Bµi 1:        Chøng minh r»ng      >   víi

Gi¶i

XÐt hµm sè =  - -   liªn tôc vµ kh¶ vi víi mäi 

             =  -,   

nÕu     th×     ®ång biÕn  

     >          - 1 -     > 0     >      (1)

  NÕu      th×       nghÞch biÕn   

    >           -1-     > 0     >      (2)

      Tõ (1),(2)       >   víi              ®pcm.

Bµi 2 : ( §H KiÕn Tróc Hµ Néi )

            Chøng minh r»ng bÊt ®¼ng     ®óng víi mäi  

Gi¶i

Yªu cÇu bµi to¸n      < 0

XÐt   .Ta cã = ,   

               Do ®ã nghÞch biÕn trong        <  =0  víi 

 

nghÞch biÕn trong             <  

              <0   hay    víi                ®pcm.

Bµi 3:    Chøng minh r»ng <    víi

Gi¶i

              Ta h­íng dÉn cho häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc      

                      chøng minh            víi                                        

           Ta chøng minh        víi

         XÐt  = - ,

                  =   <0          nghÞch biÕn    

                  <   víi              -      (1)

          Ta chøng minh   <

XÐt        ==

  víi mäi >0   ®ång biÕn >=0

víi   hay >0  víi   ®ång biÕn >=0  víi   <  víi                   (2)

              Tõ (1),(2)       <    víi          ®pcm.

Bµi 4:   Chøng minh r»ng             víi

Gi¶i

  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si:     =

   

Yªu cÇu bµi to¸n   ViÖc chøng minh              

                                          víi  

          xÐt hµm sè =   víi     ,    

            =        

                         (v× víi )

    ®ång biÕn     víi  

    =

             hay        víi                ®pcm.

Bµi 5:    (§H D­îc )

   Víi   , chøng minh r»ng  

Gi¶i

XÐt hµm sè   víi

Ta cã  

                    ®ång biÕn trong kho¶ng                   

                  . §¼ng thøc x¶y ra 

Mµ 

         §¼ng thøc chØ x¶y ra   

    .Do ®ã               víi                ®pcm.

Bµi 6         Cho ,     Chøng minh r»ng  

Gi¶i

              XÐt hµm sè      trªn    ,

          Ta cã <0   víi   

              gi¶m trªn                 , 

                       , 

               Hay                        ®pcm.

 

Bµi 7:          Chøng minh r»ng        víi   th×

                       

 

Gi¶i

            XÐt hµm sè               víi

        Ta cã        vµ            

        ®ång biÕn        víi

 

                     ®pcm.

Bµi 8:            ( §Ò thi thö §H Qu¶ng X­¬ng I)

                   Cho

                  Chøng  minh r»ng    >     

Gi¶i

     Yªu cÇu bµi to¸n           >

XÐt  hµm sè  =    víi 0<

      ,     

  (v× th× )   nªn   do ®ã   khi 0<

        lµ hµm sè gi¶m trªn kho¶ng     víi 0

                       >   

               hay      >                            ®pcm.

 

Bµi 9:            Chøng minh r»ng

Gi¶i

                 XÐt hµm sè    víi 

Ta cã     ( v× ta ®· cã        nÕu )

              hµm sè lµ ®ång biÕn  trªn

víi 5<6 th× <      ,  tøc lµ

                         ( 2)

chøng minh t­¬ng tù ta còng cã      (3)

Nh©n tõng vÕ (2) vµ (3)    ta suy ra                  ®pcm.

 

Bµi 10:      Cho z>0 chøng minh

Gi¶i

      BÊt ®¼ng thøc                  

               ®Æt u= ,  v =   ta cã u

nªn bÊt ®¼ng thøc cã d¹ng     

       (2)

NÕu v=1 th× (2) cã d¹ng       tøc lµ (2) ®óng

NÕu    xÐt hµm sè       víi

Ta cã

            (do vµ  )    lµ hµm sè ®ång biÕn  khi     nªn  mäi     ta cã 

mµ  =>0  nªn  0  f (u) lµ hµm sè ®ång biÕn khi u  1  Tøc lµ   1 ta cã f(u)  f(1) = v2 - 2v + 1 = (v- 1)2 > 0

VËy u3(1 - v) + u2v2 - u2v3 - uv (1 + v2) + v2  0    1 > v > 0     

Hay víi    ®pcm.

 

Bµi 11:     Chøng  minh       víi mäi

Gi¶i

             Ta chøng minh   

XÐt  =  ,  =

Suy ra     ®ång biÕn  víi mäi   

  ,   víi mäi        (1)

               Ta chøng minh  

§Æt  g víi   , 

            , khi

            ,            khi

                    , víi                                                   (2)         

Tõ  (1),(2)         <     ,víi mäi            ®pcm.

 

 

     Bµi 12            Chøng minh r»ng     víi

Gi¶i

 

         Do nªn       ,

        H­íng dÉn häc sinh  ®­a vÒ chøng minh     

                   Ta chøng minh      

     V×    nªn                       (1)

                    Ta chøng minh        

   §Æt           ,

         ,  víi    hµm sè ®ång biÕn  víi

                                     víi                                 

               

   VËy        ,            ®pcm.

Bµi 13:      Chøng minh r»ng :  víi

Gi¶i

        Yªu cÇu bµi to¸n  

XÐt hµm sè = víi .

Ta cã =-2  víi

       do c¸c vÕ ®Òu d­¬ng  

         ®Æt  = ,

 

                  ,

      víi     = 0    víi                      ®ång biÕn   >   ®ång biÕn  

.  > ®ång biÕn   

  víi

    Do ®ã     Hay           ®pcm.

   

Bµi 14:          Cho a,b,c>0 vµ chøng minh r»ng

                                               (1)

 

Gi¶i

 Tõ gi¶ thiÕt     ,        vµ   

thay vµo (1) ta cã         

                       ( do a, b ,c ®Òu d­¬ng )

XÐt hµm sè ,

                     

  >0      vµ    <0   

     0<                 

  Do ®ã  0<           

                           

    T­¬ng tù            

                             

Do ®ã                          ®pcm.

.

 

Bµi 15:  Cho vµ 

                       chøng minh

 

 

Gi¶i

       XÐt hµm sè   víi   ta cã   khi

         Nªn lµ hµm sè nghÞch biÕn  Tõ gi¶ thiÕt ta cã

               

            Tõ ®ã ta cã       

                                   

                             ………………….

                                  

                  Hay                (1)

                         L¹i cã

                        

                          ………………

                                                                 

    (2)

                     Tõ  (1) vµ (2)   

                   hay                                                ®pcm.

 

 

Lo¹i 2:   Dïng ®Þnh lý lagrange:

 

 1.C¬ së ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

 

§Þnh lý lagrange: NÕu hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n  vµ kh¶ vi th× tån t¹i mét sè c sao cho a

 

                  2.Bµi tËp

Bµi1:          Chøng minh r»ng.    víi 0

 

 

 

Gi¶i:

                  xÐt hµm sè :      ,

        Hµm sè tho· m·n c¸c yªu cÇu cña ®Þnh lý Larange trªn  

                                    ta cã:   

             Do     a    nªn      

                                           ®pcm.

 

 

Bµi 2.  Chøng minh r»ng víi mäi   x;y R ta cã:

Gi¶i:

     XÐt hàm sè f  ,   

Hàm sè f liªn tôc vµ kh¶ vi trªn   víi mäi x;yR tho¶  m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange          ta cã:

                                do            

                            

Bµi 3:    Chøng minh r»ng:  víi 0

Gi¶i:

XÐt hµm sè   liªn tôc vµ  kh¶ vi trªn

                  ,

          sao cho     

         .

    Do a  nghÞch biÕn trªn    nªn  

             víi 0

 

      Bµi 4:  Cho vµ chøng minh r»ng

Gi¶i:

XÐt hµm sè   víi          ta cã   

Theo ®Þnh lý lagrange th×  tån t¹i     tho¶ m·n 

         =      

               ( v×     )        

          bÊt ®¼ng thøc ®óng víi c> vµ  ->0

               hay   víi  vµ               ®pcm.

 

       Bµi 5:     Chøng minh r»ng: ln <     mäi >0

Gi¶i

      XÐt hµm sè      víi t     theo ®Þnh lý lagrange   

                 sao cho =  ,

                        ln  

             hay     ln <    mäi >0                  ®pcm.

 

Tr­êng hîp gÆp bµi to¸n ch­a thÓ vËn dông ®Þnh lý lagrange ®­îc ngay  viÖc chän hµm sè tho· m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange rÊt quan träng

 

Bµi 6:   Chochøng minh r»ng:     (1)

 

Gi¶i:

 §©y lµ d¹ng bµi to¸n ch­a thÓ  vËn dông ®Ýnh lý lagr¨nge ®­îc ngay.

        Ta h­íng dÉn häc sinh ®­a vÒ chøng minh

          víi x>0

   XÐt hµm sè f = 

                  f (2)

XÐt hµm sè G  trªn      theo ®Þnh lý lagrange th× tån t¹i c :    sao cho  G         ln

    V× c        >      >     

     - >0         f >0      ®ång biÕn

       trªn         >                  

          hay      víi x>0                  ®pcm.

Bµi 7:     Cho n   chøng minh r»ng :    < víi mäi

Gi¶i 

   H­íng dÉn häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc t­¬ng t­¬ng víi chøng minh bÊt ®¼ng thøc           <     

    <     víi mäi                          

ta cã 

  .          

tõ      vµ    ta sÏ chøng minh <    

         >          ln  >

XÐt hµm sè     kh¶ vi trªn   theo ®Þnh lý lagrang

     ®Ó        .     Do   nªn              ln  >

VËy        <   víi mäi vµ n            ®pcm.

Bµi 8:       Cho 0

                      -       

Gi¶i:

         XÐt hµm sè:

             (   )  theo ®Þnh lý lagrage th× tån t¹i c  tho· m·n

                      

         Nªn tõ (1)     -      

                         

                     ( v× )

         BÊt ®¼ng thøc  ®óng v× o

               VËy ®· ®­îc chøng minh.