cac bai tap on thi vao lop 10. toan

CAÙC BAØI TAÄP NAÂNG CAO LUYEÄN THI VAØO LÔÙP 10

 

A. ÑAÏI SOÁ:

Baøi 1: Thöïc hieän caùc pheùp tính:

a)                      b)                

c)            d)

Baøi 2:  Cho bieát   (1).  Haõy tính : E = x+ y.

Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä cho hai ñieåm A, B vôùi A(2m – 1 ; m2 + 1) vaø B(m + 2 ; 1). Xaùc ñònh giaù trò cuûa m ñeå ñoä daøi ñoaïn thaúng AB ngaén nhaát.

Baøi 4: Giaûi caùc heä phöông trình:

                    

Baøi 5: Cho heä phöông trình:

Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa m thì heä coù nghieäm nguyeân.

Baøi 6: Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm thoûa maõn x > 0 vaø y > 0.

Baøi 7: Chöùng minh raèng vôùi moïi a, b, c phöông trình:  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

luoân coù nghieäm.

Baøi 8: Cho caùc heä soá a, b, c thoûa maõn caùc ñieàu kieän a > 0; b > a + c. Chöùng minh raèng phöông trình:

ax2 + bx + c = 0 coù hai nghieäm phaân bieät.

Baøi 9: Chöùng minh raèng ít nhaát moät trong caùc phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:

                         ax2 + 2bx + c = 0     (1)

      bx2 + 2cx + a = 0     (2)

                         cx2 + 2ax + b = 0     (3)

Baøi 10:  Xeùt caùc phöông trình baäc hai (aån x):

                   ax2 + bx + c = 0  (1)  vaø ax2 + bx – c = 0  (2)

a) Tìm ñieàu kieän ñeå caû hai cuøng voâ nghieäm.
b) Chöùng toû coù ít nhaát moät phöông trình coù nghieäm.

Baøi 11: Cho a, b, c laø ba soá thoûa maõn a > b > c > 0 vaø a + b + c = 12.
Chöùng minh raèng trong ba phöông trình sau:

                         x2 + ax + b = 0     (1)

     x2 + bx + c = 0     (2)

                         x2 + cx + a = 0     (3)

coù moät phöông trình coù nghieäm, coù moät phöông trình voâ nghieäm.

Baøi 12: Cho a, b, c laø ba soá khaùc 0 thoûa maõn 3ab + 4bc + 5ca = - 1.

Chöùng toû raèng phöông trình (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)( cx2 + ax + b) = 0 coù nghieäm.

Baøi 13: Cho hai phöông trình (aån x): x2 + x + a = 0 vaø x2 + ax + 1 = 0.

Tìm a ñeå hai phöông trình cuøng voâ nghieäm.

Baøi 14: Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì hai phöông trình (aån x):   x2 – ax + 1 = 0  (1)  vaø  x2 – x + a = 0  (2)

coù moät nghieäm baèng nhau.

Baøi 15: Giaûi caùc phöông trình:

a)      b)

c)     d)

e)     f)

Baøi 16: Giaûi caùc phöông trình:

Baøi 17:  Giaûi caùc phöông trình:

 

Baøi 18:  Các số thoả mãn điều kiện

 Chứng minh bất đẳng thức: . Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Baøi 19:  Vôùi moãi soá k nguyeân döông, ñaët Sk = ( + 1)k + ( - 1)k

Chöùng minh raèng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vôùi moïi m, n laø soá nguyeân döông vaø m > n.

Baøi 20:

a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

   b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:

Baøi 21:  Giải phương trình:

a)

b)  .

Baøi 22:  Cho số thực m, n, p thỏa mãn : .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.

Baøi 23:  Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 + = 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009.

Baøi 24:  Cho x, y tháa m·n: .

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: .

Baøi 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:   A =

Baøi 26: Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau

phải có nghiệm:     x2 + bx + c = 0 (1)   ;    x2 + cx + b = 0 (2)

Baøi 27:  Cho c¸c sè d­¬ng x, y, z tháa m·n xyz -

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x + y)(x + z)

Baøi 28:  T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy + y2 - x2y2 = 0

Baøi 29:  Gọi là hai nghiệm của phương trình: (m là tham số).

Chứng minh rằng :  

Baøi 30: 

a) Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

b) Tìm x, y nguyên sao cho x + y + xy + 2 = x2 + y2

c) Cho x, y > 0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

B. HÌNH HOÏC:

Baøi 1: Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB = 2R, C laø trung ñieåm cuûa OA vaø daây MN vuoâng goùc vôùi OA taïi C. Goïi K laø ñieåm tuøy yù treân cung nhoû BM, H laø giao ñieåm cuûa AK vaø MN.
a) Chöùng minh raèng töù giaùc BCHK laø töù giaùc noäi tieáp.   b) Tính tích AH . AK theo R.
c) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm K ñeå toång (KM + KN + KB) ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn nhaát ñoù.

Baøi 2: Cho ñöôøng troøn (O) noäi tieáp tam giaùc caân ABC (AC = AB) tieáp xuùc vôùi caùc caïnh AB, BC, AC laàn löôït taïi D, E, F.
a) Chöùng minh raèng töù giaùc OECF noäi tieáp.
b) Chöùng minh raèng DF // BC.
c) BF caét ñöôøng troøn (O) taïi P. Goïi I laø giao ñieåm cuûa DP vôùi BC. Chöùng minh raèng IEP IDE;

IBP IDB.
d) Chöùng minh raèng dieän tích tam giaùc DBI baèng dieän tích tam giaùc DIE.

Baøi 3: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A (AB < AC) coù ñöôøng cao AH vaø trung tuyeán AM. Veõ ñöôøng troøn taâm H baùn kính AH, caét AB ôû ñieåm D, caét AC ôû ñieåm E (D vaø E khaùc ñieåm A). Chöùng minh raèng:
a) D, H, E thaúng haøng.       b)
c) Boán ñieåm B, C, D, E cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.    d) DE BC.

e) Cho goùc vaø AH = a. Tính dieän tích tam giaùc HEC theo a.

Baøi 4: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) coù . Ñöôøng troøn taâm I, ñöôøng kính AB caét caïnh AC vaø BC taïi M vaø N.

a) Chöùng minh MN  OC.
b) Chöùng minh .
c) Cho A, B coá ñònh, khoâng ñoåi vaø C di ñoäng treân cung lôùn AB. Tìm quyõ tích trung ñieåm P cuûa IC.

Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn vaø ñöôøng cao AH. Goïi M vaø N laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AB vaø AC.
a) Chöùng minh raèng töù giaùc AMBH noäi tieáp.
b) Chöùng minh raèng AM = AH = AN.
c) Giaû söû MN caét AB vaø AC laàn löôït ôû F vaø E. Chöùng minh E thuoäc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc AMBH.
d) Chöùng minh raèng AH, BE, CF ñoàng quy.

Baøi 6: Cho ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB coá ñònh, moät ñieåm I naèm giöõa A vaø O sao cho Keû daây MN vuoâng goùc vôùi AB taïi I. Goïi C laø ñieåm tuøy yù thuoäc cung lôùn MN sao cho C khoâng truøng vôùi M, N vaø B. Noái AC caét MN taïi E.
a) Chöùng minh raèng töù giaùc IECB noäi tieáp.
b) Chöùng minh raèng AME ACM vaø AM2 = AE.AC
c) Chöùng minh raèng AE.AC – AI.IB = AI2.
d) Haõy xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm C sao cho khoaûng caùch töø N ñeán taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc CME nhoû nhaát.

Baøi 7: Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng thaúng d khoâng ñi qua O vaø caét ñöôøng troøn taïi hai ñieåm A vaø B. Töø moät ñieåm C treân d (C naèm ngoaøi ñöôøng troøn) keû hai tieáp tuyeán CM, CN vôùi ñöôøng troøn (M, N thuoäc (O)). Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB, ñöôøng thaúng OH caét tia CN taïi K.
a) Chöùng minh raèng boán ñieåm C, O, H, N cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
b) Chöùng minh raèng KN.KC = KH.KO.
c) Ñoaïn thaúng CO caét ñöôøng troøn (O) taïi I. Chöùng minh I caùch ñeàu CM, CN, MN.
d) Moät ñöôøng thaúng ñi qua O vaø song song vôùi MN caét caùc tia CM, CN laàn löôït taïi E vaø F. Xaùc ñònh vò trí cuûa C treân d sao cho dieän tích tam giaùc CEF laø nhoû nhaát.

Baøi 8: Cho tam giaùc ABC nhoïn, AB < AC, hai ñöôøng cao BD, CE caét nhau ôû H. I laø trung ñieåm BC. Hai ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BEI vaø CDI caét nhau ôû K (khaùc I).

a) Chöùng minh raèng .
b) DE caét BC taïi M. Chöùng minh raèng M, H, K thaúng haøng.
c) Chöùng minh raèng töù giaùc BKDM noäi tieáp.

Baøi 9: Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng thaúng d caét (O) taïi A vaø B. Töø  ñieåm M treân d vaø ôû ngoaøi ñöôøng troøn veõ hai tieáp tuyeán MN, MP (N vaø P laø hai tieáp ñieåm).
a) Chöùng minh .
b) Chöùng minh ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MNP ñi qua hai ñieåm coá ñònh khi M di ñoäng treân d.
c) Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân d sao cho MNOP laø hình vuoâng.

Baøi 10: Cho nöûa ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB. C laø moät ñieåm treân ñoaïn thaúng AB. Noái C vôùi moät ñieåm M baát kì treân nöûa ñöôøng troøn. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc taïi M vôùi CM caét caùc tieáp tuyeán taïi A vaø B ôû E vaø F.
a) Chöùng minh ACME vaø BCMF laø caùc töù giaùc noäi tieáp.
b) Chöùng minh .
c) Tìm quyõ tích trung ñieåm N cuûa EF khi M chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB vôùi C coá ñònh.

Baøi 11: Cho ba ñieåm A, B, C naèm treân ñöôøng thaúng xy theo thöù töï ñoù. Veõ ñöôøng troøn (O) ñi qua B vaø C. Töø A veõ hai tieáp tuyeán AM, AN. Goïi E vaø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø MN.

a) Chöùng minh AM2 = AN2 = AB.AC.
b) Ñöôøng thaúng ME caét ñöôøng troøn (O) taïi I. Chöùng minh IN // AB.
c) Chöùng minh raèng taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc OEF naèm treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh khi ñöôøng troøn (O) thay ñoåi.

Baøi 12: Cho tam giaùc ABC ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O. Goïi I laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû BC. Treân caïnh AB laáy ñieåm M treân tia AC laáy ñieåm N sao cho: CN = BM (C naèm giöõa A, N). Chöùng minh:

a)  IM = IN.         b)  Töù giaùc AMIN noäi tieáp.

c)  Goïi K laø giao ñieåm cuûa MN vôùi BC. Chöùng minh: KM = KN.

d)  Cho P laø ñieåm di ñoäng treân cung ACI.  H laø hình chieáu cuûa P xuoáng AI; E laø hình chieáu cuûa H xuoáng AP; F laø hình chieáu cuûa H xuoáng IP. Xaùc ñònh vò trí cuûa P ñeå töù giaùc PEHF coù dieän tích lôùn nhaát.

Baøi 13: Cho (O; R) vaø ñöôøng thaúng xy tieáp xuùc vôùi (O) taïi A. Ñieåm B laáy baát kì treân (O), keû BH vuoâng goùc xy taïi H.

a)  Chöùng minh: BA laø phaân giaùc cuûa goùc OBH.

b)  Chöùng minh: Phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc OBH luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi B di ñoäng treân (O).

c)  GoÏi M laø giao ñieåm cuûa BH vôùi phaân giaùc cuûa goùc AOB. Tìm quó tích cuûa M khi B di ñoäng treân (O).

Baøi 14: Cho ABC ñeàu noäi tieáp (O). Treân cung nhoû AB laáy M, treân daây MC laáy N sao cho MB = CN.

a)  Chöùng minh : AMN ñeàu.

b)  Keû ñöôøng kính BD cuûa (O). Chöùng minh: MD laø ñöôøng trung tröïc cuûa AN.

c)  Tieáp tuyeán keû töø D cuûa (O)  caét tia BA vaø MC laàn löôït taïi T, K. Tính soá ño baèng ñoä cuûa goùc toång .

d)  Khi M di ñoäng treân cung nhoû AB, haõy xaùc ñònh vò trí cuûa M ñeå toång MA + MB lôùn nhaát ?

Baøi 15: Treân ñöôøng troøn taâm O laáy moät daây cung coá ñònh AB khaùc ñöôøng kính vaø hai ñieåm C, D di ñoäng treân cung lôùn AB sao cho AD // BC.

a)  Chöùng minh: Hai cung AB, CD baèng nhau.

b)  Khi AC vaø BD caét nhau taïi M; C vaø D di ñoäng theo ñieàu kieän treân thì ñieåm M chaïy treân ñöôøng naøo ?  Haõy xaùc ñònh ñöôøng ñoù ?

c)  Moät ñöôøng thaúng d ñi qua M song song vôùi AD. CMR: d chöùa ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc AMB vaø d luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh maø ta ñaët laø ñieåm I.

   d)  Chöùng minh: IA, IB laø 2 tieáp tuyeán cuûa (O) keû töø ñieåm I.