bài tập đại số sơ cấp và thực hành giải toán chương III và IV

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG  III

Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.

Bài 1.1:

 Biết rằng đa thức f(x) chia cho x – 2 dư 1, f(x) chia x + 1 dư 2, tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – x – 2 .

Phân tích :

  Áp dụng định lý Bơdu về phép chia có dư trên vành đa thức R[x] khi chia f(x) cho (x – 2) ; ( x + 1) và  x2– x – 2  ta có lời giải sau.

Lời giải :

   f(x) chia cho (x - 2) dư 2 nên f(x)=(x - 2).g(x) + 1          (1)

   f(x) chia cho (x + 1) dư 1 nên f(x)=(x + 1).h(x)  + 1       (2)

Giả sử f(x) chia cho x2 – x – 2 được thương r(x) và dư  a.x + b ta có

    f(x)=(x2 – x – 2).r(x) + a.x + b                                         (3)

   Từ (1) ta có f(2) =1

   Từ (3) ta có f(2)=2a +b

    Suy ra   2a + b =1   

   Từ (2) ta có f(-1) =2 

   Từ (3) ta cò(-1) =-a +b

    Suy ra –a +b =2

  Vậy ta có hệ pt

   Do đó ta có dư của phép chia f(x) cho x2 – x – 2 là  -1/3 .x + 5/3 

Khai thác :

Tìm dư của phép chia f(x) cho x2 – 5x + 6.Biết rằng f(x) chia (x -3) dư 4 và chia (x – 2) dư 3

Bài 2.1:

CMR nếu f(x)  trong trường  Q[x] và f()=0  thì  f(x) chia hết cho  x2 – 5

    Phân tích :

Q la trường nên tổng, hiệu , tích các số hữu tỉ là số hữu tỉ . mặt khác  tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là số vô tỉ , do đó ta có lời giải

    Lời giải :

Vì f()=0 nên là nghiệm của f(x)

Giả sử f(x)=(x2 - 5) h(x) + r(x)

Vì  x2 – 5 là phương trình  bậc hai nên r(x) =a.x +b

Ta có f()=(()2-5) h(x) + .a + b

              0 = . a + b  (a,b Q)

Do là số vô tỉ nên từ . a + b =0  ta có a=b=0 . Vậy r(x)= 0

Vậy f(x) chia hết cho (x2 - 5)

      Khai thác :

CMR trong Q(x) ,mọi đa thức nhận là nghiệm đều chia hết cho (x2 – 13)

Bài 2.2:

 Cho đa thức : f(x) =( x  -  1 )n  + 2x + x2n  - 3. Chứng minh  f(x) chia hết cho  x – 1

Phân tích :

    Áp dụng định lí Bơdu và định lí về phép chia có dư trên vành đa thức  R[x] khi chia f(x) cho  x – 1  ta có lời giải sau:

Lời giải:

Ta có (x – 1)n   chia hết cho  x – 1 .do đó  ta cần chứng minh  2x + x2n – 3 chia hết cho  x – 1

    Giả sử  g(x) = 2x + x2n – 3 = (x – 1) . h(x) + r (x)

       Khi  đó   g(1) = 0.h(x) + a

                           0 = 0.h(x) + a 

          Suy ra  a = 0  . vậy  g(x) chia hết cho  x – 1

       f(x) = ( x – 1 ) n +  g (x)  Vậy f(x) chia hết cho  x – 1

    Khai thác : 

 Chứng minh f(x) = (x – a)n  - 2x + 2a  chia hết cho  x – a

Bài 3.1:

 Cho đa thức với hệ số nguyên f(x). CMR nếu f(a) và f(a+1) là các số nguyên lẻ ()thì f(x) không thể có nghiệm nguyên.

a)     Phân tích:

Xuất phát từ nhân xét một số nguyên lẻ chỉ có thể là tích của các số nguyên lẻ và hai số nguyên liên tiếp không thể cùng tính chẵn lẻ. Nên ta có lời giải sau.

b)    Lời giải:

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên c.

Theo định lý Bơdu ta có f(x)=(x-c).g(x) trong đó g(x) là đa thức với hệ số nguyên. Ta có f(a)= (a-c).g(x). Vì f(a) là số lẻ nên (a-c) là số lẻ.

Mặt khác: f(a+1) = (a+1-c).g(a+1) lẻ nên (a+1-c) lẻ. Vậy nếu f(x) có nghiệm nguyên c thì cả a-c và a+1-c đều lẻ (vô lý).

Vì a-c và a+1-c là hai số nguyên liên tiếp mà cùng lẻ nên dẫn đến điều vô lý. Do đó f(x) không thể có nghiệm nguyên.

c)     Khai thác bài toán:

Từ sự phân tích tương tự ta có thể giải được bài toán sau:

Cho đa thức với hệ số nguyên f(x). CMR.f(2x) và f(2x+1) là các số lẻ () thì f(x) không thể có nghiệm nguyên.

Bài 4.1:

 Phân thích đa thức .

a)     Phân tích:

Không thể rút nhân tử chung trực tiếp vì vậy ta sẽ nhóm các hạng tử theo các nhóm nhân tử chung là x, y và z. Từ đó ta có lời giải sau:

a)     Lời giải:

b)    Khai thác bài toán:

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải bài toán tương tự sau:

1. phân tích đa thức sau: N = xy+ yz + xz +y2 – xz – yz
2. phân tíc đa thức sau: M = a(b+c)2 + b(c +a)2 + c(a+b)2 – 4abc

Bài 4.2. Phân tích đa thức sau:

 Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x3(y2 – z2) + y3(z2 – x2) + z3(x2 – y2)

1. Phân tích:

Không thể rút nhân tử một cách trực tiếp vì vậy ta sẽ nhóm các hạng tử theo các nhóm nhân tử chung là x, y  và z. Từ đó ta có lời giải sau:

2. Lời giải:

A = x3(y2 – z2) + y3(z2 – x2) + z3(x2 – y2)

    = [ x3y2 – x3z2 + y3z2 – y3x2] + z3(x2 – y2)

    = [x2y2(x – y) + z2(y3 – x3)] + z3(x2 – y2)

    = [x2y2(x – y) – z2(x – y)(x2 + xy + y2)] + z3(x – y)(x + y)

    = (x – y)[x2(y2 – z2) – xz2(y – z) + yz2(z – y)]

    = (x – y)(y – z)[x2y + x2z – z2x – yz2]

    = (x – y)(y – z)[y(x2 – z2) – xz(x  + z)]

    = (x – y)(y – z)(x – z)(xy + yz + zx)

1. Khai thác

Ta có bài toán tương tự như sau:

1. phân tích đa thức thành nhân tử: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
2. phân tích đa thức thành nhân tử: xy + yz + zx + y2 – xz – yz.

Bài 4.3  Cho tính

Giải

    =     với

    =                         với

    =

Bài 5.1: Phân tích các đa thức thành nhân tử

Giải

              =

             =

              =

              =

             =

             =

              =

               =

     =

     =

     =

     =

Bài 6.1: Tính

     biết  

Giải:

    =

Với

Chủ điểm 2: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ.

Bài tập 1.1 :

             CMR : nếu > 0 thì > 0   

      A, phân tích

               Nếu tách được vế trái thành tổng hai biểu thức không âm là được. Mà ta đã có hạng tử luôn dương . Ta thấy nên ta có lời giải sau.

      B, lời giải

              Thật vậy, ta có : > 0

                                   > 0

           Vậy nếu thì ta có thể áp dụng bất đẳng thức

      C, khai thác

              CMR :

Bài toán 1.2 

              CMR : a)

                         b)

  A, phân tích

               Nếu tách được vế trái thành tổng hai biểu thức không âm là được. Mặt khác vế trái đã có sẵn các hạng tử

       B,Lời giải

      a)

                            ( luôn đúng )

            b) tương tự câu a ta có :

       Ta chứng minh :

                 Do ( luôn đúng )

Vậy  

Bài 1.3 Tìm giá trị nhỏ nhất

      ( a là dãy số)

a,Phân tích

Ta tách biểu thức đã cho thành tổng hai biểu thức không âm

b,Lời giải

Ta có    

Suy ra giá trị nhỏ nhất  bằng 3/4 khi    

Vì    

Suy ra giá trị nhỏ nhất là a – 1 khi

c,Khai thác bài toán

Bài 2.1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a,Phân tích

Ta tách biểu thức thành tổng2 biểu thức không âm

b,Lời giải

Mặt khác có     

Biểu thức có giá trị nhỏ nhất khi    

Mặt khác có    

Biểu thức có giả trị nhỏ nhất khi    

c,Khai thác

CMR    

Bài 2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất

a, Phân tích.

Ta tách biểu thức thành tổng của hai số không âm.

b, Lời giải

Ta nhân tử và mẫu của C với 2005 ta được

Mặt khác     

Suy ra giá trị nhỏ nhất   

c, Khai thác bài toán

Tìm giá trị nhỏ nhất 

Bài 3.1 CMR nếu  

                       Thì

a,Phân tích

Do biểu thức  chứa                             mà lại chứa

Nên ta nghĩ đến sử dụng hằng đẳng thức

b,Lời giải

Theo gỉa thiết ta có

Mặt khác có    

Từ (1),(2) suy ra      

C,Khai thác bài toán

Cho                                                              tính   

Bài 3.2:

  Cho    .Tính   

• Phân tích :

                 Nhận thấy 

         Do biểu thức chứa  nên ta sử dụng hằng đẳng thức :

• Lời giải :

 Vì  theo giả thiết  .