CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
BÀI 1
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho hệ tọa độ Oxyz và . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x, y, z) sao cho . Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của và kí hiệu là : hoặc
Vậy :
Từ định nghĩa trên ta suy ra :
Chú ý: và
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa:
b) Tính chất: Cho
( Tổng, hiệu vectơ:
( Hai vectơ bằng nhau:
(
( cùng phương (
( Tích vô hướng 2 vectơ: ;
( Hai vectơ vuông góc:
( Độ dài vectơ:
( Góc 2 vectơ: ( với )
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là hoặc nếu : .
Vậy theo định nghĩa trên, ta có : (
( ( (
( ( (
( Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó
( Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó .
b) Tính chất: Cho .
( Khi đó
( Khoảng cách giữa hai điểm:
( Gọi I là trung điểm AB:
( Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (), nghĩa là thì
( Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
( Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD
4. Tích có hướng hai vectơ:
a) Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ.Tích có hướng của hai véctơ và là một véctơ, kí hiệu là , và được xác định như sau :
b) Tính chất
( cùng phương với
( vuông góc với cả hai véctơ và
(
(
c) Các ứng dụng
( Xét sự đồng phẳng của ba véctơ
+ Ba véctơ đồng phẳng
+ Ba véctơ không đồng phẳng
+ Điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện
( Tính diện tích tam giác :
( Tính thể tích hình hộp :
( Tính thể tích tứ diện :
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
II. TÍNH CHẤT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong toạ độ phẳng (Oxy)
( Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: ;
( Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .
( Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A(B(C(D(, ta có:
( Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ( ( (O tuỳ ý).
( Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm (ABC ( ( (O tuỳ ý).
( Hệ thức trọng tâm tứ diện:
G là trọng tâm tứ diện ABCD, O ta có:
( Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
( Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó (! m, n ( R: .
nguon VI OLET
