BDHSG TOAN 8-3

Boài döôõng HS gioûi Toaùn 8

BAØI 15:

Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A (AC > AB), ñöôøng cao AH. Treân tia HC laáy HD = HA. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC taïi D caét AC taïi E.

a)     Chöùng minh AE = AB.

b)     Goïi M laø trung ñieåm cuûa BE. Tính goùc AHM.

Giaûi

a)     Keû EF AH. Ta coù    = 900 , = 900 , = 900

    Töù giaùc EFHD laø HCN   => EF = AH

Xeùt AHB vaø EFA coù:   ; EF = AH;

=> AHB = EFA ( g.c.g)    => AB = AE

    b)  Noái MA, MH, MD.

          Xeùt AMH vaø DMH coù:

    AH = HD (gt)

    MH caïnh chung

    DM = AM = ( ñöôøng TT öùng vôùi caïnh huyeàn)

       => AMH = DMH (c.c.c)        =>       => = 450

   * BAØI 16:

 Cho tam giaùc ABC coù chu vi baèng 18. Trong ñoù BC laø caïnh lôùn nhaát. Ñöôøng phaân giaùc goùc B caét AC ôû M sao cho . Ñöôøng phaân giaùc goùc C caét AB ôû N sao cho . Tính caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

      Giaûi

   Ta coù:

   BM laø phaân giaùc =>    => AB = (1)

CN laø phaân giaùc =>   => AC = (2)

Maø : AB + BC + AC = 18 (3)

Töø (1), (2) vaø (3) => + BC + = 18  => BC = 8 ; AB = 4; AC = 6

• BAØI 17:      Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû:

a)     x2 + 6x + 5

b)     x4 + 2007x2 + 2006x + 2007.

c)     (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1.

• BAØI 18:

Cho bieåu thöùc: A =   (x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ )

a)     Ruùt goïn bieåu thöùc A.

b)     Tính giaù trò cuûa A vôùi x = 6022.

c)     Tìm x ñeå A < 0.

d)     Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå A nhaän giaù trò nguyeân.

Giaûi

a)     ÑKXÑ:  x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠                   A =

  b) Thay x = 6022 vaøo A ta coù:                A = = 2007

  c) A nhaän giaù trò nguyeân khi x nguyeân vaø x – 1 chia heát cho 3. Ta coù:

      x – 1 = 3k => x = 3k + 1 (vôùi k nguyeân)

   Vaäy vôùi x = 3k + 1 (k nguyeân) thì A nhaän giaù trò nguyeân.

• BAØI 19:

Giaûi phöông trình:  

      Giaûi



 (123 – x)

 123 – x = 0 Vì

 x = 123

Vaäy nghieäm cuûa p.t laø x = 123

• BAØI 20:

Cho tam giaùc ñeàu ABC, goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Moät goùc xMy baèng 600 quay quanh ñieåm M sao cho 2 caïnh Mx, My luoân caét caïnh AB vaø AC laàn löôït taïi D vaø E. CM:

a)     BD.CE =

b)     DM, EM laàn löôït laø tia phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE vaø CED.

c)     Chu vi tam giaùc ADE khoâng ñoåi.

Giaûi

a)     Trong BDM ta coù:

     ;   Vì = 600 neân ta coù:    =>

  BMD ~ CEM (g.g)   (1)    => => BD.CE = BM.CM

  Vì : BM = CM = => BD.CE =

b)     Töø (1) => maø BM = CM neân ta coù:

=>

= 600

             => BMD ~ MED (c.g.c)   =>    => DM laø phaân giaùc

    CM töông töï ta coù: EM laø phaân giaùc

c)     Keû MH AB; MI DE; MK AC

    vuoâng DHM = vuoâng DIM  ( CH- GN)        =>  DH = DI

     vuoâng MEI = vuoâng MEK (CH – GN)      =>  EI = EK

  CVADE = AD + DI + IE + AE   = AD + DH + EK + AE  = AH + AK

Maø: vuoâng AHM = vuoâng AKM (CH – GN)

    AH = AK  => CVADE = 2AH  ( khoâng ñoåi)

• BAØI 21:Cho x + = a. Tính:x2 + ; x3 + ; x4 + ; x5 +

Giaûi

a)     x2 + = = a2 – 2

b)     x3 + =   =   = a(a2 – 2 – 1) = a(a2 – 3)

c)     x4 + = (x2)2 + = - 2  = (a2 – 2)2 – 2 = a4 – 4a2 – 4 – 2 = a4 – 4a2+2

d)     x5 + =

                   =    =

                   = a   = a(a4 – 4a2 + 2 – a2 + 2 + 1)

                   = a(a4 – 5a2 + 5) = a5 – 5a3 + 5

• BAØI 22: Giaûi phöông trình baèng caùch ñaët aån phuï:

     3

Ñaët y = => x2 + = = y2 – 2

Ta coù phöông trình:

    3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0       3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0

 3y2 – 6 – 13y + 16 = 0        3y2 – 13y + 10 = 0

 3y2 – 10y – 3y + 10 = 0    3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0

 (y – 1)(3y – 10) = 0           y = 1 vaø y =

* y = 1  x + = 1   => x2 – x + 1 = 0      > 0    x          Vaäy p.t VN.

*  y =  x +     3x2 – 10x + 3 = 0   (3x – 1)(x – 3) = 0

P.t coù 2 nghieäm laø x = vaø x = 3.

  * BAØI 23: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp theâm bôùt cuøng 1 haïng töû)

a)     a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4  = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2

   = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2   = (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab)

b)     a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + a2 – a2 + 1    = (a2)2 + 2a2 + 1 – a2

     = (a2 + 1)2 – a2     = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)

• BAØI 24:

Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp ñaët bieán phuï)

a)     Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

  Ñaët: Y = x2 + x + 1  ta coù:

    Q = Y(Y + 1) – 12     = Y2 + Y – 12    = Y2 – 3Y + 4Y – 12    = (Y – 3)(Y + 4)

Trôû veà bieán x ta ñöôïc:

    Q = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)

a)     P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24   = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24

        = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24  = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 4 + 2) – 24

Ñaët  Y = x2 + 5x + 4  ta ñöôïc:

     P = Y(Y + 2) – 24   = Y2 + 2Y – 24 = Y2 + 6Y – 4Y – 24  = (Y + 6)(Y – 4)

Trôû veà bieán x ta ñöôïc:

     P = (x2 + 5x + 4 + 6)(x2 + 5x + 4 – 4)

      P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x ) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

   *BAØI 25: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (duøng pp phoái hôïp nhieàu pp)

a)     x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1   = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1)

     = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1)   = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1)

      = (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13]

     = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1]

     = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)]

b)     a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc  = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc)

  = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab) = (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)]

  = (a + b)(ab + c2 + ac + bc) = (a + b)(b + c)(c + a)

   *BAØI 26:

Cho töù giaùc ABCD coù AD = BC. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. Tia MN caét tia AD ôû E vaø caét tia BC ôû F. CM: .

      Giaûi

Goïi I laø trung ñieåm cuûa BD, ta coù:              

      BF // IN =>

      AE // MI =>

Xeùt MNI coù:    IM = IN (2 ñöôøng trung bình)

=> MNI caân taïi I=> =>

   * BAØI 27:

 Cho hình vuoâng ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC. Caùc ñoaïn thaúng caét nhau taïi I. CM: IA = AD.

     Giaûi

   Töø A keû AP DN caét DC taïi K, caét DN taïi I.

    Xeùt MCB vaø NDC coù:                                            

       DC = BC ;       NC = BM ;        = 900

=> MCB = NDC (c.g.c)

  =>    Maø: = 900

   => = 900 => MC DN

    Ta laïi coù:       AK DN => AK // MC

     Xeùt ADK vaø CBM coù:

            AD = BC ;       ;     = 900

     => ADK = CBM (g.c.g)     => DK = BM

      Maø M laø trung ñieåm cuûa AB => K laø trung ñieåm cuûa CD

    DP = IP ( PK laø ñöôøng TB DIC)

    DAI caân taïi A  => AD = AI

*BAØI 28: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH chia caïnh huyeàn thaønh 2 ñoaïn coù ñoä daøi  9 cm vaø 16 cm. Tính chu vi tam giaùc ABC.

      Giaûi

 Xeùt ABH vaø CBA coù: chung  ;     AÂ = = 900

     => ABH  ~ CBA (g.g)    => 

     => AB2 = CB.BH  = 25. 9 = 225  => AB = 15 (cm)

Aùp duïng ÑL Pitago trong vuoâng ABC ta coù:

 AC2 = BC2 – AB2   = 252 – 152 = 625 – 225 = 400

    AC = 20 (cm)

Chu vi ABC:    AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm)

• BAØI 29:Giaûi phöông trình:       3x4 – 13x3 + 16x2 – 13x + 3 = 0

    Giaûi

Chia 2 veá cho x2 ta coù:        3x2 – 13x + 16 = 0

       3 + 16 = 0

        Ñaët:  x + = y  => x2 + = y2 – 2

    3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0      (y – 1)(3y – 10) = 0    

* y = 1 => x + = 1       PT naøy VN.

   Vì: x2 – x + 1 = > 0

• y = => (3x – 1)(x – 3) = 0  

Vaäy p.t ñaõ cho coù 2 nghieäm laø x = vaø x = 3.    

*BAØI 30:  Chöùng minh raèng:

 a)     (vôùi a, b > 0)

 b)    (vôùi a, b, c > 0)

 c) (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc   (vôùi a, b, c > 0)

            Giaûi

c)Ta coù:  (a – b)2 ≥ 0  => a2 + b2 ≥ 2ab      (a2 + b2)c ≥ 2abc

Töông töï ta coù: (b2 + c2)a ≥ 2abc

          (c2 + a2)b ≥ 2abc

    (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc

Xaûy ra ñaúng thöùc  a = b = c

a)     Ta coù:(a - b)2 ≥ 0  <=> a2 + b2 -2ab ≥ 0

                     a2 + b2 ≥ 2ab      

a)     Ta coù: VT = =

Theo KQ caâu a, ta coù:

VT ≥ 6

  *BAØI 31: Giaûi baát phöông trình sau:

  < 0

 < 0

 < 0  < 0

    ÑKXÑ : x ≠ 0 ; x ≠ -5

• Neáu x > 0 thì x(x + 5) > 0  > 0             Vaäy BPT voâ nghieäm.
• Neáu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0  < 0   Vaäy BPT coù nghieäm laø -5 < x < 0

*Neáu x < - 5 thì x(x + 5) > 0   > 0         Vaäy BPT voâ nghieäm.

Vaäy BPT ñaõ cho coù nghieäm -5 < x < 0

* BAØI 32:    Giaûi phöông trình: = 9

1)Neáu x < -1 thì x – 4 < 0 vaø x + 1 < 0 => = -x + 4 vaø = -x – 1

     P.t trôû thaønh: -x + 4 – x – 1 = 9   (ÑK: x < -1)  <=> x = -3 (TMÑK)

    2) Neáu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 vaø x + 1 ≥ 0 => = -x + 4 vaø = x + 1

     P.t trôû thaønh:  -x + 4 + x + 1 = 9 (ÑK: -1 ≤ x ≤ 4)  0x = 4 VN

    3) Neáu x > 4 thì x – 4 > 0 vaø x + 1 > 0 => = x – 4 vaø = x + 1

    P.t trôû thaønh:  x – 4 + x + 1 = 9  (ÑK: x > 4)  x = 6 (TMÑK)

        Vaäy p.t ñaõ cho coù taäp nghieäm laø S =

• BAØI 33: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc:  (n laø soá nguyeân döông)

a)     A =

Ta coù:    

Do ñoù:      2A =   = 1 -    =>  A =

b)     B =

Keát quaû:   B =

   *BAØI 34: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình:

                     m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x

     mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x  => (m + 4)x = 2(m + 1)

Bieän luaän:

-         Neáu m + 4 ≠ 0  m ≠ -4 ta coù: x =

-         Neáu m + 4 = 0  m = -4  p.t trôû thaønh: 0x = -6  VN

-         Khoâng coù giaù trò naøo cuûa m ñeå p.t coù VSN.

* BAØI 35: Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

a)     Phaân tích A thaønh nhaân töû.

b)     CMR: Neáu a, b, c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A > 0.

Giaûi

a)     A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 )

         = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2  = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 )

        = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ] = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b)

b) Neáu a, b, c laø caùc caïnh cuûa tam giaùc thì:

   a + b + c > 0  ; a + b – c > 0  ;  c + a – b > 0  ; c – a + b > 0   => A > 0

* BAØI 36:   Tính giaù trò cuûa ña thöùc:

a)     P(x) = x7 – 80x6 + 80x5 – 80x4 +……….+ 80x + 15  taïi x = 79

b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +………..+ 10x2 – 10x + 10   taïi x = 9

      Giaûi

a)     Ta coù:    P(x) = x7 – 79x6 – x6 + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +………..+79x + x + 15

       = x6(x – 79) – x5(x – 79) + x4(x – 79)- ………….. –x(x – 79) + x + 15

Thay x = 79 vaøo ta coù:     P(79) = 94

b)     Ta coù:     Q(x) = x14 – 9x13 – x13 + 9x12 + x12 – 9x11 - ………….. + 9x2 + x2 – 9x – x + 10

        = x13(x – 9) – x12(x – 9) + x11(x – 9) - …………. + x(x – 9) – x + 10

Thay x = 9 vaøo ta coù:    Q(9) = 1

• BAØI 37:   Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, trung tuyeán AM. Keû MD AB ; ME AC.

a)     CM : DE = AM.

b)     CM: ADE ~ ABC.

Giaûi

a)     Ta coù:      AÂ = 900 (gt)  ;   = 900 ( MD AB)   ;       = 900 ( ME AC)

    Töù giaùc ADME laø HCN.   =>  DE = AM  (2 ñöôøng cheùo HCN)

b)     Ta coù MB = MC (gt)

            MD //  AC (2 caïnh ñoái HCN)

    D laø trung ñieåm cuûa AB.

CM töông töï ta coù:     E laø trung ñieåm cuûa AC.

=> DE laø ñöôøng TB cuûa ABC  => DE // BC  => ADE ~ ABC

  * BAØI 38: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC = 9cm. Tia phaân giaùc goùc B caét ñöôøng cao AH ôû I. Bieát . Tính chu vi tam giaùc ABC.

      Giaûi

Ta coù: BI laø phaân giaùc .

Aùp duïng t/c ñöôøng phaân giaùc trong ABH ta coù:            

          =>   =>  BH = 6 cm

Ta laïi coù:  ABC caân taïi A coù AH laø ñöôøng cao neân cuõng laø trung tuyeán.

    BC = 2BH = 2.6 = 12 cm

Chu vi ABC = 9 + 9 + 12 = 30 cm

  *BAØI 39:Tìm caùc giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa phaân thöùc sau cuõng laø soá nguyeân.

   A =

          ÑKXÑ: x ≠ -2

  Ta coù:   A = (3x – 10) +

 A nguyeân  nguyeân  3 (x + 2)  x + 2 Ö (3)

    x + 2 =      ± 1 ; ± 3

 * x + 2 = 1   x = -1 (TMÑK)

 * x + 2 = -1  x = -3 (TMÑK)

 * x + 2 = 3   x = 1  (TMÑK)

 * x + 2 = -3  x = -5  (TMÑK)

 Vaäy vôùi x { -5 ; -3 ; -1 ; 1 } thì A coù giaù trò nguyeân.

  * BAØI 40:Cho x 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: A =

Tìm x ñeå A coù GTNN.

      Giaûi

Ta coù:  A =      =    = 2001 +

Vì :   (x – 1)2 ≥ 0 vaø x2 > 0         Neân: 2001 +

    GTNN cuûa A laø 2001  x = 1

• BAØI 41:Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi caïnh laø a, taâm O. Keû ñöôøng thaúng d baát kì qua O, d khoâng truøng vôùi AC, BD. Keû AM, BN, CP, DQ laàn löôït vuoâng goùc vôùi d.

Tính AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 theo a.

     Giaûi

Xeùt vuoângAMO vaø vuoâng ONB coù:

  OA = OB (t/c ñöôøng cheùo hình vuoâng)         

   (cuøng phuï )

=> AMO = ONB (CH-GN) => BN = OM

CM töông töï ta coù:  CPO = OQD => CP = OQ

AM2 + BN2 + CP2 + DQ2

          = (OA2 – OM2) + (OB2 – ON2) + (OC2 – OP2) + (OD2 – OQ2)

  = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2) – (OM2 + ON2 + OP2 + OQ2)

= (OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) – [(BN2 + (OB2 – BN2) + (OC2 – CP2) + CP2 ]

= OA2 + OB2 + OC2 + OD2 – OB2 – OC2 = OA2 + OD2 = AD2 = a2

  * BAØI 42:Cho tam giaùc nhoïn ABC, M laø ñieåm thuoäc mieàn trong cuûa tam giaùc, caùc ñöôøng thaúng AM, BN, CM laàn löôït caét caùc caïnh BC, CA, AB taïi Q, N , P.

a)     CM: .

b)     CMR: Toång khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc ABC.

Giaûi

a)     Keû MH BC ; AK BC

    MH // AK  => MHQ ~ AKQ  =>                                                           

Ta laïi coù:    =>

b) CM töông töï caâu a ta coù:      ;     

=> = = = 1 (haèng soá)

Vaäy: toång khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc ABC.

     *BAØI 43:  Cho x ≠ 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: B =

        Ta coù: B =         Ñaët: y = x + 1 => x = y – 1

    B = =   = =

Ñaët: t =    => B = 1 – t + t2 = t2 – t + 1  = (t - )2 + ≥

    GTNN cuûa B laø  t =

• t =      y = 2
• y = 2   x + 1 = 2  x = 1

           Vaäy GTNN cuûa B laø  x = 1

      *BAØI 44:Cho tam giaùc ABC caân taïi A, O laø trung ñieåm cuûa BC. Laáy 2 ñieåm M , N treân 2 caïnh BA, CA thoaû maõn: BM.BN = OB2 = OC2.CM: Ba tam giaùc MBO, OCN vaø MON ñoàng daïng.

      Giaûi

   *Xeùt MBO vaø OCN coù:                                             

            (gt)

          =>

     =>  MBO ~ OCN (c.g.c)  (1)

   * Xeùt OCN vaø MON coù:

             ( do MBO ~ OCN)    =>

    Ta laïi coù: 

    Vaø:   

     Maø :      =>      =>   OCN ~ MON  (c.g.c)  (2)

       Töø (1) vaø (2) =>  MBO ~ OCN ~ MON

• BAØI 45:   Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû:x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

      = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2      = (xy2 – yx2) + (yz2 – xz2) + (zx2 – zy2)

      = xy(y – x) + z2(y – x) –z(y2 – x2)      = (y – x)[xy + z2 – z(y + x)]

      = (y – x)(xy + z2 – zy – zx)  = (y – x)[x(y – z) – z(y – z)]  = (y – x)(y – z)(x – z)

   *BAØI 46: Cho bieåu thöùc:   A =

a)     Ruùt goïn A.

b)     CM: A > 0  vôùi moïi x.

Giaûi

a)     Ta coù:

x4 – x3 + x – 1 = x3(x – 1) + (x – 1)    = (x – 1)(x3 + 1)

x4 + x3 – x - 1 = x3(x + 1) – (x + 1)   = (x + 1)(x3 – 1)

x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1 = (x5 – x2) – (x4 – x) + (x3 – 1)

            = x2(x3 – 1) – x(x3 – 1) + (x3 – 1)  = (x3 – 1)(x2 – x + 1)

    A =

         =

    MTC = (x – 1)(x + 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

   A = = = =   = 

A = 

   b) Ta coù: x4 + x2 + 1 = =>   A =    vôùi moïi x

  BAØI 47: Cho bieåu thöùc:    B =

a)     Ruùt goïn B.

b)     Tính giaù trò cuûa B khi |x| = .

c)     Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì B < 0.

d)     Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì B = 2.

Giaûi

a)     ÑKXÑ: x ≠ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ -2      KQ: B =

b)     |x| = => x = ±       KQ: B = vaø B =

c)     KQ: x > 2      KQ: x =

*BAØI 48:  Giaûi phöông trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120

 (x2 – 5x +4)(x2 – 5x + 6) = 120

Ñaët: t = x2 – 5x + 5 ta coù:   (t – 1)(t + 1)- 120 = 0    t2 – 121 = 0   t = 11 vaø t = - 11

* t = 11   x2 – 5x + 5 = 11   (x – 6)(x + 1) = 0   x = 6 vaø x = -1

*t = - 11   x2 – 5x + 5 = -11    x2 – 5x + 16 = 0

            Vì: x2 – 5x + 16 = (x - )2 + ≥ 0     Neân: PTVN

Vaäy p.t ñaõ cho coù 2 nghieäm laø x = 6 vaø x = - 1.

*BAØI 49:Cho tam giaùc ABC. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC; N laø trung ñieåm cuûa AC. Caùc ñöôøng trung tröïc cuûa BC vaø AC caét nhau taïi O; H laø tröïc taâm; G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. CM:

a) ABH ~ MNO.

b) AHG ~ MOG.

c) Ba ñieåm H, G, O thaúng haøng.

      Giaûi

a)     Xeùt ABH vaø MNO coù:   AH // OM ; AB // MN

=> (1)

   Ta laïi coù:         ON // BH;    AB // MN   =>    (2)

   Töø (1) vaø (2) =>  ABH ~ MNO (g.g)

b)     Xeùt AHG vaø MOG coù:        (SLT) (3)

; = 2   => (4)

Töø (3) vaø (4) => AHG ~ MOG (c.g.c)

c)     Ta coù:    AHG ~ MOG    =>

Maø: A, G, M thaúng haøng (G laø troïng taâm)  => H, G, O thaúng haøng.

• BAØI 50:Cho hình thang caân ABCD (AB = CD vaø AB // CD). Goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC, CD, DA.

a)     CM: MP laø phaân giaùc cuûa .

b)     Hình thang caân ABCD phaûi coù theâm ñieàu kieän gì ñoái vôùi ñöôøng cheùo ñeå = 450.

c)     CMR: Neáu coù theâm ñieàu kieän ñoù thì hình thang caân coù ñöôøng cao baèng ñöôøng trung bình cuûa noù.

Giaûi

a)     Ta coù: MA = MB (gt) ;  NB = NC (gt)                                                             

    MN laø ñöôøng TB ABC

    MN // AC vaø MN = AC  (1)

CM töông töï ta coù:       QP // AC vaø QP = AC  (2)   =>  MNPQ laø HBH  (*)

    Ta laïi coù:   QM = BD (QM laø ñöôøng TB ABD)

Maø: AC = BD (2 ñöôøng cheùo HT caân)  =>  QM = MN (**)

Töø (*) vaø (**) => MNPQ laø hình thoi.