9 bài toán hay về đường tròn

9 BÀI TOÁN HAY- ỨNG DỤNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN

1.   Định lý Ptolemy mở rộng. Cho nội tiếp đường tròn Đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với cung(không chứa ). Gọi lần lượt là các tiếp tuyến từ đến đường tròn thì ta có hệ hệ thức sau

Chứng minh.

Xét trường hợp và tiếp xúc ngoài với nhau (trường hợp tiếp xúc trong chứng minh tương tự).

Giả sử M là tiếp điểm của và MA, MB, MC theo thứ tự cắt tại X, Y, Z.

Lúc đó Theo định lý Thalès ta có

Lại có

Từ (1) và (2) suy ra hay

Từ định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp thu được

Do đó

2. Các bài toán ứng dụng Định lý Ptolemy .

 Bài toán 1. Cho 2 đường tròn tiếp xúc nhau, ở đường tròn lớn vẽ tam gíac đều nội tiếp. Từ các đỉnh của tam gíac kẻ các tiếp tuyến tới đường tròn nhỏ. Chứng minh rằng độ dài một trong ba tiếp tuyến đó bằng tổng hai tiếp tuyến còn lại.

Lời giải.

Coi rằng đường tròn nhỏ tiếp xúc với (không chứa A) và đặt lần lượt là độ dài các đường tiếp tuyến kẻ từ đến đường tròn nhỏ.

Từ định lý Ptolemy mở rộng ta có

 Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn . Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với đoạn CD và cung nhỏ CD, kẻ tiếp tuyến AX, BY với đường tròn này. Chứng minh rằng AX+BY không đổi.

Lời giải.

Không mất tính tổng quát, coi rằng hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Từ đó dễ dàng suy ra

Áp dụnh định lý với các tam gíac ACD và BCD, ta được

. 

Cộng hai đẳng thức này, suy ra

  (ĐPCM)

 Bài toán 3. nội tiếp đường tròn Trên cạnh lấy điểm sao cho Gọi là bán kính đường tròn tiếp xúc và cung nhỏ BC (Không chứa ) và là bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

Lời giải.

Giả sử đường tròn tiếp xúc với lần lượt tại .

Đặt  

Suy ra

Áp dụng định lý, ta được

hay

Suy ra

Gọi là độ dài tiếp tiếp từ tới đường tròn nội tiếp

Thế thì ta có

Lại có

Từ đây ta được điều phải chứng minh

3/ Bài toán ứng dụng tính chất khác về  hai đường tròn tiếp xúc

Phần này ta tiếp tục tìm hiểu thêm về một tính chất khác về hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau và sự ứng dụng của tính chất này.

• Bổ Đề. Cho  và là hai điểm nằm trên đường tròn Một đường tròn tiếp xúc trong với tại Gọi và là hai tiếp tuyến kẻ từ và đến . Thì ta có

Lời giải. Gọi và là giao điểm thứ hai của với . Chúng ta biết rằng song song với Vì thế ta có,

Suy ra đây chính là điều phải chứng minh.

Để minh họa cho bổ đề này, chúng ta sẽ đến với một vài ví dụ. Bài toán sau đây đã được đề nghị của Nguyễn Minh Hà, trong tạp chí toán học và tuổi trẻ (2007).

 Bài toán 4. Cho là đường tròn ngoại tiếp của tam giác và là tiếp điểm của đường tròn  nội tiếp tam giác với cạnh Chứng minh rằng

Lời giải. Gọi và lần lượt là hai tiếp điểm của đường tròn với cạnh và Theo bổ đề trên ta có,

Vì vậy tam giác và đồng dạng. Suy ra có nghĩa là cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy

 Bài toán 5. Cho là tứ giác nội tiếp trong đường tròn Cho là đường tròn tiếp xúc trong với tại và tiếp xúc với tại Gọi là giao điểm của với Chứng minh rằng là đường phân giác trong của góc

Lời giải. Từ bổ đề, chúng ta có được vì vậy bài toán sẽ được chứng minh nếu ta có

Chú ý rằng và từ định lý hàm sin đối với hai tam giác chúng ta có được

Vì vậy, ta được suy ra điều phải chứng minh.

Sau đây là toán từ “Moldovan Team Selection” năm 2007.

 Bài toán 6. Cho tam giác và là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn tiếp xúc trong với  tại và với cạnh ở Gọi là giao điểm của với Chứng minh rằng

Lời giải.

Dùng bổ đề , ta có

Từ đây dễ dàng suy ra hai tam giác và đồng dạng.

Vì vậy

 Bài toán 7. Cho đường tròn có dây cung . Gọi là hai đường tròn tiếp xúc trong với và . Gọi  giao điểm  giữa là Chứng minh rằng đi qua trung điểm cung (không chứa ).

Lời giải. Gọi và lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với và và lần lược là tiếp điểm của đường tròn với và Cho là trung điểm của cung (không chứa ).

Áp dụng bổ đề đối với hai đường tròn và hai điểm với hai tiếp tuyến tới đường tròn , thì chúng ta có

Điều này có nghĩa là đi qua

Tương tự, cũng đi qua

Mặt khác, ta lại có

Nên bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn và gọi nó là đường tròn .

Chú ý rằng là trục đẳng phương của và là trục đẳng phương của và còn là trục đẳng phương của và Vì vậy ba đường thẳng sẽ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn này.

Vậy ta suy ra được sẽ đi qua

Chúng ta sẽ tiếp tục với một bài toán trong “MOSP Tests” năm 2007.

 Bài toán 8. Cho tam giác . Đường tròn đi qua Đường tròn tiếp xúc trong với và hai cạnh lần lượt tại Gọi là trung điểm của cung (chứa ) của đường tròn Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy.

Lời giải.

Gọi và Áp dụng định lý Menelaos trong tam giác , ta được

Mặt khác, là trung điểm của cung (chứa ) của nên là đường phân giác ngoài của góc Vì vậy, bài toán sẽ được chứng minh nếu ta có Nhưng điều này đúng theo bổ đề, nên ta có điều phải chứng minh.

 Bài toán 9. Cho là hai đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn   tại Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn này cắt ở bốn điểm. Gọi và là hai trong bốn điểm trên sao cho và nằm cùng phía với Chứng minh rằng song song với một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn

Lời giải. Vẽ hai tiếp tuyến chung trong của sao cho nằm trên và nằm trên Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của sao cho nằm cùng phía so với là giao điểm của với Giờ đây ta chỉ cần chứng minh song song với Gọi là trung điểm cung không chứa Vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn Trong bài toán 4 ta đã chứng minh được rằng thẳng hàng; thằng hàng, và là tứ giác nội tiếp. Vì vậy,

hay

Theo bổ đề ta có, Mặt khác theo định lý Ptolemy, ta được

Suy ra

Tương tự ta cũng có

Nên hay suy ra Điều này có nghĩa là là trung điểm cung của đường tròn

Vì vậy //

PH Hoat  ST  theo bài của Son Hong Ta

Trên Mathematical reflections 2 (2008)