Hoà Hoaøng Haûi  Phương trình bậc nhất – bậc hai

 

 

Bài 1.      Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

 a)    b)

 b)   d)

 e)   f)

Bài 2.      Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

  i) Có nghiệm duy nhất  ii) Vô nghiệm  iii) Nghiệm đúng với mọi x R.

 a)    b)

 c)   d)

 

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình

 Để giải và biện luận phương trình ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:

  – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình .

  – Nếu a 0 thì mới xét các trường hợp của như trên.

 

Bài 1.      Giải và biện luận các phương trình sau:

 a)    b)

 c)   d)

 e)   f)

Bài 2.      Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:

 a)    b)

 c)  d)

 

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình   (1)

  (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0   (1) có hai nghiệm cùng dấu

  (1) có hai nghiệm dương    (1) có hai nghiệm âm

 Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì > 0.

 

Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu 

ii) có hai nghiệm âm phân biệt  iii) có hai nghiệm dương phân biệt

 a)    b)

 c)   d)

 e)   f)

 g)    h)

 

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et

1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số

 Ta sử dụng công thức để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P.

 Ví dụ: 

    

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số

 Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

     (S, P có chứa tham số m).

 Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.

3. Lập phương trình bậc hai

 Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

    , trong đó S = u + v, P = uv.

 

Bài 1.      Cho phương trình:    (*). Xác định m để:

 a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.

 c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.

Bài 2.      Cho phương trình:   (*).

 a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.

 c) Tính theo m, biểu thức A = . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần ng kia.

 e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là .

 HD:  a)   b)   c) A =

  d)  e)

Bài 3.      Cho phương trình:   (*).

 a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.

 b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2  độc lập đối với m.

 c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2  thoả: .

 HD:   a) m = 3; m = 4 b)  c) m = –1; m = 2.

Bài 4.      Cho phương trình: .

 a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.

 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.

 HD:  a) m = 0; m = 1 b) .

Bài 5.      (nâng cao) Cho phương trình: ( là tham số).

 a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi .

 b) Tìm để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.

 

 

1. Định nghĩa và tính chất

    

      

     

    

2. Cách giải

 Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

  – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

  – Bình phương hai vế.

   Đặt ẩn phụ. 

  Dạng 1:  

  Dạng 2:    

  Dạng 3:  

  Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

 

 

Bài 1.      Giải các phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)   e)  f)

 g)  h)  i)

Bài 2.      Giải các phương trình sau:

 a)   b)   c)

 d)  e)  f)

Bài 3.      Giải các phương trình sau:

 a)   b)  c)

 d)   e)  f)

Bài 4.      Giải và biện luận các phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)   e)   f)

 

Cách giải:  Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

  – Nâng luỹ thừa hai vế.  – Đặt ẩn phụ.

 Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.

Dạng 1: 

Dạng 2:  

Dạng 3: 

Dạng 4: 

    Đặt với u, v 0.

    Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là uv.

Dạng 5: 

   Đặt .

Bài 1.      Giải các phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)   e)  f)

 g)   h)  i)

Bài 2.      Giải các phương trình sau:

 a)   b)

 c)  d)

 e)    f)

Bài 3.      Giải các phương trình sau:

 a)    b)

 c)    d)

 e)    f)

 g)    h)

Bài 4.      Giải các phương trình sau:

 a)  b)

 c)  d)

 e)  f)

 g)   h)

Bài 5.      Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 

 

Cách giải:  Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0).

 

Bài 1.      Giải các phương trình sau:

 a)  b)

 c)     d)

 e)   f)

Bài 2.      Giải và biện luận các phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)    e)  f)

 

1. Cách giải: 

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương

 Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.

  (1) vô nghiệm 

  (1) có 1 nghiệm

  (1) có 2 nghiệm

  (1) có 3 nghiệm

  (1) có 4 nghiệm

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn

  Dạng 1:  

  – Đặt 

  – PT trở thành:  

  Dạng 2:  

  – Đặt  

  – PT trở thành: 

  Dạng 3:   (phương trình đối xứng)

  x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho , ta được:

    PT  (2)

  – Đặt  với .

  – PT (2) trở thành: .

 

 

Bài 1.      Giải các phương trình sau:

 a)   b)   c)

 d)   e)   f)

Bài 2.      Tìm m để phương trình:

  i) Vô nghiệm   ii) Có 1 nghiệm  iii) Có 2 nghiệm 

  iv) Có 3 nghiệm  v) Có 4 nghiệm

 a)    b)

 c)

Bài 3.      Giải các phương trình sau:

 a)   b)

 c)     d)

 e)     f)

 

 

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

    

 Giải và biện luận:

  – Tính các định thức: , ,   .

 Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:               phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

 Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)  e)   f)

Bài 2.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)   e)  f)

Bài 3.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)   b)  c)

 d)  e)  f)

Bài 4.           Trong các hệ phương trình sau hãy:

  i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

 a)  b)  c)

Bài 5.           Trong các hệ phương trình sau hãy:

  i) Giải và biện luận. 

  ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.

 a)   b)  c)

Bài 6.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)  e)   f)

Bài 7.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)   b)   c)

 

 

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

  Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

  Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

2. Hệ đối xứng loại 1

 Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)).

 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa xy thì f(x, y)g(x, y) không thay đổi).

  Đặt S = x + y, P = xy.

  Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là SP.

  Giải hệ (II) ta tìm được S và P.

  Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: .

3. Hệ đối xứng loại 2

 Hệ có dạng: (I)

 (Có nghĩa là khi hoán vị giữa xy thì (1) biến thành (2) và ngược lại).

  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

    (I)

  Biến đổi (3) về phương trình tích: 

    (3) .

  Như vậy,  (I) .

  Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).

4. Hệ đẳng cấp bậc hai

 Hệ có dạng: (I) .

  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).

  Khi x 0, đặt . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo kx. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

 

 Chú ý:  – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để                             giải (sẽ học ở lớp 12).

   – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm thì   cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì .

 

Bài 1.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d) e)  f)

 g)    h)   i)  

Bài 2.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

Bài 3.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)  b)   c)

 d)    e)  f)

Bài 4.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)   b)  c)

Bài 5.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)    b)   c)

 d)    e)   f)

Bài 6.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)    b)  c)

Bài 7.           Giải các hệ phương trình sau:

 a)   b)  c)

 d)   e)  f)

Bài 8.           Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

 a)  b)   c)

 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1.           Giải và biện luận các phương trình sau:

 a)    b)

 c)   d)

Bài 2.           Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a)  b)  c)  Giải và biện luận các phương trình sau:

 a)    b)  

 b)    d)

Bài 3.           Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:

 a)   b) .

Bài 4.           Trong các phương trình sau, tìm m để:

  i) PT có hai nghiệm trái dấu  ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt

  iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt  

  iv) PT có hai nghiệm phân biệt thoả: ;

 a)   b)

 c)   d)

 e)  f)

Bài 5.           Trong các phương trình sau, hãy:

  i) Giải và biện luận phương trình.

  ii) Khi phương trình có hai nghiệm , tìm hệ thức giữa độc lập với m.

 a)    b)

 c)  d)

Bài 6.           Giải các phương trình sau:

 a)    b)   

 c)    d)  

 e)   f)

 g)   h)  

Bài 7.           Giải các phương trình sau:

 a)   b)

 c)   d)

 e)   f)

 g)  h)

Bài 8.           Giải các phương trình sau:

 a)  b)

 c)  d)

 e)   f)

 g)   h)

Bài 9.           Trong các hệ phương trình sau:

  i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

  ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.

a)  b)  c)  d)

Bài 10.       Giải các hệ phương trình sau:

 a)   b)  c)

 d)   e)  f)

Bài 11.       Giải các hệ phương trình sau:

a)  b)  c)  

d)   e)  f)

Trang 1

nguon VI OLET