Bộ Chuyên Đề cả năm

CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN

DẠNG 1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

1. Khái niệm về hình đa diện

Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ở trên ta thấy chúng đều là những hình không gian được tạo bởi một số hữu hạn đa giác. Các đa giác ấy có tính chất

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế  được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

Người ta gọi các hình đó là hình đa diện.

Nói một cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế được gọi là các mặt của đa diện. Các đỉnh các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là

điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài khối đa diện.

Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đấy.

Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.

II. HAI HÌNH BẲNG NHAU

1. Phép dời hình trong không gian

và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.

• Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
• Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

Nhận xét:

• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
• Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện .

a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector  là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho .

2. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Nhận xét

• Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia.
• Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

III. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện , sao cho    và   không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện  và , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện  và   với nhau để được khối đa diện (H).

Ví dụ.  Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương đó theo một thiết diện là hình chữ nhật BDD’B’.  Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra làm hai phần. Mỗi phần cùng với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, như vậy có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’. Khi đó ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’.

Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ và AA’B’D’.

Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều . Về phía ngoài khối lăng trụ này ta ghép thêm một khối lăng trụ tam giác đều bằng với khối lăng trụ đã cho, sao cho hai khối lăng trụ có chung một mặt bên. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy cạnh?

Hướng dẫn giải

Câu 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp này ta ghép thêm một khối chóp tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt?

Hướng dẫn giải

Câu 3. Tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng

Hướng dẫn giải

Giả sử (P) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện S.ABC, như thế phép đối xứng qua biến tứ diện thành chính nó, do đó biến mỗi đỉnh thành một trong các đỉnh còn lại. Với đỉnh S ta có các trường hợp sau

thì  trong ba điểm còn lại phải có một điểm bất động, nếu điểm đó là A thì (P) qua SA, hai điểm B và C đối xứng với nhau qua phép đối xứng nên (P) là mặt phẳng trung trực của của CB

Nếu thay A bởi B hoặc C thì ta có kết quả tương tự. Tóm lại tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4. Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng ?

Hướng dẫn giải

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có 9 mặt phẳng đối xứng đó là

• Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA’
• Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương

Vậy chọn đáp án D.

Câu 5. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:

Hướng dẫn giải

Vậy chọn đáp án D.

Quy luật tìm các mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mp đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía. Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng thì 2 điểm S và S' là 2 điểm dư còn lại phải đối xứng nhau qua ABCD. Nếu chọn SBS'D thì còn 2 điểm dư là A và C đối xứng nhau qua SBS'D,...

Câu 6. Trong không gian cho hai vectơ và . Với M là điểm bất kỳ, ta gọi là ảnh của M qua phép   và là ảnh của   qua phép ,. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành đểm là:

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ

Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm là phép tịnh tiến theo vectơ . Vậy chọn đáp án A.

Câu 7. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó?

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D.

Câu 8. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D.

Câu 9. Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D.

Câu 10. Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau ( ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Hướng dẫn giải

Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ biến thành và phép tịnh tiến theo vectơ biến thành . Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.

Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Phép tịnh tiến theo vectơ biến tam giác   thành tam giác

Hướng dẫn giải

Câu 12. Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Với M là một điểm bất kỳ, ta gọi là ảnh của M qua phép đối xứng Đ và là ảnh của qua phép đối xứng Đ. Phép biến hình ĐĐ. Biến điểm M thành là

Hướng dẫn giải

(Không đổi)

Vậy là ảnh của M qua phép tịnh tiến .

Vậy chọn đáp án D.

Câu 13. Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?

Hướng dẫn giải

Trong không gian, với tam giác đều bất kì ABC có bốn mặt phẳng đối xứng. Đó là: Ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh và mặt phẳng chứa .

Vậy chọn đáp án D.

Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c . Hình hộp chữ nhật này có mấy mặt đối xứng

Hướng dẫn giải

Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình chóp này có mặt đối xứng nào?

Hướng dẫn giải

Câu 16. Trong không gian cho hai điểm I và J phân biệt. Với mỗi điểm M ta gọi   là ảnh của M qua phép đối xứng tâm ,   là ảnh của M qua phép đối xứng tâm . Khi đó hợp thành của và biến điểm M thành điểm là

Hướng dẫn giải

Vậy là ảnh của M qua phep tịnh tiến theo vectơ .

Vậy chọn đáp án B.

Câu 17. Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng

Hướng dẫn giải

Câu 18. Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng

Hướng dẫn giải