BÁT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
*
(Tài liệu tham khảo: Phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học – NGUY6ẼN HỮU ĐIỀN)
A. BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1
Giả sử BC ≥ CA ≥ AB
Tổng khoảng cách nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra. có các trường hợp sau:
a)Nếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng C (đỉnh đối diện cạnh ngắn nhất)
b)Nếu BC=CA>AB: thì chon MC’=0, M thuộc AB (cạnh ngắn nhất)
c)Nếu BC=CA=AB: thì M chọn bất kỳ trong tam giác ABC hoặc trên cạnh của nó.
Hệ quả:
Bài 2:
Giả sử CA≥CB.
Gọi D là đối xứng của B qua C.
Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD (tại F).
Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t)
Nếu (t) cắt AB tại E:
2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE
Nếu (t) cắt AD tại E:
2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF
Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất.
Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm dân cư xa nhất đối với C).
Bài 3: (bài toán đẳng chu)
Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y thì a=x+y
Diện tích hình chữ nhật là S=xy.
Ta có 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2.
Bài toán được chứng minh.
Bài 4: (bài toán cổ)
Gọi x là chiều dài cạnh khu vườn vuông góc với con sông thì cạnh kia là S/x và độ dài hàng rào P của khu vườn là:
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
, suy ra cạnh còn lại.
Giá trị nhỏ nhất của P là 
.
Bài 5:
Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón.
Ta có 
Suy ra 
Sxq của hình trụ là:
khi h=H-h
Tức là h=H/2. Bài toán được chứng minh.
Bài 6:
Gọi r và h là độ dài bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Ta có 
, 
Suy ra 
Khi 4r2=h2 tức là h=2r. Bài toán được chứng minh.
Bài 7:
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật.
khi 
Khi đó ta có hình vuông cạnh
Bài 8:
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi P là chu vi hình chữ nhật.
khi 
Khi đó ta có hình vuông cạnh
Bài 9:
Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón.
Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón.
t là góc nhọn nhỏ hơn 450.
Thể tích khối nón là: 
Suy ra: 
khi 
Suy ra 
và 
Bài 10:
Gọi x=AC, BC=kx, góc ACB=t.
Chu vi P=2p=k+AB.
Ta có 
P đạt nhỏ nhất khi tích x(k-x) lớn nhất
Khi dấu đẳng thức xảy ra thì x=k/2, tức là AC=BC=k/2, AB=k.sin(t/2)
Bài 11:
Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại K.
Đặt AK=x, BK=y.
Ta có AC=x+r, AB=y+r
Mà AB2=CA2+CB2 ta có:
Suy ra 
Suy ra 
r lớn nhất khi r2+rc lớn nhất khi x=y=c/2
Giải phương trình 
ta có 
.
Bài 12:
Ta có Q=3a2+3b2.
khi 
Bài 13:
Đặt AB=x thì 2S=x.AC.sint 
Và 
a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được:
Suy ra 
b)
, 
c)
Chu vi tam giác là P=x+b+c
Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi nên P cũng đạt nhỏ nhất tại đó 
Bài 14:
Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x.
Chiều cao hình hộp là 
Sxq đạt nhỏ nhất khi 
đạt nhỏ nhất
khi 
Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông.
Bài 15:
Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’.
AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC.
Theo giả thiết S(ABC)=2S(AB’C’)
Suy ra 
m ngắn nhất là 
khi 
Bài 16:
Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a1,a2), B(a1+b1;a2+b2), …,M(a1+b1+…+m1;a2+b2+…+m2)
Ta có:
Mở rộng cho không gian n chiều:
Ghi chú: có thể hiểu trên ý nghĩa của véc tơ:
Bài 16:
x=AB thì cạnh huyền BC=kx.
Suy ra 
Diện tích 
khi 
(khi đó 
)
Bài 17:
Vậy S lớn nhất là 
khi a=b=c=2p/3
Bài 18:
Tam giác ABC vuông tại B có CD là đường cao.
Đặt AD=x, ta có AC2=AD.AB=x.2R.
CB2=4R22Rx.
CD.AB=CA.CB 
Khi x=4R/3.
Bài 19:
Đặt AB=x thì cạnh AC=2pax
khi 
Khi có 
khi a=2p/3
Bài 20:
Đặt OE=r, OH=a, OK=x, KF=y (như hình vẽ)
Suy ra 
(0
Diện tích hình chữ nhật CDFE là :
Ta thêm vào 2 biến tham số u,v:
Ta chọn u,v sao cho:
Giải ra 
Ta chỉ nhận x>0 nên 
Ta kiểm tra x
(đúng)
Có x=OK dựng được CDFE.
Bài 21:
Gọi 3 kích thước là x,y,z (z là chiều cao)
S=2(x+y)z+xy=2xz+2yz+xy
V đạt lớn nhất là 
khi:
B. BÀI LÀM THÊM:
Bài 22:
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
Bài 26:
Bài 27:
Bài 28:
Bài 29:
Bài 30:
