GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
A.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
I. Định nghĩa (sgk ban cơ bản)
Cho khoảng K chứa 
và hàm số 
xác định trên K hoặc K\{
}
Ta nói hàm số có giới hạn là L khi x dần tới nếu
với mọi dãy số 
bất kỳ sao cho 
và 
ta có 
II. Ví dụ minh hoạ: tính 
Hàm số 
xác định trên 
Với mọi dãy số 
bất kỳ sao cho 
và 
ta có
khi 
Vậy, 
Bài 1: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau đây
1)
2)
3)
4)
5)
6)
B.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
I. Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy và 
khác nhau cùng có giới hạn là 
nhưng
II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng 
không tồn tại
Hàm số 
xác định trên 
Xét hai dãy số có cùng giới hạn là 0 sau đây
Tuy nhiên,
Vậy, 
không tồn tại.
Bài 2: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại
1)
2)
3)
C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 3: Thay 
trực tiếp vào 
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
Bài 4: Phân tích tam thức bậc hai thành tích của hai nhị thức bậc nhất
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Bài 5: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (có thể dùng sơ đồ Hoocner, HĐT đáng nhớ)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
Bài 6: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có một căn bậc hai)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
Bài 7: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có hai căn bậc hai)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Bài 8: Nhân lượng liên hợp - 2 lần (có hai căn bậc hai)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Bài 9: Nhân lượng liên hợp (có căn bậc ba)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) 
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Bài 10: Nhân lượng liên hợp (tổng hợp cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Bài 11: Giới hạn vô cực
1)
2)
3)
4)
5)
Bài 12: Biến đổi lượng giác
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16
17)
18)
Bài 13: Dùng giới hạn đặc biệt 
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39) 
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
Bài 14: Tổng hợp giới hạn có PP giải hay
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16) 17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
GIỚI HẠN MỘT BÊN
C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 15: Thay trực tiếp vào
1)
2)
3)
Bài 16: Giới hạn hữu hạn một bên của hàm số
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
Bài 17: Giới hạn vô hạn một bên của hàm số
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Bài 18: Xét sự tồn tại của giới hạn 
với mỗi hàm số 
và 
được chỉ ra
1) 
, 
2) 
, 
3) 
, 
và 
4) 
, và 
5) 
6) 
Bài 19: Tìm m để mỗi hàm số sau đây đều có giới hạn tại 
.
1)
2)
3)
Bài 20: Cho hàm số 
.
1) Chứng minh rằng hàm số có giới hạn khi 
. Tính giới hạn đó.
2) Xét sự tồn tại của 
theo tham số m.
Bài 21: Cho hàm số 
.
Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy xét sự tồn tại của giới hạn: a) 
b)
GIỚI HẠN Ở VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
A.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
I. Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy và khác nhau cùng có giới hạn là 
hoặc 
nhưng
II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng 
không tồn tại
Hàm số 
xác định trên 
Xét hai dãy số có cùng giới hạn là 
sau đây
Tuy nhiên,
Vậy, 
không tồn tại.
Bài 22: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại
1)
2)
3)
B.CÁC BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ở VÔ CỰC
Bài 23: Tính các giới hạn sau đây
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
Bài 24: Tính các giới hạn sau đây
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Bài 25: Tính các giới hạn sau đây
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Bài 26: Tính các giới hạn sau đây
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
Bài 27: Tính các giới hạn sau đây (nguyên lý kẹp)
1)
Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số.
