CĐ Tổ Hợp-Số Phức!...

Chuyên đề

SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP

I. SỐ PHỨC

1. LÝ THUYẾT

I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)

II. Dạng lượng giác của số phức

(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0)

* là môđun của z.

*  là một acgumen của z thỏa

1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu , thì:

*    *

2. Công thức Moivre: thì
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Căn bậc hai của số phức (r > 0) là và

2. BÀI TẬP

1. (ĐH_Khối A 2009)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức .

ĐS: A=20

2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .

ĐS: A=11/4

3. (CĐ_Khối A 2009)

a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.

b. Giải phương trình sau trên tập số phức: .

ĐS: a. a=2, b=3

b. z=1+2i, z=3+i

4. Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

ĐS: .

5. (ĐH_Khối B 2009)

Tìm số phức z thỏa mãn và .

ĐS: z=3+4i hoặc z=5

6. Tìm số phức z thỏa mãn: .

HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.

ĐS: z=1+i.

7. Giải phương trình: .

ĐS: z{0;1;1}

8. Giải phương trình: .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.

ĐS: z{0;i;i}

9. Giải phương trình: .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.

ĐS: z=0, z=1,

10. Giải phương trình: .

HD: Chia hai vế phương trình cho z2.

ĐS: z=1±i, .

11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.

HD: Đặt thừa số chung

ĐS:.

12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:

a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.  b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.

13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

a.  = 25i     b.  = 2i   c.  =

14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a. z3iz22iz2 = 0.   b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.

15. (ĐH_Khối D 2009)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện .

ĐS: (x3)2+(y+4)2=4

16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: .

ĐS: .

17. Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

HD: *Gọi z=x+yi.  … .

* Vẽ hình |z|min z.

ĐS: .

18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a. .  b. .

HD: Sử dụng công thức Moivre.

ĐS: a. Phần thực , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.

19. Tìm phần thực và phần ảo của số  phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.

HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.

ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.

II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1. LÝ THUYẾT

1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: , n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: , n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton .

Công thức số hạng tổng quát: ,  0≤k≤n.

2. BÀI TẬP

1. (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của , (x>0).

ĐS: 6528

2. (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của với x>0.

ĐS: 35

3. (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: 495

4. (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyên dương,   là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS:

5. (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: 210

6.  (ĐH_Khối D 2008)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: n=6

7. (ĐH_Khối D 2007)

Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10.

ĐS: 3320

8. (ĐH_Khối D 2003)

Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa  thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n.

ĐS: n=5

9. (ĐH_Khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho .

ĐS: n=5

10. (ĐH_Khối B 2008)

Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).

11.  (ĐH_Khối B 2007)

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:

3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử).

 

ĐS: 22

12.  (ĐH_Khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.

ĐS: k=9

13. (ĐH_Khối B 2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS:

14.  (ĐH_Khối B 2002)

Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n.

ĐS: n=8

15. (ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.

ĐS: a8=126720

16.  (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

17. (ĐH_Khối A 2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: n=1002

18.  (ĐH_Khối A 2004)

Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.

ĐS: 238

19. (ĐH_Khối A 2002)

Cho khai triển nhị thức

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.

ĐS: n=7, x=4

20. Cho số phức z=1+i.

a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.

b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+…   S2=Cn1Cn3+Cn5…

21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250.

o0o