GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN .
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn là ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) .
b) Dãy số không đổi , với , có giới hạn là .
c) Dãy số có giới hạn là nếu có thể gần bao nhiêu cũng được, miễn là đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn
Định lí 4.1
Cho hai dãy số và .
Nếu với mọi và thì .
STUDY TIP
Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là .
Định lí 4.2
Nếu thì .
Người ta chứng mình được rằng
a).
b)
c)với mọi số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d)với mọi và mọi cho trước.
STUDY TIP
Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về )
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực nếu .
Kí hiệu: .
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
STUDY TIP
Dãy số không đổi với , có giới hạn là .
khi và chỉ khi khoảng cách trên trục số thực từ điểm đến trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi tăng thì các điểm “ chụm lại” quanh điểm .
Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
2. Một số định lí
Định lí 4.3
Giả sử . Khi đó
a)và .
b) Nếu với mọi thì và .
Định lí 4.4
Giả sử ,và là một hằng số. Khi đó
a) . b).
c). D).
e)(nếu ).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa .
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.
1. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng:
a) .
b)
c)với một số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d) nếu .
2. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Nhận xét:
a).
b) Nếu thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn đủ lớn. Đo đó trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn đủ lớn. Nói cách khác, nếu thì .
STUDY TIP
Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Định lí 4.5
Nếu thì .
STUDY TIP
Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về ).
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
Nếu và thì được cho trong bảng sau:
nguon VI OLET
