =  450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC =  450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng).

Nh­ vËy K, E, M cïng nh×n BC d­íi mét gãc b»ng 450  nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.

4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  ABC.

Bµi 24.  Cho tam gi¸c  nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AC cã t©m O, ®­êng trßn  nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E.

1.                Chøng minh AE = EB.

2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®­êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.

3.Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp ∆  BDE.

Lêi gi¶i:  

1. AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  )

=> AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450

=> AEB lµ tam gi¸c  vu«ng c©n t¹i E => EA = EB.

2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c  HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2).

Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.

3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.

  ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => BDH = 900 (kÒ bï ADC) => tam gi¸c  BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  BDE b¸n kÝnh ID.

Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3)

          IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4)

Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c  ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c  ABC => BH còng lµ ®­êng cao cña tam gi¸c  ABC => BH  AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 .

Theo trªn  ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5).

Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD  ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  BDE.

Bµi 25.  Cho ®­êng trßn  (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn  (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q.

1. Chøng minh tam gi¸c  ABC c©n.     2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp .

3.  Chøng minh   MI2 = MH.MK.         4. Chøng minh PQ  MI.

Lêi gi¶i:

1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ABC c©n t¹i A.

2.  Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900.

=> MIB  + MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp

* ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK )

3. Theo trªn  tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 1800. mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c  ABC c©n t¹i A)  => KMI = HMI (1).

Theo trªn  tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® ) => I1 = H1 (2).

Tõ (1) vµ (2) => MKI   MIH => => MI2 = MH.MK

4. Theo trªn ta cã  I1 = C1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy ra IM  PQ.

 Bµi 26.  Cho ®­êng trßn  (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh :

1.       2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD.      3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp

4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  t¹i M.

Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña   =>

=> CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c  )

2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.

3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña   => OM  BC  t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H     => OHC  = 900 => OIC + OHC  = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp

4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC  => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  t¹i M.

Bµi 27  Cho ®­êng trßn  (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn  . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn  (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn  (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh :

1.          Tø gi¸c ABOC néi tiÕp.        2. BAO =  BCO.       3. MIH   MHK.       4. MI.MK = MH2.

Lêi gi¶i:

1.                (HS tù gi¶i)
2.                Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).
3.                Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900

=> MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp  => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM).

Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM).

Mµ HCM =  MBI ( = 1/2 s® ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã

KHM = HIM (2).  Tõ (1) vµ (2) =>  HIM   KHM.

4.                Theo trªn  HIM   KHM => => MI.MK = MH2

Bµi 28  Cho tam gi¸c  ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c  ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.

1.                Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh.
2.                E, F n»m trªn ®­êng trßn  (O).
3.                Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n.
4.                Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c  ABC.

Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .

2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ

BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800

=> Tø gi¸c  ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).

* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .

3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC  HE  (1) vµ  IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF

=> EI = 1/2 HE => tam gi¸c  HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2)

Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)

Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).

Theo trªn F (O) vµ  FEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) =>  ACF = 900 =>  BCF =  CAE

( v× cïng phô ACB) (5).

Tõ (4) vµ (5) => BCF =  CBE (6).

Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n.

4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c  AHF => OI = 1/ 2 AH.

Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI  BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG (v× so le trong); l¹i cã OGI =  HGA (®èi ®Ønh) => OGI  HGA => mµ OI = AH    

=> mµ AI lµ trung tuyÕn cña ∆ ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) =>  G lµ träng t©m cña ∆ ABC.

Bµi 29  BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn  (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c  ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c  ABC ®ång quy t¹i H.

1.                Chøng minh tam gi¸c  AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c  ABC.
2.                Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.
3.                Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’.
4.                Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó

tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Lêi gi¶i: (HD)

1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE)

    AEF = ABC (cïng bï CEF) =>  AEF   ABC.

2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña   AHK => AH = 2OA’

3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c  ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :

 AEF   ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp  AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF.

Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp AEF 

Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ .

VËy         R . AA1 = AA’ . A’O           (2)

4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB.

   SABC  = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )

2SABC  = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB  (3)

Theo (2) => OA’ = R . mµ lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ  ABC nªn = .  T­¬ng tù ta cã :  OB’ = R .; OC’ = R .   Thay vµo (3) ta ®­îc

2SABC = R ()  2SABC = R(EF + FD + DE)

* R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC.

Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.

Bµi 30    Cho tam gi¸c  ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA.

1.                Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH.
2.                Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C.
3.                Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh:

a)            B vµ C cña tam gi¸c  ABC.

b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R

Lêi gi¶i: (HD)

1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c  OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.

2. VÏ d©y BD  OA => => ABD = ACB.

   Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD  => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C.

3. a) Theo gi¶ thiÕt  BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B  C = OAH => B - C = 200 .

=>

b) Svp = SqBOC - SBOC = =

3. a) Theo gi¶ thiÕt  BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B  C = OAH => B - C = 200 .

=>

b) Svp = SqBOC - SBOC = =

Bµi 31   Cho tam gi¸c  ABC cã ba gãc nhän  néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600.

1.                TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R.
2.                VÏ ®­êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng cao cña tam gi¸c  ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH.
3.                TÝnh AH theo R.

Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s®=1200 ( t/c gãc néi tiÕp )

=> BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) .

  * Theo trªn s®=1200 => BC lµ c¹nh cña mét tam gi¸c  ®Òu néi tiÕp (O; R) => BC = R.

2. CD lµ ®­êng kÝnh => DBC = 900 hay DB  BC; theo gi¶ thiÕt AH lµ

®­êng cao => AH  BC => BD // AH.  Chøng minh t­¬ng tù ta còng ®­îc AD // BH.

3. Theo trªn DBC = 900 => DBC vu«ng t¹i B cã BC = R; CD = 2R.

=> BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R)2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R.

Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lµ h×nh b×nh hµnh => AH = BD => AH = R.

Bµi 32   Cho ®­êng trßn  (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB.

1.      Chøng minh khi  MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn  cè ®Þnh.
2.   Tõ A kÎ Ax  MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh.
3.   Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c  AMN.
4.     Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng nµo.
5.   Cho AM. AN = 3R2 , AN = R. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c  AMN.

Lêi gi¶i: (HD)

1. I lµ trung ®iÓm cña MN => OI  MN t¹i I ( quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) = > OIH = 900 .

OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh­ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d­íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OH. VËy khi  MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh.

2. Theo gi¶ thiÕt Ax  MN; theo trªn OI  MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iÓm cña AB

=> I lµ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lµ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng ).

3. CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN mµ BN  AN ( v× ANB = 900 do lµ gãc  néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  ) => MC  AN; theo trªn AC  MN => C lµ trùc t©m cña tam gi¸c  AMN.

4. Ta cã H lµ trung ®iÓm cña OB; I lµ trung ®iÓm cña BC => IH lµ ®­êng tung b×nh cña OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuéc ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OA cè ®Þnh.

5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R. => AM =AN = R=> AMN c©n t¹i A. (1)

XÐt ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R => BN = R => ABN = 600 .

ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2).

Tõ (1) vµ (2) => AMN lµ tam gi¸c  ®Òu => SAMN = .

=> S = S(O) - SAMN = - =

Bµi 33   Cho tam gi¸c  ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®­êng trßn  t¹i M. Chøng minh

a) OM  BC.  b) MC2 = MI.MA. c) KÎ ®­êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ C c¾t ®­êng th¼ng  AN t¹i P vµ Q. Chøng minh bèn ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn.

Lêi gi¶i:

1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM

=> => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC

2. XÐt MCI vµ MAC  cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau); M lµ gãc chung

=> MCI  MAC => => MC2 = MI.MA.

3. (HD) MAN = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => P1 = 900 – K1 mµ K1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c  AKB nªn K1 = A1 + B1 = (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => P1 = 900 – ().(1)

CQ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => C1 = = (1800 - A - B) = 900 – (). (2).

Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – () dùng trªn BQ.

VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®­êng trßn  .

Bµi 34   Cho tam gi¸c  ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®­êng trßn  (O) ®­êng kÝnh AA’.

1.                TÝnh b¸n kÝnh cña ®­êng trßn  (O).
2.                KÎ ®­êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lµ h×nh g×? T¹i sao?
3.                KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao?
4.                TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c  ABC.

Lêi gi¶i:

1. (HD) V× ABC c©n t¹i A nªn ®­êng kÝnh AA’ cña  ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp vµ ®­êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc lµ AA’®i qua H

=> ACA’ vu«ng t¹i C cã ®­êng cao CH =BC/2 = 6/2= 3cm;       AH  = 4cm =>  CH2 = AH.A’H => A’H =

=> AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) .

2. V× AA’ vµ CC’ lµ hai ®­êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng => ACA’C’ lµ h×nh b×nh hµnh. L¹i cã ACA’ = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ lµ h×nh ch÷ nhËt.

3. Theo gi¶ thiÕt AH  BC; AK  CC’ => K vµ H cïng nh×n AC d­íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp  (1) => C2 = H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang (2).Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang c©n.

Bµi 35   Cho ®­êng trßn  (O), ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E.

1.                Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp .
2.                Chøng minh tam gi¸c  AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c  ACM.
3.                Chøng minh AM2 = AE.AC.
4.                Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
5.                H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  CME lµ nhá nhÊt.

Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt MN AB t¹i I => EIB = 900;   ACB néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  nªn ACB = 900 hay ECB = 900

=> EIB + ECB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c  néi tiÕp

2. Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM. L¹i thÊy CAM lµ gãc chung cña hai tam gi¸c  AME vµ AMC do ®ã tam gi¸c  AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c  ACM.

3. Theo trªn AME   ACM => => AM2 = AE.AC

4. AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ); MN AB t¹i I => AMB vu«ng t¹i M cã MI lµ ®­êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c  vu«ng) .

¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c  AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .

5. Theo trªn AMN = ACM => AM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp  ECM; Nèi MB ta cã AMB = 900 , do ®ã t©m O1 cña ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp  ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 lµ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 BM.

Gäi O1 lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®­îc O1 lµ t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp  ECM cã b¸n kÝnh lµ O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  CME lµ nhá nhÊt th× C ph¶i lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn  t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®­êng trßn  (O) trong ®ã O1 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM.

Bµi 36   Cho tam gi¸c  nhän ABC , KÎ c¸c ®­êng cao AD, BE, CF. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh :

1.                C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
2.                C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp .

3. Hai tam gi¸c  HNP vµ HCB ®ång d¹ng.

4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng.

Lêi gi¶i:

3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n cung HP); HDC cã HDC = 900 (do AH lµ ®­êng cao)  HDP cã HPD = 900 (do DP  HC) => C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) chøng minh t­¬ng tù ta cã B1=P1 (2)

Tõ (1) vµ (2) => HNP   HCB

4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3)

DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => C1= D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4)

Theo chøng minh trªn C1 = N2 (5)

Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H th¼ng hµng => M, N, P th¼ng hµng. (6)

Chøng minh t­¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hµng . (7)

                           Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng

Bµi 37  Cho hai ®­êng trßn  (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B(O), C   (O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I.

1.                Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp .
2.                Chøng minh  BAC = 900 .
3.                TÝnh sè ®o gãc OIO’.
4.                TÝnh ®é dµi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm.

Lêi gi¶i:  

2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC

ABC cã AI = BC =>ABC vu«ng t¹i A hay BAC =900

3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lµ tia ph©n gi¸c BIA; I0’lµ tia ph©n gi¸c CIA. mµ hai gãc BIA vµ CIA lµ hai gãc kÒ bï => I0  I0’=> 0I0’= 900

4. Theo trªn ta cã 0I0’ vu«ng t¹i I cã IA lµ ®­êng cao (do AI lµ tiÕp tuyÕn chung nªn AI OO’)

=> IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm)

Bµi 38  Cho hai ®­êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B(O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh :

1.                Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp .
2.                Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt.
3.                ME.MO = MF.MO’.
4.                OO’ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ®­êng kÝnh BC.
5.                BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OO’.

Lêi gi¶i:  

2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB

=>MAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lµ tia ph©n gi¸c => ME  AB (1).

Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã MF  AC (2).

Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vµ MO’ lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vµ CMA => MO  MO’ (3).

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra tø gi¸c MEAF  lµ h×nh ch÷ nhËt

      3.  Theo gi¶ thiÕt AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn  => MA  OO’=>  MAO vu«ng t¹i A cã AE  MO ( theo trªn ME  AB)  MA2 = ME. MO (4)

T­¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5)

Tõ (4) vµ (5)  ME.MO = MF. MO’

     4.  §­êng trßn ®­êng kÝnh BC cã t©m lµ M v× theo trªn MB = MC = MA, ®­êng trßn nµy ®i qua Avµ co MA lµ b¸n kÝnh . Theo trªn OO’  MA t¹i A  OO’ lµ tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.

     5. (HD) Gäi I lµ trung ®iÓm cña OO’ ta cã IM lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCO’O

=> IMBC t¹i M (*) .Ta cung chøng minh ®­îc OMO’ vu«ng nªn M thuéc ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OO’ => IM lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OO’ (**)

Tõ (*) vµ (**) => BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn  ®­êng kÝnh OO’

Bµi 39  Cho ®­êng trßn  (O) ®­êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E, F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi ( I ), (K) theo thø tù lµ c¸c ®­êng trßn  ngo¹i tiÕp tam gi¸c  HBE, HCF.

1.                H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c ®­êng trßn (I) vµ (O); (K) vµ (O);  (I) vµ (K).

2.             Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?.
3.             Chøng minh AE. AB = AF. AC.
4.             Cminh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn  (I) vµ (K).
5.             X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt.

Lêi gi¶i:  

1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc  (O)

     OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O)

     IK  = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K)

2. Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)

CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn )

=> AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)

BAC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn  hay EAF = 900 (3)

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).

3. Theo gi¶ thiÕt ADBC t¹i H nªn AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*)

Tam gi¸c  AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC (theo trªn CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**)

Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2)

4. Theo chøng minh  trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt, gäi G lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo AH vµ EF ta cã  GF = GH (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) => GFH c©n t¹i G => F1 = H1 .

KFH c©n t¹i K (v× cã KF vµ KH cïng lµ b¸n kÝnh) => F2 = H2.

=> F1 + F2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHC = 900 => F1 + F2 = KFE = 900 => KF EF .

 Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã IE  EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai  ®­êng trßn  (I) vµ (K).

e) Theo chøng minh  trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH  OA (OA lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn  (O) cã ®é dµi kh«ng ®æi) nªn EF = OA <=> AH = OA <=> H trïng víi O.

VËy khi H trïng víi O tóc lµ d©y AD vu«ng gãc víi BC t¹i O th× EF cã ®é dµi lín nhÊt.

Bµi 40  Cho  nöa ®­êng trßn  ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax lÊy ®iÓm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N.

1. Chøng minh tam gi¸c  MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c  APB.

2. Chøng minh AM. BN = R2.

3. TÝnh tØ sè khi AM = .

4. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra.

Theo tÝnh chÊt  tiÕp tuyÕn ta cã NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900

=>OBN+OPN =1800 mµ OBN vµ OPN lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OBNP néi tiÕp =>OBP = PNO

XÐt hai tam gi¸c  vu«ng APB vµ MON cã APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB   MON

2. Theo trªn MON vu«ng t¹i O cã OP  MN ( OP lµ tiÕp tuyÕn ).

¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OP2 = PM. PM

Mµ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R2

3. Theo trªn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mµ PM = AM = => PM = => PN = R2: = 2R => MN = MP + NP = + 2R = Theo trªn APB   MON => =  : 2R = = k (k lµ tØ sè ®ång d¹ng).V× tØ sè diÖn tich gi÷a hai tam gi¸c  ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: 

  = k2  =>  =

Bµi 41  Cho tam gi¸c  ®Òu ABC , O lµ trung ®iÓn cña BC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho  DOE = 600 .

1)Chøng minh tÝch BD. CE kh«ng ®æi.

2)Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng. Tõ ®ã suy ra tia DO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE

3)VÏ ®­êng trßn  t©m O tiÕp xóc víi AB. Chøng minh r»ng ®­êng trßn  nµy lu«n tiÕp xóc víi DE.

Lêi gi¶i:  

1.                Tam gi¸c  ABC ®Òu => ABC =  ACB = 600 (1);

 DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2).

 DBO cã DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) .

Tõ (2) vµ (3) => BDO =  COE (4)

Tõ (2) vµ (4) => BOD  CEO => => BD.CE = BO.CO mµ OB = OC = R kh«ng ®æi => BD.CE = R2 =const.

2. Theo trªn  BOD  CEO => mµ CO = BO => (5)

L¹i cã DBO = DOE = 600 (6).

Tõ (5) vµ (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO lµ tia ph©n gi¸c   BDE.

3. Theo trªn DO lµ tia ph©n gi¸c   BDE => O c¸ch ®Òu DB vµ DE => O lµ t©m ®­êng trßn  tiÕp xóc víi DB vµ DE. VËy ®­êng trßn  t©m O tiÕp xóc víi AB lu«n tiÕp xóc víi DE

Bµi 42   Cho tam gi¸c  ABC c©n t¹i A. cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®­êng trßn  (O). TiÕp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn l­ît c¾t AC, AB ë D vµ E. Chøng minh :

1.                BD2 = AD.CD.
2.       Tø gi¸c BCDE néi tiÕp .
3.   BC song song víi DE.