Bộ đề ôn thi ĐH môn Toán

§Ò sè 1

C©u1: (2,5 ®iÓm)

  Cho hµm sè: y = x3 - mx2 + 1  (Cm)

  1) Khi m = 3

    a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.

    b) T×m trªn ®å thÞ hµm sè tÊt c¶ c¸c cÆp ®iÓm ®èi xøng nhau qua gèc to¹ ®é.

  2) X¸c ®Þnh m ®Ó ®­êng cong (Cm) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng (D) cã ph­¬ng tr×nh
y = 5. Khi ®ã t×m giao ®iÓm cßn l¹i cña ®­êng th¼ng (D) víi ®­êng cong (Cm).

C©u2: (1,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:  0

  2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  

C©u4: (2 ®iÓm)

  1) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho ®iÓm A(-1; 2; 5), B(11; -16; 10). T×m trªn mÆt ph¼ng Oxy ®iÓm M sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn A vµ B lµ bÐ nhÊt.

  2) TÝnh tÝch ph©n: I =   

C©u5: (2 ®iÓm)

  Trªn tia Ox, Oy, Oz ®«i mét vu«ng gãc lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm kh¸c O lµ M, N vµ S víi OM = m, ON = n vµ OS = a.

  Cho a kh«ng ®æi, m vµ n thay ®æi sao cho m + n = a.

  1) a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.OMN

      b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm M vµ N sao cho thÓ tÝch trªn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

  2) Chøng minh:

§Ò sè 2

C©u1: (2 ®iÓm)

  1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè: y =

  2) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cña hµm sè cã to¹ ®é lµ nh÷ng sè nguyªn.

  3) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ (C) sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn hai tiÖm cËn lµ nhá nhÊt.  

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:   

C©u3: (1 ®iÓm)

  Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c:   

C©u4: (2 ®iÓm)

  Cho D lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = tg2x; y = 0; x = 0 vµ  x = .

  1) TÝnh diÖn tÝch miÒn D.

  2) Cho D quay quanh Ox, tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh.

C©u5: (1,5 ®iÓm)

  Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho ba ®iÓm A(1; 4; 0), B(0; 2; 1),
C(1; 0; -4).

  1) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng () ®i qua ®iÓm C vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AB.

  2) T×m to¹ ®é ®iÓm C' ®èi xøng víi ®iÓm C qua ®­êng th¼ng AB.

C©u6: (1,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x  3, x  N)

  2) Chøng minh r»ng:

§Ò sè 3

C©u1: (2,5 ®iÓm) Cho hµm sè

 a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1

b) T×m m ®Ó hµm sè  cã C§,CT ®èi xøng nhau qua ®­êng th¼ng y = x

C©u2: (2,5 ®iÓm)

  1) Chøng minh r»ng nÕu x, y lµ hai sè thùc tho¶ m·n hÖ thøc:

    x + y = 1  th×  x4 + y4 

  2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (2,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) C¸c gãc cña ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

Chøng minh r»ng ABC lµ tam gi¸c ®Òu.

C©u4: (2,5 ®iÓm)

   1) TÝnh tÝch ph©n:

 2) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' víi c¸c c¹nh b»ng a. Gi¶ sö M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, DD'. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng BD vµ MN theo a.

§Ò sè 4

C©u1: (3 ®iÓm)   Cho hµm sè: y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1  (1)

  1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 2.

  2) X¸c ®Þnh m sao cho hµm sè (1) ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh.

  3) X¸c ®Þnh m sao cho hµm sè (1) cã mét cùc ®¹i vµ mét cùc tiÓu. TÝnh to¹ ®é cña ®iÓm cùc tiÓu.   

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh:

    cã nghiÖm thuéc kho¶ng [32; +).  

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

  2) TÝnh tÝch ph©n:   

C©u4: (1,5 ®iÓm)

  Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). §¹t SA = h.

  1) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (SBC) theo a vµ h.

  2) Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vµ H lµ trùc t©m tam gi¸c SBC. Chøng minh: OH  (SBC).   

C©u5: (1,5 ®iÓm)

  Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P):

  d:   (P): x + y + z - 3 = 0

  1) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa ®­êng th¼ng d vµ qua ®iÓm M(1; 0; -2).

  2) ViÕt ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®­êng th¼ng d trªn mÆt ph¼ng (P).

§Ò sè 5

C©u1: (3 ®iÓm)

Cho hµm sè

a)     Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0

b)    T×m m ®Ó hµm sè cã C§,CT .ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua C§,CT

C©u2: (2,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: .

  2) TÝnh:      

C©u3: (2,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

  2) TÝnh gãc C cña ABC nÕu:

C©u4: (2 ®iÓm)

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz  :

  1) Cho 2 ®­êng th¼ng:

 (1):   (2):

 Chøng minh (1) vµ (2) chÐo nhau.

  2) Cho 2 ®iÓm A(1 ; 1 ; -1), B(3 ; 1 ; 1) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh:

x + y + z - 2 = 0 

T×m trªn mÆt ph¼ng (P) c¸c ®iÓm M sao cho MAB lµ tam gi¸c ®Òu.

§Ò sè 6

C©u1: (2,5 ®iÓm)

   Cho hµm sè: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x     (1)

  1) Víi m = 1;

    a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1).  

    b) Cho ®iÓm A(-2; -2), t×m to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi ®iÓm A qua t©m ®èi xøng cña ®å thÞ (C).

  2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt cã c¸c hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng.

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) Cho ABC c¹nh a, b, c tho¶ m·n hÖ thøc: 2b = a + c.

Chøng minh r»ng: .

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:

  2) T×m a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:   

C©u4: (1,5 ®iÓm)

  1) TÝnh tÝch ph©n: I =

  2) TÝnh tæng: P =   

C©u5: (2 ®iÓm)

  1) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt cÇu (S) lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh:    (P): y - 2z + 1 = 0                            (S): x2 + y2 + z2 - 2z = 0.

  Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt cÇu (S) c¾t nhau. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn giao tuyÕn.

  2) Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC ®Ønh S, chiÒu cao lµ h, ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. Qua c¹nh AB dùng mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi SC. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn t¹o thµnh theo a vµ h.     

§Ò sè 7

C©u1: (2,5 ®iÓm)

 Cho hµm :

a)     kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0

b)    T×m m ®Ó hµm sè cã C§,CT .ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua C§,CT

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) Cho ABC. Chøng minh r»ng nÕu th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng hoÆc c©n.  

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) TÝnh tÝch ph©n:

  2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:  

C©u4: (2,5 ®iÓm)

  1) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y lµ  vµ SA = a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ®· cho.

  2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxyz, cho hai ®­êng th¼ng: 1:               2:

  TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng ®· cho. 

C©u5: ( 1 ®iÓm)

  Chøng minh r»ng: P1 + 2P2 + 3P3 + ... + nPn = Pn + 1 - 1

Trong ®ã n lµ sè tù nhiªn nguyªn d­¬ng vµ Pn lµ sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö.  

§Ò sè 8

C©u1: (3 ®iÓm)

   Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + 1 (1)

  1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1).

  2) §­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-3 ; 1) cã hÖ gãc lµ k. X¸c ®Þnh k ®Ó (d) c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt.  

C©u2: (2,5 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

  2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:   

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:  1

  2) T×m giíi h¹n:   

C©u4: (1,5 ®iÓm)

  Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §Òc¸c Oxy cho hai ®iÓm A(1; 2), B(3; 4). T×m trªn tia Ox mét ®iÓm P sao cho AP + PB lµ nhá nhÊt.  

C©u5: (1 ®iÓm)  TÝnh tÝch ph©n: I =   

§Ò sè 9

C©u1: (2,5 ®iÓm)

 Cho hµm sè: y =   (1)  (m lµ tham sè)

  1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 0.

  2) X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè (1) ®ång biÕn trong kho¶ng: 0 < x < 3  

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:   (1)

  2) Cho ph­¬ng tr×nh:

    a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1.

    b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.  

C©u3: (1 ®iÓm)

  Gi¶i hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh:   

C©u4: (3 ®iÓm)

  1) Cho mÆt ph¼ng (P): vµ ®­êng th¼ng (d):

ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua giao ®iÓm cña (P) vµ (d), vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong (P).

  2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho 4 ®iÓm: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1)

  a) Chøng minh r»ng A, B, C vµ D lµ bèn ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt.

  b) TÝnh ®é dµi ®­êng chÐo AC vµ to¹ ®é giao ®iÓm cña AC vµ BD.  

C©u5: (1,5 ®iÓm) TÝnh:

  1) I =   2) J =   

§Ò sè 10

C©u1: (2 ®iÓm)

 Cho ®­êng cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3

 vµ ®­êng th¼ng (Dm): y = mx - m + 2  m lµ tham sè.

  1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C-1) cña hµm sè víi m = -1.

  2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ®­êng th¼ng (Dm) c¾t (Cm) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt?  

C©u2: (2 ®iÓm)

  1) TÝnh tÝch ph©n: I =

  2) Chøng minh r»ng:     n  N, n  2

   X¸c ®Þnh n ®Ó dÊu "=" x¶y ra?  

C©u3: (2 ®iÓm)

  1) Cho ph­¬ng tr×nh:

    a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1.

    b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.

  2) Chøng minh r»ng ABC ®Òu khi vµ chØ khi   

C©u4: (2,5 ®iÓm)

  1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §Òcac Oxy cho ®iÓm A(8; 6). LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A vµ t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 12.

  2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz Cho A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1),
C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2)

    a) Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh tø diÖn vµ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ CD.

    b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.

C©u5: (1,5 ®iÓm)

  Cho hai hµm sè f(x), g(x) x¸c ®Þnh, liªn tôc vµ cïng nhËn gi¸ trÞ trªn ®o¹n [0; 1]. Chøng minh r»ng:   

§Ò sè 11