Chương I
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với .
Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.
Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu a = 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):
; ; ;
Giải
Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
.
Trình bày lời giải.
Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng , nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót.
Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
Giải
Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng , ta có lời giải sau:
Trình bày lời giải.
a) và 2020 cùng dấu.
Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ dương.
b) và 2020 khác dấu.
Mà nên suy ra . Vậy với thì x là số hữu tỉ âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm tức là hay suy ra .
Vậy với thì x không là số dương cũng không là số âm.
Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) hay ; b) và ;
c) và .
Giải
Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:
Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;
Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;
Sau đó so sánh hai phân số.
Trình bày lời giải.
Rút gọn ta có:
a) nên
b) nên
c) và nên
Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.
a) ; b)
Giải
Tìm cách giải. Số hữu tỉ (với ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b hay Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải.
a) Ư(7); mà Ư(7) suy ra bảng giá trị sau:
1
7
-1
-7
n
6
12
4
-2
Vậy với thì có giá trị là số nguyên.
b) (với ) .
Vậy với () thì có giá trị là số nguyên.
Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ có giá trị là số nguyên.
Giải
Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
Trình bày lời giải.
Ư(31) mà Ư(31).
Suy ra ta có bảng giá trị sau:
1
31
-1
-31
n
-9
21
-11
-41
Với thì số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.
Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi .
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh là phân số tối giản chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1
Trình bày lời giải.
Đặt ƯCLN (với ) suy ra:
nguon VI OLET
