BÀI TẬP HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1) Cho hàm số 
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Hướng dẩn: Ta có: y’ = 3x2 6mx = 0 
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m 0. Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) 
. Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3). Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 
Giải ra ta có: 
; m = 0
2) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1)
-
Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
-
Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Hướng dẫn: Ycbt tương đương với phương trình 3x2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3. 
Giải hệ trên ta được m = -105
3) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
Hướng dẫn
Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và y’(x1).y’(x2) = - 1 Hay
Giải ra ta có ĐS: m = 
4) Cho hàm số 
có đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
HD: 
HD: Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình 
Do (1) có 
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB2 nhỏ nhất
m = 0. Khi đó 
1) Cho hàm số 
. Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân
HD: Ta có 
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt khi 
. Toạ độ các điểm cực trị 
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: 
vì đk (1)
Trong đó 
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1
2) Cho hàm số y = x3 (m + 1)x + 5 m2.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm 
thẳng hàng.
HD : Có y’ = 3x2 (m + 1). Hàm số có CĐ, CT
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 3(m + 1) > 0 m > 1 (*)
y” = 6x = 0 x = 0 Đồ thị có tâm đối xứng là U(0 ; 5 m2)
CĐ, CT của đồ thị và U thẳng hàng
Từ giả thiết suy ra I trùng U 5 m2 = 4 m = 1 (do (*))
3) Cho hàm số 
có đồ thị (C).Tìm m sao cho tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của ( C ) song song với (
HD: Gọi 
là tiếp tuyến của (C), do 
song song với dm nên 
= - 9 
.
* Với x=-1 suy ra pt (): y = -9x-9.
* Với x=3 suy ra pt (): y = -9x+25
Kết hợp với giả thiết bài toán suy ra m = - 9 hoặc m = 25
4) Cho hàm số: 
có đồ thị ( 
). Xác định m để đường thẳng (d): 
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
(với O là gốc tọa độ).
HD : Phương trình hoành độ giao điểm
(*) có 2 nghiệm phân biệt 
1) Cho hàm số 
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình: 
có 6 nghiệm phân biệt từ đồ thị (C)
Ta có pt 
, (2).
Xét hs 
là hàm số chẵn, suy ra đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Mặt khác : Với 
, ta đã có đồ thị ở trên.
Vậy ta có đồ thị hàm số (C’)như hình bên :
Nhận xét: Nghiệm của pt(2) là hoành độ điểm chung giữa đồ thị hàm số (C’) và đường thẳng (d) : y=3m-2 song song với Ox cắt Oy tại y = 3m-2. Suy ra số nghiệm pt(2) là số giao điểm giữa (C’) và (d)
Vậy để pt(2) có 6 nghiệm 
2) Cho hàm sô y = 4x2 – x4 . Tìm k để đường thẳng (d): y = k cắt (C) tại bốn điểm, có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Sử dụng Viet đối với phương trình trùng phương : t2 – 4 t + k = 0 ( t = x2)
Hoành độ giao điểm lập thành một cấp số cộng pt có 2 nghiệm dương thoả t2 = 9t1
KQ: k = 
3) Cho hàm số 
có đồ thị (C).Tìm trên (C) điểm M có hoành độ nguyên dương sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho 
HD : Gọi 
, x0 là số nguyên dương. PTTT với (C) tại M là 
. Gọi tiếp tuyến là (t). Hoành độ giao điểm của (C) và (t) là nghiệm phương trình
suy ra
nguon VI OLET
