Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng , , . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạ bởi hai mặt phẳng và

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Kẻ ,

mà

Do đó

Ta lại có:

. Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và bằng

Vậy chọn đáp án B.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có và góc . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với giao điểm I của hai đường chéo và . Tính góc tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Ta có

Suy ra:

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có:

Do đó:

Xét tam giác vuông AIB có:

hay .

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, và , . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng và

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có

Vì , suy ra

Khi đó ta có

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Do đó

Đặt

Lại có

Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó

Ta có:

Mặt khác

Ta lại có

hay .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng và là với .

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4. Cho hình lăng trụ có . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng và

A. 75° B. 30° C. 45° D. 15°

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra . Trong đó ta có:

Hạ . Vì đường xiên

(1)

( vuông tại H nên )

Trong ta có

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Vậy chọn đáp án C.

Câu 5. Cho lăng trụ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và

A. 75° B. 30° C. 45° D. 60°

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A trên

Vì nên , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Vì chính là góc giữa hai mặt phẳng và .

Khi đó

Vậy chọn đáp án D.

Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có . Gọi H là trung điểm của AB, . Mặt phẳng tạo với đáy một góc 60°. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng và là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Kẻ

Ta có ngay

vuông cân P

Vậy chọn đáp án D.

Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết và thể tích khối chóp là . Cosin góc giữa 2 mặt phẳng và là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Kẻ

Cạnh và

đều

Ta có:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và . Để góc giữa và bằng 60° thì độ dài của SA

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Ta có

Kẻ ta có

Trường hợp 1:

Ta có (vô lý)

Trường hợp 2:

Ta có

Vậy chọn đáp án A.

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Kẻ ME song song với DN với suy ra

Đặt là góc giữa hai đường thẳng nên

Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có

Suy ra

Do đó và

Tam giác SME cân tại E, có

Vậy chọn đáp án D.

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng và là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của AD và BC

Ta có

Kẻ ta có

Ta có mà

Vậy chọn đáp án C.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có , và . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng và là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy chọn đáp án D.

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng và là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm AB

Ta có

Kẻ ta có

Ta có

Ta có .

Vậy chọn đáp án D.

DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt và là các tam giác đều cạnh a, các mặt và vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC

A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD, AB, BD

Ta có:

Do cân tại A

vuông tại M

là tam giác đều

Vậy chọn đáp án B.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra

Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có: vuông tại S . Kẻ

Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có:

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có:

Suy ra

cân tại E nên và

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, và hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

nguon VI OLET

Giải tích 12 Hình học 12 Giải tích 12 nâng cao Hình học 12 nâng cao