HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 1)
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
Bài 2: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm đã chỉ ra:
1) 2)
3) 4)
5)
B.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 2)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11)
Bài 4: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm đã chỉ ra:
1) 2)
3) 4)
C.XÉT LIÊN TỤC TRÊN 1 KHOẢNG, ĐOẠN
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên tập xác định của nó
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
Bài 6: Tìm tham số để hàm số sau đây liên tục trên
1) 2)
3) 4)
5) 6)
E.XÉT TÍNH LIÊN TỤC BẰNG TẬP XÁC ĐỊNH
Bài 7: Xét xem mỗi hàm số sau đây có liên tục trên toàn trục số hay không. Nếu chúng không liên tục trên toàn trục số hãy chỉ ra các điểm x mà tại đó hàm số gián đoạn
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13)
F.CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bài 8: Chứng minh phương trình có nghiệm (trên khoảng đã chỉ ra)
1) có ít nhất 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1;2).
2) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
3) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
4) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
5) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn .
6) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
7) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2;2)
8) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (– 3;1)
9) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
10) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
11) có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
Bài 9: Chứng minh phương trình có nghiệm (chưa chỉ rõ khoảng chứa nghiệm)
1) có đúng 5 nghiệm phân biệt. HD:
2) có ít nhất 2 nghiệm.
3) có ít nhất 1 nghiệm âm.
4) có 3 nghiệm phân biệt.
5) có 3 nghiệm phân biệt
6) có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Bài 11: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
Bài 12: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
Bài 13: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
Bài 14: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
Bài 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m các phương trình sau đây luôn có nghiệm
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) (2 nghiệm trái dấu) 10) (ít nhất 3 nghiệm)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
Bài 16: Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt
Bài 17:Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi a,b,c HD: và
Bài 18: CMR, phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho bốn số sao cho . Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau đây luôn có nghiệm:
Bài 20:Cho phương trình . Tính . Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
Bài 21:Cho phương trình . Tính . Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
Bài 22: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm trong các trường hợp:
a) có nghiệm thuộc nửa khoảng [0;2) HD:
b) có nghiệm thuộc HD:
c) có nghiệm thuộc HD:
d) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD:
e) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD:
Bài 23: Cho 3 số a,b,c thoả mãn và . Tính , từ đó chứng minh rằng phương trình có nghiệm.
Bài 24: Cho thoả mãn
a) Chứng minh rằng không thể cùng dấu.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1)
Bài 25: Cho a,b,c thoả . Chứng minh rằng phương trình có nghiệm
Bài 26: Cho hàm số liên tục trên đoạn thoả mãn . Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên đoạn
Bài 27: Cho hàm số liên tục trên đoạn và là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên đoạn
Bài 28: Cho phương trình với . Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương không vượt quá
Bài 29: Cho a,b,c là những số dương. Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm thoả mãn HD:
Bài 30: Cho phương trình . Chứng minh rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng , từ đó giải phương trình HD: đặt
Bài 31: Cho phương trình: . Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng , từ đó giải phương trình này. HD: đặt
Bài 32: Cho phương trình:
a) Giải phương trình khi
b) Chứng minh rằng với mọi m > 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 33: Cho phương trình . Chứng minh rằng với mọi m > 2, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 34: Cho phương trình
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 35: Cho phương trình . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho phương trình đã cho có nghiệm
HD giải
Điều kiện .
Nếu n lẻ thì , còn n chẵn thì phương trình nếu có nghiệm sẽ có 2 nghiệm đối nhau do đó phải có nghiệm . Vậy, không mất tính tổng quát ta xét .
Áp dụng BĐT CauChy
Do đó, nếu n < 5 chắc chắn phương trình vô nghiệm.
Ta chứng minh phương trình có nghiệm với n = 5 trên khoảng