Chương 1 Đại Số Giải Tích 11

BÀI TẬP HÀM SỐ ÔN THI ĐHCĐ

I. Tính đơn điệu

1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

a. y = x³ – 3x² + 3  b. y = x4 – 4x² + 2 c. y =   d. y =

2. Tìm các giá trị của m để hàm số

a. y = f(x) = (m² – 1)x³ + 3(m + 1)x² + 9x + 15 luôn đồng biến trên R.

b. y = f(x) = (m² – m)x³ + 6mx² + 9x – 3 luôn nghịch biến trên R.

3. Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3(m – 1)x² + 3(2m – 3)x – 2

a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)

b. Với các giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên R.

4. Cho hàm số y = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m + 1)x + 1 (1), với m là tham số thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

b. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (2; +∞).

5. Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3x² + (m + 1)x + 4m (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (–1; 1).

6. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + m – 1 (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên (–∞; 0).

7. Cho hàm số y = x³ – 3(m + 1)x² + 9x – m (1), với m là tham số thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2.

8. Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x³ – 2(m + 2)x² + (m + 3)x – 1 (1), m là tham số

a. Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên R.

b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0).

c. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞).

II. Cực trị hàm số

1. Tìm cực trị các hàm số sau

a. y = f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 3

b. y = f(x) = –x³ + 2x² – x + 1

c. y = f(x) = x4 – 2x² + 1

2. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

a. y = f(x) = x³ + 3mx² + 3(m + 6)x – 3(2m + 1)

b. y = f(x) = (m + 2)x³ + 3x² + mx – 5

3. Tìm m để hàm số y = f(x) = x³ + 3(m² – m + 2)x² + 3(3m² + 1)x + 3(m – 5) đạt cực tiểu tại x = –2

4. Tìm m để hàm số y = f(x) = mx³ – 3(m – 1)x² + 9(m – 2)x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + 2x2 = 1

5. Tìm m để hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + 3mx – 3 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| > 8.

6. Tìm m để hàm số y = f(x) = x³ + 2(m – 1)x² + (m² – 4m + 1)x – 2(m² + 1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = 2(1/x1 + 1/x2).

7. Cho hàm số y = f(x) = 2x³ + 3(m + 1)x² + 3(m² + 4m + 3)x – 3 (1), m là tham số

a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung

b. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1, x2 sao cho A = |x1x2 – 2(x1 + x2)| đạt giá trị lớn nhất

8. Cho hàm số y = f(x) = mx4 + (m² – 9)x² + 10 (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.

9. Cho hàm số y = f(x) = (x – m)³ – 3x (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

10. Cho hàm số y = x³ + (1 – 2m)x² + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.

b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

11. Cho hàm số y = (1/3)x³ – mx² + (m² – 1)x + 1 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.

b. Tìm m, để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.

12. Cho hàm số y = f(x) = x4 + 2(m – 2)x² + m² – 5m + 5 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân.

13. Cho hàm số y = x³ – 3(m + 1)x² + 9x – m (1), với là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Xác định m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 sao cho |x2 – x1| ≤ 2.

14. Cho hàm số y = 2x³ – 3mx² + 4m³ (1), với m là tham số thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

15. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 4m (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó xác định m để một trong hai điểm cực trị này thuộc trục hoành.

16. Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 3(m – 3)x² + 11 – 3m (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 3.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị đi qua điểm A(0; –1)

17. Cho hàm số y = f(x) = mx³ – 3mx² + (2m + 1)x + 3 – m (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng đường thẳng nối các điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

18. Tìm các giá trị của m để hàm số y = f(x) = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m + 1)x + 1 (1) đạt cực đại và cực tiểu sao cho yCĐ + yCT = 1.

19. Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2mx² + 2m + m4 (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

20. Cho hàm số y = f(x) = mx4 + (m – 1)x² + 1 – 2m (1), m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số có đúng một điểm cực trị.

21. Cho hàm số y = x4 + 2mx² + m² + m (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120°.

22. Tìm m để hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + m²x + m có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

23. Tìm m để hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² – 3x + 3(m + 1) có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu

là nhỏ nhất.

24. Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3x² – 3(m – 1)x (1), m là tham số

a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ΔOAB vuông tại gốc tọa độ O.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B nằm khác phía so với trục hoành.

c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng y = 5.

25. Cho hàm số y = x³ + 3mx² – 3x + 1 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

b. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 và x2 thỏa mãn điều kiện x1 = –4x2.

26. Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 3(m + 2)x² + 6(5m + 1)x – (4m³ + 2). Tìm m để đồ thị hàm số có

a. Đúng một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 1.

b. Hai điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn 2.

c. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 9.

III. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = x³ – 3x + 5 biết

a. Hoành độ tiếp điểm là x1 = 2

b. tung độ tiếp điểm là y2 = 3

c. tiếp điểm là điểm uốn

2. Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 3x² + 9x – 4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với các đồ thị hàm số sau

a. (d): y = 7x + 4  b. (P): y = –x² + 8x – 3

3. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 6x² + 6x + 9 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

a. Có hệ số góc k = –3

b. Song song với đường thẳng y = –6x + 5.

c. Vuông góc với đường thẳng y =

4. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x + 7 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

a. Tạo với đường thẳng (d): y = 2x + 3 một góc 45°.

b. Đi qua điểm A(–1; 9).

5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = sao cho tiếp tuyến hợp với trục hoành một góc 45°.

6. Cho hàm số y = f(x) = (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

7. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 6x² + 9x (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

8. Cho hàm số y = f(x) = (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M(–1; 7).

9. Cho hàm số (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

10. Cho hàm số y = f(x) = (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Xác định m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

11. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 4

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

12. Cho hàm số y = f(x) = x³ – mx + m – 1 (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số (1) khi m = 1.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết tiếp tuyến đó qua điểm A(0; 2)

c. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục Ox.

13. Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3x² + 3x + 5 (1) có đồ thị là (C).

a. CMR không tồn tại hai điểm nào trên (C) để các tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.

b. Tìm k để trên (C) luôn tồn tại ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx + 3.

14. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2 (1) có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(23/9; –2)

b. Tìm trên đường thẳng (d): y = –2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

15. Cho hàm số y = (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ΔOAB cân tại gốc tọa độ O.

IV. Biện luận số nghiệm của phương trình hoặc giao điểm của hai đường

1. Cho hàm số y = f(x) = –x4 + 2x² + 3 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 – 2x² = m4 – 2m².

2. Cho hàm số y = f(x) = x³ – (m + 2)x + m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Tìm m để hàm số có cực trị tại x = –1.

b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

c. Biện luận số nghiệm của phương trình x³ – 3x + 1 – k = 0.

3. Cho hàm số y = f(x) = –x³ + 3mx² + (1 – m²)x + m³ – m² (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt –x³ + 3x² + k³ – 3k² = 0.

c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm).

4. Cho hàm số y = f(x) = x4 + 2(m – 2)x² + m² – 5m + 5 (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số (1) khi m = 1.

b. Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) với trục hoành.

c. Tìm giá trị của m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

5. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² – 9x + m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số (1) khi m = 2.

b. Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

6. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + 2m(m – 4)x + 9m² – m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

7. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 9x – 7 (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

8. Cho hàm số y = x³ + 2mx² + 3(m – 1)x + 2 (1), m là tham số thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b. Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt đồ thị tại ba điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng

9. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đường thẳng (d) y = –2x – m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Xác định m để khoảng cách giữa hai giao điểm này nhỏ nhất.

10. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số (1) khi m = 2.

b. Tìm các giá trị của m để (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

11. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x + 1 – m² (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

12. Cho hàm số y = x4 – (m² + 10)x² + 9.

a. Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

b. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn điều kiện |x1| + |x2| + |x3| + |x4| = 8.

13. Cho hàm số y = x³ + 2mx² + (m + 3)x + 4 (1), với m là tham số thực

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .

14. Cho hàm số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

15. Cho hàm số y = x³ + 2mx² + (m + 3)x + 4 (Cm).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

b. Cho điểm I(1; 3). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho ΔIBC có diện tích bằng .

V. Tìm điểm trên đường cong thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 1.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .

2. Cho hàm số y =

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C). Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua I(1; 1).

4. Cho hàm số y = f(x) =

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

5. Cho hàm số có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.

6. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai đường tiệm cận.

7. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C). Tìm trên (C) các điểm có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

8. Tìm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y = f(x) = các điểm M, N để độ dài của đoạn thẳng MN là nhỏ nhất.

9. Cho hàm số y = f(x) = . Tìm trên đồ thị của hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

VI. Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 9x² +12x – 4 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Tìm m để phương trình 2|x|³ – 9x² + 12|x| – m = 0 có 6 nghiệm phân biệt.

2. Cho hàm số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3. Cho hàm số y = f(x) = x4 – 4x² + 3 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Tìm m để phương trình | x4 – 4x² + 3| + 2m – 1 = 0 có 8 nghiệm phân biệt.

4. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² – 6 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x³ – 3x² – 6| – (m + 1) = 0

VII. Ứng dụng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1. Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

3. Giải phương trình: x5 + (1 – x)5 = 1/16

4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a.   b.

5. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt

6. Giải bất phương trình: ≤ 2

7. Giải hệ bất phương trình:

a.   b.  c.

8. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:

a. x³ + 3x² – 1 ≤ m  b.

9. Giải hệ phương trình:

a.  b.

10. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

(1)

11. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

(1)

12. Chứng minh

a. với mọi x > 0

b. với mọi x ≠ 0

c. ex–1 > x với mọi x > 0

d. với mọi x > 0

13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số

a. y = f(x) = x³ + 3x² – 9x + 1 trên [–4; 4]

b. y = f(x) = trên khoảng (1; +∞)

c. y = f(x) =

d. y = f(x) = sin³ x – cos 2x + sin x + 2

e. y = f(x) =

f. y = f(x) = cos³ x + 6sin² x + 9cos x – 1

g. y = f(x) =

h. y = f(x) = trên [–1; 2]

VIII. Câu khảo sát hàm số trong các đề thi đại học

1. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của hàm số (1) bằng 45°.

ĐS: m = ±1 (ĐH A 2008)

2. Cho hàm số y = f(x) = 4x³ – 6x² + 1 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1; –9).

ĐS: y = 24x + 15, y = (ĐH B 2008)

3. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 4 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Chứng minh đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k > –3 đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, I, B đồng thời I là trung điểm AB. (ĐH D 2008)

4. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

ĐS: m < 0 hoặc m > 4 (CĐ 2008)

5. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.

ĐS: y = –x – 2 (ĐH A 2009)

6. Cho hàm số y = f(x) = 2x4 – 4x² (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Với các giá trị nào của m, phương trình x²|x² – 2| = m có  6 nghiệm thực phân biệt?

ĐS: 0 < m < 1 (ĐH B 2009)

7. Cho hàm số y = f(x) = x4 – (3m + 2)x² + 3m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.

b. Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

ĐS: –1/3 < m < 1 và m ≠ 0 (ĐH D 2009)

8. Cho hàm số y = f(x) = x³ – (2m – 1)x² + (2 – m)x + 2 (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

ĐS: 5/4 < m < 2 (CĐ 2009)

9. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x² + (1 – m)x + m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện .

ĐS: –1/4 < m < 1 và m ≠ 0 (ĐH A 2010)

10. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Tìm m để đường thẳng y = –2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

ĐS: m = ±2 (ĐH B 2010)

11. Cho hàm số y = f(x) = –x4 – x² + 6 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

ĐS: y = –6x + 10 (ĐH D 2010)

12. Cho hàm số y = f(x) = x³ + 3x² – 1 (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng –1.

ĐS: y = –3x – 2 (CĐ 2010)

13. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

ĐS: m = –1 (ĐH A 2011)

14. Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2(m + 1)x² + m (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung và B, C là hai cực trị còn lại.

ĐS: (ĐH B 2011)

15. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ  A và B đến trục hoành bằng nhau.

ĐS: k = –3 (ĐH D 2011)

16. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

ĐS: y = –3x + 1 (CĐ 2011)

17. Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2(m + 1)x² + m² (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.

b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

ĐS: m = 0 (ĐH AA1 2012)

18. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + 3m³ (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

ĐS: m = ±2 (ĐH B 2012)

19. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (Cm), với m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2 + 2(x1 + x2) = 1.

ĐS: m = 2/3 (ĐH D 2012)

20. Cho hàm số y = f(x) = (1) có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc với đường thẳng y = x + 2.

ĐS: y = –x + 3 và y = –x – 1 (CĐ 2012)

21. Cho hàm số y = –x³ + 3x² + 3mx – 1 (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) khi m = 0.

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

ĐS: m ≤ –1 (ĐH AA1 2013)

22. Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) khi m = –1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.

ĐS: m = 0 hoặc m = 2. (ĐH B 2013)

23. Cho hàm số y = 2x³ – 3mx² + (m – 1)x + 1 (1), với m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b. Tìm m để đường thẳng y = –x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

ĐS: m < 0 hoặc m > 8/9 (ĐH D 2013)

24. Cho hàm số y =  (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = –x bằng

ĐS: (0; –2) hoặc (–2; 0) (ĐH AA1 2014)

25. Cho hàm số y = x³ – 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.

a. Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1.

b. Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho ΔABC cân tại A.

ĐS: m = 1/2 (ĐH B 2014)

26. Cho hàm số y = x³ – 3x – 2 (1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 9.

ĐS: (2; 0) hoặc (–2; –4) (ĐH D 2014)