btmenhdetaphop

Chöông I : Meänh ñeà – taäp hôïp

§1: Meänh ñeà vaø meänh ñeà chöùa bieán

A: Toùm taét lyù thuyeát

Ví duï:

  Cho  x laø soá nguyeân döông ;P(x) : “ x chia heát cho 6”  ; Q(x): “ x chia heát cho 3”

Ta coù :     P(10) laø meänh ñeà sai ; Q(6) laø meänh ñeà ñuùng

       : “ x khoâng chia heát cho 6”

      Meänh ñeà keùo theo  P(x) Q(x) laø meämh ñeà ñuùng.

       “x N*, P(x)” ñuùng coù phuû ñònh laø  “x N*, ”  coù tính sai

B: baøi taäp

B.1: Baøi taäp traéc nghieäm :

Caâu 1: Cho A = “xR : x2+1 > 0” thì phuû ñònh cuûa A laø:

 a)   A = “ xR : x2+1  0”   b) A = “ xR: x2+1  0”

 c)   A = “ xR: x2+1 < 0”   d) A = “  xR: x2+1  0”

 Caâu 2:Xaùc ñònh meänh ñeà ñuùng:

 a) xR: x2  0    b) xR : x2 + x + 3 = 0

c) x R: x2 >x   d)  x Z : x > - x

 Caâu 3:Phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng:

a) x ≥ y   x2 ≥ y2   b) (x +y)2  ≥ x2 + y2          

c) x + y >0 thì x > 0 hoaëc y > 0         d)  x + y >0 thì x.y > 0

Caâu 4:Xaùc ñònh meänh ñeà ñuùng:

 a) x R,yR: x.y>0     b) x N : x ≥ - x     

c) xN, y N: x chia heát cho y    d)  xN : x2 +4 x + 3 = 0     

 Caâu 5: Cho caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo coù  meänh ñeà ñaûo ñuùng :

a)     Neáu töù giaùc ABCD laø hình thoi thì AC  BD

b)     Neáu  2 tam giaùc vuoâng baèng nhau thì 2 caïnh huyeàn baèng nhau

c)      Neáu  2 daây cung cuûa 1 ñöôøng troøn baèng nhau thì 2 cung chaén baèng nhau

            d)  Neâu soá nguyeân chia heát cho 6 thì  chia heát cho 3

Caâu 6: Cho caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo coù  meänh ñeà ñaûo ñuùng :

a)Neáu töù giaùc ABCD laø hình thang caân thì  2 goùc ñoái buø  nhau

b)Neáu a = b thì a.c = b.c

c)Neáu  a > b thì a2 > b2 

d)Neáu soá nguyeân chia heát cho 6 thì  chia heát cho 3 vaø 2

Caâu 7: Xaùc ñònh meänh ñeà sai :

 a) xQ: 4x2 – 1 = 0     b) xR : x > x2

c)  n N: n2 + 1 khoâng chia heát cho 3   d)  n N : n2 > n

Caâu 8: Cho caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo sai :

a)Moät tam giaùc vuoâng khi vaø chæ khi noù coù 1 goùc baèng toång 2 goùc kia

b) Moät tam giaùc ñeàu khi vaø chæ khi noù coù 2 trung tuyeán baèng nhau vaø 1 goùc = 600

 c) hai tam gíac baèng nhau khi vaø chæ khi chuùng ñoàng dang vaø coù 1 caïnh baèng nhau

d)  Moät töù giaùc laø hình chöõ nhaät khi vaø chæ khi chuùng coù 3 goùc vuoâng

Caâu 9: Cho caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo coù  meänh ñeà ñaûo ñuùng :

a)      Neáu töù giaùc ABCD laø hình thang caân thì  2 goùc ñoái buø  nhau

b)      Neáu a = b thì   a.c = b.c   c)Neáu  a > b thì a2 > b2 

d)Neáu soá nguyeân chia heát cho 10 thì  chia heát cho 5 vaø 2

Caâu 10: Meänh ñeà naøo sau ñaây coù meänh ñeà phuû ñònh ñuùng :

 a) x Q: x2 = 2    b) xR : x2 - 3x + 1 = 0

c) n N : 2n  n   d)  x R : x < x + 1

B2: Baøi taäp töï luaän :

Baøi 1:   Caùc caâu sau daây, caâu naøo laø meänh ñeà, vaø meänh ñeà ñoù ñuùng hay sai :

a)     ÔÛ ñaây laø nôi naøo ?

b)     Phöông trình x2 + x – 1 = 0 voâ nghieäm

c)     x + 3 = 5

d)     16 khoâng laø soá nguyeân toá

Baøi 2: Neâu meänh ñeà phuû ñònh cuûa caùc meänh ñeà sau :

a)     “Phöông trình x2 –x – 4 = 0 voâ nghieäm ”

b)     “ 6 laø soá nguyeân toá ”

c)      “nN ; n2 – 1 laø soá leû ”

Baøi 3: Xaùc ñònh tính ñuùng sai cuûa meänh ñeà A , B vaø tìm phuû ñònh cuûa noù :

A = “  x R : x3 >  x2 ”

B = “   x N , : x chia heát cho x +1”

Baøi 4: Phaùt bieåu meänh ñeà P  Q vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa noù  vaø phaùt bieåu meänh ñeà ñaûo :

a) P: “ ABCD laø hình chöõ nhaät ” vaø Q:“ AC vaø BD caét nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng”

b) P: “ 3 > 5” vaø Q : “7 > 10”

c) P: “Tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A”  vaø Q :“ Goùc B = 450 ”

Baøi 5: Phaùt bieåu meänh ñeà P  Q baèng 2 caùch vaø vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa noù

 a) P : “ABCD laø hình bình haønh ” vaø Q : “AC vaø BD caét nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng”

b) P : “9 laø soá nguyeân toá ” vaø Q:  “ 92 + 1 laø soá nguyeân toá ”

Baøi 6:Cho caùc meänh ñeà sau

a) P: “ Hình thoi ABCD coù 2 ñöôøng cheùo AC vuoâng goùc vôùi BD”

b) Q: “ Tam giaùc caân coù 1 goùc = 600 laø  tam giaùc ñeàu”

c) R : “13 chia heát cho 2 neân 13 chia heát cho 10 ”

 - Xeùt tính ñuùng sai cuûa caùc meänh ñeà vaø phaùt bieåu meänh ñeà ñaûo :

 - Bieåu dieãn caùc meänh ñeà treân döôùi daïng A  B

Baøi 7: Cho meänh ñeà chöùa bieán P(x) : “ x > x2” , xeùt tính ñuùng sai  cuûa caùc meänh ñeà sau:

a)     P(1)

b)     P( )

c)      xN ; P(x)

d)     x N ; P(x)

Baøi 8: Phaùt bieåu meänh ñeà A  B vaø A  B cuûa caùc caëp meänh ñeà sau vaø xeùt tính ñuùng sai

a)     A : “Töù giaùc T laø hình bình haønh ”

B: “Hai caïnh ñoái dieän baèng nhau”

b)     A: “Töù giaùc ABCD laø hình vuoâng ”

B:  “ töù giaùc coù 3 goùc vuoâng”

c)      A: “ x > y ”

B:  “ x2 > y2”   ( Vôùi x y laø soá thöïc )

d)     A: “Ñieåm M caùch ñeàu 2 caïnh cuûa goùc xOy ”

B:  “Ñieåm M naèm treân ñöôøng phaân giaùc goùc xOy”

Baøi 9: Haõy xem xeùt caùc meänh ñeà sau ñuùng hay sai vaø laäp phuû ñònh cuûa noù :

a)     xN : x2  2x

b)     x N : x2 + x khoâng chia heát cho 2

c)      xZ : x2 –x – 1 = 0

Baøi 10 : Trong caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo coù meänh ñeà ñaûo ñuùng

a)     A : “Moät soá töï nhieân taän cuøng laø 6 thì soá ñoù chia heát cho 2”

b)     B: “ Tam giaùc caân coù 1 goùc = 600 laø tam giaùc ñeàu ”

c)      C: “ Neáu tích  3 soá  laø soá döông thì caû 3 soá ñoù ñeàu laø soá döông  ”

d)     D : “Hình thoi coù 1 goùc vuoâng thì laø hình vuoâng”

Baøi 11:Phaùt bieåu thaønh lôøi caùc meänh ñeà x: P(x) vaø  x : P(x)  vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa chuùng :

 a) P(x) : “x2 < 0”   b)P(x) :“ > x + 1”

 c) P(x) : “= x+ 2”  x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”

§2: Aùp duïng meänh ñeà vaøo pheùp suy luaän toaùn hoïc

A: Toùm taét lyù thuyeát

1:Trong toaùn hoïc ñònh lyù laø 1 meänh ñeà ñuùng

     Nhieàu ñònh lyù ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng  “xX , P(x)  Q(x)”

 2: Chöùng minh phaûn chöùng ñinh lyù    “xX , P(x)  Q(x)” goàm 2 böôùc sau:

-          Giaû söû toàn taïi x0 thoûa P(x0)ñuùng vaø Q(x0) sai

-          Duøng suy luaän vaø caùc kieán thöùc toaùn hoïc ñeå ñi ñeán maâu thuaãn

3: Cho ñònh lyù “xX , P(x)  Q(x)” . Khi ñoù

  P(x) laø ñieàu kieän ñuû ñeå coù Q(x)

  Q(x) laø ñieàu kieän caàn ñeå coù P(x)

 4: Cho ñònh lyù “xX , P(x)  Q(x)”                (1)

  Neáu meänh ñeà ñaûo “xX , Q(x)  P(x)” ñuùng  ñöôïc goïi laø dònh lyù ñaûo cuûa  (1)

  Luùc ñoù (1) ñöôïc goïi laø ñònh lyù thuaän  vaø khi ñoù coù theå goäp laïi

   “xX , P(x)  Q(x)” Goïi laø P(x) laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå coù Q(x)

B: Baøi taäp :

Baøi 1: Phaùt bieåu caùc meänh ñeà  sau vôùi thuaät ngöõ “Ñieàu kieän caàn”,  “Ñieàu kieän ñuû ”

a)     Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù cuøng dieän tích

b)     Soá nguyeân döông chia heát cho 6 thì chia heát cho 3

c)      Moäthình thang coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình thang caân

Baøi 2: Duøng phöông phaùp chöùng minh phaûn chöùng ñeå chöùng minh :

             a) Vôùi n laø soá nguyeân döông, neáu  n2 chia heát cho 3 thì n chia heát cho 3

 b) Chöùng minh raèng laø soá voâ tyû

 c) Vôùi n laø soá nguyeân döông , neáu  n2 laø soá leû thì n laø soá leû

Baøi 3: Phaùt bieåu caùc ñònh lyù sau ñaây baèng caùch söû duïng khaùi nieäm “Ñieàu kieän ñuû ”

a)Neáu trong maët phaúng, hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  

       thöù 3 thì hai ñöôøng thaúng ñoù song song vôùi nhau

b)Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù dieän tích baèng nhau

c)Neáu soá nguyeân döông a taän cuøng baèng 5 thì chia heát cho 5

d)Neáu töù giaùc laø hình thoi thì 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau

Baøi 4: Phaùt bieåu caùc ñònh lyù sau ñaây baèng caùch söû duïng khaùi nieäm“Ñieàu kieän caàn ”

a)Neáu trong maët phaúng, hai ñöôøng thaúng cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng  

       thöù 3 thì hai ñöôøng thaúng ñoù song song vôùi nhau

b)Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù caùc goùc töông öùng baèng nhau

c)soá nguyeân döông a chia heát cho 24 thì chia heát cho 4 vaø 6

d)Neáu töù giaùc ABCD laø hình vuoâng thì 4 caïnh baèng nhau

Baøi 5: Chöùng minh baèng phöông phaùp phaûn chöùng

a) Neáu abc thì   a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca

b) Neáu a.b chia heát cho 7 thì a hoaëc b chia heát cho 7

c) Neáu x2 + y2 = 0 thì  x = 0 vaø y = 0

Baøi 6 :Cho caùc ñinh lyù sau, ñònh lyù naøo coù ñònh lyù ñaûo, haõy phaùt  bieåu :

a)     “Neáu 1 soá töï nhieân chia heát cho 3 vaø 4  thì chia heát cho 12”

b)     “Moät tam giaùc vuoâng thì coù trung tuyeán töông öùng baèng nöûa caïnh huyeàn ”

c)      “Hai tam giaùc ñoàng daïng vaø coù 1 caïnh baèng nhau thì hai tam giaùc ñoù baèng nhau”

d)     “Neáu 1 soá töï nhieân n khoâng chia heát cho 3 thì n2  chia 3 dö 1”

§3: Taäp hôïp vaø caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp

A.Toùm taét lyù thuyeát :

  1. Taäp hôïp  laø khaùi nieäm cuûa toaùn hoïc . Coù 2 caùch trình baøy taäp hôïp

          Lieätkeâ caùc phaàn töû : 

VD : A = a; 1; 3; 4; b hoaëc  N =  0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . 

          Chæ roõ tính chaát ñaëc tröng cuûa  caùc phaàn töû trong taäp hôïp ; daïng  A = {x/ P(x)

  VD : A = x N/ x leû vaø x < 6   A = 1 ; 3; 5

               *. Taäp con : A B (x, xA  xB)

   Cho A ≠  coù ít nhaát 2 taäp con laø  vaø A

2. caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp :

Chuù yù: Neáu A  E  thì   CEA = A\ B = x /xE vaø xA     

3. caùc taäp con cuûa taäp hôïp soá thöïc

B: Baøi taäp :

B1.Baøi traéc nghieäm

Caâu 1: Cho taäp hôïp A ={a;{b;c};d}, phaùt bieåu naøo laø sai:

 a) aA     b) {a ; d}  A

 c) {b; c}  A    d) {d}  A

Caâu 2: Cho taäp hôïp A = {x N / (x3 – 9x)(2x2 – 5x + 2 )= 0 }, A  ñöôïc vieát theo kieåu lieät keâ laø :

 a) A = {0, 2, 3, -3}   b) A = {0 , 2 , 3 }

 c) A = {0, , 2  , 3 , -3}  d) A =  { 2 , 3}

Caâu 3: Cho A = {x N / (x4 – 5x2 + 4)(3x2 – 10x + 3 )= 0 }, A  ñöôïc vieát theo kieåu lieät keâ laø :

   a) A = {1, 4, 3}             b) A = {1 , 2 , 3 }      

  c) A = {1,-1, 2  , -2 , }        d) A =  { -1,1,2 , -2, 3}

 Caâu 4: Cho taäp A = {x N / 3x2 – 10x + 3 = 0 hoaëc x3- 8x2 + 15x = 0}, A  ñöôïc vieát theo kieåu lieät keâ laø :

 a) A = { 3}   b) A = {0  , 3 }

 c) A = {0, , 5 , 3 }  d) A =  { 5, 3}

Caâu 5:Cho A laø taäp hôïp . xaùc ñònh caâu ñuùng sau ñaây ( Khoâng caàn giaûi thích )

 a) {} A  b)  A         c) A   = A  d) A  = A  

Caâu 6: Tìm meänh ñeà ñuùng trong caùc  meänh ñeà sau:

 a) R +   R - = {0}   b) R \ R - = [ 0 , +  )

 c) R*+    R*- =  R   d) R \ R + = R –

Caâu 7: Cho taäp hôïp soâ’ sau  A = ( - 1, 5] ; B = ( 2, 7) . taäp hôïp  A\B  naøo sau ñaây laø ñuùng:

 a) ( -1, 2]  b) (2 , 5]           c) ( - 1 , 7)   d) ( - 1 , 2)

Caâu 8: Cho A = {a; b; c ; d ; e}. Soá taäp con cuûa A coù 3 phaàn töû laø:

 a)10  b)12  c) 32   d) 8

Caâu 9: Taäp hôïp naøo laø taäp hôïp roãng:

 a) {x Z / x<1}   b) {x Q / x2 – 4x +2 = 0}

c) {x Z / 6x2 – 7x +1 = 0}  d) {x R / x2 – 4x +3 = 0}

Caâu 10: Trong caùc taäp hôïp  sau, taäp naøo coù ñuùng 1 taäp con

 a)   b){x}  c) {}   d) {; 1}

Caâu 11: Cho  X= {n N/ n laø boäi soá cuûa 4 vaø 6}

  Y= {n N/ n laø boäi soá cuûa 12}

   Caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo sai :

 a) XY  b) Y  X c) X = Y  d)  n: nX vaø n Y

Caâu 12 :  Cho  H = taäp hôïp caùc hình bình haønh

   V = taäp hôïp caùc hình vuoâng

   N = taäp hôïp caùc hình chöõ nhaät

   T = taäp hôïp caùc hình thoi

 Tìm meänh ñeà sai

 a) V T  b)V N  c)H T  d)N H

Caâu 13 : Cho  A  . Tìm caâu ñuùng

a) A\  =  b) \A = A c)  \  = A   d) A\ A =

B2.Baøi töï luaän

Baøi 1: Cho taäp hôïp A = {x N / x2 – 10 x +21 = 0 hay  x3 – x = 0}

  Haõy lieät keâ taát caû caùc taäp con cuûa A chæ chöùa ñuùng 2 phaàn töû

Baøi 2:  Cho A = {x R/  x2 +x – 12 = 0 vaø 2x2 – 7x + 3 = 0}

         B = {x R /  3x2 -13x +12 =0  hay  x2 – 3x = 0 }

                         Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau

   A  B ;   A \ B  ; B \ A ;  AB

Baøi 3: Cho A = {xN / x < 7} vaø B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}

a) Xaùc ñònh AUB ; AB ; A\B ; B\ A

b) CMR :   (AUB)\ (AB) =   (A\B)U(B\ A)

 Baøi 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5}

  Tìm caùc giaù trò cuûa caëp soá (x ; y) ñeå  taäp hôïp A = B = C

Baøi 5: Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau baúng caùch neâu tính chaát ñaëc tröng

  A = {0 ; 1; 2; 3; 4}

  B = {0 ; 4; 8; 12;16}

  C = {-3 ; 9; -27; 81}

  D = {9 ; 36; 81; 144}

  E  = Ñöôøng trung tröïc ñoaïn thaúng AB

  F =  Ñöôøng troøn taâm I coá ñònh coù baùn kính = 5 cm

Baøi 6: Bieåu dieãn hình aûnh taäp hôïp A ; B ; C baèng bieåu ñoà Ven

  A = {0 ; 1; 2; 3}

  B = {0 ; 2; 4; 6}

  C = {0 ; 3; 4; 5}

Baøi 7 : Haõy lieät keâ taäp A, B:

  A= {(x;x2) / x  {-1 ; 0 ; 1}}  

  B= {(x ; y) / x2 + y2  2 vaø x ,y Z}

            Baøi 8:  Cho A = {x R/  x  4} ; B = {x R /   -5 < x -1  8 }

                         Vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng khoaûng – ñoaïn – nöûa khoaûng

   A  B ;   A \ B  ; B \ A ;  R \ ( AB)

Baøi 9:  Cho A = {x R/  x2  4} ; B = {x R /   -2   x +1 < 3 }

                         Vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng khoaûng – ñoaïn – nöûa khoaûng

   A  B ;   A \ B  ; B \ A ;  R \ ( AB)

Baøi 10: Goïi N(A) laø soá phaàn töû cuûa taäp A . Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.

Tính N(AB) ; N(A\B); N(B\A)

Baøi 11:          a)  Xaùc ñònh caùc taäp hôïp X sao cho {a ; b} X  {a ; b ;c ;d ; e}

           b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5}

         Xaùc ñònh caùc taäp hôïp X sao cho  A  X = B

  c) Tìm A; B bietá   A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}

 Baøi 12: Cho A = {xR/  x  -3 hoaëc  x >6 }

               B={xR / x2 – 25  0}

  a) Tìm caùc khoaûng , doaïn, nöûa khoaûng sau :

               A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)

b)Cho  C={xR / x   a} ;  D={xR / x  b }. Xaùc ñònh  a  vaø b bieát raèng

CB vaø DB laø caùc ñoaïn coù chieàu daøi laàn löôït laø 7 vaø 9. Tìm CD

  Baøi 13:  Cho A = {x R/  x2  4} ; B = {x R /   -3   x < 2 }

                         Vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng khoaûng – ñoaïn – nöûa khoaûng

   A  B ;   A \ B  ; B \ A ;  R \ ( AB)

Baøi 14: Vieát phaàn buø trong R cuûa caùc taäp hôïp sau :

  A=  {xR /  – 2  x < 1 0}  

  B=   {xR /   x> 2}

  C = {xR /   -4 < x + 2  5}

Baøi 15: Cho  Tv = taäp hôïp taát caû caùc tam giaùc  vuoâng 

    T = taäp hôïp taát caû caùc tam giaùc

   Tc = taäp hôïp taát caû caùc tam giaùc caân

   Tñ = taäp hôïp taát caû caùc tam giaùc ñeàu

   Tvc= taäp hôïp taát caû caùc tam giaùc vuoâng caân

Xaùc ñònh taát caû caùc quan heä bao haøm giöõa caùc taäp hôïp treân

Baøi 16: Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau baèng caùch lieät keâ

  A= { xQ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0}

B= { xZ / 6x2 -5x + 1 =0}

C= { xN / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0}

D= { xN / x2 > 2 vaø x < 4}

E= { xZ /  2 vaø x > -2}

Baøi 17:Cho   A = {x Z /  x2 < 4}

  B = { xZ / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0}

 a) Lieät keâ A ; B

 b) CMR  (A B) \ (A B) = (A \ B)  (B \ A)

Baøi 18: Cho   E = { xN / 1  x < 7}

  A= { xN / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 }

  B = { xN / x laø soá nguyeân toá   5}

 a) Chöùng minh raèng A E vaø B  E

 b) Tìm CEA ; CEB ; CE(AB)

 c) Chöùng minh raèng :  E \ (A B)= (E \A)  ( E \B)

E \ ( AB) = ( E \A)  ( E \ B)

  Baøi 19 :

a)     Cho A  C vaø B D , chöùng minh raèng (AB) (CD)

b)     CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)

c)      CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)

Baøi taäp oân taäp chöông I :

Laøm caùc baøi 50 ñeán heát baøi 60 saùch toaùn lôùp 10 naâng cao

Laøm caùc baøi 1.42 ñeán heát baøi 1.50 saùch baøi taäp toaùn lôùp 10 naâng cao