80 bài tập hình học bồi dưỡng hsg 9 xuctucom 80 bai tap hinh hoc 9 on thi 10 pdf

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®−êng trßn (O). C¸c ®−êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i

H vꢀ c¾t ®−êng trßn (O) lÇn l−ît t¹i M,N,P.

Chøng minh r»ng:

A

N

1

2

3

4

5

. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .

1

E

. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

. H vꢀ M ®èi xøng nhau qua BC.

P

B

1

2

F

O

H

. X¸c ®Þnh t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.

-

1

2

(

Lêi gi¶i:

1

C

D

. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

-

0

CEH = 90 ( V× BE lꢀ ®−êng cao)

∠

0

CDH = 90 ( V× AD lꢀ ®−êng cao)

M

0

=

> ∠ CEH + ∠ CDH = 180

Mꢀ ∠ CEH vꢀ ∠ CDH lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp

0

2

3

. Theo gi¶ thiÕt: BE lꢀ ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠ BEC = 90 .

0

CF lꢀ ®−êng cao => CF ⊥ AB => ∠ BFC = 90 .

Nh− vËy E vꢀ F cïng nh×n BC d−íi mét gãc 90 => E vꢀ F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC.

VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

0

. XÐt hai tam gi¸c AEH vꢀ ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 ; ¢ lꢀ gãc chung

AE AH

=> AE.AC = AH.AD.

AD AC

=

> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>

=

0

XÐt hai tam gi¸c BEC vꢀ ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 ; ∠ C lꢀ gãc chung

*

BE BC

=> AD.BC = BE.AC.

AD AC

A ( v× cïng phô víi gãc ABC)

=

>

∆

BEC ∼ ∆ADC =>

=

4

∠

. Ta cã ∠ C = ∠

1

C =

1

∠

A ( v× lꢀ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)

1

2

=

5

>

∠

C =

∠

C => CB lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB

⊥

HM =>

> CB còng lꢀ ®−¬ng trung trùc cña HM vËy H vꢀ M ®èi xøng nhau qua BC.

. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn

C = E ( v× lꢀ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)

∆

CHM c©n t¹i C

1

2

=

>

∠

1

Còng theo chøng minh trªn CEHD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp

ꢀ

∠

C =

1

∠

E ( v× lꢀ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)

2

E =

1

E => EB lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.

2

Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã FC lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mꢀ BE vꢀ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lꢀ

t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.

Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®−êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lꢀ t©m ®−êng trßn

ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.

1

2

. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .

. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

1

3

. Chøng minh ED = BC.

2

. Chøng minh DE lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O).

. TÝnh ®é dꢀi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

4

5

Lêi gi¶i:

1

. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

0

CEH = 90 ( V× BE lꢀ ®−êng cao)

∠

1

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

A

1

O

1

2

E

H

D

3

B

1

C

0

CDH = 90 ( V× AD lꢀ ®−êng cao)

∠

=

0

> ∠ CEH + ∠ CDH = 180

Mꢀ ∠ CEH vꢀ ∠ CDH lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp

0

2

. Theo gi¶ thiÕt:

BE lꢀ ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠ BEA = 90 .

0

AD lꢀ ®−êng cao => AD ⊥ BC => ∠ BDA = 90 .

Nh− vËy E vꢀ D cïng nh×n AB d−íi mét gãc 90 => E vꢀ D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB.

0

VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lꢀ ®−êng cao nªn còng lꢀ ®−êng trung tuyÕn

0

3

4

=

> D lꢀ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ∠ BEC = 90 .

1

VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lꢀ trung tuyÕn => DE = BC.

2

.V× O lꢀ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lꢀ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c

AOE c©n t¹i O => ∠ E = ∠ A (1).

1

Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠ E = ∠ B (2)

3

1

2

Mꢀ ∠ B = ∠ A ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ∠ E = ∠ E => ∠ E + ∠ E = ∠ E + ∠ E

1

0

3

1

2

3

0

Mꢀ ∠ E + ∠ E = ∠ BEA = 90 => ∠ E + ∠ E = 90 = ∠ OED => DE ⊥ OE t¹i E.

1

2

3

VËy DE lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O) t¹i E.

5

. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago

2

cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED = OD – OE ꢁ ED = 5 – 3 ꢁ ED = 4cm

Bµi 3 Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vꢀ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc

nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l−ît ë C vꢀ D. C¸c ®−êng th¼ng AD vꢀ

BC c¾t nhau t¹i N.

1

2

.Chøng minh AC + BD = CD.

0

Lêi gi¶i:

.Chøng minh ∠ COD = 90 .

y

2

x

D

AB

3

.Chøng minh AC. BD =

.

/

I

4

M

4

5

6

.Chøng minh OC // BM

.Chøng minh AB lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD.

/

C

N

.Chøng minh MN ⊥ AB.

.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá

nhÊt.

1

A

O

B

.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

Mꢀ CM + DM = CD => AC + BD = CD

2

.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lꢀ tia ph©n gi¸c

0

cña gãc BOM, mꢀ ∠ AOM vꢀ ∠ BOM lꢀ hai gãc kÒ bï => ∠ COD = 90 .

0

3

.Theo trªn ∠ COD = 90 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lꢀ tiÕp tuyÕn ).

2

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

2

p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM = CM. DM,

¸

2

AB

2

Mꢀ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R => AC. BD =

.

4

0

. Theo trªn ∠ COD = 90 nªn OC ⊥ OD .(1)

Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lꢀ trung trùc cña

BM => BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) Vꢀ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).

.Gäi I lꢀ trung ®iÓm cña CD ta cã I lꢀ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®−êng kÝnh CD cã IO

lꢀ b¸n kÝnh.

4

5

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lꢀ h×nh thang. L¹i

cã I lꢀ trung ®iÓm cña CD; O lꢀ trung ®iÓm cña AB => IO lꢀ ®−êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB

⇒

IO // AC , mꢀ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB lꢀ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD

CN AC

CN CM

6

. Theo trªn AC // BD =>

=

, mꢀ CA = CM; DB = DM nªn suy ra

=

BN BD

BN DM

=

7

> MN // BD mꢀ BD

⊥ AB => MN ⊥ AB.

. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mꢀ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi

tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mꢀ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mꢀ CD

nhá nhÊt khi CD lꢀ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vꢀ By tøc lꢀ CD vu«ng gãc víi Ax vꢀ By. Khi ®ã CD // AB => M

ph¶i lꢀ trung ®iÓm cña cung AB.

Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lꢀ t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K lꢀ t©m ®−êng trßn bꢀng tiÕp gãc

A , O lꢀ trung ®iÓm cña IK.

A

1

2

3

. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

. Chøng minh AC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O).

. TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

Lêi gi¶i: (HD)

1

. V× I lꢀ t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K lꢀ t©m ®−êng trßn bꢀng tiÕp

gãc A nªn BI vꢀ BK lꢀ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B

I

1

2

0

B

C

Do ®ã BI

T−¬ng tù ta còng cã

−êng trßn ®−êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

⊥

BK hay

∠

IBK = 90 .

H

0

ICK = 90 nh− vËy B vꢀ C cïng n»m trªn

o

∠

®

2

∠

. Ta cã ∠ C = ∠ C (1) ( v× CI lꢀ ph©n gi¸c cña gãc ACH.

1 2

0 0

C + I = 90 (2) ( v×

K

∠

IHC = 90 ).

2

1

∠

Tõ (1), (2) , (3) =>

I₁= ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O)

0

ICO = 90 hay AC

∠

. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.

C +

∠

⊥

OC. VËy AC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O).

1

3

2

AH = AC – HC => AH = 20 −12 = 16 ( cm)

2

12

= 9 (cm)

CH

2

CH = AH.OH => OH =

=

AH 16

2

OC = OH + HC = 9 +12 = 225 = 15 (cm)

Bµi 5 Cho ®−êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®−êng th¼ng d lÊy

®

iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vꢀ gäi K lꢀ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lꢀ tiÕp

iÓm). KÎ AC MB, BD MA, gäi H lꢀ giao ®iÓm cña AC vꢀ BD, I lꢀ giao ®iÓm cña OM vꢀ AB.

. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.

⊥

1

3

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

d

2

. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét

−êng trßn .

A

®

P

2

K

D

3

4

5

6

. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA .

. Chøng minh OAHB lꢀ h×nh thoi.

N

H

. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hꢀng.

. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng th¼ng d

Lêi gi¶i:

O

M

I

C

1

2

. (HS tù lꢀm).

B

. V× K lꢀ trung ®iÓm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hÖ ®−êng kÝnh

0

Vꢀ d©y cung) => ∠ OKM = 90 . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠ OAM = 90 ; ∠ OBM = 90 . nh− vËy K,

A, B cïng nh×n OM d−íi mét gãc 90 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OM.

0

VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R

3

=

> OM lꢀ trung trùc cña AB => OM ⊥ AB t¹i I .

0

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠ OAM = 90 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lꢀ ®−êng cao.

2

p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao => OI.OM = OA hay OI.OM = R ; vꢀ OI. IM = IA .

2

¸

4

. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

> Tø gi¸c OAHB lꢀ h×nh b×nh hꢀnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lꢀ h×nh thoi.

=

5. Theo trªn OAHB lꢀ h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng hꢀng( V× qua O

chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).

6

. (HD) Theo trªn OAHB lꢀ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng

nh−ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng

th¼ng d lꢀ nöa ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R

Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®−êng cao AH. VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lꢀ

−êng kÝnh cña ®−êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.

®

1

2

3

4

.Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.

E

D

.Gäi I lꢀ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.

.Chøng minh r»ng BE lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (A; AH).

.Chøng minh BE = BH + DE.

A

Lêi gi¶i: (HD)

I

1

. ∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vꢀ AE = AC (2).

V× AB ⊥ CE (gt), do ®ã AB võa lꢀ ®−êng cao võa lꢀ ®−êng trung tuyÕn cña

∆

1

2

B

H

C

BEC => BEC lꢀ tam gi¸c c©n. => ∠ B = ∠ B₂

1

2

3

4

. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vꢀ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ∠ B = ∠ B => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH.

. AI = AH vꢀ BE ⊥ AI t¹i I => BE lꢀ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.

. DE = IE vꢀ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

1 2

Bµi 7 Cho ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vꢀ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao

cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.

Lêi gi¶i:

. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. 1. (HS tù lꢀm).

. Chøng minh BM // OP.

. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh_A_M_;_∠_A_O_M_l_ꢀ_g_ã_c_ë_t_©_m

1

2

3

2

.Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung

tø gi¸c OBNP lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vꢀ OM kÐo dꢀi c¾t nhau

t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hꢀng.

ch¾n cung AM => ∠ ABM =

4

∠

AOM

(1) OP lꢀ tia ph©n gi¸c ∠

2

4

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

X

∠

AOM

AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => ∠ AOP =

Tõ (1) vꢀ (2) => ABM = AOP (3)

(2)

N

J

P

2

1

•

∠

I

M

K

2

1

(

1

(

B

A

O

Mꢀ ∠ ABM vꢀ ∠ AOP lꢀ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)

0

.XÐt hai tam gi¸c AOP vꢀ OBN ta cã :

0

3

∠

PAO=90 (v× PA lꢀ tiÕp tuyÕn ); NOB = 90 (gt NO

NOB = 90 ; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = ∆OBN => OP = BN (5)

Tõ (4) vꢀ (5) => OBNP lꢀ h×nh b×nh hꢀnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vꢀ b»ng nhau).

. Tø gi¸c OBNP lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => PN // OB hay PJ // AB, mꢀ ON AB => ON PJ

Ta còng cã PM OJ ( PM lꢀ tiÕp tuyÕn ), mꢀ ON vꢀ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lꢀ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6)

DÔ thÊy tø gi¸c AONP lꢀ h×nh ch÷ nhËt v× cã

t/c ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6)

AONP lꢀ h×nh ch÷ nhËt =>

Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lꢀ tia ph©n gi¸c

Tõ (7) vꢀ (8) => IPO c©n t¹i I cã IK lꢀ trung tuyÕn ®«ng thêi lꢀ ®−êng cao => IK

Tõ (6) vꢀ (9) => I, J, K th¼ng hꢀng.

∠

⊥

AB).

0

=

>

∠

PAO =

∠

∆

4

⊥

0

PAO = ∠ AON = ∠ ONP = 90 => K lꢀ trung ®iÓm cña PO

NOP ( so le) (7)

∠

(

∠

APO = ∠

∠

APM =>

∠

APO =

∠

MPO (8).

PO. (9)

∆

⊥

Bµi 8 Cho nöa ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB vꢀ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn ( M kh¸c A,B).

Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña

gãc IAM c¾t nöa ®−êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.

X

1

2

3

4

5

) Chøng minh r»ng: EFMK lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

2

) Chøng minh r»ng: AI = IM . IB.

I

) Chøng minh BAF lꢀ tam gi¸c c©n.

) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lꢀ h×nh thoi.

) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn.

F

M

Lêi gi¶i:

. Ta cã :

0

AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

H

E

1

∠

0

KMF = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).

=

∠

>

∠

K

0

AEB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

1

2

0

KEF = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).

0

1

=

>

∠

A

O

B

=

KMF +

∠

KEF = 180 . Mꢀ

∠

KMF vꢀ

∠

KEF lꢀ hai gãc ®èi

cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

0

2

. Ta cã

p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao => AI = IM . IB.

. Theo gi¶ thiÕt AE lꢀ tia ph©n gi¸c gãc IAM =>

ABE = MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lꢀ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1)

Theo trªn ta cã

∠

IAB = 90 ( v× AI lꢀ tiÕp tuyÕn ) =>

∆

AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn).

2

¸

3

∠ IAE = ∠ MAE => AE = ME (lÝ do � � )

=

>

∠

0

∠

AEB = 90 => BE

⊥

AF hay BE lꢀ ®−êng cao cña tam gi¸c ABF (2).

5

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

Tõ (1) vꢀ (2) => BAF lꢀ tam gi¸c c©n. t¹i B .

. BAF lꢀ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lꢀ ®−êng cao nªn ®ång thêi lꢀ ®−¬ng trung tuyÕn => E lꢀ trung

iÓm cña AF. (3)

4

®

Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE lꢀ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lꢀ tia ph©n gi¸c ∠ HAK (5)

Tõ (4) vꢀ (5) => HAK lꢀ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lꢀ ®−êng cao nªn ®ång thêi lꢀ ®−¬ng trung tuyÕn => E

lꢀ trung ®iÓm cña HK. (6).

Tõ (3) , (4) vꢀ (6) => AKFH lꢀ h×nh thoi ( v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña

mçi ®−êng).

5

. (HD). Theo trªn AKFH lꢀ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lꢀ h×nh thang.

Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn th× AKFI ph¶i lꢀ h×nh thang c©n.

AKFI lꢀ h×nh thang c©n khi M lꢀ trung ®iÓm cña cung AB.

ThËt vËy: M lꢀ trung ®iÓm cña cung AB => ∠ ABM = ∠ MAI = 45 (t/c gãc néi tiÕp ). (7)

§

0

Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ ABI = 45 => ∠ AIB = 45 .(8)

0

Tõ (7) vꢀ (8) => ∠ IAK = ∠ AIF = 45 => AKFI lꢀ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau).

VËy khi M lꢀ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn.

Bµi 9 Cho nöa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vꢀ lÊy hai ®iÓm C vꢀ D thuéc nöa

−êng trßn. C¸c tia AC vꢀ AD c¾t Bx lÇn l−ît ë E, F (F ë gi÷a B vꢀ E).

®

1

2

3

. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi.

. Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB.

. Chøng minh r»ng CEFD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

X

E

F

Lêi gi¶i:

C

0

1

.C thuéc nöa ®−êng trßn nªn ∠ ACB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

D

=

> BC ⊥ AE.

ABE = 90 ( Bx lꢀ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lꢀ

0

∠

2

−êng cao => AC. AE = AB (hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao ), mꢀ AB lꢀ

®

−êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi.

0

A

O

B

2

.∆ ADB cã ∠ ADB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ).

=

0

> ∠ ABD + ∠ BAD = 90 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 180 )(1)

0

∆

ABF cã ∠ ABF = 90 ( BF lꢀ tiÕp tuyÕn ).

0

=

> ∠ AFB + ∠ BAF = 90 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 180 ) (2)

Tõ (1) vꢀ (2) => ∠ ABD = ∠ DFB ( cïng phô víi ∠ BAD)

0

3

.Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ ABD + ∠ ACD = 180 .

∠

0

ECD + ∠ ACD = 180 ( V× lꢀ hai gãc kÒ bï) => ∠ ECD = ∠ ABD ( cïng bï víi ∠ ACD).

0

Theo trªn ∠ ABD = ∠ DFB => ∠ ECD = ∠ DFB. Mꢀ ∠ EFD + ∠ DFB = 180 ( V× lꢀ hai gãc kÒ bï) nªn

0

suy ra ∠ ECD + ∠ EFD = 180 , mÆt kh¸c ∠ ECD vꢀ ∠ EFD lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c

CEFD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi 10 Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB vꢀ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn sao cho AM < MB.

Gäi M’ lꢀ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vꢀ S lꢀ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lꢀ ch©n ®−êng

vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.

1.Gäi S’ lꢀ giao ®iÓm cña MA vꢀ SP.

Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n.

6

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

S

2

Lêi gi¶i:

.Chøng minh PM lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn .

1

M

0

1

®

. Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠ SPA = 90 ; ∠ AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa

−êng trßn ) => ∠ AMS = 90 . Nh− vËy P vꢀ M cïng nh×n AS d−íi mét

gãc b»ng 90 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AS.

VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

1

2

3

0

4

3

(

1

2

1

)

P

B

)

H

O

A

2. V× M’®èi xøng M qua AB mꢀ M n»m trªn ®−êng trßn nªn M’ còng

n»m trªn ®−êng trßn => hai cung AM vꢀ AM’ cã sè ®o b»ng nhau

M'

1

S'

=

> ∠ AMM’ = ∠ AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)

Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)

=

> ∠ AMM’ = ∠ AS’S; ∠ AM’M = ∠ ASS’ (v× so le trong) (2).

> Tõ (1) vꢀ (2) => ∠ AS’S = ∠ ASS’.

=

Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => ∠ ASP=∠ AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP )

> ∠ AS’P = ∠ AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P.

. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠ B = ∠ S’ (cïng phô víi ∠ S). (3)

=

3

1

Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠ S’ = ∠ M (4)

1

Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠ B = ∠ M (5).

1

3

0

Tõ (3), (4) vꢀ (5) => ∠ M = ∠ M => ∠ M + ∠ M = ∠ M + ∠ M mꢀ ∠ M + ∠ M = ∠ AMB = 90 nªn suy

1

3

1

2

3

2

3

2

0

ra ∠ M + ∠ M = ∠ PMO = 90 => PM ⊥ OM t¹i M => PM lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M

1

2

Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E,

F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh :

1

. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.

BD BM

2

. DF // BC.

3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp.

4.

=

CB CF

A

Lêi gi¶i:

1

. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF

0 0 0

c©n t¹i A =>

gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE).

∠ ADF = ∠ AFD < 90 => s® cung DF < 180 => ∠ DEF < 90 ( v×

D

F

0

DFE < 90 ;

0

EDF < 90 . Nh− vËy tam gi¸c DEF

O

Chøng minh t−¬ng tù ta cã

cã ba gãc nhän.

∠

I

AD AF

2

. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) =>

=

=> DF // BC.

M

C

B

E

AB AC

C (v× tam gi¸c ABC c©n)

> BDFC lꢀ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn .

. XÐt hai tam gi¸c BDM vꢀ CBF Ta cã DBM = BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n).

BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF .

3

. DF // BC => BDFC lꢀ h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠

=

4

∠

BD BM

=

>

∆BDM ∼ ∆CBF =>

=

CB CF

Bµi 12 Cho ®−êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®−êng kÝnh AB vꢀ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n

th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn

7

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

t¹i N cña ®−êng trßn ë P. Chøng minh :

C

1

2

3

4

. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.

. Tø gi¸c CMPO lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

. CM. CN kh«ng phô thuéc vꢀo vÞ trÝ cña ®iÓm M.

. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng

cè ®Þnh nꢀo.

M

O

A

B

Lêi gi¶i:

0

1

. Ta cã ∠ OMP = 90 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ ONP = 90 (v× NP lꢀ tiÕp tuyÕn ).

N

0

Nh− vËy M vꢀ N cïng nh×n OP d−íi mét gãc b»ng 90 => M vꢀ N cïng

n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.

A'

P

D

B'

2

. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠ OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM)

Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ ONC = ∠ OCN

> ∠ OPM = ∠ OCM.

=

0

XÐt hai tam gi¸c OMC vꢀ MOP ta cã ∠ MOC = ∠ OMP = 90 ; ∠ OPM = ∠ OCM => ∠ CMO = ∠ POM l¹i

cã MO lꢀ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)

Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2).

Tõ (1) vꢀ (2) => Tø gi¸c CMPO lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

0

3

. XÐt hai tam gi¸c OMC vꢀ NDC ta cã ∠ MOC = 90 ( gt CD ⊥ AB); ∠ DNC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa

0

®

−êng trßn ) => ∠ MOC =∠ DNC = 90 l¹i cã ∠ C lꢀ gãc chung => ∆OMC ∼ ∆NDC

CM CO

2 2

=> CM. CN = CO.CD mꢀ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R kh«ng ®æi => CM.CN =2R

CD CN

=

>

=

kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vꢀo vÞ trÝ cña ®iÓm M.

0

. ( HD) DÔ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ ODP = 90 => P ch¹y trªn ®−êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc

víi CD t¹i D.

4

V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vꢀ b»ng AB.

Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®−êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A

,

VÏ nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.

1

2

3

4

. Chøng minh AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt.

. BEFC lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

. AE. AB = AF. AC.

. Chøng minh EF lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn .

Lêi gi¶i:

A

0

BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn )

1. Ta cã :

∠

AEH = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï). (1)

E

0

I

=

∠

> ∠

CFH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn )

1

2

1

(

F

0

AFH = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).(2)

1

2

1

=

> ∠

EAF = 90 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3)

)

0

B

O

1

H

O

2

C

∠

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).

. Tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn =>

2

∠

BC nªn AH lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (O ) vꢀ (O )

F₁=∠ H (néi tiÕp ch¾n cung

1

AE) . Theo gi¶ thiÕt AH

⊥

H (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) =>

1

2

=

>

∠

EFC mꢀ

B =

∠

B₁=

∠

EBC+

F₁=>

∠

EBC+

0

∠ EFC =

∠

EFC = 180 mÆt kh¸c

AFE +

1

0

EFC = 180 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï) =>

∠

AFE +

∠

EBC vꢀ

∠

3

EFC lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

0

. XÐt hai tam gi¸c AEF vꢀ ACB ta cã

∠

A = 90 lꢀ gãc chung; ∠ AFE = ∠ ABC ( theo Chøng minh trªn)

8

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

AE AF

=> AE. AB = AF. AC.

AC AB

=

> ∆AEF ∼ ∆ACB =>

=

2

*

HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE

⊥

AB => AH = AE.AB (*)

2

AC => AH = AF.AC (**)

Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF

Tõ (*) vꢀ (**) => AE. AB = AF. AC

⊥

4. Tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH =>

∆IEH c©n t¹i I =>

∠

E =

1

∠

H₁.

∆

O EH c©n t¹i O (v× cã O E vꢀO H cïng lꢀ b¸n kÝnh) =>

1

∠

AHB = 90 =>

E =

∠

H₂.

E +

1

2

0

=

> ∠

> O E

E +

∠

EF .

E =

∠

H +

1

∠

H mꢀ

2

∠

H +

1

∠

H =

2

∠

E =

2

∠

O EF = 90

1

2

1

=

⊥

1

Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã O₂F

⊥

EF. VËy EF lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn .

Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c

nöa ®−êng trßn cã ®−êng kÝnh theo thø tù lꢀ AB, AC, CB vꢀ cã t©m theo thø tù lꢀ O, I, K.

§−êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®−êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lꢀ giao ®iÓm cña EA,

EB víi c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K).

E

1

2

3

4

.Chøng minh EC = MN.

N

.Ch/minh MN lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®/trßn (I), (K).

.TÝnh MN.

.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn

3

1

H

2

1

M

1

Lêi gi¶i:

2

1

0

BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m K)

1

. Ta cã:

∠

ENC = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï). (1)

A

I

C

O

K

B

0

=

∠

>

∠

AMC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m I) =>

0

EMC = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).(2)

∠

0

AEB = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m O) hay

0

MEN = 90 (3)

∠

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lꢀ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt )

. Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (I) vꢀ (K)

C (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lꢀ h×nh ch÷ nhËt nªn =>

2

⊥

=

>

∠

B =

∠

C₁=

N .(4) L¹i cã KB = KN (cïng lꢀ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠ B = ∠ N (5)

3 1

0 0

∠

N₃

1

=

B =

1

Tõ (4) vꢀ (5) => ∠ N = ∠ N mꢀ ∠ N + ∠ N = ∠ CNB = 90 => ∠ N + ∠ N = ∠ MNK = 90 hay MN ⊥ KN

1 3 1 2 3 2

t¹i N => MN lꢀ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N.

Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã MN lꢀ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M,

VËy MN lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K).

0

AEB = 90 (néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m O) =>

3

. Ta cã

=

∠

∆

AEB vu«ng t¹i A cã EC

⊥

AB (gt)

2

> EC = AC. BC ꢁ EC = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.

. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm

4

2

.OA =

2

25 = 625

2

. IA =

2

.5 = 25

2

.KB =

2

. 20 = 400 .

Ta cã S =

(

π

; S =

(I)

π

; S =

(k)

π

o)

1

2

Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn lꢀ S =

( S ꢁ S ꢁ S )

(

o)

(I)

(k)

1

2

314 (cm )

S = ( 625

2

π

ꢁ 25

π

ꢁ 400

π

) = .200

2

π

= 100

π

≈

Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®−êng trßn (O) cã ®−êng kÝnh

MC. ®−êng th¼ng BM c¾t ®−êng trßn (O) t¹i D. ®−êng th¼ng AD c¾t ®−êng trßn (O) t¹i S.

1

2

. Chøng minh ABCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

. Chøng minh CA lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

9

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

. Gäi E lꢀ giao ®iÓm cña BC víi ®−êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®−êng th¼ng BA, EM, CD

3

®

. Chøng minh DM lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.

. Chøng minh ®iÓm M lꢀ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE.

ång quy.

4

5

Lêi gi¶i:

C

2

1

2

3

O

3

D

E

S

2

1

2

S

M

E

2

M

D

F

1

2

1

2

3

1

2

3

2

1

A

F

A

B

H×nh a

H×nh b

0

1

2

. Ta cã ∠ CAB = 90 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠ MDC = 90 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

0

=

®

> ∠ CDB = 90 nh− vËy D vꢀ A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 90 nªn A vꢀ D cïng n»m trªn

−êng trßn ®−êng kÝnh BC => ABCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

. ABCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp => ∠ D = ∠ C ( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).

1

3

ꢀ

∠

=

D = ∠ C => SM = EM =>

∠

C =

∠

> CA lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

C (hai gãc néi tiÕp ®−êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau)

3

1

3

2

3

. XÐt

CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy.

∆

CMB Ta cã BA CM; CD BM; ME ⊥ BC nh− vËy BA, EM, CD lꢀ ba ®−êng cao cña tam gi¸c

⊥

ꢀ

4

5

. Theo trªn Ta cã SM = EM =>

∠

D₁=

∠

D => DM lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1)

2

0

. Ta cã

∠

MEC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn (O)) =>

∠

MEB = 90 .

0

Tø gi¸c AMEB cã MEB = 90 => ∠ MAB + ∠ MEB = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi nªn tø

gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®−êng trßn => A = B₂.

Tø gi¸c ABCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp => A₁= B ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD)

A₁= A => AM lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2)

∠

MAB = 90 ;

∠

2

∠

2

=

>

∠

2

Tõ (1) vꢀ (2) Ta cã M lꢀ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE

TH2 (H×nh b)

C©u 2 :

ꢁ

∠

ABC =

∠

CME (cïng phô

ꢀ

∠

ACB); ∠ ABC = ∠ CDS (cïng bï ∠ ADC) => ∠ CME = ∠ CDS

ECM => CA lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

ꢁ

ꢀ

=

>

CE =CS => SM = EM =>

∠

SCM = ∠

Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vꢀ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vꢀ B. §−êng trßn ®−êng kÝnh BD c¾t BC

t¹i E. C¸c ®−êng thẳng CD, AE lÇn l−ît c¾t ®−êng trßn t¹i F, G.

Chøng minh :

0

=>

ABC lꢀ gãc chung =>

CAB .

∠

DEB =

∠

BAC = 90 ; l¹i cã

1

2

3

4

. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD.

. Tø gi¸c ADEC vꢀ AFBC néi tiÕp .

. AC // FG.

∠

∆

DEB ∼ ∆

0

2

. Theo trªn

0

∠

DEB = 90 =>

. C¸c ®−êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy.

∠

DEC = 90 (v× hai gãc kÒ bï);

Lêi gi¶i:

0

BAC = 90 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i

0

∠

0

1

. XÐt hai tam gi¸c ABC vꢀ EDB Ta cã ∠

0

DEB = 90 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

BAC = 90 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i

A) hay

∠ DAC = 90 => ∠ DEC +

A);

∠

1

0

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

B

0

DAC = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi nªn ADEC lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

∠

O

E

1

F

1

G

D

1

S

A

C

0 0

∠ BAC = 90 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠ DFB = 90 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) hay

0 0

*

∠

®

BFC = 90 nh− vËy F vꢀ A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 90 nªn A vꢀ F cïng n»m trªn ®−êng trßn

−êng kÝnh BC => AFBC lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

3

trong nªn suy ra AC // FG.

. Theo trªn ADEC lꢀ tø gi¸c néi tiÕp => ∠ E = ∠ C l¹i cã ∠ E = ∠ F => ∠ F = ∠ C mꢀ ®©y lꢀ hai gãc so le

1

4

. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lꢀ ba ®−êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S.

Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®−êng cao lꢀ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H

; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.

)

1

2

3

.Chøng minh APMQ lꢀ tø gi¸c néi tiÕp vꢀ hꢂy x¸c ®Þnh t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.

. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.

.Chøng minh OH ⊥ PQ.

Lêi gi¶i:

0

A

1

. Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠ APM = 90 ; MQ ⊥ AC (gt)

0

> ∠ AQM = 90 nh− vËy P vꢀ Q cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng

0

=

9

0 nªn P vꢀ Q cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AM =>

APMQ lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

V× AM lꢀ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ

*

O

t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lꢀ trung ®iÓm cña

AM.

1

2

P

1

2

. Tam gi¸c ABC cã AH lꢀ ®−êng cao => S_A_B_C

=

BC.AH.

2

Q

C

1

2

Tam gi¸c ABM cã MP lꢀ ®−êng cao => S_A_B_M

=

AB.MP

M

B

H

1

Tam gi¸c ACM cã MQ lꢀ ®−êng cao => S_A_C_M

=

AC.MQ

2

1

Ta cã S_A_B_M+ S_A_C_M= S_A_B_C=> AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

2

Mꢀ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH.

. Tam gi¸c ABC cã AH lꢀ ®−êng cao nªn còng lꢀ ®−êng ph©n gi¸c => ∠ HAP = ∠ HAQ => HP= HQ ( tÝnh

chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lꢀ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mꢀ tam gi¸c POQ

c©n t¹i O ( v× OP vꢀ OQ cïng lꢀ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lꢀ ®−êng cao => OH PQ

Bµi 18 Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B)

ꢁ

ꢀ

3

∠

⊥

;

®

trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoꢀi ®−êng trßn ; MA vꢀ MB thø tù c¾t

−êng trßn (O) t¹i C vꢀ D. Gäi I lꢀ giao ®iÓm cña AD vꢀ BC.

1

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

1

2

3

. Chøng minh MCID lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

. Chøng minh c¸c ®−êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.

. Gäi K lꢀ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

Lêi gi¶i:

. Ta cã : ∠ ACB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn )

M

0

1

_

0

=

> ∠ MCI = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).

ADB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn )

1

2

K

0

C

∠

=

4

3

_

0

> ∠ MDI = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).

D

0

> ∠ MCI + ∠ MDI = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn

I

MCID lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

1

A

B

2

−êng cao cña tam gi¸c MAB mꢀ BC vꢀ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lꢀ trùc

. Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vꢀ AD lꢀ hai

O

H

®

t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lꢀ

®

−êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.

3

. ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vꢀ OC lꢀ b¸n kÝnh) => ∠ A = ∠ C₄

1

∆

KCM c©n t¹i K ( v× KC vꢀ KM lꢀ b¸n kÝnh) => ∠ M = ∠ C .

1 1

0

Mꢀ ∠ A + ∠ M = 90 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠ C + ∠ C = 90 => ∠ C + ∠ C = 90 ( v× gãc

ACM lꢀ gãc bÑt) hay ∠ OCK = 90 .

XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠ OHK = 90 ; ∠ OCK = 90 => ∠ OHK + ∠ OCK = 180 mꢀ ∠ OHK vꢀ ∠ OCK lꢀ

hai gãc ®èi nªn KCOH lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

1

4

3

2

0

Bµi 19. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lꢀ

trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD.

1

2

3

4

5

. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .

. Chøng minh tø gi¸c ADBE lꢀ h×nh thoi.

. Chøng minh BI // AD.

. Chøng minh I, B, E th¼ng hꢀng.

. Chøng minh MI lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O’).

D

I

1

3

2

Lêi gi¶i:

. ∠ BIC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠ BID = 90

1

A

/

C

2

M

O

B

O'

0

1

0

v× lꢀ hai gãc kÒ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠ BMD = 90

0

(

=

> ∠ BID + ∠ BMD = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID

1

nªn MBID lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

. Theo gi¶ thiÕt M lꢀ trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M

còng lꢀ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®−êng kÝnh vꢀ d©y cung)

> Tø gi¸c ADBE lꢀ h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng .

2

E

=

0

3

4

. ∠ ADC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD. (1)

. Theo gi¶ thiÕt ADBE lꢀ h×nh thoi => EB // AD (2).

Tõ (1) vꢀ (2) => I, B, E th¼ng hꢀng (v× qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi AD mꢀ th«i.)

. I, B, E th¼ng hꢀng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lꢀ trung tuyÕn ( v× M lꢀ trung ®iÓm cña DE)

>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠ I = ∠ E ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vꢀ O’I cïng lꢀ b¸n kÝnh )

5

=

∠

1

> ∠ I = ∠ C mꢀ ∠ C = ∠ E ( Cïng phô víi gãc EDC ) => ∠ I = ∠ I => ∠ I + ∠ I = ∠ I + ∠ I . Mꢀ

I + ∠ I = ∠ BIC = 90 => ∠ I + ∠ I = 90 = ∠ MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O’).

3

1

3

1

2

3

2

0

3

2

1

2

Bµi 20. Cho ®−êng trßn (O; R) vꢀ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoꢀi nhau t¹i C. Gäi AC vꢀ BC lꢀ hai ®−êng

kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vꢀ (O’). DE lꢀ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi

giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lꢀ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng:

1

2

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

D

1

2

3

4

5

6

7

. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp .

. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn

. Tø gi¸c ADBE lꢀ h×nh thoi.

. B, E, F th¼ng hꢀng

. DF, EG, AB ®ång quy.

. MF = 1/2 DE.

. MF lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O’).

1

G

M

C

A

B

O'

1

O

2

1

3

1

F

Lêi gi¶i:

. ∠ BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

E

0

1

0

=

> ∠ CGD = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï)

0

Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠ CMD = 90

=

0

> ∠ CGD + ∠ CMD = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp

0 0 0

2

. ∠ BFC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠ BFD = 90 ; ∠ BMD = 90 (v× DE ⊥ AB t¹i M)

0

nh− vËy F vꢀ M cïng nh×n BD d−íi mét gãc b»ng 90 nªn F vꢀ M cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng

kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn .

3

4

. Theo gi¶ thiÕt M lꢀ trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lꢀ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ

−êng kÝnh vꢀ d©y cung)

®

=

> Tø gi¸c ADBE lꢀ h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng .

0

. ∠ ADC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lꢀ h×nh thoi

=

> BE // AD mꢀ AD ⊥ DF nªn suy ra BE ⊥ DF .

0

Theo trªn ∠ BFC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => BF ⊥ DF mꢀ qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng

vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hꢀng.

5

. Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mꢀ DF vꢀ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c BDE

> EC còng lꢀ ®−êng cao => EC⊥ BD; theo trªn CG⊥ BD => E,C,G th¼ng hꢀng. VËy DF, EG, AB ®ång

quy

=

6. Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lꢀ trung tuyÕn (v× M lꢀ trung ®iÓm cña DE) suy ra

MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn).

7

. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠ D = ∠ F₁

1

∆

O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vꢀ O’F cïng lꢀ b¸n kÝnh ) => ∠ F = ∠ B mꢀ ∠ B = ∠ D (Cïng phô víi ∠ DEB )

3 1 1 1

0 0

=

> ∠ F = ∠ F => ∠ F + ∠ F = ∠ F + ∠ F . Mꢀ ∠ F + ∠ F = ∠ BFC = 90 => ∠ F + ∠ F = 90 = ∠ MFO’

1 3 1 2 3 2 3 2 1 2

hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Bµi 21. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Gäi I lꢀ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®−êng tron t©m I ®i qua A, trªn

I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q.

. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng trßn (I) vꢀ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A.

(

Q

1

2

3

4

. Chøng minh IP // OQ.

. Chøng minh r»ng AP = PQ.

. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt.

P

1

Lêi gi¶i:

A

B

I

O

H

1. Ta cã OI = OA – IA mꢀ OA vꢀ IA lÇn l−ît lꢀ c¸c b¸n kÝnh cña ®/ trßn (O)

vꢀ ®−êng trßn (I) . VËy ®/ trßn (O) vꢀ ®−êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A .

2. ∆OAQ c©n t¹i O ( v× OA vꢀ OQ cïng lꢀ b¸n kÝnh ) => ∠ A = ∠ Q₁

1

∆

IAP c©n t¹i I ( v× IA vꢀ IP cïng lꢀ b¸n kÝnh ) => ∠ A = ∠ P₁

1

=

> ∠ P = ∠ Q mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ.

1 1

0

3

. ∠ APO = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP lꢀ ®−êng cao cña ∆OAQ mꢀ ∆OAQ

c©n t¹i O nªn OP lꢀ ®−êng trung tuyÕn => AP = PQ.

1

3

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

1

4

. (HD) KÎ QH ⊥ AB ta cã S_A_Q_B

=

AB.QH. mꢀ AB lꢀ ®−êng kÝnh kh«ng ®æi nªn S_A_Q_Blín nhÊt khi QH

2

lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB

th× P ph¶i lꢀ trung ®iÓm cña cung AO.

ThËt vËy P lꢀ trung ®iÓm cña cung AO => PI ⊥ AO mꢀ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lꢀ

trung ®iÓm cña cung AB vꢀ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt.

Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®−êng

th¼ng nꢀy c¾t c¸c ®−êng th¼ng DE vꢀ DC theo thø tù ë H vꢀ K.

1

2

3

4

. Chøng minh BHCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

. TÝnh gãc CHK.

. Chøng minh KC. KD = KH.KB

A

B

1

. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®−êng nꢀo?

Lêi gi¶i:

. Theo gi¶ thiÕt ABCD lꢀ h×nh vu«ng nªn ∠ BCD = 90 ; BH ⊥ DE

H

O

0

E

1

2

0

t¹i H nªn ∠ BHD = 90 => nh− vËy H vꢀ C cïng nh×n BD d−íi mét

gãc b»ng 90 nªn H vꢀ C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BD

0

)

1

=

> BHCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp.

D

C

K

0

2

. BHCD lꢀ tø gi¸c néi tiÕp => ∠ BDC + ∠ BHC = 180 . (1)

0

∠

BHK lꢀ gãc bÑt nªn ∠ KHC + ∠ BHC = 180 (2).

0

Tõ (1) vꢀ (2) => ∠ CHK = ∠ BDC mꢀ ∠ BDC = 45 (v× ABCD lꢀ h×nh vu«ng) => ∠ CHK = 45 .

0

3

. XÐt ∆KHC vꢀ ∆KDB ta cã ∠ CHK = ∠ BDC = 45 ; ∠ K lꢀ gãc chung

KC KH

=

> ∆KHC ∼ ∆KDB =>

=

=> KC. KD = KH.KB.

KB KD

BHD = 90 vꢀ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn

0

4

. (HD) Ta lu«n cã

∠

®

éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C).

Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoꢀi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE.

E

1

2

. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hꢀng.

. §−êng th¼ng HD c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

ABC t¹i F, chøng minh FBC lꢀ tam gi¸c vu«ng c©n.

M

0

ABC > 45 ; gäi M lꢀ giao ®iÓm cña BF vꢀ

D

3

4

. Cho biÕt

∠

K

ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn

mét ®−êng trßn.

. Chøng minh MC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c ABC.

F

A

H

Lêi gi¶i:

B

O

C

0

1

. Theo gi¶ thiÕt ABHK lꢀ h×nh vu«ng =>

∠

BAH = 45

0

CAD = 45 ; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠ BAC = 90

0

Tø gi¸c AEDC lꢀ h×nh vu«ng =>

∠

0 0 0 0

BAH + ∠ BAC + ∠ CAD = 45 + 90 + 45 = 180 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hꢀng.

0

. Ta cã

FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mꢀ theo trªn

=

>

∠

2

∠

BFC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1).

0

∠

FBC =

∠

CAD = 45 hay

∠

FAC = 45 (2).

Tõ (1) vꢀ (2) suy ra

∆

∠

FBC lꢀ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F.

0

BFC = 90 =>

0

CFM = 90 ( v× lꢀ hai gãc kÒ bï);

0

CDM = 90 (t/c h×nh vu«ng).

3

. Theo trªn

∠

1

4

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

0

=

> ∠ CFM + ∠ CDM = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®−êng trßn suy ra

0 0 0

CDF = ∠ CMF , mꢀ ∠ CDF = 45 (v× AEDC lꢀ h×nh vu«ng) => ∠ CMF = 45 hay ∠ CMB = 45 .

0 0

∠

Ta còng cã ∠ CEB = 45 (v× AEDC lꢀ h×nh vu«ng); ∠ BKC = 45 (v× ABHK lꢀ h×nh vu«ng).

0

Nh− vËy K, E, M cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 45 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 45 dùng trªn BC

0

=

> 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.

0

4

ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.

. ∆CBM cã ∠ B = 45 ; ∠ M = 45 => ∠ BCM =45 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn

0

Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠ B = 45 . VÏ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC cã t©m O, ®−êng trßn nꢀy c¾t

BA vꢀ BC t¹i D vꢀ E.

1

2

. Chøng minh AE = EB.

. Gäi H lꢀ giao ®iÓm cña CD vꢀ AE, Chøng minh r»ng ®−êng trung trùc

cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.

.Chøng minh OD lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ BDE.

Lêi gi¶i:

A

D

1

F

2

3

O

_

H

/

K

_

1

0

. ∠ AEC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

0

=

1

/

I

1

0

> ∠ AEB = 90 ( v× lꢀ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ ABE = 45

> ∆AEB lꢀ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB.

. Gäi K lꢀ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lꢀ trung ®iÓm cña HB => IK lꢀ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE

B

E

C

=

2

0

=

Tõ (1) vꢀ (2) => IK lꢀ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.

> IK // BE mꢀ ∠ AEC = 90 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2).

3

. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mꢀ I lꢀ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.

0 0

∠ ADC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠ BDH = 90 (kÒ bï ∠ ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i

D cã DI lꢀ trung tuyÕn (do I lꢀ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lꢀ

t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID.

Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD vꢀ OC lꢀ b¸n kÝnh ) => ∠ D = ∠ C . (3)

1

∆

IBD c©n t¹i I (v× ID vꢀ IB lꢀ b¸n kÝnh ) => ∠ D = ∠ B . (4)

2 1

Theo trªn ta cã CD vꢀ AE lꢀ hai ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => H lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH

0

còng lꢀ ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠ AFB = 90 .

0

Theo trªn ∆ADC cã ∠ ADC = 90 => ∠ B = ∠ C ( cïng phô ∠ BAC) (5).

1

0

Tõ (3), (4), (5) =>∠ D = ∠ D mꢀ ∠ D +∠ IDH =∠ BDC = 90 => ∠ D +∠ IDH = 90 = ∠ IDO => OD ⊥ ID t¹i D

1

2

1

=

> OD lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.

Bµi 25. Cho ®−êng trßn (O), BC lꢀ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) t¹i B vꢀ C

chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®−êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng

c¸c c¹nh t−¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lꢀ P; giao ®iÓm cña CM, IH lꢀ Q.

1

. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n.

2

. Chøng minh MI = MH.MK.

2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp T. heo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp

=> ∠ B = ∠ I ( néi tiÕp cïng ch¾n

3

Lêi gi¶i:

4. Chøng minh PQ ⊥ MI.

1

cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp

> ∠ H = ∠ C ( néi tiÕp cïng

=

1

2

. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A.

. Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠ MIB = 90 ; MK ⊥ AB => ∠ MKB = 90 .

1

0

ch¾n cung IM). Mꢀ ∠ B = ∠ C ( =

1

0

ꢀ

> ∠ MIB + ∠ MKB = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp 1/2 s® BM ) => ∠ I = ∠ H (2).

1 1

* ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t−¬ng tù tø gi¸c BIMK )

=

Tõ (1) vꢀ (2) => ∆MKI ∆MIH

. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠ KMI + ∠ KBI = 180 ; tø gi¸c CHMI néi MI MK

0

3

2

=> MI =

MH MI

=

>

=

0

tiÕp => ∠ HMI + ∠ HCI = 180 . mꢀ ∠ KBI = ∠ HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A)

> ∠ KMI = ∠ HMI (1).

MH.MK

=

1

5

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

A

H

K

1

M

1

P

Q

1

2

1

2

1

B

C

I

O

0

. Theo trªn ta cã ∠ I = ∠ C ; còng chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠ I = ∠ B mꢀ ∠ C + ∠ B + ∠ BMC = 180

1 1 2 2 1 2

0 0

4

=

> ∠ I₁+ ∠ I + ∠ BMC = 180 hay ∠ PIQ + ∠ PMQ = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp

2

> ∠ Q = ∠ I mꢀ ∠ I = ∠ C => ∠ Q = ∠ C => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶

1

thiÕt MI ⊥ BC nªn suy ra IM ⊥ PQ.

Bµi 26. Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H. Gäi M lꢀ ®iÓm chÝnh

gi÷a cña cung CB, I lꢀ giao ®iÓm cña CB vꢀ OM. K lꢀ giao ®iÓm cña AM vꢀ CB. Chøng minh :

J

KC AC

1

.

=

2. AM lꢀ tia ph©n gi¸c cña

∠

CMD.

3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp

KB AB

. Chøng minh ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng

C

/

M

K

4

_

I

trßn t¹i M.

ꢁ

ꢀ

A

B

Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lꢀ trung ®iÓm cña BC => MB =MC

H

O

=

>

∠

CAM =

∠

BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lꢀ tia

KC AC

ph©n gi¸c cña gãc CAB =>

=

( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c )

D

KB AB

ꢁ

2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD

gi¸c cña gãc CMD.

⊥

AB => A lꢀ trung ®iÓm cña CD =>

∠

CMA =

∠

DMA => MA lꢀ tia ph©n

ꢁ

0

OIC = 90 ; CD

3

. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lꢀ trung ®iÓm cña BC => OM

⊥

BC t¹i I =>

∠

⊥

AB t¹i H

0

=

>

∠

OHC = 90 =>

AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM

ra MJ lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M.

∠

OIC

+

∠

OHC = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp

4

. KÎ MJ

⊥

BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy

Bµi 27 Cho ®−êng trßn (O) vꢀ mét ®iÓm A ë ngoꢀi ®−êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) kÎ tõ

A tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i B vꢀ C. Gäi M lꢀ ®iÓm tuú ý trªn ®−êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ

MH

. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp.

Lêi gi¶i:

⊥

BC, MK

⊥

CA, MI

⊥

AB. Chøng minh :

2

4. MI.MK = MH .

1

2. ∠ BAO =

∠

BCO.

3.

∆

MIH ∼ ∆MHK.

1

6

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

I

B

I

B

H

M

H

O

A

K

C

K

1

. (HS tù gi¶i)

2

. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠ BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).

0

3

. Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠ MHC = 90 ; MK ⊥ CA => ∠ MKC = 90

0

=

> ∠ MHC +

tiÕp cïng ch¾n cung HM).

∠ MKC = 180 mꢀ ®©y lꢀ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠ HCM = ∠ HKM (néi

Chøng minh t−¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠ MHI = ∠ MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM).

ꢀ

Mꢀ ∠ HCM = ∠ MBI ( = 1/2 s® BM ) => ∠ HKM = ∠ MHI (1). Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã

∠

KHM = ∠ HIM (2). Tõ (1) vꢀ (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM.

MI MH

2

=> MI.MK = MH

MH MK

4

. Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM =>

=

Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lꢀ ®iÓm ®èi xøng cña H qua

BC; F lꢀ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.

A

1

2

3

4

. Chøng minh tø gi¸c BHCF lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

. E, F n»m trªn ®−êng trßn (O).

. Chøng minh tø gi¸c BCFE lꢀ h×nh thang c©n.

. Gäi G lꢀ giao ®iÓm cña AI vꢀ OH. Chøng minh G lꢀ träng t©m cña tam

=

B'

O

gi¸c ABC.

Lêi gi¶i:

. Theo gi¶ thiÕt F lꢀ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lꢀ

C'

H

E

G

=

/

1

/

B

A'

C

I

/

trung ®iÓm BC vꢀ HE => BHCF lꢀ h×nh b×nh hꢀnh v× cã hai ®−êng chÐo c¾t

nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng .

F

0

B’HC’ = 180 mꢀ

2

. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp =>

BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC +

BHC = BFC => BFC +

> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).

∠

BAC +

∠

0

∠

BHC = 180 . Theo trªn BHCF lꢀ

0

h×nh b×nh hꢀnh =>

∠

BAC = 180

=

0

BEC + ∠ BAC = 180

*

=

H vꢀ E ®èi xøng nhau qua BC =>

> ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .

∆

BHC =

∆

BEC (c.c.c) =>

∠

BHC =

∠

BEC =>

∠

3

. Ta cã H vꢀ E ®èi xøng nhau qua BC => BC

> EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE

Tõ (1) vꢀ (2) => EF // BC => BEFC lꢀ h×nh thang. (3)

Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).

0

Theo trªn F (O) vꢀ ∠ FEA =90 => AF lꢀ ®−êng kÝnh cña (O) => ∠ ACF = 90 => ∠ BCF = ∠ CAE

v× cïng phô ACB) (5).

Tõ (4) vꢀ (5) => BCF =

⊥

HE (1) vꢀ IH = IE mꢀ I lꢀ trung ®iÓm cña cña HF

=

⊥

HE (2)

∈

∠

0

∈

(

∠

∠ CBE (6).

Tõ (3) vꢀ (6) => tø gi¸c BEFC lꢀ h×nh thang c©n.

1

7

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

. Theo trªn AF lꢀ ®−êng kÝnh cña (O) => O lꢀ trung ®iÓm cña AF; BHCF lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => I lꢀ trung

iÓm cña HF => OI lꢀ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH.

4

®

Theo gi¶ thiÕt I lꢀ trung ®iÓm cña BC => OI ⊥ BC ( Quan hÖ ®−êng kÝnh vꢀ d©y cung) => ∠ OIG = ∠ HAG

GI ^O^Imꢀ OI =

1

(v× so le trong); l¹i cã ∠ OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA =>

=

AH

GA HA

2

GI

1

=

>

=

mꢀ AI lꢀ trung tuyÕn cña ∆ ABC (do I lꢀ trung ®iÓm cña BC) => G lꢀ träng t©m cña ∆ ABC.

GA 2

Bµi 29 BC lꢀ mét d©y cung cña ®−êng trßn (O; R) (BC

O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H.

≠

2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho

A

1

2

3

4

. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.

. Gäi A’ lꢀ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.

. Gäi A lꢀ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA = AA’. OA’.

1

=

E

. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2S_A_B_Csuy ra vÞ trÝ cña A ®Ó

A

1

O

tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Lêi gi¶i: (HD)

. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp =>

AEF = ABC (cïng bï

. VÏ ®−êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng

vu«ng gãc AC) => BHKC lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => A’ lꢀ trung ®iÓm cña HK

> OK lꢀ ®−êng trung b×nh cña AHK => AH = 2OA’

F

H

=

/

1

∠

AEF =

∠

ACB (cïng bï

∠

BFE)

/

B

D

A'

C

/

∠

CEF) => ∆

AEF ∼ ∆ ABC.

K

2

=

∆

3

®

. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c

−êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :

R

AA'

(1) trong ®ã R lꢀ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lꢀ b¸n kÝnh

∆

AEF ∼ ∆ ABC =>

=

R' AA₁

®

−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lꢀ trung tuyÕn cña ∆ABC; AA lꢀ trung tuyÕn cña ∆AEF.

1

Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AH nªn ®©y còng lꢀ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF

AH

2A'O

Tõ (1) => R.AA = AA’. R’ = AA’

1

= AA’ .

2

VËy

R . AA = AA’ . A’O

1

(2)

4. Gäi B’, C’lÇn l−ît lꢀ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’⊥ AC ; OC’⊥ AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña

mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l−ît lꢀ c¸c ®−êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB.

1

S_A_B_C= S_O_B_C+ S_O_C_A+ S_O_A_B= ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )

2

S_A_B_C= OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)

2

AA₁_m_ꢀAA₁_l_ꢀ_t_Ø_s_è_g_i_÷_a₂_t_r_u_n_g_t_u_y_Õ_n_c_ñ_a_h_a_i_t_a_m_g_i_¸_c_®_å_n_g_d_¹_n_g_A_E_F_v_ꢀ_A_B_C

Theo (2) => OA’ = R .

AA'

AA₁₌^E^F. T−¬ng tù ta cã : OB’ = R . FD

ED

AB

nªn

; OC’ = R .

AC

Thay vꢀo (3) ta ®−îc

AA'

BC

EF

FD

AC

ED

AB

2

*

S_A_B_C= R (

.BC +

.AC +

.AB ) ꢁ 2S_A_B_C= R(EF + FD + DE)

BC

R(EF + FD + DE) = 2S_A_B_Cmꢀ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi S_A_B_C

.

1

Ta cã S_A_B_C

=

AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn S_A_B_Clín nhÊt khi AD lín nhÊt, mꢀ AD lín nhÊt khi A lꢀ ®iÓm

2

chÝnh giìa cña cung lín BC.

1

8

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®−êng cao AH

vꢀ b¸n kÝnh OA.

1

2

3

. Chøng minh AM lꢀ ph©n gi¸c cña gãc OAH.

A

D

. Gi¶ sö ∠ B > ∠ C. Chøng minh ∠ OAH = ∠ B ꢁ ∠ C.

0

. Cho ∠ BAC = 60 vꢀ ∠ OAH = 20 . TÝnh:

a) ∠ B vꢀ ∠ C cña tam gi¸c ABC.

b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vꢀ cung nhá BC theo R

Lêi gi¶i: (HD)

ꢀ ꢀ

. AM lꢀ ph©n gi¸c cña ∠ BAC => ∠ BAM = ∠ CAM => BM =CM => M

O

1

B

lꢀ trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC =>

OM // AH => ∠ HAM = ∠ OMA ( so le). Mꢀ ∠ OMA = ∠ OAM ( v× tam

gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ∠ HAM = OAM => AM

lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.

C

H

M

ꢁ

2

. VÏ d©y BD ⊥ OA => AB = AD =>

Ta cã OAH = DBC ( gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) =>

OAH = ABC ꢁ ACB hay OAH = B ꢁ C.

C = 120 ; theo trªn

∠ ABD = ∠ ACB.

∠

OAH =

∠

ABC ꢁ

∠

ABD

=

>

∠

0

C = 20 .

3

. a) Theo gi¶ thiÕt

∠

BAC = 60 =>

∠

B +

∠

B

∠

C =

∠

OAH =>

B ꢁ

∠

0





∠ B + ∠ C =120

∠ B=70



=

>

⇔



0





∠ B − ∠ C =20

∠ C =50



2

π

.R .120

1

R

π

.R R . 3 R .(4

π

−3 3)

b) S_v_p= S_q_B_O_Cꢁ S

=

− R. 3.

=

−

=

△

BOC

0

3

60

2

3

4

12

0

Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt ∠ BAC = 60 .

1

2

.TÝnh sè ®o gãc BOC vꢀ ®é dꢀi BC theo R.

.VÏ ®−êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H lꢀ giao ®iÓm cña ba ®−êng cao cña tam

gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vꢀ AD // BH.

.TÝnh AH theo R.

A

D

3

Lêi gi¶i:

H

O

0

ꢁ

0

1

. Theo gi¶ thiÕt ∠ BAC = 60 => s® BC =120 ( t/c gãc néi tiÕp )

0

=

> ∠ BOC = 120 ( t/c gãc ë t©m) .

B

M

C

ꢁ

0

*

Theo trªn s® BC =120 => BC lꢀ c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp (O; R)

> BC = R 3 .

. CD lꢀ ®−êng kÝnh => ∠ DBC = 90 hay DB ⊥ BC; theo gi¶ thiÕt AH lꢀ

=

0

2

®

−êng cao => AH ⊥ BC => BD // AH. Chøng minh t−¬ng tù ta còng ®−îc AD // BH.

0

3

. Theo trªn ∠ DBC = 90 => ∆DBC vu«ng t¹i B cã BC = R 3 ; CD = 2R.

2 2 2 2 2 2 2 2 2

> BD = CD – BC => BD = (2R) – (R 3 ) = 4R – 3R = R => BD = R.

=

Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => AH = BD => AH = R.

Bµi 32 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB.

. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn m3 .é t Chøng minh C lꢀ trùc t©m cña tam

−êng trßn cè ®Þnh. gi¸c AMN.

1

®

2

. Tõ A kÎ Ax ⊥ MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN4l .ꢀ Khi MN quay quanh H th× C di ®éng

h×nh b×nh hꢀnh.

trªn ®−êng nꢀo.

1

9

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

N

2

5

.Cho AM. AN = 3R , AN = R 3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m

ngoꢀi tam gi¸c AMN.

K

D

Lêi gi¶i: (HD)

. I lꢀ trung ®iÓm cña MN => OI ⊥ MN t¹i I ( quan hÖ ®−êng kÝnh vꢀ d©y

C

I

1

H

0

A

B

cung) = > ∠ OIH = 90 .

O

M

0

OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh−ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d−íi mét gãc 90 do ®ã I

di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét

®

−êng trßn cè ®Þnh.

2

. Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN; theo trªn OI ⊥ MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mꢀ O lꢀ trung ®iÓm cña AB

=

> I lꢀ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lꢀ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN lꢀ h×nh b×nh hꢀnh ( V× cã hai

−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng ).

®

3

®

4

0

. CMBN lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => MC // BN mꢀ BN ⊥ AN ( v× ∠ ANB = 90 do lꢀ gãc néi tiÕp ch¾n nöa

−êng trßn ) => MC ⊥ AN; theo trªn AC ⊥ MN => C lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c AMN.

. Ta cã H lꢀ trung ®iÓm cña OB; I lꢀ trung ®iÓm cña BC => IH lꢀ ®−êng tung b×nh cña ∆OBC => IH // OC

0

Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN hay IH ⊥ Ax => OC ⊥ Ax t¹i C => ∠ OCA = 90 => C thuéc ®−êng trßn ®−êng

kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA cè ®Þnh.

2

5

. Ta cã AM. AN = 3R , AN = R 3 . => AM =AN = R 3 => ∆AMN c©n t¹i A. (1)

0

XÐt ∆ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R 3 => BN = R => ∠ ABN = 60 .

ABN = ∠ AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => ∠ AMN = 60 (2).

0

∠

2

3

R

3

.

Tõ (1) vꢀ (2) => ∆AMN lꢀ tam gi¸c ®Òu => S_∆_A_M_N

=

4

2

3R

2

π R

> S = S₍_O₎ꢁ S∆_A_M_N= ꢁ

³= R (4

π

−3 3

=

4

Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®−êng trßn t¹i M.

(

P

1

2

3

. Chøng minh OM ⊥ BC.

. Chøng minh MC = MI.MA.

. KÎ ®−êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vꢀ C

c¾t ®−êng th¼ng AN t¹i P vꢀ Q. Chøng minh bèn

1

2

N

A

2

1

Q

®

Lêi gi¶i:

iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn .

1

. AM lꢀ ph©n gi¸c cña ∠ BAC => ∠ BAM = ∠ CAM

O

K

ꢀ

=

>

BM =CM => M lꢀ trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC

1

2

1

(

2

B

I

C

2

. XÐt ∆MCI vꢀ ∆MAC cã ∠ MCI =∠ MAC (hai gãc néi tiÕp

ch¾n hai cung b»ng nhau); ∠ M lꢀ gãc chung

M

MC MI

2

=> MC = MI.MA.

=

> ∆MCI ∼ ∆MAC =>

=

MA MC

2

0

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

0 0

. (HD) ∠ MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠ P = 90 – ∠ K mꢀ ∠ K lꢀ gãc ngoꢀi cña tam

1 1 1

3

∠

A ∠ B

0

P = 90 –

gi¸c AKB nªn ∠ K = ∠ A + ∠ B =

+ (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) =>

∠

1

2

∠

A ∠ B

+

).(1)

(

2

∠

C

1

2

∠ A ∠ B

). (2).

2

0

(180 ꢁ

0

B) = 90 – (

CQ lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB =>

∠

C =

1

=

∠

A ꢁ

∠

+

2

Tõ (1) vꢀ (2) =>

∠

P₁=

∠

C hay

1

∠

QPB =

∠

QCB mꢀ P vꢀ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn

A ∠ B

0

cïng n»m trªn cung chøa gãc 90 – (

2

VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn .

+

) dùng trªn BQ.

2

Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®−êng trßn (O)

®

−êng kÝnh AA’.

A

1

2

3

4

. TÝnh b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (O).

. KÎ ®−êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lꢀ h×nh g×? T¹i sao?

1

2

. KÎ AK ⊥ CC’ tø gi¸c AKHC lꢀ h×nh g×? T¹i sao?

. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoꢀi tam gi¸c ABC.

C'

B

Lêi gi¶i:

. (HD) V×

tiÕp vꢀ ®−êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc lꢀ AA’®i qua H.

O

H

K

1

∆ABC c©n t¹i A nªn ®−êng kÝnh AA’ cña ®−êng trßn ngo¹i

2

1

C

BC 6

=

>

∆

ACA’ vu«ng t¹i C cã ®−êng cao CH =

=

= 3cm;

2

AH =

2

A'

CH

3

9

2

cm => CH = AH.A’H => A’H =

4

=

= =2,5 => AA’

AH

> AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) .

4

=

2

. V× AA’ vꢀ CC’ lꢀ hai ®−êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®−êng => ACA’C’ lꢀ h×nh b×nh

0

hꢀnh. L¹i cã

∠ ACA’ = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ lꢀ h×nh ch÷ nhËt.

0

3

. Theo gi¶ thiÕt AH

−êng trßn ®−êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) =>

AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C = A => A = ∠ H => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong

1

⊥

BC; AK

⊥

CC’ => K vꢀ H cïng nh×n AC d−íi mét gãc b»ng 90 nªn cïng n»m trªn

®

∠

C = H (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ;

∠

2

1

∆

∠

2

b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lꢀ h×nh thang (2).Tõ (1) vꢀ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lꢀ h×nh thang c©n.

Bµi 35 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vꢀ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y

MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lꢀ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vꢀ B.

Nèi AC c¾t MN t¹i E.

0

ECB = 180 mꢀ ®©y lꢀ

1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp .

=>

hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø

∠

EIB +

∠

2

. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM.

2

. Chøng minh AM = AE.AC.

3

4

5

gi¸c IECB lꢀ tø gi¸c néi tiÕp .

2

. Chøng minh AE. AC ꢁ AI.IB = AI .

. Hꢂy x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn

ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lꢀ nhá nhÊt.

Lêi gi¶i:

0

. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥ AB t¹i I => ∠ EIB = 90 ; ∠ ACB néi tiÕp ch¾n nöa

0 0

−êng trßn nªn

1

®

∠ ACB = 90 hay ∠ ECB = 90

2

1

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

M

O

1

C

E

A

B

I

O

N

2

. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥ AB => A lꢀ trung ®iÓm cña cung MN => ∠ AMN = ∠ ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai

cung b»ng nhau) hay ∠ AME = ∠ ACM. L¹i thÊy ∠ CAM lꢀ gãc chung cña hai tam gi¸c AME vꢀ AMC do

®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM.

AM AE

2

=> AM = AE.AC

AC AM

3

4

. Theo trªn ∆AME ∼ ∆ ACM =>

=

0

.

∠

AMB = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ); MN

⊥

AB t¹i I =>

∆

AMB vu«ng t¹i M cã MI lꢀ ®−êng cao

2

> MI = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng) .

2 2

=

2

¸

p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI = AM – MI => AI = AE.AC ꢁ AI.BI .

. Theo trªn AMN = ACM => AM lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ECM; Nèi MB ta cã AMB

90 , do ®ã t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp

5

∠

∆

∠

0

=

∆

ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO nhá nhÊt khi NO lꢀ

1

kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO₁

⊥ BM.

Gäi O lꢀ ch©n ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®−îc O lꢀ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp

∆ ECM cã b¸n kÝnh

lꢀ O M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lꢀ nhá nhÊt th× C ph¶i lꢀ

1

giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh O M víi ®−êng trßn (O) trong ®ã O lꢀ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña

1

N trªn BM.

Bµi 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®−êng cao AD, BE, CF. Gäi H lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N,

P, Q lÇn l−ît lꢀ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh :

1

2

3

4

. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lꢀ h×nh ch÷ nhËt.

. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp .

. Hai tam gi¸c HNP vꢀ HCB ®ång d¹ng.

. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hꢀng.

A

E

F

Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù lꢀm)

. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp =>

H

P

Q

3

∠

N =

2

∠

D (néi tiÕp cïng ch¾n

4

1

0

2

N

cung HP);

∆

HDC cã

HC) =>

chøng minh t−¬ng tù ta cã

Tõ (1) vꢀ (2) => HNP ∼ ∆ HCB

. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp =>

∠

HDC = 90 (do AH lꢀ ®−êng cao)

∆

DHC)=>

HDP cã

∠

C₁= N (1)

HPD =

M

1

0

9

0 (do DP

⊥

∠

C₁=

∠

D (cïng phô víi

∠

4

2

3

1

∠

^B1⁼^P1 ⁽²⁾

∠

B

D

C

∆

4

∠

N =

1

∠

D (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3)

1

DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) =>

Theo chøng minh trªn C = N (5)

Tõ (3), (4), (5) => N = ∠ N mꢀ B, N, H th¼ng hꢀng => M, N, P th¼ng hꢀng. (6)

2

∠

C₁= ∠ D ( hai gãc ®ång vÞ).(4)

1

∠

1

2

∠

1

Chøng minh t−¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hꢀng . (7)

Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hꢀng

Bµi 37

Cho hai ®−êng trßn (O) vꢀ (O’) tiÕp xóc ngoꢀi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoꢀi BC, B

∈

(O),

C

∈

(O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoꢀi BC ë I.

2

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

B

1

2

3

4

. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp .

0

I

. Chøng minh ∠ BAC = 90 .

. TÝnh sè ®o gãc OIO’.

. TÝnh ®é dꢀi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm.

C

9

4

A

Lêi gi¶i:

O

O'

1

2

. ( HS tù lꢀm)

. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC

1

0

ꢀ

ABC cã AI = BC =>ꢀABC vu«ng t¹i A hay ∠ BAC =90

2

3

. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lꢀ tia ph©n gi¸c ∠ BIA; I0’lꢀ tia ph©n gi¸c ∠ CIA . mꢀ

0

hai gãc BIA vꢀ CIA lꢀ hai gãc kÒ bï => I0 ⊥ I0’=> ∠ 0I0’= 90

. T₂heo trªn ta cã ꢀ0I0’ vu«ng t¹i I cã IA lꢀ ®−êng cao (do AI lꢀ tiÕp tuyÕn chung nªn AI ⊥ OO’)

> IA = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm)

4

=

Bµi 38 Cho hai ®−êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoꢀi t¹i A, BC lꢀ tiÕp tuyÕn chung ngoꢀi, B∈ (O), C∈ (O’).

TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoꢀi BC ë M. Gäi E lꢀ giao ®iÓm cña OM vꢀ AB, F lꢀ

giao ®iÓm cña O’M vꢀ AC. Chøng minh :

1

2

3

4

5

. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp .

. Tø gi¸c AEMF lꢀ h×nh ch÷ nhËt.

. ME.MO = MF.MO’.

. OO’ lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC.

. BC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh OO’.

B

M

1

C

2

3

4

E

F

A

O

O'

Lêi gi¶i:

1

2

. ( HS tù lꢀm)

. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB

=

>ꢀMAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lꢀ tia ph©n gi¸c => ME ⊥ AB (1).

Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã MF ⊥ AC (2).

Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vꢀ MO’ lꢀ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vꢀ

CMA => MO ⊥ MO’ (3).

Tõ (1), (2) vꢀ (3) suy ra tø gi¸c MEAF lꢀ h×nh ch÷ nhËt

3

. Theo gi¶ thiÕt AM lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn => MA ⊥ OO’=> ∆MAO vu«ng t¹i A

2

cã AE ⊥ MO ( theo trªn ME ⊥ AB) ⇒ MA = ME. MO (4)

T−¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AF⊥ MO’⇒ MA = MF.MO’ (5)

2

Tõ (4) vꢀ (5) ⇒ ME.MO = MF. MO’

4

. §−êng trßn ®−êng kÝnh BC cã t©m lꢀ M v× theo trªn MB = MC = MA, ®−êng trßn nꢀy ®i qua Avꢀ co

MA lꢀ b¸n kÝnh . Theo trªn OO’ ⊥ MA t¹i A ⇒ OO’ lꢀ tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC.

. (HD) Gäi I lꢀ trung ®iÓm cña OO’ ta cã IM lꢀ ®−êng trung b×nh cña h×nh thang BCO’O

5

=

> IM⊥ BC t¹i M (*) .Ta cung chøng minh ®−îc ∠ OMO’ vu«ng nªn M thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh OO’

> IM lꢀ b¸n kÝnh ®−êng trßn ®−êng kÝnh OO’ (**)

Tõ (*) vꢀ (**) => BC lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh OO’

Bµi 39 Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E, F theo thø tù lꢀ ch©n

c¸c ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi ( I ), (K) theo thø tù lꢀ c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

HBE, HCF.

1

2

. Hꢂy x¸c ®Þnh vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c ®−êng trßn (I) vꢀ (O); (K) vꢀ (O); (I) vꢀ (K).

. Tø gi¸c AEHF lꢀ h×nh g×? V× sao?.

2

3

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

A

3

4

5

. Chøng minh AE. AB = AF. AC.

. Chøng minh EF lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn (I) vꢀ (K).

. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó EF cã ®é dꢀi lín nhÊt.

F

G

1

2

Lêi gi¶i:

E

1

.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc (O)

OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O)

IK = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K)

1

2

B

C

I

H

O

K

0

2

. Ta cã : ∠ BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

0

=

> ∠ AEH = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï). (1)

CFH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn )

0

D

∠

=

∠

0

> ∠ AFH = 90 (v× lꢀ hai gãc kÒ bï).(2)

0

BAC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn hay ∠ EAF = 90 (3)

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).

0

2

3

. Theo gi¶ thiÕt AD⊥ BC t¹i H nªn ∆AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB ( ∠ BEH = 90 ) => AH = AE.AB (*)

0

2

Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC (theo trªn ∠ CFH = 90 ) => AH = AF.AC (**)

Tõ (*) vꢀ (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH )

2

4

. Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt, gäi G lꢀ giao ®iÓm cña hai ®−êng chÐo AH vꢀ

EF ta cã GF = GH (tÝnh chÊt ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) => ∆GFH c©n t¹i G => ∠ F = ∠ H .

1

∆

=

KFH c©n t¹i K (v× cã KF vꢀ KH cïng lꢀ b¸n kÝnh) => ∠ F = ∠ H .

2 2

0

> ∠ F + ∠ F = ∠ H + ∠ H mꢀ ∠ H + ∠ H = ∠ AHC = 90 => ∠ F + ∠ F = ∠ KFE = 90 => KF ⊥ EF .

1 2 1 2 1 2 1 2

Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã IE ⊥ EF. VËy EF lꢀ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn (I) vꢀ (K).

e) Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lꢀ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH ≤ OA (OA lꢀ b¸n kÝnh ®−êng trßn

(O) cã ®é dꢀi kh«ng ®æi) nªn EF = OA <=> AH = OA <=> H trïng víi O.

VËy khi H trïng víi O tóc lꢀ d©y AD vu«ng gãc víi BC t¹i O th× EF cã ®é dꢀi lín nhÊt.

Bµi 40 Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vꢀ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Trªn Ax lÊy ®iÓm M

råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N.

1

2

.Chøng minh tam gi¸c MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c APB.

2

.Chøng minh AM. BN = R .

x

N

/

S_M_O_N

R

P

3

4

.TÝnh tØ sè

khi AM =

.

/

^SAPB

2

M

.TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh

ra.

Lêi gi¶i:

A

O

B

1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OM lꢀ tia ph©n gi¸c cña

gãc AOP ; ON lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc BOP, mꢀ

0

∠

AOP vꢀ ∠ BOP lꢀ hai gãc kÒ bï => ∠ MON = 90 . hay tam gi¸c MON vu«ng t¹i O.

APB = 90 ((néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn) hay tam gi¸c APB vu«ng t¹i P.

0

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã NB ⊥ OB => ∠ OBN = 90 ; NP ⊥ OP => ∠ OPN = 90

0

=

>∠ OBN+∠ OPN =180 mꢀ ∠ OBN vꢀ ∠ OPN lꢀ hai gãc ®èi => tø gi¸c OBNP néi tiÕp =>∠ OBP = ∠ PNO

0

XÐt hai tam gi¸c vu«ng APB vꢀ MON cã ∠ APB = ∠ MON = 90 ; ∠ OBP = ∠ PNO => ∆APB ∼ ∆ MON

. Theo trªn ∆MON vu«ng t¹i O cã OP ⊥ MN ( OP lꢀ tiÕp tuyÕn ).

p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vꢀ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OP = PM. PM

Mꢀ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R

2

¸

2

4

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

R

2

. Theo trªn OP = PM. PM hay PM. PM = R mꢀ PM = AM =

2

=> PM = => PN = R : = 2R

3

2

R

5R

MN

5R

5

=

> MN = MP + NP = + 2R =

2

Theo trªn ∆APB ∼ ∆ MON =>

=

: 2R = = k (k lꢀ tØ sè

4

2

AB

2

®

ång d¹ng).V× tØ sè diÖn tich gi÷a hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã:

2

 5  25

=

 

S_M_O_N

S_A_P_B

S_M_O_N

S_A_P_B

2

k =>

=

 4  16

Bµi 41 Cho tam gi¸c ®Òu ABC , O lꢀ trung ®iÓn cña BC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm

0

D, E sao cho ∠ DOE = 60 .

1

)Chøng minh tÝch BD. CE kh«ng ®æi.

)Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng. Tõ ®ã suy ra

A

2

tia DO lꢀ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE

3

®

)VÏ ®−êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB. Chøng minh r»ng

−êng trßn nꢀy lu«n tiÕp xóc víi DE.

E

K

D

Lêi gi¶i:

0

H

1

.

Tam gi¸c ABC ®Òu => ∠ ABC = ∠ ACB = 60 (1);

0 0

DOE = 60 (gt) =>∠ DOB + ∠ EOC = 120 (2).

0 0

∠

B

C

O

∆

DBO cã ∠ DOB = 60 => ∠ BDO + ∠ BOD = 120 (3) .

Tõ (2) vꢀ (3) => ∠ BDO = ∠ COE (4)

BD BO

Tõ (2) vꢀ (4) => ∆BOD ∼ ∆CEO =>

=

=> BD.CE = BO.CO

CO CE

mꢀ OB = OC = R kh«ng ®æi => BD.CE = R kh«ng ®æi.

2

BD OD

BD BO

2

. Theo trªn

∆

BOD ∼ ∆CEO =>

=

mꢀ CO = BO =>

=

=>

=

(5)

CO OE

BO OE

OD OE

0

DOE = 60 (6).

L¹i cã ∠

Tõ (5) vꢀ (6) =>

DBO =

∠

∆

. Theo trªn DO lꢀ tia ph©n gi¸c

DBO ∼ ∆DOE =>

∠ BDO = ∠ ODE => DO lꢀ tia ph©n gi¸c ∠ BDE.

BDE => O c¸ch ®Òu DB vꢀ DE => O lꢀ t©m ®−êng trßn tiÕp xóc

3

víi DB vꢀ DE. VËy ®−êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB lu«n tiÕp xóc víi DE

∠

Bµi 42 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®−êng trßn (O). TiÕp

tuyÕn t¹i B vꢀ C lÇn l−ît c¾t AC, AB ë D vꢀ E. Chøng minh :

2

. BD = AD.CD.

. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp .

. BC song song víi DE.

A

1

2

3

O

Lêi gi¶i:

. XÐt hai tam gi¸c BCD vꢀ ABD ta cã

néi tiÕp vꢀ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung), l¹i

1

∠ CBD = ∠ BAD ( V× lꢀ gãc

B

C

BD CD

2

cã

∠

D chung =>

∆

BCD ∼ ∆ABD =>

=

=> BD = AD.CD.

AD BD

. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A =>

EBC = DCB mꢀ CBD = BCD (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi

EBD = DCE => B vꢀ C nh×n

2

∠ ABC = ∠ ACB

E

D

=

>

∠

mét d©y cïng ch¾n mét cung) =>

DE d−íi cïng

∠

2

5

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

mét gãc do ®ã B vꢀ C cïng n»m trªn cung trßn dùng trªn DE => Tø gi¸c BCDE néi tiÕp

. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => ∠ BCE = ∠ BDE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung BE) mꢀ ∠ BCE = ∠ CBD

3

(theo trªn ) => ∠ CBD = ∠ BDE mꢀ ®©y lꢀ hai gãc so le trong nªn suy ra BC // DE.

Bµi 43 Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB, ®iÓm M thuéc ®−êng trßn . VÏ ®iÓm N ®èi xøng víi A qua M,

BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lꢀ giao ®iÓm cña AC vꢀ BM.

1

2

3

4

. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp .

N

. Chøng minh NE ⊥ AB.

. Gäi F lꢀ ®iÓm ®èi xøng víi E qua M. Chøng minh FA lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O).

. Chøng minh FN lꢀ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (B; BA).

F

_

/

M

C

Lêi gi¶i: 1. (HS tù lꢀm)

_

E

2

3

. (HD) DÔ thÊy E lꢀ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE ⊥ AB.

.Theo gi¶ thiÕt A vꢀ N ®èi xøng nhau qua M nªn M lꢀ trung ®iÓm cña AN; F vꢀ E

A

B

O

H

xøng nhau qua M nªn M lꢀ trung ®iÓm cña EF => AENF lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => FA

/ NE mꢀ NE ⊥ AB => FA ⊥ AB t¹i A => FA lꢀ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A.

. Theo trªn tø gi¸c AENF lꢀ h×nh b×nh hꢀnh => FN // AE hay FN // AC mꢀ AC ⊥

BN => FN ⊥ BN t¹i N

BAN cã BM lꢀ ®−êng cao ®ång thêi lꢀ ®−êng trung tuyÕn ( do M lꢀ trung ®iÓm cña AN) nªn ∆BAN c©n

/

4

∆

t¹i B => BA = BN => BN lꢀ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (B; BA) => FN lꢀ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (B; BA).

Bµi 44 AB vꢀ AC lꢀ hai tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ( B, C lꢀ tiÕp ®iÓm ). VÏ CH vu«ng gãc

AB t¹i H, c¾t (O) t¹i E vꢀ c¾t OA t¹i D.

1

2

3

. Chøng minh CO = CD.

B

. Chøng minh tø gi¸c OBCD lꢀ h×nh thoi.

. Gäi M lꢀ trung ®iÓm cña CE, Bm c¾t OH t¹i I. Chøng minh I lꢀ

trung ®iÓm cña OH.

. TiÕp tuyÕn t¹i E víi (O) c¾t AC t¹i K. Chøng minh ba ®iÓm O, M,

K th¼ng hꢀng.

H

I

E

O

D

A

4

M

K

Lêi gi¶i:

1

C

. Theo gi¶ thiÕt AB vꢀ AC lꢀ hai tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t©m O =>

OA lꢀ tia ph©n gi¸c cña ∠ BOC => ∠ BOA = ∠ COA (1)

OB ⊥ AB ( AB lꢀ tiÕp tuyÕn ); CH ⊥ AB (gt) => OB // CH => ∠ BOA = ∠ CDO (2)

Tõ (1) vꢀ (2) => ∆COD c©n t¹i C => CO = CD.(3)

2

. theo trªn ta cã CO = CD mꢀ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5)

Tõ (4) vꢀ (5) => BOCD lꢀ h×nh b×nh hꢀnh (6) . Tõ (6) vꢀ (3) => BOCD lꢀ h×nh thoi.

. M lꢀ trung ®iÓm cña CE => OM ⊥ CE ( quan hÖ ®−êng kÝnh vꢀ d©y cung) => ∠ OMH = 90 . theo trªn ta

0

3

0

còng cã ∠ OBH =90 ; ∠ BHM =90 => tø gi¸c OBHM lꢀ h×nh ch÷ nhËt => I lꢀ trung ®iÓm cña OH.

. M lꢀ trung ®iÓm cña CE; KE vꢀ KC lꢀ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K th¼ng hꢀng.

Bµi 45 Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC) néi tiÕp ®−êng trßn (O). Gäi D lꢀ trung ®iÓm cña AC; tiÕp tuyÕn

4

cña ®−êng trßn (O) t¹i A c¾t tia BD t¹i E. Tia CE c¾t (O) t¹i F.

1

2

3

.Chøng minh BC // AE.

AD = CD (gt); ∠ ADE =

.Chøng minh ABCE lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

.Gäi I lꢀ trung ®iÓm cña CF vꢀ G lꢀ giao ®iÓm cña BC vꢀ OI.

So s¸nh ∠ BAC vꢀ ∠ BGO.

∠

CDB (®èi ®Ønh) =>

∆ADE = ∆CDB => AE =

CB (1)

Lêi gi¶i: 1. (HS tù lꢀm)

2

).XÐt hai tam gi¸c ADE vꢀ CDB ta cã ∠ EAD = ∠ BCD (v× so le trong )

2

6

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

A

E

1

2

_

2

K

O

D

1

F

_

I

_

1

B

H

C

G

Theo trªn AE // CB (2) .Tõ (1) vꢀ (2) => AECB lꢀ h×nh b×nh hꢀnh.

3) I lꢀ trung ®iÓm cña CF => OI ⊥ CF (quan hÖ ®−êng kÝnh vꢀ d©y cung). Theo trªn AECB lꢀ h×nh b×nh

.

hꢀnh => AB // EC => OI ⊥ AB t¹i K, => ∆BKG vu«ng t¹i K. Ta cung cã ∆BHA vu«ng t¹i H

1

=

> ∠ BGK = ∠ BAH ( cung phô víi ∠ ABH) mꢀ ∠ BAH = ∠ BAC (do ∆ABC c©n nªn AH lꢀ ph©n gi¸c)

2

=

> ∠ BAC = 2∠ BGO.

Bài 46: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp

điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C

AD cắt PB tại E.

≠

A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia

a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD.

b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB.

ꢂ

B

HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: BEA chung

E

ꢂ

EAB = EBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến…)

O

P

EB ED

2

⇒

=

⇒

EB = EA.ED (1)

D

C

EA EB

ꢂ

*

EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (góc n

ộ

i ti

EPD ~

1 & 2

ếp và góc t

ạ

o b

ở

i tia ti

ế

p tuy

ến…)

A

ꢂ

⇒

EPD = EAP ; PEA chung

⇒

∆

EAP (g.g)

EP ED

2

=

⇒

EP = EA.ED (2)T

ừ

⇒

EB = EP

⇒

EB = EP

⇒

AE là trung tuy

ế

n

∆

PAB.

EA EP

Bài 47: Cho

a. Ch ng minh

b. Ch ng minh t

c. Ch ng minh FD vuông góc BC, trong

d. Cho ABC = 60 ; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH c

ngo i ti p t giác ADEF.

HD: a) ABD ~ ECD (g.g)

b) t giác ABCE là t giác n

c) Ch ng minh D là tr c tâm

∆

ABC vuông

ABD ~

giác ABCE là t

ở

A. L

∆ECD.

ấ

y trên c

ạ

nh AC m

ộ

t

đ

i

ể

m D. D

ự

ng CE vuông góc BD.

ứ

∆

ứ

giác n

ộ

i ti

ếp.

đó F là giao

đ

i

ể

m củ

a BA và CE.

ꢂ

0

ủa

∆

ABC và bán kính đường tròn

ạ

ế

ứ

C

∆

ứ

∆

0

ứ

ộ

i ti

ếp (Qu

ĩ

tích cung ch

ứa góc 90 )

E

K

ứ

ự

∆

CBF.

D

2

a

H

3

ꢂ

0

d) AC = BC.sin ABC = 2a.sin60 = 2a .

= a 3

a

2

0

1

60

ꢂ

0

AB = BC.cosABC= 2a.cos60 = 2a.

= a

2

A

B

F

3

ꢂ

0

ꢂ ꢂ

0

AH = AB.sin ABC = a.sin60 = a

;

∆

FKB vuông tại K , có ABC = 60 ⇒ BFK = 30

2

ꢂ

0

⇒

AD = FD.sin BFK ⇒ AD = FD.sin30

⇒ a = FD.0,5 ⇒ FD = a : 0,5 = 2a.

2

7

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

ꢂ

0

Bài 48: Cho ∆ABC vuông ( ABC = 90 ; BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung

BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường

≠

tròn đường kính EC cắt BC tại I (I C).

B

CI CE

a. Chứng minh

=

CB CA

ng minh D; E; I th

ng minh HI là m t ti

BC)

b. Ch

c. Ch

ứ

ẳ

ng hàng.

I

ộ

ế

p tuy n của đường tròn đường kính EC.

ế

HD; a) AB // EI (cùng

CI CE

(đ/lí Ta-lét)

⊥

H

A

C

O E O’

⇒

=

CB CA

b) ch ng minh ABED là hình thoi

D, E, I cùng n m trên đường th

ng hàng.

ứ

⇒

ng

DE // AB mà EI //AB

i qua E // AB

⇒

ằ

ẳ

đ

D, E, I th

ẳ

D

ꢂ

c) EIO' = IEO' ( vì

∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R₍_O_’₎)

ꢂ

IEO' = HED

(

đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung tuyến

⇒

∆HID cân

⇒

HIE = HDI

ꢂ

0

Mà HDI + HED = 90

⇒

đpcm.

Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH

là một điểm thay đổi trên (d) (M

cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K.

⊥

∈

(d) (H d). M

≠

H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây

a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn.

b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP

P

ꢂ

0

c. Giả sử PMQ = 60 . Tính t di

ỉ

số

ện tích 2 tam giác:

∆MPQvà

∆OPQ.

HD: a) 5 m O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn

đ

i

ể

K

I

0

O

(D

ự

a vào qu

ĩ

tích cung chứa góc 90 )

M

IO IQ

b)

c)

∆

OIP ~

∆

QIH (g.g)

⇒

=

⇒

IH.IO = IQ.IP

IP IH

Q

PQ

2

PQ 3

2

ꢂ

v MKQ có : MK = KQ.tgMQK = KQ.tg60 =

0

∆

3

=

.

H

PQ

.

3

PQ 3

6

ꢂ

0

=

∆

v OKQ có: OK = KQ.tgOQK = KQ.tg30

KQ.

=

3

2

3

S_M_P_QPQ 3 PQ 3

⇒

=

:

= 3

S_O_P_Q

2

6

Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E

≠

A). Từ E,

A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự

tại C và D.

a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp

được trong một đường tròn.

DM CM

.

DE CE

b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra

=

D

2

8

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD.

1

2

d. Chứng minh: EA = EC.EM – EA.AO.

ꢂ

M

e. Đặt AOC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD.

C

N

Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R,

không phụ thuộc vào α.

2

3

4

O

0

1

HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 )

B

E

A

b) AC // BD (cùng

CE AC

⊥

EB) ⇒∆EAC ~ ∆EBD

CE CM

DM CM

⇒

=

(1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai ti

ế

p tuy

ế

n c

ắ

t nhau)

⇒

=

(2)

⇒

=

DE BD

c) AC // BD (cmt)

DE DM

DE CE

NC AC

NC CM

⇒

∆NAC ~

∆

NBD

⇒

=

(3) .T

ừ

1; 2; 3

⇒

=

⇒

MN // BD

NB BD

NB DM

ꢃ

O

4

ꢃ

O

4

0

ꢃ

0

ꢃ

1

0

d)

O

=

O

;

O

=

mà

O

+

O

+

O

+

= 180

⇒

O + O = 90 ; O + D = 90 (…)

1

2

3

1

2

3

2

3

4

OB

R

.

ꢃ

ꢃ ꢃ

2 1

⇒

D = O = O =

α

. V

ậ

y: DB =

=

; L

ạ

i có: AC = OA.tg

α

= R.tg

α

⇒

AC.DB = R.tg

α

1

tg

α

tg

α

tgα

2

AC.DB = R (Đpcm)

Bài 51: Cho

⇒

∆

ABC có 3 góc nh

ng minh t giác HA BC n

ng minh A A là phân giác c

ọ

n. G

ọ

1

i H là giao

1

i ti được trong đường tròn. Xác định tâm I c

B A C

đi

ểm củ

a 3 đường cao AA ; BB ; CC .

1

a. Ch

ứ

ộ

ếp

ủ

a đường tròn ấy.

1

b. Ch

ứ

ủ

a

.

1

c. G

d. Trên

So sánh di

ọ

i J là trung

n HC l

n tích c

đ

i

ể

m c

y 1

a 2 tam giác:

ủ

a AC. Ch

ứ

ng minh IJ là trung tr

ự

c c

ủ

a A

1

C

1

.

A

MH

1

đ

o

ạ

ấ

đ

i

ểm M sao cho

=

.

MC

3

ệ

ủ

∆

HAC và

ứ

∆

H₀JM.

^B1

HD: a) HA BC

1

n

ộ

i ti p (qu

ế

ĩ

tích cung ch a góc 90 )

C

1

J

Tâm I là trung

điểm BH.

H

b) C/m: HA C = HBC ; HA B = HCB ;

1

M

K

HBC = HCB

⇒

HA C = HA B

⇒

đpcm.

1

I

1

2

c) IA = IC = R ; JA = JA = AC/2 …

1

(I)

1

⇒

Ị

1

J là trung tr

ự

c c

ủ

a A

1

C

1

.

C

B

A

1

d) S _H_J_M

=

HM.JK ; S_H_A_C

=

HC.AC₁

MH

2

HC.AC₁

HM.JK

1

HC HM+MC

MC

AC₁

JK

⇒

S

HAC : S HJM

=

mà

=

⇒

=

1+ =1

HM

+

3

=

4 ;

=

2 (JK// AC

1

MC

3

HM

S

HAC : S HJM = 8

Bài 52: Cho

y trên ó 2

AM t i A và v

a. Ch ng minh t

ố định i qua

b. K PI Cz. Ch

c. BM và AP c t nhau

d. Cho N là trung m c

đ

i

ể

m C cố định trên m

m cố định A, B (A

i BM t i B c t nhau t

giác MABP n

m gi a L c

ng minh I là m

H; BP và AM c

a KH. Ch ng minh các

ộ

t

đường th

a C và B). M là m

ại P.

i ti

a AB.

ẳ

ng xy. D

ự

ộ

ng n

ử

a

đường thẳng Cz vuông góc với xy và

lấ

đ

đi

ể

ở

gi

ữ

t

đ

iểm di động trên xy. Đường vuông góc v

ới

ạ

ớ

ạ

ắ

ứ

ộ

ế

p

được và tâm O c

ủa

đường tròn này nằm trên một đường thẳng

c

đ

i

ể

ữ

ủ

ẻ

⊥

ứ

ộ

t

đ

iể

m cố định.

t nhau

ắ

ở

ắ

ở

K. Ch ng minh rằng KH PM.

ứ

⊥

đ

iể

ủ

ứ

điể

m N; L; O th ng hàng.

ẳ

z

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

2

9

NguyÔn v¨n m¹nh

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

0

HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 90 …)

OA = OB = R(O)

là trung điểm AB…

⇒

O thuộc đường trung trực AB đi qua L

P

I

b) IP // CM (

⊥

Cz)

⇒

MPIC là hình thang.

I cố định.

⇒

IL = LC không đổi

B

H

vì A,B,C cố định.

O

c) PA

⊥

KM ; PK

⊥

MB

⇒

H là trực tâm ∆ PKM

N

L

⇒

KH PM

⊥

K

d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc…)

⇒

N là tâm đ/tròn ngoại tiếp … NE = NA = R(N)

N thuộc đường trung trực AB

O,L,N thẳng hàng.

A

x

y

C

M

Bài 53: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB

lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM.

Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM.

a. So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM.

b. Chứng minh: ∆KMN vuông cân.

c. Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao?

HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c)

U

K

O

b) HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân.

c) ∆ KMN vuông KN KM mà KM // BP

APB = 90 (góc nội tiếp…)

KN // AP ( BP)

⇒

⊥

⇒

KN

⊥

BP

0

P

ꢂ

⇒

⊥

AP BP

M

⇒

⊥

ꢂ ꢂ

0

KM // BP

⇒ KMN = PAT = 45

T

=

ꢀ

PKM

// N

ꢂ ꢂ

Mà PAM = PKU =

0

= 45

2

A

B

ꢂ

0

ꢂ

0

PKN = 45 ; KNM = 45

⇒

PK // AN . Vậy ANPK là hình bình hành.

Bài 54: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc v

tu ý thu c cung nh AC. N i MB, c t CD N.

a. Ch ng minh: tia MD là phân giác c a góc AMB.

b. Ch ng minh: BOM ~ BNA. Ch ng minh: BM.BN không đổi.

c. Ch ng minh: t i ti p. G i I là tâm đường tròn ngo

nh th nào?

ớ

i nhau. M là m

ộ

t

đ

i

ể

m

ỳ

ộ

ỏ

ố

ắ

ở

ủ

ứ

∆

ứ

giác ONMA n

ộ

ế

ọ

ại ti

ếp t

ứ

giác ONMA, I di động

ư

ế

C

ꢂ

0

HD: a) AMD = DMB = 45 (ch

ắn cung ¼

đ/tròn)

ꢂ

⇒

MD là tia phân giác AMB

∆ OMB cân vì OM = OB = R₍_O₎

NAB cân có NO v a là /cao v

F

I

M

b)

N

∆

ừ

đ

ừa là đường trung tuyến.

⇒

∆ OMB ~ ∆ NAB

A

B

E

O

BM BO

2

⇒

=

⇒

BM.BN = BO.BA = 2R không đổi.

/tròn /k AN. G i I là tâm /tròn ngoại tiếp

BA BN

c) ONMA n

ộ

i ti

ếp

đ

ọ

đ

3

0

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

⇒

I cách đều A và O cố định I thuộc đường trung trực OA

⇒

Gọi E và F là trung điểm của AO; AC

D

Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF

Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp một đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt

tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F.

a. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

b. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?

ꢂ

c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC; OI. So sánh BGO với BAC .

ꢂ

A

E

d. Cho biết DF // BC. Tính cos ABC.

HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH BC (∆ ABC cân tại A)

lập luận chỉ ra AH AE BC // AE. (1)

b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2)

Từ 1 và 2 ABCE là hình bình hành.

⇒

⊥

M

D

N

⇒

F

O

_

c) Theo c.m.t

⇒

AB // CF

⇒

ꢂ

GO

⊥

1

AB.

I

_

ꢂ

0

ꢂ

⇒

BGO = 90 – ABC = BAH = BAC

2

d) Tia FD cắt AB taijM, c

ắ

t (O) t

ại N.; DF // BC và AH là tr

ụ

c

B

H

C

G

đối x ng cuarBC và /tròn (O) nên F, D th

ứ

đ

ứ

t

ự đối x ng v

ứ

ớ

i N, M qua AH.

1

⇒

FD = MN = MD = BC = ND = BH ;

∆

NDA ~

∆

⇒

CDF (g.g) DF.DN = DA.DC

2

1

2

BH

AB

2

ꢂ

⇒

2BH = AC

⇒

BH =

AC

⇒

cos ABC =

=

.

4

Bài 56: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) c

tròn (O) l n lượt t i các m C; D và c

a. Ch ng minh: C; B; F th ng hàng.

b. Ch ng minh: T giác CDEF n i ti

c. Ch ng minh: A là tâm đường tròn n

d. Tìm u ki để DE là ti p tuy n chung c

i ti p ch n n

C, B, F th ng hàng.

CDEF n i ti

ắ

t nhau t

ạ

i hai m A và B. Các đường th

đ

i

ể

ẳ

ng AO; AO’ cắt đường

ầ

ạ

đ

i

ể

ắt (O’) l

ầ

n lượt tại E; F.

E

ứ

ẳ

ứ

ộ

ế

p

ộ

được.

i ti

D

O

ế

p

∆

BDE.

ủa (O) và (O’).

/tròn)

A

B

đi

ề

ệ

n

ế

ꢂ

0

ꢂ

HD: a) CBA = 90 = FBA (góc n

ộ

ế

ắ

ử

a

đ

O’

ꢂ

0

⇒

CBA + FBA = 180

⇒

ẳ

ꢂ

0

ꢂ

b) CDF = 90 = CEF

⇒

ộ

ếp (qu

ĩ

tích …)

F

C

ꢂ

c) CDEF n

ộ

i ti

ꢂ

ế

p

⇒

ADE = ECB (cùng ch

ꢂ

ắn cung EF)

Xét (O) có: ADB = ECB (cùng ch

ắn cung AB)

ꢂ

ꢂ ꢂ ꢂ

⇒

ADE = ADB DA là tia phân giác BDE . Tương tự EA là tia phân giác DEB

y A là tâm đường tròn n

⇒

Vậ

ội tiếp ∆BDE..

ꢂ

d) ODEO’ n

ộ

i ti

ếp. Th

ự

c v

ậ

y : DOA = 2 DCA ; EO'A = 2 EFA mà DCA = EFA (góc n

ộ

i ti

ếp chắn

ꢂ

cung DE)

u DE ti

Đảo l i : AO = AO’ = AB c

t lu n : u ki để DE là ti

⇒

DOA = EO'A ; m

p xúc v i (O) và (O’) thì ODEO’ là hình ch

ng k t lu được DE là ti

p tuy n chung c a (O) và (O’) là : AO = AO’ = AB.

ặ

t khác: DAO = EAO' (

nh

p tuy

đ

/

đ

)

⇒

ODO' = O'EO

⇒

ật AO = AO’ = AB.

ến chung c a (O) và (O’)

⇒

ODEO’ n

ội ti

ếp.

N

ế

ớ

ữ

ế

ạ

ậ

ũ

ế

ận

ủ

Kế

Đi

ề

ện

ế

ủ

3

1

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

CD.

Bài 57: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB

⊥

a) Chứng minh: ACBD là hình vuông.

b). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E B; E C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB.

≠ ≠

ꢂ

Chứng tỏ: ED là tia phân giác của AEB và ED // MB.

c). Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và

bán kính theo R.

⊥

HD: a) AB CD. ; OA = OB = OC = OD = R(O)

ACBD là hình vuông.

C

⇒

M

E

1

//

ꢂ

AOD = 45 ; DEB = DOB= 45

0

ꢂ

0

b) AED =

2

=

ꢂ

ủ

⇒

AED = DEB

⇒

ED là tia phân giác c

a AEB.

EMB vuông cân t i E)

AED = EMB (2 góc đồng v ED // MB.

EMB vuông cân t i E và CE DE ; ED // BM

CE BM CE là đường trung tr c BM.

c BM nên CM = CB = R

2

y trên đường tròn (C ; R’ = R 2 )

B

A

ꢂ

0

ꢂ

0

O

AED = 45 ; EMB = 45 (

∆

ạ

ꢂ

⇒

c)

⇒

ị)

⇒

⊥

∆

ạ

⊥

⇒

ự

D

d) Vì CE là đường trung tr

ự

Vậ

y M ch

ạ

Bài 58: Cho

nh AC m t góc 40 . Đường th

AD E. Đường th ng vuông góc v

a. Ch ng minh: AHCE n i ti

b. Ch ng minh: CA = CM.

c. Đường th ng HE c đường tròn tâm O

đường th ng DK P. Ch ng minh: T giác NPKE n

∆

ABC₀đều, đường cao AH. Qua A v

ng này c t c nh BC kéo dài

i CD t i O c t AD M.

được. Xác định tâm I c

ẽ

m

ộ

t

đường th

ẳ

ng v

ề

phía ngoài c

ủ

a tam giác, t

ạ

o v

ớ

i

cạ

ộ

ẳ

ắ

ạ

ở

D. Đường tròn tâm O đường kính CD c

ắt

ở

ẳ

ớ

p

ắ

ở

ứ

ộ

ế

ủa

đường tròn

đó.

ẳ

ắt

ở

K, đường th

i ti p.

ẳng HI c

ắt

đường tròn tâm I

ở

N và c

ắt

ẳ

ở

ứ

ộ

ế

Bài 59: BC là m

luôn n m trong

a. Ch ng minh:

b. G

ộ

∆

t dây cung c

ABC. Các đường cao AD; BE; CF đồng quy tạ

AEF ~ ABC.

m BC. Ch

m EF. Ch

ủ

a

đường tròn (O; R) (BC

≠

2R).

Đ

i H.

i

ể

m A di động trên cung lớn BC sao cho O

ằ

ứ

ọ

∆

i A’ là trung

đ

i

ể

ứ

ng minh: AH = 2.A’O.

c. Gọ

i A là trung

đ

i

ứng minh: R.AA = AA’.OA’.

1

d. Chứ

ng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC

.

Suy ra v

ị

trí m A để ng (EF + FD + DE) đạt GTLN.

đ

i

ể

tổ

Bài 60: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính thay đổi. Gọi (∆) là

ti p tuy n v đường tròn t i B và AD, AC l n lượt c t ( ) t i Q và P.

a. Ch ng minh: T giác CPQD n i ti được.

b. Ch ng minh: Trung tuy n AI c AQP vuông góc v

c. Tìm t p h p các tâm E c đường tròn ngo i ti CPD.

ế

ới

ạ

ầ

ắ ∆ ạ

ứ

ộ

ếp

ứ

ế

ủ

a

∆

ới DC.

ậ

ợ

ủ

a

ạ

ếp ∆

ꢄ

0

Bài 61: Cho

i B và C. Trên cung BC l

BC, CA, AB. G i Q là giao

∆

ABC cân (AB = AC;

m M r

m c a MB, IK.

A

< 90 ), m

ồ

ộ

t cung tròn BC n

ằ

m bên trong

∆

ABC ti

ế

p xúc v

ớ

i AB, AC

tạ

ấ

đ

y

i

đ

ể

iể

i h các đường vuông góc MI, MH, MK xu

ạ

ố

ng các c

ạnh tương ứ

ng

ọ

ủ

3

2

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

a. Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.

ꢂ

b. Chứng minh: tia đối của tia MI là phân giác HMK .

c. Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp được PQ // BC.

⇒

Bài 62: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC.

Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CI

a. Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp được trong 1 đường tròn.

b. Chứng minh: Tứ giác BMCI là hình bình hành.

⊥

AM (I

∈

AM).

C

O

M

=

ꢂ

c. Chứng minh: MOI = CAI .

d. Chứng minh: MA = 3.MB.

0

1

2

N

0

ꢂ

I

=

ꢂ

HD: a) COA = 90 (…) ; CIA = 90 (…)

Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 90 )

0

⇒

A

B

b) MB // CI (

⊥

BM). (1)

ꢃ

ꢂ ꢂ

∆

CIN = ∆ BMN (g.c.g) N = N (

đ/

đ

) ; NC = NB ; NCI = NBM (slt)

1

2

⇒

CI = BM (2). T

ừ 1 và 2 BMCI là hình bình hành.

⇒

1

ꢂ

0

ꢂ

0

⇒

c) CIM vuông cân (CIA = 90 ;CMI = COA = 45 )

∆

MI = CI ;

∆

IOM = ∆ IOC vì OI chung ;

2

ꢂ

ꢂ ꢂ ꢂ

IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O)

d)

⇒

MOI = IOC mà: IOC = CAI ⇒ MOI = CAI

R 2 AC

∆

ACN vuông có : AC = R 2 ; NC =

=

(v

2

ớ

i R = AO)

2

R

5

2

R 10

2

NC

R 10

10

MI

2

T

ừ đó : AN = AC +CN

=

2R +

=

R

=

; NI =

=

= MN =

2

NA

2

R

2R R 10

R 10

10

3R 10

=

5

2

⇒

MB = NC − MN =

−

=

⇒

AM = AN + MN =

+

2

10

5

2

⇒

AM = 3 BM.

ꢄ

0

Bài 63: Cho ∆ABC có A =60 nội ti

ế

p trong đường tròn (O), đường cao AH c

ắt

đường tròn

ở

D,

đường cao BK cắt AH ở E.

ꢂ

ng minh: BKH

ꢂ

a. Ch

ứ

=

BCD .

b. Tính BEC .

c. Bi

động trên đường nào? Nêu cách d

d. Ch ng minh: IOE cân I.

HD: a) ABHK n

ế

t c

ạ

nh BC cố định,

đ

i

ể

m A chuy

ể

n

động trên cung l

ớ

n BC. H

ỏ

i tâm I c

ủ

a

đườngtròn n

ộ

i ti

ế

p

∆

ABC chuy

ể

n

ựng đường

đ

ó (ch

ỉ

nêu cách d ng) và cách xác định rõ nó (gi

ự

ới h

ạn

đường

đó).

ứ

∆

ở

A

ꢂ

ộ

i tiếp

⇒

BKH = BAH

;

ꢂ

ꢂ ꢂ

BCD =

BCD

=

BAH ( cùng ch

ắn cung BD)

⇒

BKH

b) CE c

ắ

t AB F. ;

ở

K

ꢂ

0

ꢃ

0

ꢂ

0

AFEK n

ội ti

ế

p

⇒

FEK

=

180

−

A

=

180

120

− 60

0

=

120

⇒

BEC = 120

ꢃ

F

B

+

C

E

I

ꢂ

0

c) BIC

=

180

−

=

180

−

=

120

2

0

Vậ

y I chuy

ể

n

động trên cung ch

ứ

a góc 120 d

ựng trên

đ

o

ạn BC, cung

C

này n

ằm trong đường tròn tâm (O).

B

H

3

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

ꢁ

ꢅ

DS

IO

ꢂ

d) Trong đ/tròn (O) có DAS = sđ

; trong đ/tròn (S) có ISO = sđ

D

S

2

ꢁ

ꢅ

DS IO

ꢂ

ꢁ

ꢅ

= ⇒

vì DAS

=

ISO (so le trong) nên:

=

mà DS

=

IE

⇒

IO

IE

đpcm.

2

Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB

và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK

⊥

AD và PH

⊥

AB. Nối PA, cắt

nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh rằng:

C

a. I là trung điểm của AP.

D

b. Các đường PH, BI và AM đồng quy.

c. PM = PK = AH.

d. Tứ giác APMH là hình thang cân.

P

ꢂ

0

K

HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R ) mà AIB = 90 (góc nội tiếp …)

(

B)

M

⇒

⊥ ⇒

BI AP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến

I là trung điểm của AP

b) HS tự c/m.

I

c) ∆ ABP cân tại B

⇒

AM = PH ; AP chung

AH = KP

d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t)

⇒

∆vAHP = ∆v PMA

⇒

AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật

⇒

PM = PK = AH

ꢁ ꢁ

A

H

B

⇒

PM

= PA // MH

AH ⇒

Vậy APMH là hình thang cân.

Bài 65: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;.

AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.

a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn.

b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB.

c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN.

ꢂ

HD: a) BOIM nội tiếp được vì OIM = OBM = 90

0

H O

I

A

B

ꢂ

0

ꢂ ꢂ

b) INB = OBM = 90 ; NIB = BOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

⇒

∆ IBN ~ ∆OMB.

1

c) SAIO

=

AO.IH; SAIO

l

ớ

n nh

y trên n

ꢂ

AIH vuông cân, tức HAI

= 45

ấ

t

⇔

IH l

ớ

n nh

ấ

t vì AO = R(O)

2

N

M

Khi M ch

Khi IH là bán kính, khi

Vây khi M cách B m

ạy trên tia Bx thì I ch

ạ

ử

a

đường tròn

đ

/k AO. Do

đ

ó SAIO

l

ớ

n nhấ

t

0

đ

ó

∆

ột

đoạ

n BM = AB = 2R(O) thì SAIO

l

ớn nh

ất .

Bài 66: Cho

di động trên cung nh

a. Tính c nh c

b. Trên tia DB l

c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta ph

d. Tính theo R di n tích ADI lúc D là m chính gi

HD: a) ABC đều, n i ti p trong đường tròn (O; R). HS t

∆

ABC đều, n

ộ

i ti

ế

≠

p trong đường tròn (O; R). G

ọ

i AI là m

ộ

t

đường kính cố định và D là điểm

ỏ

AC (D

A và D

ng t

n DE = DC. Ch

≠

C).

AI là tia phân giác c

ng tỏ ∆CDE đều và DI

i xác định tâm và gi

a cung nh

c/m :

A

ꢂ

ạ

ủa

∆

ABC theo R và ch

ứ

ỏ

ủa BAC.

D

ấ

y

đ

o

ạ

ứ

⊥

CE.

ả

ới hạn.

ệ

∆

đ

iể

ữ

ỏ

AC.

=

∆

ộ

ế

ự

=

E O

3

4

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

⇒

AB = AC = BC = R 3

Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC

⇒

Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC

ꢂ

C

B

⇒

AO hay AI là tia phân giác của BAC.

ꢂ

0

ꢁ

b) Ta có : DE = DC (gt)

⇒

∆ DEC cân ; BDC = BAC = 60 (cùng chắn BC

)

I

ꢁ

ꢅ ꢅ

ꢂ ꢂ

⇒

∆CDE đều. I là điểm giữa BC

ꢂ

⇒

IB

= BDI = IDC

IC ⇒

DI là tia phân giác BDC

⇒

∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao

⇒

⊥

DI CE

c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE

không đổi

D → C thì E → C ; D → A thì E → B

⇒

IE = IC mà I và C cố định

⇒

IC

ꢁ

⇒

E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I AC (cung nhỏ )

∈

ꢁ

E đi động trên BC nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều.

⇒

Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho :

a

AE = DF = .

3

a. So sánh ∆ABE và

b. Ch ng minh AF

c. Tính t di n tích

∆

DAF. Tính các c

BE.

ạ

nh và di

ệ

n tích c

ủ

a chúng.

BIA và di

các đường cao BD và CE.

ứ

⊥

ỉ

s

ố

ệ

∆

AIE và

∆BIA; di

ệ

n tích

∆

AIE và

∆

ệ

n tích các t

ứ

giác IEDF và IBCF.

ꢄ

0

Bài 68: Cho

∆

G

ứ

ABC có các góc đều nh

i H là giao m c a BD, CE.

giác ADHE n i ti

ọ

n;

A

= 45 . V

ẽ

ọ

đi

ể

ủ

a. Ch

ng minh: T

ứ

ộ

ếp

được trong 1 đường tròn.; b. Ch

ứ

ng minh: HD = DC.

ng minh: OA

BN và DM cùng

DE

c. Tính t

ỷ

s

ố:

d. G i O là tâm đường tròn ngo

ọ

ạ

i ti ABC. Ch

ế

p

∆

ứ

⊥

DE

BC

Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D n

vuông góc v đường chéo AC. Ch ng minh:

a. T giác CBMD n i ti được trong đường tròn.

ằm trên đường tròn đường kính AB. H

ạ

ới

ứ

ộ

ếp

ꢂ

b. Khi m D di động trên đường tròn thì (BMD +BCD ) không đổi.

điể

c. DB.DC = DN.AC

Bài 70: Cho

∆

ABC n

ộ

i ti

ế

p

ắ

đường tròn (O). G

t nhau t i E. G i P, Q l

ứng minh:

ọ

i D là

đ

i

ể

m chính gi

ữ

a cung nh

ỏ

BC. Hai ti

ế

p tuyến tại C

và D v đường tròn (O) c

ới

ạ

ọ

ần lượt là giao

đ

iể

m c a các c

ủ

ặp

đường thẳ

ng AB và

CD; AD và CE. Ch

a. BC // DE.

b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được.

c. T giác BCQP là hình gì?

ứ

Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) c

O’) c đường tròn (O) và (O’) theo th

AD. Ch ng minh:

a. ABD ~

ắ

t nhau t

ạ

i A và B; các ti

ế

p tuy

ế

n t

ạ

i A c

ủ

đ

a các đường tròn (O) và

(

ắ

t

ứ

t

ự

tại C và D. G

ọi P và Q l

ần lượt là trung

i

ể

m c a các dây AC và

ủ

∆

∆CBA.

ꢂ

b. BQD

c. T

ꢂ

=

APB

ứ

giác APBQ nội tiếp.

3

5

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M

thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.

a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được.

b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?

c. Kẻ MH

⊥

AB (H

∈

AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH.

1

3

r

1

2

d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh:

<

.

R

Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC.

Nối BK cắt AC ở I.

a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC.

2

b. Chứng minh: IC = IK.IB.

ꢂ

0

c. Cho BAC = 60 . Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O.

Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ

EN

a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó.

b. Chứng minh: EB là tia phân giác của ∠ AEF

c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp △AFN

⊥

AC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F.

.

Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình

vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa

đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED.

a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.

b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao?

c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O).

1

Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC = AB. Trên cạnh BC l

ấ

y

đ

i

ể

m E (E khác B và C). Từ B kẻ đường

2

th

a. Tính độ

b. Ch ng minh: KA.KC = KB.KI; AC = AI.AE – AC.CK.

c. G i H là giao m c đường tròn đường kính AK với cạnh AB.

Ch ng minh: H, E, K th ng hàng.

d. Tìm qu tích m I khi E ch y trên BC.

ẳ

ng d vuông góc v

ớ

i AE, g

ọ

i giao

đ

i

ể

m c

ủ

a d v

ớ

i AE, AC kéo dài l n lượt là I, K.

ầ

ꢂ

lớn góc CIK .

2

ứ

ọ

đi

ể

ủ

a

ứ

ẳ

ỹ

đ

i

ể

ạ

Bài 77: Cho

E. N

a. Ch

b. Kéo dài DE c

t DE và CF t i P và Q. T

c. G i r, r , r theo th là bán kính các đường tròn n

minh: r = r + r .

∆

ABC vuông

i BE và kéo dài c

ng minh: CDEF n

t AC

ở

A. N

t AC t

i ti

ử

a

ạ

p

đường tròn đường kính AB c

i F.

được.

ắ

t BC t

ạ

i D. Trên cung AD l

ấ

y m

ộ

t

đ

i

ể

m

ố

ắ

ứ

ộ

ế

ꢂ

t EF và CD tại M và N. Tia phân giác của CBF

i sao?

i ti p các tam giác ABC, ADB, ADC. Ch

ắ

ở

K. Tia phân giác c

ủ

a CKD c

ắ

cắ

ạ

ứ

giác MPNQ là hình gì? Tạ

ọ

ứ

t

ự

ộ

ế

ứng

1

2

1

3

6

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng

XUCTU.COM

TuyÓn tËp 80 bꢀi to¸n h×nh häc líp 9

Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung

nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M.

a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì?

b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó.

c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy.

Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng

điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên

đường kính AA’.

a. Chứng minh: HE

⊥

AC.

b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.

c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.

Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp

∆

ABH và ∆ ACH .

1

2

) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK.

) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh AM = AN.

1

c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ l

ần lượt là di

ện tích

∆

ABC và

∆

AMN.

2

3

7

NguyÔn v¨n m¹nh

0984583557ꢁthcs ®«ng h−ng