Bài toán đi vào lịch sử thi HSG thế giới

Bài toán đi vào lịch sử thi HSG thế giới

Bài toán này được chính thức xuất hiện cách đây hơn 20 năm trong cuộc thi dành cho học sinh giỏi toán đến từ 16 quốc gia trên thế giới. Đó là vào năm 1995, tại kỳ thi học sinh giỏi cuối cấp trung học phổ thông của 16 quốc gia. Cuộc thi dó có một đề thi đơn giản mà rất hay: “Dây quấn quanh ống trụ tròn”.

Đề bài “Dây quấn quanh ống trụ tròn” như sau:

"A string is wound symmetrically around a circular rod. The string goes exactly 4 times around the rod. The circumference of the rod is 4 cm. and its length is 12 cm. Find the length of the string? Show all your work".

Đề toán nay được dịch ra tiếng Việt là:

“Một sợi dây được quấn đối xứng 4 vòng quanh một ống hình trụ tròn đều. Ống trụ có chu vi 4 cm và độ dài là 12 cm.

Hỏi: Sợi dây dài bao nhiêu cm? Giải thích cách làm”.

Bài toán được Hiệp hội đánh giá thành tựu giáo dục quốc tế (IEA) cho rằng câu hỏi này đã có tác dụng thách thức trí tưởng tượng của hầu hết các thí sinh. Và kết quả chỉ có 4% học sinh Mỹ trả lời đúng và 10 % học sinh tham dự cuộc thi có đáp án chính xác.

  *   *    *                                       Hình 1  

                         Hình 2                       Nhận xét:

-         Bài toán đòi hỏi H S có trí tưởng tượng tốt về hình không gian. Nếu hình dung ra như hình 1 trên thì bài toán trở nên đơn giản.

-         Khai triển hình trụ tròn đều và dây cuốn ra mặt phẳng (Hình 2) ta chỉ việc áp dụng định lý Pytagor sẽ tính được độ dài dây cuốn.

Bài giải:

-         Cắt một đường thẳng dọc từ M đến N ( là 2 điểm đầu và cuối của 4 vòng dây cuốn), Từ đó khai triển mặt xung quanh hình trụ ra mặt phẳng ta có hình chữ nhật ABCD.

-         Chiếu 4 vòng dây cuốn ra hình chữ nhật ABCD ta có 4 hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật nhỏ có kích thước 3 x 4 (cm); Vì 12: 4=3 cm.

-         Đường đi của dây cuốn chính là 4 đường chéo của 4 hình chữ nhật nhỏ. Đường chéo này cũng là cạnh huyền của các tam giác vuông Pytagor có cạnh góc vuông là 3 và 4 đơn vị. Do đó cạnh huyền bằng 5 đơn vị (cm)

-         Tổng độ dài của dây cuốn = 5 x 4 = 20 đơn vị = 20 (cm).

                   Đáp số : Độ dài 4 vòng dây cuốn là 20 cm

Bình luận:

-         Bài toán hay ở chỗ không dài dòng, không lắt léo nhưng gợi mở trí tưởng tượng và óc suy luận của  H S, tuy nhiên, khi giải chỉ cần dùng các kiến thức rất cơ bản của chương trình phổ thông.

-         Các thông số tính toán cũng được cân nhắc rất hay, để cho H S không cần tính toán mất nhiều thời gian (khai căn bậc 2 chẳng hạn…), chỉ cần nhớ các “Bộ số Pytagor” 3;4;5 là ra đáp số.

-         Từ bài toán này, các cuộc thi H S giỏi có thể ra nhiều đề tương tự, chỉ cần thay thông số hoặc lật lại chi tiêt trong đề.

PHH  Sưu tầm, giải & bình luận   1/ 2016

s