- Trang Chủ
- Hình học 11
- chuong 3. vecto-quan he vuong goc
chuong 3. vecto-quan he vuong goc
NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC TẬP 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC – KHOẢNG CÁCH GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com hoặc tailieutoanhoc7279@gmail.com 0 946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] MỤC LỤC HAI MẶT PHẲN
Thể loại Giáo án bài giảng Hình học 11
Số trang 55
Ngày tạo 1/13/2017 10:19:38 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước
Tên tệp hhc34 pdf
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
CHƯƠNG III.
VECTO-QUAN
HỆ VUÔNG GÓC
TẬP 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC –
KHOẢNG CÁCH
0
946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC ........................................................................................................................................................2
A. CHUẨN KIẾN THỨC ...................................................................................................................................................................2
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP......................................................................................................................4
Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG....................................................................................................4
Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. .........................................................................9
Bài toán 03: ỨNG DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU....................................................................................... 12
MẶT PHẲNG.......................................................................................................................................................................... 15
KHOẢNG CÁCH.............................................................................................................................................................................. 18
A. CHUẨN KIẾN THỨC ................................................................................................................................................................ 18
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP................................................................................................................... 19
Bài toán 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG...................................... 21
Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU............................................... 26
ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU. ................................................................................................................................... 39
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ....................................................................................................................................................... 41
TÀI LIỆU CÓ THAM KHẢO TỪ SÁCH CỦA “NGUYỄN PHÚ KHÁNH”
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | TÀI LIỆU CÓ 1
THAM KHẢO TỪ SÁCH CỦA “NGUYỄN PHÚ KHÁNH”
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1
. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt với hai mặt phẳng đó.
a
b
P
Q
P , Q a,b
0
0
.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
Diện tích hình chiếu S' Scosφ
Trong đó
giữa
S
là diện tích đa giác nằm trong
P
,
S' là diện tích đa giác nằm trong
Q
còn
φ
là góc
P
và
Q
.
2
. Hai mặt phẳng vuông góc.
.1. Định nghĩa.
2
Q
P
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
0
90
.
0
P
Q
P
,
Q
90
.
R
2
.2. Tính chất.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này có một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
a
a
P
Q
P Q
.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và
vuông góc với giao tyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
P
Q
P
a
b
P
P Q
a Q
a
a b
b
Q
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 2
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Cho hai mặt phẳng
P
và
Q
vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng
P
thì đường thẳng này nằn trong .
dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Q
P
A P
P
Q
Q
a
P
.
Aa
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng đó
P
R
Q R
Δ R
P Q Δ
3
. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với hai mặt
đáy.
-
-
-
-
Các mặt bên là các hình chữ nhật.
Các mặt bên vuông góc với hai đáy
Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều
2. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật
2
2
2
-
Đường chéo d a b c với a,b,c là ba kích thước.
3. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có đáy và các mặt bên đều là
hình vuông.
S
4
. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
-
-
-
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau
Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.
Các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song
với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp được gọi là hình chóp cụt
đều.
C
D
O
A
D'
B
C'
O'
A'
B'
-
Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đồng dạng.
C
D
O
A
B
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 3
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
Phƣơng pháp:
α β
Để tính góc giữa hai mặt phẳng và ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
α β
và . Khi đó góc giữa
hai đường thẳng a,b chính là góc giữa hai mặt phẳng
và
α
β
.
a
b
α
β
α , β a,b
.
Cách 2. Tìm hai vec tơ n ,n2 có giá lần lượt vuông góc với
α
và
β
khi đó góc giữa hai mặt phẳng
1
n n2
1
α
và
β
xác định bởi cosφ
.
n n2
1
Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu S' Scosφ, từ đó để tính cosφ thì ta cần tính
S
và S' .
Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta
thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau:
a)
α
Tìm giao tuyến Δ
Chọn mặt phẳng
γ Δ
Tìm các giao tuyến a
a,b
α
β
β
b
a
p
q
γ
γ
α
, b
γ
β
α
,
β
b)
Tìm giao tuyến Δ
Lấy M
Dựng HN ΔMN Δ
α
β
β
β
.Dựng hình chiếu
H
của trên
M
α
M
.
Phương pháp này có nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt
phẳng
tuyến.
α , β
Δ
và vuông góc với giao tuyến tại một điểm trên giao
φ
α
N
H
Các ví dụ
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 4
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a,AD a 3 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA a
.
a) Góc giữa hai mặt phẳng
b) Góc giữa hai mặt phẳng
Lời giải.
SCD
SBC
và
và
ABCD
.
SAD
.
S
d
β
a) Ta có
SCD
ABCD
CD
CD SA
CB
SAD
α
CD AD
D
A
SAD
ABCD
AD, SAD SCD SD
B
C
SCD
,
ABCD
DA,SD
SDA φ
SA
AD
a
1
φ 30
3
0
tanφ
a 3
AD
SAD
b) Ta có BC
SBC
SAD
SBC
d AD BC
.
AD BC
SA d
d AD
Vì
SA d
,
d AB nên
SAB
d
d
AD
AD AD
SAB
SBC
SB,
SAB
SAD
SA suy ra ASB chính là góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
SAD
.
0
Tam giác ASB vuông cân tại
A
nên ASB 45
.
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và .
A'BC A'CD
Lời giải.
Cách 1.
Ta có
A'BC
A'CD
.
A'C . Gọi
O là tâm của hình vuông ABCD và
H
là hình chiếu vuông góc
của
O trên A'C
BD AC
BD AA'
Do
BD ACA' BD A'C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 5
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
A'C OH
A'C BD
A'
D'
D
Vậy
A'C
BDH
.
B'
B
C'
C
BDH
A'CD
HD, BDH
A'BC BH
H
A'BC , A'BD HB,HD
.
A
O
Tam giác BCA' vuông tại
B
có đường cao BH , do đó
1
BH
1
1
1
1
a
3
2a
2
3
BH a
2
.
2
2
2
2
2
BA' BC
a 2
2
3
Tương tự DH a
.
2
2
2a
2a
2
3
a
2
2
2
2
HB HD BD
1
2
3
Áp dụng định lí côsin cho ΔHBD ta có cosBHD
2
2
HB.HD
2a
3
2.
0
0
BHD 120 . Vậy
A'BC
,
A'BD
HB,HD
60
.
Cách 2. Gọi H A'C
BDC'
, do mặt chéo
BDC'
ứng với đường chéo A'C nên
A'BC
và
BDC'
A'C
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng HB,HD chính là góc giữa hai mặt phẳng
A'CD
.
Do CB CD CC'HB HD HC' và BD BC' DC' a 2 suy ra
H
la tâm của tam giác đều
0
C'BD BHD 120
.
0
HB,HD 60
.
AB' A'BC
Vậy
A'BC
,
A'BD
AB' A'B
AB' BC
Cách 3: Do
0
Tương tự AD' A'CD
nên
A'BC , A'BD AB',AD' 60
(
vì ΔAB'D' đều).
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB b,AC c,AD d đôi một vuông góc. Gọi α,β,γ lần lượt là góc
giữa mặt phẳng
với các mặt phẳng .
BCD ACD , ABD , ABC
2
2
2
a)Chứng minh cos α cos βcos γ 1
.
0
0
0
b) Tính SBCD theo khi α 30 ,β 45 ,γ 60
Lời giải.
a) Cách 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 6
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Kẻ đường cao AH của tam giác ACD , do
AB AC
AB AD
B
AB
CD và CD là giao tuyến của hai mặt phẳng
ACD
nên α AHB
ACD AB CD
.
Vậy
và
ABH
BCD
.
Ta có
D
A
α
AB
AH AH
b
1
AH
1
1
1
c
1
nên
2
tanα
, mà
2
2
2
2
H
AC AD
d
C
2
2
b c d
tanα
.
cd
2
2
1
c d
2
2
Mặt khác 1 tan α
Tương tự ta có :
cos α
.
2
b c c d d b
2
2
2
2
2
2
cos α
2
2
2
2
b d
b c
2
2
cos β
,
cos γ
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
b c c d d b
2
b c c d d b
2
2
2
Từ đó suy ra cos α cos βcos γ 1
.
Cách 2. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
BCD
và
I
là trung điểm của CD . Đặt
AB b,AC c,AD d b b, c c, d d
.
2
2
BH.BI BA b
2
2
2
b c d
BH
IH
Dễ thấy AH
BCD
và
2
2
k
c d
2
2
2
IH.IB IA
c d
2
2
c d
2
2
2
2
2
c
1
k
k
1 k
IC AC
c
d
d
Suy ra AH
AB
AI, mà
AI
AC
CD nên
2
c d
2
2
2
2
1
ID AD
c d
2
2
2
2
2
2
2
2
c d
b c d b
d
c
AH
AB
AC
AB
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c c d d b
b c c d d b c d
c d
2
2
2
2
2
c d
d b
b c
b
c
d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c c d d b
b c c d d b
b c c d d b
Lại có b,c,d lần lượt là các vec tơ vuông góc với các mặt phẳng
ACD , ABD , ACB
.Từ đó ta có:
2
2
2
b c d
b.AH
b AH
2
2
2
2
2
2
cd
b c c d d b
cosα
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c c d d b
b c c d d b
b
2
2
2
b c d
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 7
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
c.AH
d.AH
b AH
bd
bc
Tương tự : cosβ
,cosγ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b AH
b c c d d b
b c c d d b
2
2
2
Suy ra cos α cos βcos γ 1
b) Sử dụng công thức hình chiếu
A
Gọi
H A
BCD
là hình chiếu của trên .
Trước tiên ta chứng minh tam giác BCD nhọn. Không giảm tổng
quát, giả sử
B
lớn nhất.
B
2
2
2
2
2
Ta có CD AC AD c d
D
H
2
2
2
2
2
2
Tương tự CB b c ,DB b d
I
C
Áp dụng định lí côsin cho ΔBCD ta có
2
2
2
BC BD CD
cosB
2
BC.BD
2
2
2
2
2
2
b c b d c d
2
2
2
2
2
b c b d
2
2
b
0 do đó
B
nhọn, hay tam giác BCD nhọn.
2
2
2
2
2
b c b d
AH CD
AB CD
Ta có
BH CD , tương tự ta có CH BD từ đó suy ra
H
là trực tâm của ΔBCD , mà
H
ΔBCD nhọn nên thuộc miền trong tam giác BCD .Do đó
SBCD SHBC SHBD SHCD SABC cosγ SABD cosβSACD cosα
1
2
1
2
1
2
bc 2bd 3cd
0
0
0
bccos60 bdcos45 cdcos30
.
4
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường
kính AB 2a; cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3
.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng
Lời giải.
SAD
SBC
và
và
SBC
.
.
SCD
BD AD
BD SA
a) Gọi I ADBC thì SI
khi đó
BDE
SAD
SBC
.
BD
SAD
BD SI . Dựng DE SI,ESI
SBC
SI . Do đó BED là góc giữa hai mặt phẳng
SAD
và
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 8
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
0
Do đáy ABCD là nửa lục giác đều nên IAB IBA 60 ΔIBA đều.
2
2
2
2
Vì vậy AI AB 2a
,
SI SA AI a 3
2a
a 7
.
DE DI
a
a 7
1
7
SA
7
3
7
Dễ thấy ΔSAI ΔDEI
DE
a
.
SA SI
BD
SAD
BD DE. Trong tam giác vuông BDE ta có
BD a 3
tanBED
7 BED arctan 7
.
DE
3
7
a
S
Vậy
SAD , SBC arctan 7
b) Dựng AP SH,PSH
.
Q
E
P
Do CD SAH AP CD AP
SCD
.
B
A
Tương tự, dựng AQ SC,QSC thì AQ
SBC
.
Do đó PAQ
SBC
,
SCD
. H D
C
Trong tam giác SAH ta có :
I
1
AP
1
AS
1
AH
1
1
5
3a
2
2
2
2
2
2
a 3
a 3
2
5
AP a
3
1
2
SA 2 a 6
Dễ thấy ΔSAC vuông cân tại
AP SCD AP PQ
A
nên AQ SC
2
2
.
3
a
AP
AQ
10
5
10
5
5
a 6
2
Trong ΔAPQ có cosAPQ
APQ arccos
1
5
0
Vậy
SBC
,
SCD
arccos
.
Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.
Phƣơng pháp:
Để chứng minh hai mặt phẳng và vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
α β
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 9
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
0
Cách 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng , rồi tính trực tiếp góc đó bằng 90
.
0
α
,
β
90
α
β
.
Cách 2. Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
a
a
α
β
α β
.
Cách 3. Tìm hai vec tơ n ,n2 lần lượt vuông góc với các mặt phẳng
α
,
β
rồi chứng minh n .n 0
.
1
1
2
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA a, các cạnh còn lại bằng
b
.
a) Chứng minh
SAC
ABCD
và
SAC
SBD
.
.
b) Tính đường cao của hình chóp S.ABCD theo a,b
c) Tìm sự liên hệ giữa
Lời giải.
a b
và để S.ABCD là một hình chóp đều.
S
a) Gọi O ACBD, vì tứ giác ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
nên nó là một hình thoi, vì thế AC BD và là trung điểm của
BD
Mặt khác SB SD bΔSBD cân tại
b
O
.
B
S
, do đó SO BD .
C
BD AC
BD SO
Vậy
BD
SAC
H
O
A
D
SAB
ABCD
và
SAC
SBD
.
SAC
SAC
ABCD
ABCD
b) Ta có
nên trong
AC
SAC
kẻ SH AC,HAC thì SH
ABCD
, hay SH là
đường cao của hình chóp.
Do hình chóp có các cạnh SB SD b,CB Cd b,A B A D nên các tam giác SBD,CBD,ABD là các
tam giác cân bằng nhau suy ra OS OA OCΔSAC vuông tại
. Từ đó ta có
S
SA.SC
AC
ab
SH.AC SA.SC SH
.
2
2
a b
b) Hình chóp S.ABCD là một hình chóp đều. thì các cạnh bên bằng nhau nên a b
.
Và khi a b thì AC a 2 mà ABCD là hình thoi cạnh
hình chóp đều.
a nên nó là hình vuông , tứ đó S.ABCD là một
Vậy S.ABCD là một hình chóp đều khi và chỉ khi a b
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 10
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC cạnh
a
. Gọi
D
A
là điểm đối xứng của qua BC . Trên đường thẳng
a 6
2
d ABCD
tại lấy điểm sao cho SD
A
S
. Chứng minh
SAB
SAC
.
Lời giải.
Gọi là trung điểm của BC thì AI BC và
I
I
cũng là trung điểm của AD
.
BC AD
BC SD
Ta có
BC SAD BC SA
.
S
SA IH
SA CB
C
Dựng IH SA,HSA, khi đó ta có
SA HCB
. Suy ra
H
I
góc giữa hai mặt phẳng
Ta có ΔAHI ΔADS
a 3
SAB
và
SAC
là BHC
.
A
D
IH AI
.
SD AD
B
Mà AI
,AD 2AI a 3
,
2
a 3 a 6
2
2
.
2
3a 2
2
a 6
2
3a 2
2
AI.SD
AD
a
BC
2
0
BHC 90 .
2
2
SA AD SD a 3
suy ra IH
2
2
Ví dụ 3. Cho hình chóp đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng
a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA,SB. Tính diện tích tam giác AMN biết rằng
AMN
SBC
. ( ĐH khối A-2002)
Lời giải.
S
Gọi
K
là trung điểm của BC và I SKMN. Từ giả thiết ta có
1
2
a
2
MN BC ,MN / /BC I là trung điểm của SK và MN . Ta có
N
I
ΔSAB ΔSAC hai trung tuyến tương ứng AM AN ΔAMN
cân tại AAI MN
M
C
.
A
SBC AMN
K
SBC
AMN
MN
Mặt khác
B
AI
AMN
AI MN
a 3
2
AI
SBC
AI SK ΔSAK cân tại A SA AK
.
2
2
2
2
a
2
3
4
a
a
SK a 10
2
2
2
2
2
2
Ta có SK SB BK
AI SA SI SA
.
4
2
4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 11
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
2
1
2
a
10
.
Ta có SAMN MN.AI
16
Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB AD a,AA' b . Gọi
M
là trung điểm của
a
b
CC'. Xác định tỉ số
A'BD MBD
để hai mặt phẳng và
A'
B'
vuông góc với nhau. ( ĐH khối A-2003)
Lời giải.
D'
C'
A
M
B
Gọi
O
là tâm của hình vuông ABCD.
O
AC BD
Ta có BD
A'BD
MBD
,
ACC'A' BD
AA' BD
D
C
ACC'A'
BD
A'BD
MBD
MBD
Vậy
ACC'A'
OA' do đó góc giữa hai đường thẳng OM,OA' chính là góc giữa hai mặt
ACC'A'
OM
phẳng
A'BD
và
.
2
2
2
2
2
AC'
2
AB AD AA'
2a b
Ta có OM
.
2
2
2
2
a
2
a 2
2
2
2
2
2
2
OA' AO AA'
b b
.
2
2
b
5b
4
2
2
2
2
2
2
MA' A'C' MC' a b
a
.
2
2
2
2
Hai mặt phẳng
A'BD
và
MBD
vuông góc với nhau ΔOMA' vuông tại O OM OA' MA'
2
2
2
2
2
a b a
4
5b
a
b
2
2
2
2
b a
a b 1
2
4
a
b
A'BD
MBD
khi 1( Khi đó ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)
Bài toán 03: ỨNG DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU.
Giả sử là diện tích đa giác nằm trong
và S' là diện tích
của hình chiếu trên thì S' Scosφ trong đó
P'
góc giữa hai mặt phẳng và
P'
S
H
P
H'
của
H
φ
là
P
P
.
H
S'=Scosα
H'
P'
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 12
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D. Một mặt phẳng
α
hợp với mặt phẳng đáy
0
ABCD
một góc 45 và cắt các cạnh bên của lăng trụ tại M,N,P,Q . Tính diện tích thiết diện, biết cạnh
đyá của lăng trụ bằng
Lời giải.
a
.
D'
C'
P
S
Gọi .
là diện tích thiết diện MNPQ
Ta có hình chiếu của MNPQ xuông
ABCD
S' SABCD a
B'
ABCD
chính là hình vuông
A'
α
.
Q
2
N
M
D
C
0
φ 45
Gọi φ
α
,
ABCD
thì
A
B
2
2
2
Do S' Scosφ S
S 2S' 2a
.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB 3a, đường cao CH a và AH a nằm trong mặt phẳng
các đường thẳng vuông góc với
P
. Trên
P
kẻ từ A,B,C lần lượt lấy các điểm A',B',C' tương ứng nằm về
một phía của
Lời giải.
P
sao cho AA 3a,BB 2a,CC a . Tính diện tích tam giác A'B'C'
.
1
1
1
2
3a
Ta có SABC
.
2
0
Vì CH AB,CH a,AH a AC a 2 và BAC 45
.
A'
Gọi I B'C'BC,J A'C'AC
.
1
2
Ta có CC' BB' BC CI
I
1
3
1
2
a 2
2
C'
CC' AA' CJ AC
.
B'
K
2
2
2
2
A
Xét ΔBCH ta có BC BH CH 5a BC a 5
C
J
Mặt khác
H
2
2
2
B
CA CB AB
1
10
2
2
2
AB CA CB 2CA.ABcosC cosC
.
2
CA.CB
2
2
6a
4
2
2
2
Xét ΔICJ ta có IJ CI CJ 2CI.CJcosICJ
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 13
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Kẻ đường cao CK của ΔICK , do CC'
ICJ
nên C'K IJ
.
Vậy C'KC chính là góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
A'B'C'
nên SABC SA'B'C' cosC'KC
.
2
1
2
3a
4
1
2
Ta có SICJ S
, mặt khác SICJ
IJ.CK
ABC
2
a
2
3
2
SICJ
3
a
CK
26
.
IJ
26a
2
CC'
CK
a
3a
26
.
Xét ΔC'CK ta có tanC'KC
3
26
1
3
35
2
Mà 1 tan C'KC
cosC'KC
.
2
cos C'KC
SABC
35
2
2
Vậy SABC SA'B'C'cosC'KC S A'B'C'
a
.
cosC'KC
a
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng . Gọi là mặt phẳng đi qua tâm
α
của hình lập phương và vuông góc với đường chéo AC' . Tính diện tích thiết diện của hình lập
O
phương ABCD.A'B'C'D' cát bởi .
α
Lời giải.
Gọi
M
là trung điểm của BC , do MA MC' a 5 nên ΔMAC' cân tại
là trung điểm của AC'MO AC' M
M
, mà
O
α
.
Tương tự ,
MNPQRS .Xét phép chiếu vuông góc xuống mặt phẳng
MNPQRS là lục giác M'N'D'QRB'
Gọi S,S' lần lượt là diện tích của các lực giác MNPQRS và
M'N'D'QRB'thì S' Scosφ
với là góc giữa mặt phẳng và
α
mặt phẳng
A'B'C'D'
α
sẽ cắt các cạnh DC,DD',A'D',A',B'B tại các điểm N,P,Q,N,S . Thiết diện là lục giác
A'B'C'D'
, ta có hình chiếu của lục giác
.
B
M
C
1
φ
N
A
S
D
P
.
O
B'
M'
Ta có S' SA'B'C'D'
SA'QR SC'M'N'
C'
R
I
2
2
2
a
a 3a
N'
2
a
.
2
A'
8
8
4
Q
D'
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 14
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Gọi
I
là tâm của hình vuông A'B'C'D' thì
ICC' CB'D'
B'D' nên CIC' là góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
A'B'C'D'
.
a 2
2
IC
IC'
IC
1
3
Ta có cosCIC'
2
2
2
a
2
CC' IC
2
a
1
3
Lại có
α
/ /
CB'D'
nên φ CIC' cosφ
3
2
3a
2
S'
cosφ
3 3a
4
Từ
1
,
2
,
3
ta có S
.
1
4
3
2
3
3a
Vậy diện tích thiết diện là S
.
4
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT
MẶT PHẲNG.
Phƣơng pháp:
Bài Toán: Cho mặt phẳng
α
a
và đường thẳng không vuông góc
chứa và vuông góc với
β
a
A
với .Xác định mặt phẳng
α
β
a
α
.
Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
b
d
Chọn một điểm Aa
Dựng đường thẳng
đó mp a,b β
chính là mặt phẳng .
H
b
đi qua
A
và vuông góc với
α
. Khi
α
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
cạnh SA ABCD SCD
và SA a 3 . Goi
α
là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng .
Xác định và tính thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi
α
.
Lời giải.
Kẻ AH SD
Do SA ABCD
CD SAD CD AD
.
SA CD , lại có CD ADnên
.
S
AH SD
AH CD
Từ đó ta có
AH SCD
H
K
A
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 15
D
VUÔNG GÓC
B
C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
ABH
SCD
.
Vậy
ABH
chính là mặt phẳng .
α
AB
CD
α
SCD
Ta có
AB CD
H
α
SCD
α
SCD
HK AB CD. Thết diện là tứ giác AHKB
.
1
2
Dễ thấy AHKB là hình thang vuông tại
A
và
H
, nên SAHKB
a 3
AH
2
2
AB HK
AH
.
1
AH
1
1
1
1
a
4
3a
Ta có
2
2
2
2
2
AS AD
a 3
2
2
HK SH SH.SD SA
CD SD
Trong ΔSCDcó HK CD nên
SD
2
SD
2
2
SA
3a
3
4
3
4
3
.
HE CD a
2
2
2
2
SA AD
3a a
4
2
1
2
1
AH a
3a 3a 7a
4
3
.
Vậy SAHKB
AB HK
2
2
16
Ví dụ 2.
a)
với hình chóp S.ABCD
b) Gọi
là trung điểm của SA
α
là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với
SAC
. Xác định và tính diện tích thiết diện của
α
.
M
,
N
là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN x . Mặt phẳng
β
β
đi qua
MN và vuông góc với
Lời giải.
SAD
. Xác định và tính diện tích thiết diện của hịnh chóp cắt bởi
.
a) Gọi
E
là trung điểm của cạnh ABvà
O là giao điểm của AC và DE thì ADCE là hình vuông có
tâm là
O
.
Ta có SA
Từ đó ta có OD
Vậy chính là mặt phẳng
SDO
ABCD
SA OD, thêm nữa OD AC OD
SAC
.
SAC
SDO
SAC
.
S
α
.
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
α
là tam giác SDE
.
Q
M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 16
B
A
E
VUÔNG GÓC
P
N
O
C
D
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
2
a 2
2
3
2
2
2
2
Ta có SO OA AS
a a
.
1
2
BC DE a 2 , do DE
SAC
DE AO SSDE SO.DE
2
1
2
3
2
a
3
.
.a .a 2
2
AB
SAD
AB
b) Ta có
β
.
β
SAD
M
β
SAB
Vậy AB
SAB
β SAB MQ AB,Q SB
.
AB
β
N
β
ABCD
Tương tự, AB
ABCD
β
ABCD
NP AB,PBC
.
AB
β
Thiết diện là tứ giác MNPQ
.
NP AB
MQ AB
Do
NP MQ 1
SAD
MN
AB MN
SAD
Lại có
2
AB
Từ
1
,
2
suy ra tứ giác MNPQ là hình thang vuông tại
M
và
N
.
1
2
Do đó SMNPQ
NP MQ
MN
.
2
2
2
a
a 4x
1
2
2
2
2
MN AM AN
x
,
MQ AB a
4
2
2a
a x
a
NP DN
AB.DN
DA
NP
2
a x
AB DA
2
2
2
2
1
2
a 4x
3a x
a
4x
Vậy SMNPQ
2
a x
a
.
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 17
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
KHOẢNG CÁCH
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
O
H
1
. Khoảng cách từ một điểm tới một đƣờng thẳng.
Cho điểm và một đường thẳng . Trong mp gọi là hình
M
Δ
M,Δ
H
chiếu vuông góc của
khoảng cách từ điểm
M
trên
Δ
Δ
. Khi đó khoảng cách MH được gọi là
M
M
đến
.
d M,Δ MH
Nhận xét: OH OM,MΔ
. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
O
2
Cho mặt phẳng
trên mặt phẳng
α
α
và một điểm
H
M M
, gọi là hình chiếu của điểm
. Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách
H
M
α
từ điểm
M
đến mặt phẳng .
α
d M, α MH
Nhận xét: OH MO,M
. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng tới một mặt phẳng.
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó
khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là
khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
α
3
M
H
Δ
α
Δ
α
Δ
α
.
α
d Δ, α d M, α ,MΔ
.
N
M
4
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một
điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng
cách giữa hai mặt phẳng và
d α , β d M, β d N, α ,M
α
α
β
α
β
.
N'
M'
β
α ,N β
.
5
. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 18
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b . Độ dài đoạn vuông góc chung
M
a
MN của
a b a b
và được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
b
N
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM
M
Δ
ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG .
Phƣơng pháp:
M
Δ H
Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định được hình chiếu của điểm
trên đường thẳng , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm
thường được dựng theo hai cách sau:
M
Δ
H
Trong mp
Dựng mặt phẳng
M,Δ MH
M,Δ
vẽ MH Δ d
M,Δ MH
α
qua và vuông góc với
M
Δ
tại
H
d
.
Hai công thức sau thường được dùng để tính MH
1
1
1
.
2
ΔMAB vuông tại
M
và có đường cao AH thì
2
2
MH MA MB
2
SMAB
MH là đường cao của ΔMABthì MH
.
AB
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng
a
. Tính khoảng các từ đỉnh D' đến
đường chéo AC'
Lời giải.
.
D
C
Gọi
H
là hình chiếu của D' trên AC'
.
C'D' D'A'
C'D' DD'
Do
C'D' ADD'A'
A
B
H
C'D' D'A
.
C'
D'
Vậy tam giác D'AC' vuông tại D' có đường cao D'H suy ra
1
D'H
1
1
1
1
a
3
2a
3
2
A'
D'H a
2
.
B'
2
2
2
2
2
D'A D'C'
a 2
3
2
Vậy
d
D',AC'
a
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 19
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O
cạnh , cạnh SA vuông góc với
a
mặt phẳng
ABCD
và SA a . Gọi
I
là trung điểm của cạnh SC và
M
là trung điểm của đoạn
AB. Tính khoảng cách từ
Lời giải.
I
đến đường thẳng CM .
S
ICM d I,CM IH
Trong kẻ IH CM thì .
Gọi N MO DC,N CD
.
OH OM
I
Ta có ΔMHO ΔMNC
CN MC
A
B
a
2
M
O
2
2
Mà OM CN ,CM BM BC
N
H
D
C
2
a
a 5
2
2
a
.
2
CN.OM
MC
a
SA
2
a
2
Suy ra OH
, OI là đường trung bình trong tam giác SAC nên OI
5
.
2
OI / /SA
Ta có
OI
ABCD
OI OH ΔOHI vuông tại
O
nên
SA
ABCD
2
2
a a
3
10
a 30
10
2
2
IH OH OI
a
2
2 5
a 30
Vậy
d
I,CM
.
10
0
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
O
cạnh
a
, góc ABC 120
,
SC
ABCD
và SC h. Tính khoảng cách từ điểm
O
đến đường thẳng SA theo
a
và
h
.
Lời giải.
Kẻ OH SA,HSA thì
d
O,SA
OH
.
S
0
Do ABCD là hình thoi cạnh
a
và ABC 120 nên ΔCBD đều cạnh
H
a 3
2
a
CO
CA 2CO a 3
.
B
A
2
2
2
2
2
2
SA CS CA h a 3 3a h
O
Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên
C
D
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 20
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a 3
.
h
OH OA
OA.SC
SA
ah 3
2
OH
2
2
2
2
SC SA
3
a h
2 3a h
3
ah
Vậy d O,SA OH
.
2
2
2
3a h
Ví dụ 4. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
ABCD
và cạnh bên SA ,
SA a. Gọi
Lời giải.
E
là trung điểm của cạnh CD .Tính khoảng cách từ
S
đến đường thẳng BE .
Trong
SBM
kẻ SH BM thì
d
S,BM
SH
.
Gọi N BM AD , ta có
DN MD
BC MC
S
AD BC
1 DN BC a
AN 2a
.
1
AH
1
1
2
Tronh tam giác vuông ABN có
2
2
AB AN
A
N
D
M
H
1
a
1
5
4a
2
B
2
2
C
2a
2
a 5
5
AH
.
4
5
3a 5
5
2
2
2
2
SA
ABCD
SA AH ΔASH vuông tại
a 5
A
, do đó SH AH AS
a a
.
3
Vậy
d
S,BM
SH
.
5
Bài toán 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
Phƣơng pháp:
Để tính được khoảng từ điểm
M
đến mặt phẳng thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định
α
được hình chiếu của điểm
này ta có một số lưu ý sau:
M
trên . Để xác định được vị trí hình chiếu
α
M
d
Nếu có d α
thì MH d (h1).
H
α
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 21
VUÔNG GÓ
C
h1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Chọn
MH Δ MH
Nếu trong
đoạn AB, rồi trong mp
Thật vậy , Gọi là trung điểm của AB. Do MA MB nên ΔMAB cân tại
M MI AB M,d
. Lại có AB d AB mp
β
chứa điểm
(h2).
có hai điểm A, B sao cho MA MB thì trong
M,d
dựng MH d. Khi đó MH
M
, rồi xác định giao tuyến Δ
α
β
. Trong
β
dựng
α
α
α
d
kẻ đường trung trực của
α
(h3)
β
I
M
α
AB MH
.
H
MH AB
MH d
α
M
H
Vậy
MH α
.
h2
Nếu trong
sao cho MA d thì trong
d' d, rồi trong mp M,d' kẻ MH d' MH
Thật vậy , do d d' và d MA d mp M,d' d MH
α
có một điểm
A
và một đường thẳng
kẻ đường thẳng d' đi qua
A
.( h4)
d
không đi qua
B
A
α
và
d
I
α
A
α
h3M
Lại có MH d' MH mp d,d' α
.
d
Nếu trong
α có các điểm A ,A ,...,A n 3
mà
1 2 n
H d' A
h4
α
MA MA ... MA hoặc các đường thẳng MA ,MA ,...,MA tạo với
1
2
n
1
2
n
α
các góc bằng nhau thì hình chiếu của
đường tròn ngoại tiếp đa giác A A ...A
M
trên
α
chính là tâm
mà các mặt phẳng
M
.
1
2
n
N
M
Nếu trong
α
có các điểm A ,A ,...,A
n 3
thì hình chiếu của
1
2
n
MA A MA A3
,
1
,...,
nội tiếp đa giác A A ...A
.
n
MA A1
là tâm đường tròn
α
M xuống ta có thể dựng
1
2
2
n
2
N'
α
M'
Đôi khi, thay vì hình chiếu của điểm
hình chiếu một điểm
khác thích hợp hơn sao cho MN
d M, α d N, α . (h5)
h5
d(M,(α))=d(N,(α))
N
α
. Khi đó
Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ
diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:
Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và có đường
A
O
1
1
1
1
.
2
cao OH thì
2
2
2
OH OA OB OC
H
C
B
I
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 22
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh
a
, cạnh SA vuông góc với
0
ABC
và SA h, góc giữa hai mặt phẳng
theo và
SBC
và
ABC
bằng 60 . Tính khoảng cách từ
A
đến
SBC
a
h
.
Lời giải.
Gọi là trung điểm của BC , ta có
AI BC
SA BC
I
SAI BC
Vậy AIS chính là góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
0
AIS 60
.
S
Trong
SBC
kẻ AH SI
.
BC SAI
AH BC
AH SAI
Ta có
.
H
C
AH BC
AH SI
A
Vậy
AH SBC
I
B
d A, SBC AH
.
a 3
2
Tam giác ABC đều cạnh
a
nên AI
2
2
1
AH
1
1
1
1
h
4h 3a
ah 3
Trong tam giác AIS ta có
AH
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AI AS
3a h
4h 3a
a 3
2
ah 3
Hay d A,
SBC
.
2
2
4
h 3a
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A B
và ,
BA BC a,AD 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi
trên SB . Tính khoảng cách từ
góc của đến mặt phẳng
SCD
H
là hình chiếu vuông
A
H
.
S
Lời giải.
E
F
K
N
H
D
A
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 23
VUÔNG GÓC
B
C
M
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
ABCD SAM
E
N
Trong gọi M AB CD , trong gọi K AHSM , kẻ AE SC tại và gọi là
trung điểm của AD
Dễ thấy ABCN là hình vuông nên NC AB a. Do đó NA NC NDa ΔACD vuông tại
.
C
SAC SAC SCD
CD AC , lại có CD SA CD .
SAC
SAC
SCD
SCD
SC
AE
Vậy
SCD 1
AE
SAC
AE SC
Trong
AKE
kẻ HF AE,FKE, thì từ (1) suy ra HF
SCD
d H, SCD HF
.
MB BC
MA AD 2a
a
1
2
Do BC AD
MA 2AB 2a B là trung điểm của MA
.
2
2
BH BH.BS
BA
a
1
3
Lại có
2
.
2
2
2
BS
BS
AB AS
2
a a 2
HF KH
1
3
1
HF AE
3
Vậy
H
là trọng tâm của tam giác SAM , do đó
.
AE KA
Tứ diện ADMS có ba cạnh AD,AM,AS đôi một vuông góc và AE
SMD
nên
1
AE
1
1
1
2 2
AD AM AS
2
2
1
1
1
1
AE a
2
.
2
2
2
4a
4a 2a
a
1
3
a
3
Vậy d H,
SCD
HF AE
.
A
B
Nhận xét: Từ bài trên ta thấy nếu đường thẳng AB
d A, α
IA
IB
I
H
cắt
α
tại
I
thì
.
K
α
d B, α
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thức AB a,AD b,AA' c . Tính
khoảng cách từ đến mặt phẳng
DA'C'
A
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 24
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Lời giải.
D'
C'
C
Gọi
I
I
là tâm của hình bình hành ADD'A' thì là trung điểm của
AD'
.
A'
A
B'
d A, DA'C'
IA
ID'
I
Ta có
1
d D', DA'C'
D
d A, DA'C' d D', DA'C'
.
B
Mặt khác ta có tứ diện D'ADC' có các cạnh D'D,D'A',D'C' đôi một
2
2
2
2
2 2
1
1
1
1
1
a
1
b
1
c
a b b c c a
vuông góc nên
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
d D', DA'C'
D'D D'A' D'C'
a b c
1
1
b
abc
Vây d A,
DA'C'
.
2
a b b c c a
2
2
2
2
2
1
a
1
c
2
2
2
Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh
a
, các góc
0
BAA' BAD DAA' 60 . Tính khoảng cách từ A' đến
ABCD
.
Lời giải.
0
Do ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh
tam giác ABA',ABD,ADA' đều là các tam giác đếu cạnh a A'A A'B A'D
đỉnh của ΔABD
Gọi là hình chiếu của A' trên
ABCD
thì các tam giác vuông A'HA,A'HB,A'HD bằng nhau
nên HA HB HD suy ra là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABD
2 a 3 a 3
a
và BAA' BAD DAA' 60 nên các
(
A' cách đếu ba
)
H
H
.
2
D'
C'
Gọi
O
giao điểm của AC và BD , ta có AH AO .
.
3
3
3
2
A'
2
B'
C
a 3
3
2
2
2
A'H AA' AH a
D
2
3
a
.
O
H
A
B
2
3
Vậy
d
A',
ABCD
A'H a
.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
đều và có cạnh bằng 2a BC 3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
ABCD
A D
và
, tam giác SAD
,
S
.
Lời giải.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 25
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
ꢀ
ọi
I
là hình chiếu vuông góc của
S
trên
ABCD
I
, Gọi I ,I ,I ,I lần lượt là hình chiếu của trên
1 2 3 4
là góc giữa các mặt bên và mặt đáy do đó chúng
các cạnh AB,BC,CD,DA thì các góc IIiS
i 1,4
bằng nhau,suy ra các tam giác vuông SII ,SII ,SII ,SII bằng nhau nên II II II II
I
là tâm
1
2
3
4
1
2
3
4
đường tròn nội tiếp hình thang ABCD
.
ꢁ
ì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB DC AD BC 5a
1
2
1
2
2
Diện tích hình thang ABCD là S
AB DC
AD .5a.2a 5a
S
ꢀọi
p
là nửa chu vi và
r
là bán kính đường tròn nội tiếp của hình
AB DC AD BC 10a
thang ABCD thì p
5a
2
2
C
D
I
3
2
S
p
5a
5a
S pr r
a II r a
.
I
4
I
4
I
B
2
A
I
1
Tam giác SAD đều và có cạnh 2a nên
2
a 3
2
2
2
4
2
2
SI
a 3 SI SI -II 3a -a a 2 Vậy d S,
ABCD
SI a 2
.
4
4
Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAIĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Phƣơng pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:
Dựng đoạn vuông góc chung MN của và . Khi đó
a,b MN. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
a
b
d
Nếu a b thì ta dựng đoạnvuông góc chung của
a
và
b
.
như sau
-
-
-
Dựng mặt phẳng
Tìm giao điểm O a
Dựng OH b
α
chứa
b
và vuông góc với
a
a
α
.
.
Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của
và
a b
.
O
H b
α
Nếu a,b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn vuông góc
chung của
và theo hai cách sau:
a b
Cách 1.
A
-
-
-
Dựng mặt phẳng
Dựng hình chiếu A' của một điểm Aa trên
Trong
cắt tại
. Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của
α
chứa
b
và song song với
a
.
N
a
α
.
α
dựng đường thẳng a' đi qua A' và song song với
a
b
M
, từ
M
dựng đường thẳng song song với AA' cắt
và
a
tại
M
N
a
b
.
A' a'
α
b
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 26
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Cách 2.
-
-
-
-
Dựng mặt phẳng
Tìm giao điểm O a
Dựng hình chiếu b' của
Trong dựng OH b' tại
dựng đường thẳng song song với
dựng đường thẳng song song với OH cắt
α
vuông góc với .
a
α
.
b
trên
α
.
b
α
H
A
B
-
-
-
Từ
Từ
H
B
a
cắt
b
tại
tại
và
Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau bằng
khoảng cách từ một điểm Aa đến mặt phẳng chứa và
B
.
A
.
a
.
b'
Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của
a
b
O
a
H
α
α
b
α
a
.
M
A
Sử dụng
d
a,b
d
α
,
β
d A,
β ,A
α
α
Sử dụng phương pháp vec tơ
N
H
b
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi
β
M
N
B
D
AM xAB
CN yCD
MN.AB 0
MN.CD 0
A
C
b) Nếu trong có hai vec tơ không cùng phương u ,u thì
α
1 2
OH u1
OH d O, α OH u
2
O
H α
OH.u 0
1
OH.u 0
.
2
u
1
H
α
H
u2
α
Các ví dụ
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 27
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
ABCD
a) SB và AD
b) BD và SC
Lời giải.
.
.
a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB . Ta có
S
AD AB
AD SA
AD
SAB
AD AHVậy AH là đoạn vuông góc
AD,SB AH
có đường cao AH nên
chung của SB và AD, nên
d
.
I
Tam giác SAB vuông cân tại
A
H
j
D
1
2
a 2
2
A
K
AH SB
.
O
a 2
2
Vậy
d
AD,SB
AH
=
.
B
C
BD AC
BD SA
b) Ta có
BD
SAC
. Gọi
O
là tâm của hình vuông ABCD và kẻ OK SC,KSC thì
OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
.
1
2
Vậy
d
BD,SC
OK AI
(
I
là trung điểm của SC
)
.
1
1
1
1
1
3
a 6
3
Ta có
AK
2
2
2
2
2
2
AK
AS AC
a
2a
2a
a 6
Vậy
d
BD,SC
.
6
a 3
2
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh
a
,
I
là trung điểm của AB . Dựng IS
ABCD
và SI
.
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD,SB. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của các cặp đường thẳng sau:
a) NP và AC
.
b) MN và AP
.
S
Lời giải.
a) Trong
Từ
SAB
kẻ PJ SI , từ
J
kẻ JE BD,EAC
N
F
E
kẻ EF PJ,FPN
.
P
H
K
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 28
D
A
Q
E
VUÔNG GÓC
I
O
J
B
M
C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
PJ SI
SI ABCD
Do
PJ ABCD
PJ AC 1
.
PN BD
BD AC
Lại có
PN AC 2
E
1 , 2 PNJ PNJ AC EF
Từ ta có AC vuông góc với tại , mà EF .
Vậy EF là đoạn vuông góc chung của NP và AC
.
1
EF PJ SI
2
a 3
4
d
AC,PN
.
b) Gọi
Ta có MQ AB,AB
Tương tự NQ SA,SA
Q
là trung điểm của AB
.
SAB MQ
SAB
NQ SAB
SAB
. Lại có
.
SAB
.
MB AB
MB SAB B là hình chiếu của
M
trên
MB SI
Vậy
MNQ SAB
NM
SAB
SAB
. Từ
. Từ
B
kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP tại thì BK là hình chiếu của MN trên
K
K
kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN tại thì KH là đoạn vuông góc chung
H
của MN và AP
.
a
2
Vậy
d
MN,AP
KH MB
.
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh
a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD' và BD
.
Lời giải.
Cách 1. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 1)rồi tính độ
dài đoạn vuông góc chung.
A'
B'
B
I
G
D'
BD B'D'
C'
H
Do
nên
AB'D'
là mặt phẳng chứa AD' và
AD'
AB'D'
M
A
song song với BD
Gọi
Ta dựng hình chiếu của điểm
.
O
O
là tâm của hình vuông ABCD
trên .
AB'D'
N
D
C
O
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 29
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
B'D' A'C'
B'D' CC'
Do
B'D'
CC'A'
B'D' A'C
1
Tương tự A'C AD'
Từ suy ra A'C
Do ΔAB'D' đều và A'A A'B' A'D' nên
của hình vuông A'B'C'D' thì AI là trung tuyến của tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng.
ACC'A' AB'D'
Trong thì là hình chiếu của OBD trên
dựng OH CA' cắt AI tại
Từ dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' tại , từ dựng đường thẳng song song
với OH cắt BD tại thì MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD do đó AD',BD MN
2
.
1
,
2
AB'D'
. Gọi G A'C
AB'D'
.
G
là trọng tâm của tam giác AB'D' . Vậy Gọi
I
là tâm
H
H
.
H
M
M
N
d
.
Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN OH . Do OH là đường trung bình trong tam giác
1
2
ACG OH CG
.
GC AC
2
3
2
3
2 3a
3
Mặt khác
2 CG 2GA' CG CA' a 3
.
GA' A'I
1
2
2 3a a 3
3
OH .
.
3
a 3
3
Vậy
d
AD',BD
MN OH
.
Cách 2. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2)rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung.
DCB'A'
là tâm của hình vuông BCC'B' thì BI CB' và
DCB'A'
từ đó DI là hình chiếu của DB lên
Chon vuông góc với AD' tại trung điểm O của
AD' . Gọi
BI CD nên BI
DCB'A'
A'
B'
I
C'
D'
.
I
N
O
A
Trong
DCB'A'
kẻ OH DI , từ
H
dựng đường thẳng song
B
song với AD' cắt BD tại
song với OH cắt OA tại
M
N
, từ dựng đường thẳng song
M
H
thì MN là đoạn vuông góc chung
AD',BD MN
M
D
của của AD' và BD do đó
d
.
C
Ta có OHMN là hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH là đường cao trong tam giác vuông
1
OH
1
1
1
1
a
3
OH
2
a
a 3
3
ODI nên
.
2
2
2
2
2
OD OI
a 2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 30
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a 3
3
Vậy d AD',BD MN OH
.
Cách 3. Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD
kẻ MP AD, từ
với MAD',N BD . Từ kẻ NQ AD
Dễ thấy BD
MNP BD NP AD' MNQ AD' MQ
A'
B'
M
N
.
;
.
C'
D'
Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên
M
P
A
a
3
QD QN QP MP PA
B
Q
DP 2a a 2
Lại có PN
3 2
N
2
2
D
C
2
2
2
a
a 2
3
a
a 3
3
2
2
2
Từ đó MN PM PN
MN
.
3
3
Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường
đó.
A'
B'
AD'
AB'D'
I
Dễ thấy BD
BDC'
BDC'
D'
C'
C
AB'D'
A
B
J
d
AD',BD
d
AB'D'
,
BDC'
.
Gọi I,J lần lượt là giao điểm của A'C với các mặt phẳng
AB'D' BDC'
D
,
.
Theo chứng minh trong cách 1 thì I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác AB'D' và
BDC'
. Mạt
khác dễ dạng chứng minh được A'C AB'D' ,A'C BDC
'
.
1
3
a 3
3
suy ra
d
AD',BD
d
AB'D'
,
BDC'
IJ A'C
.
Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với MAD',N BD
Đặt AB x,AD y,AA' z x y z a,xy yz zx 0
AD' y z AM kAD' k y z ,DB x y DN m x y
.
Ta có MN AN AM AD DN AM mx
1 k m
y kz
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 31
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Vì MN DB MN.DB 0 mx
1 k m
y kz x y 0
2m k1 0
.
2m k 1
m 2k 1
1
3
Tương tự MN.AD' 0 1m 2k 0 , từ đó ta có hệ
m k
.
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
9
a 3
3
Vậy MN x y z MN MN
x y z
Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của AB và SA . Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và CN
Lời giải.
.
Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng
SM và CN ( theo cách 1) rồi tính IK
C
.
NE CNE
SM
Gọi
E
là trung điểm của AM , ta có
CNE
.
,
SM NE
B
do đó
CNE
là mặt phẳng chứa CN và song song với SM
, kẻ SF NE thì
H
K
S
Trong
SAB
I
F
M
NE SF
NE CS
N
NE
CSF
CSF
H
CNE
Trong
CSF
kẻ
CNE
E
A
SH CF SH
CNE
vậy
là hình chiếu của
S
trên
, từ
thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN
, từ
H
kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại
K
K
kẻ đường thẳng song song với SH cắt
SM tại
I
.
a 2
4
1
SH
1
1
1
1
a
9
2
Ta có SF AM
,
2
2
2
2
2
SF SC
a
a 2
4
a
3
SH
.
C
a
.
3
H
Vậy
d
SM,CN
IK SH
Cách 2. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường
B
thẳng SM và CN ( theo cách 2) rồi tính IK
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của
.
F
I
P
Q
S
, E .
SB và CN là giao điểm của NP và SM
K
E
M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 32
N
VUÔNG GÓC
A
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Khi đó NQ CS,CS
NQ SAB NQ SM
SAB
Lại có SM NP SM
SE NPQ CH NPQ
kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại
NPQ
tại
E
, dựng hình bình hành CSEHCH SE, mà
, vì vậy NH là hình chiếu của NC trên
NPQ
.Kẻ EF NH tại , từ
F
F
I
, từ
I
kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM
tại
K
thì IK là đoạn vuông góc chung của CN và SM .
có đường cao EF
Tam giác EHN vuông tại
E
1
EF
1
1
1
CS
1
1
a
8
a
9
.
2
2
2
2
2
2
2
2
EH EN
a
AB
4
a
3
a
3
EF . Vậy
d
CN,SM
IK EF
.
Cách 3. Sử dụng phương pháp vec tơ
Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SM và CN
.
Đặt SA a,SB b,SC c a b c a và ab bc ca 0
EF là đoạn vuông góc chung của SM và CN
.
SE xSM
ESM
FCN
EF SM
EF CN
CF yCN
.
EF.SM 0
EF.CN 0
Ta có EF ES SCCF SCCFSE c yCNxSM
x
2
1
1
2
1
2
c a b y a c y x a xb 1 y c
.
2
4
9
8
x
y
EF.SM 0
EF.CN 0
2x y 0
Ta có
x 5y 4
9
Vậy đường vuông góc chung của SM và CN là đường thẳng EF
4
9
8
9
với SE SM,CF CN
.
2
2
2
2
9
2
9
1
9
4
81
4
4
a
3
Lúc đó EF a b c EF
a b c
.
81 81
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 33
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a
3
Vậy d CN,SM EF
.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh
a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD' và BD
.
Lời giải.
A'
B'
B
Cách 1. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 1)rồi tính độ
dài đoạn vuông góc chung.
I
G
D'
C'
H
A
BD B'D'
Do
AB'D'
nên là mặt phẳng chứa AD' và song
M
AD'
AB'D'
song với BD
Gọi
Ta dựng hình chiếu của điểm
.
O
N
O
là tâm của hình vuông ABCD
D
C
O
trên
AB'D'
.
B'D' A'C'
B'D' CC'
Do
B'D'
CC'A'
B'D' A'C 1
Tương tự A'C AD'
Từ
suy ra A'C
Do ΔAB'D' đều và A'A A'B' A'D' nên
của hình vuông A'B'C'D' thì AI là trung tuyến của tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng.
Trong thì là hình chiếu của OBD trên
ACC'A' AB'D'
dựng OH CA' cắt AI tại
Từ dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' tại , từ dựng đường thẳng song song
với OH cắt BD tại thì MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD do đó
AD',BD MN
2
.
1
,
2
AB'D'
. Gọi G A'C
AB'D'
.
G
là trọng tâm của tam giác AB'D' . Vậy Gọi
I
là tâm
H
H
.
H
M
M
N
d
.
Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN OH . Do OH là đường trung bình trong tam giác
1
2
ACG OH CG
.
GC AC
2
3
2
3
2 3a
3
Mặt khác
2 CG 2GA' CG CA' a 3
.
GA' A'I
1
2
2 3a a 3
3
OH .
.
3
a 3
3
Vậy
d
AD',BD
MN OH
.
Cách 2. Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2)rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 34
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
DCB'A'
là tâm của hình vuông BCC'B' thì BI CB' và
DCB'A'
từ đó DI là hình chiếu của DB lên
O
Chon vuông góc với AD' tại trung điểm của
AD' . Gọi
BI CD nên BI
A'
B'
I
C'
DCB'A'
.
D'
I
N
Trong
DCB'A'
kẻ OH DI , từ
H
dựng đường thẳng song
O
A
B
song với AD' cắt BD tại
song với OH cắt OA tại
M
N
, từ dựng đường thẳng song
M
H
thì MN là đoạn vuông góc chung
AD',BD MN
M
của của AD' và BD do đó
d
.
D
C
Ta có OHMN là hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH là
đường cao trong tam giác vuông ODI nên
1
OH
1
1
1
1
a
3
OH
2
a
a 3
3
.
2
2
2
2
2
OD OI
a 2
2
A'
B'
a 3
3
Vậy
d
AD',BD
MN OH
.
Cách 3. Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD' và
C'
D'
BD với MAD',N BD . Từ
NQ AD
Dễ thấy BD
M
kẻ MP AD, từ
N
kẻ
M
P
A
.
B
MNP
; .
BD NP AD' MNQ AD' MQ
Q
N
Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên
D
C
a
3
QD QN QP MP PA
DP 2a a 2
2
Lại có PN
2
3 2
2
2
2
a
a 2
3
a
a 3
3
2
2
2
Từ đó MN PM PN
MN
.
3
3
Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng song song chứa hai đường
đó.
A'
B'
I
D'
C'
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 35
A
B
J
VUÔNG GÓC
D
C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
AD'
AB'D'
BDC'
BDC'
Dễ thấy BD
AB'D'
d
AD',BD
d
AB'D'
,
BDC'
.
Gọi I,J lần lượt là giao điểm của A'C với các mặt phẳng
Theo chứng minh trong cách 1 thì I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác AB'D' và
khác dễ dạng chứng minh được A'C AB'D' ,A'C BDC
AB'D' , BDC'
.
BDC'
. Mạt
' .
1
3
a 3
3
suy ra d AD',BD d AB'D' , BDC' IJ A'C
.
Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với MAD',N BD
Đặt AB x,AD y,AA' z x y z a,xy yz zx 0
AD' y z AM kAD' k y z ,DB x y DN m x y
.
Ta có MN AN AM AD DN AM mx
1 k m
y kz
Vì MN DB MN.DB 0 mx
1 k m
y kz x y 0
2m k1 0
.
2m k 1
m 2k 1
1
3
Tương tự MN.AD' 0 1m 2k 0 , từ đó ta có hệ
m k
.
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
9
a 3
.
3
Vậy MN x y z MN MN
x y z
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy
ABCD
và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SB và AD
b) BD và SC
Lời giải.
.
.
a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB . Ta có
S
AD AB
AD SA
AD
SAB
AD AHVậy AH là đoạn vuông
AD,SB AH
góc chung của SB và AD , nên
d
.
I
H
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 36
D
j
V
A
UÔNG GÓC
K
O
B
C
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
1
2
a 2
2
Tam giác SAB vuông cân tại
A
có đường cao AH nên AH SB
.
a 2
2
Vậy
d
AD,SB
AH
=
.
BD AC
BD SA
b) Ta có
BD
SAC
. Gọi
O
là tâm của hình vuông ABCD và kẻ OK SC,KSC thì
OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
.
1
2
Vậy
d
BD,SC
OK AI
(
I
là trung điểm của SC
)
.
1
1
1
1
1
3
a 6
3
Ta có
AK
2
2
2
2
2
2
AK
AS AC
a
2a
2a
a 6
6
Vậy d BD,SC
.
a 3
2
Ví dụ 7. Cho hình vuông ABCD cạnh
a
,
I
là trung điểm của AB . Dựng IS
ABCD
và SI
.
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD,SB. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của các cặp đường thẳng sau:
a) NP và AC
.
b) MN và AP
.
Lời giải.
S
a) Trong
SAB
kẻ PJ SI , từ
J
kẻ JE BD,EAC
Từ
E
kẻ EF PJ,FPN
.
N
F
PJ SI
Do
PJ
SI ABCD
ABCD
P
H
K
D
A
Q
PJ AC
1
.
E
I
O
J
PN BD
BD AC
Lại có
PN AC 2
B
M
C
E
Từ tại .
ta có AC vuông góc với
1 , 2 PNJ , mà EF PNJ AC EF
Vậy EF là đoạn vuông góc chung của NP và AC
.
1
EF PJ SI
2
a 3
4
d
AC,PN
.
b) Gọi
Q
là trung điểm của AB.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 37
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ta có MQ AB,AB
Tương tự NQ SA,SA
Vậy
MNQ
SAB NM
SAB
MQ
NQ
SAB
. Lại có
SAB
.
SAB
SAB
.
MB AB
MB SI
MB
SAB
B là hình chiếu của
M
trên
SAB
SAB
. Từ
. Từ
B
kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP tại thì BK là hình chiếu của MN trên
K
K
kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN tại thì KH là đoạn vuông góc chung
H
của MN và AP
Vậy
MN,AP
.
a
2
d
KH MB
.
Ví dụ 8. Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA SB SC a . Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của AB và SA . Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và CN .Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ
BC
.
Lời giải.
Cách 1. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng
C
SM và CN ( theo cách 1) rồi tính IK
.
NE CNE
SM
Gọi
E
là trung điểm của AM , ta có
CNE
.
,
SM NE
B
do đó
CNE
là mặt phẳng chứa CN và song song với SM
, kẻ SF NE thì
H
K
S
Trong
SAB
I
F
M
NE SF
NE CS
N
NE
CSF
CSF
H
CNE
Trong
CSF
kẻ
E
A
SH CF SH
CNE
vậy
là hình chiếu của
S
trên
, từ
thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN
CNE
, từ
H
kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại
K
K
kẻ đường thẳng song song với SH cắt
SM tại
I
.
a 2
4
1
SH
1
1
1
1
a
9
2
Ta có SF AM
,
2
2
2
2
2
SF SC
a
a 2
4
a
3
SH
.
a
.
3
Vậy
d
SM,CN
IK SH
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 38
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Cách 2. Dựng đoạn vuông góc chung IK của hai đường thẳng SM và CN ( theo cách 2) rồi tính
IK
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của
SB và CN là giao điểm của NP và SM
Khi đó NQ CS,CS
SAB
.
C
H
,
E
.
B
NQ
SAB
NQ SM
NPQ
F
I
P
Lại có SM NP SM
hành CSEHCH SE, mà SE
vì vậy NH là hình chiếu của NC trên
EF NH tại , từ
cắt CN tại , từ
SM tại thì IK là đoạn vuông góc chung của CN và
SM
Tam giác EHN vuông tại
tại
E
, dựng hình bình
Q
S
NPQ
CH
NPQ
,
K
E
M
NPQ .Kẻ
N
F
F
kẻ đường thẳng song song với SM
I
I
kẻ đường thẳng song song với EF cắt
K
A
.
E
có đường cao EF
1
EF
1
1
1
CS
1
1
a
8
a
9
.
2
2
2
2
2
2
2
2
EH EN
a
AB
4
a
3
a
3
EF . Vậy
d
CN,SM
IK EF
.
Bài toán 03: ỨNG DỤNG PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓCĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Phƣơng pháp:
A
I
B
Cho hai đường thẳng chéo nhau AB và CD
Xét mặt phẳng
vuông góc với CD tại điểm
vuông góc chung của AB và CD
IAB,JCD
Xét phép chiếu vuông góc lên
A,B,I thì IJ OI' , từ đó
AB,CD
.
J
D
α
O
)
.Gọi IJ là đoạn
A'
I'
(
B'
α
O
α
, Gọi A',B',I' là hình chiếu của
d O,A'B'
C
d
Vậy để tính IJ ta qui về tính OI' trong mặt phẳng
α
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 39
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh
a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CM
Lời giải.
.
Gọi
mặt phẳng đi qua
chiếu vuông góc lên
của A,B,C,D,H,M,N thì B' N' H' N
Ta có
CM,CD d N,CM'
H
là tâm của tam giác đều BCD thì AH
và song song với AH thì
, gọi A',B',C',D',H',M',N' lần lượt là ảnh
BCD
α
. Gọi là
A
A'
N
α
BN. Xét phép
α
M
,
C' C,D' D
.
M'
d
.
D
B
2
2
2 a 3 a 3
a 3
3
2
3
2
2
2
H
BH BN
,
3
AH AB BH a
a
N
3
3 2
C
1
2
1
2
2
3
a
.
NM' AH a
6
Tam giác NCM' vuông tại
N
nên
1
1
1
1
1
10
a
a 10
10
2 2
a a
2
d
N,CM'
.
2
2
2
2
d
N,CM'
CN NM'
6
a 10
Vậy
d
CM,BN
d
N,CM'
.
10
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của AB và B'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và DM
Lời giải.
.
Gọi
E
là trung điểm của BC
.
Dễ thấy ΔADM ΔBAE nên AMD AEB, mà
0
0
M
C
AEB BAE 90 AMD BAE 90
A
B
DM AE . Lại có EN
ABCD
EN DM do đó
I
E
N
K
AEN DM tại
I
.
D
Xét phép chiếu vuông góc lên
ANE
, ta có AN chính là hình
chiếu của nó nên
A'
B'
d DM,AN d I,AN
D'
C'
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 40
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Gọi là hình chiếu cuả trên AN thì
Ta có ΔAKI ΔAEN, suy ra
K
I
d I,AN IK
.
IK
EN AN
AI
AI.EN
AN
IK
1
2
9
4
a
3a
2
2
2
2
2
2
2
AN AE EN AB BE EN
AN
.
1
AI
1
1
1
a
4
a
5
AI
2
a
a 5
5
.
2
2
2
2
2
AD AM
2
a 5
.
Thay vào
1
ta được IK
1
5
2
a 5
Vậy d DM,AN
.
15
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Câu 64. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi
I
là trung
điểm của BC . Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các cặp đường thẳng:
a) OA và BC
a 2
3
3a 2
2
a 2
12
a 3
2
A.
B.
C.
D.
D.
b) AI và OC
a 5
4
a 5
6
a 5
7
a 5
A
A.
B.
C.
5
OA OB
OA OBC OA OI
OA OC
Bài làm: 64 a) Do
Lại có OB OC và
I
là trung điểm của BC nên OI BC. Vậy OI
E
I
H
là đoạn vuông góc chung của OA và BC
.
F
C
O
BC a 2
.
2
OI
2
J
b) Gọi
J
là trung điểm của OB thì mặt phẳng
AIJ
chứa AI và
B
song song với OC. Hạ OH AJ,HAJ
.
IJ OC
Ta có
IJ OAB IJ OH vì vậy OH AIJ
H
. Từ kẻ đường thẳng song song
OAB
OC
với IJ cắt AI tại
E
, từ
E
kẻ đường thẳng song song với OH cắt OC tại
F
thì EF là đoạn vuông
góc chunh của AI và OC
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 41
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
1
1
1
5
OH
2
a
a 5
5
Trong tam giác OAJ có
a 5
2
2
2
OH OA OJ
Vậy EF OH
.
5
a 6
2
Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
Tính khoảng cách từ đến
SBC
a 3
a
, cạnh SA
ABC
và SA
.
A
.
a 2
3
a 3
a 2
D. d A, SBC
A. d A, SBC
B. d A, SBC
C. d A, SBC
2
3
2
Bài làm:65. Gọi
I
là trung điểm của BC . Do tam giác ABC đều nên AI BC, mặt khác
SAI SBC
SA ABC
SA BC
do đó hạ AH SI tại
H
.
thì AH SBC
.
S
Vậy d A,
SBC
AH
a 3
2
a 6
2
Ta có AI
,SA
suy ra
1
H
B
1
AH
1
1
1
2
AI AS
2
2
2
2
C
a 3
2
a 6
2
A
I
2
a 2
2
2
AH
.
a
a 2
2
Hay d A,
SBC
.
Câu 66. Cho tứ diện ABCD có AD
ABC
,
AC AD 4cm
,
AB 3cm,
BC 5cm . Tính khoảng cách từ
A
đến
BCD
.
3
4
6 12
17
6 3
17
6 34
17
A. d A,
DBC
B. d A,
DBC
C. d A,
DBC
D. d A,
DBC
17
Bài làm: 66. Chứng minh được AB,AC,AD đôi một vuông góc , từ đó tính được
6
34
7
d A, DBC
.
1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 42
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
(
Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2002)
Câu 67. Cho hai mặt phẳng
P
và
Q
vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng
Δ
. Trên
Δ
lấy hai điểm A, B sao cho AB a . Trong mặt phẳng
P
lấy điểm
C
, trong mặt phẳng
Q
lấy
điểm
BCD
D
sao cho AC,BD cùng vuông góc với
Δ
và AC BD AB. Tính khoảng cách từ đến
A
.
a 2
3
a 2
4
a 2
6
a 2
2
A. d A, BCD
B. d A, BCD
C. d A, BCD
D. d A, BCD
Bài làm:67. Gọi
O
là trung điểm của CD
Ta có
P
Q
và Δ , mà AC Δ
P Q
P
C
H
AC
Q
AC AD ΔACD vuông tại
A
OA OC OD
.
O
Tương tự ΔBCD vuông tại
Vậy OA OB OC OD
B
OB OC OD
.
B
A
.
Q
D
AH BC
AH BD
Hạ AH CB thì
AH BCD
do đó
a 2
2
d A, BCD AH
.
0
Câu 68. Cho tứ diện ABCD có AB a,AC b,AD c và BAC CAD DAB 60 . Tính khoảng cách
từ
D
đến .
ABC
c 6
2
c 6
4
c 5
3
c 6
3
A. d D,
ABC
B. d D,
ABC
C. d D,
ABC
D. d D,
ABC
Bài làm:68. Gọi
H
là hình chiếu của
D
trên
ABC
A
Hạ HM AB,HN AC
.
Xét hai tam giác vuông AMD và AND có AD chung,
0
M
MAD NAD 60 nên
ΔMAD ΔNAD DM DNHM HN do đó AH là
N
đường phân giác góc
A
của tam giác ABC
.
H
c
2
0
D
Ta có AM ADcos60
.
B
C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 43
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
c
AM
cos30
c 3
3
2
AH
3
.
0
2
2
c
a 6
3
2
2
2
DH AD AH c
.
3
c 6
3
Vậy d D, ABC
.
Câu 69. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và SA
ABC
. Tam giác ABC có AB BC 2a , góc
0
ABC 120 . Tính khoảng cách từ
A
đến
SBC .
3
2
a
a
2
7a
2
A. d A,
SBC
B. d A,
SBC
C. d A,
SBC
D. d A,
SBC 2a
BC AI
BC SA
Bài làm:69. Kẻ AI BC,IBC, ta có
BC SAI
Kẻ AH SI thì
S
.
AH SI
AH BC
AH
SBC
.
C
H
Vậy d A,
SBC
AH
.
A
1
20
0
0
3
2
Ta có ABI 60
,
AI ABsin60 2a. a 3
.
B
I
1
AH
1
1
1
1
2 2
AS AI
2
2
2
3a
a 3
4
9
3a
2
AH
2
a
.
3
2
a
Vậy d A,
SBC
.
Câu 70. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông BA BC a , cạnh bên
AA' a 2 . Gọi
là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C
M
.
(
Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2008)
a 2
2
a 3
3
a 7
7
a 5
A.
d
AM,B'C
B.
d
AM,B'C
C.
d
AM,B'C
D.
d
AM,B'C
5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 44
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Bài làm: 70. Gọi
N
là trung điểm của BB' ; ta có
AMN
do đó
N
. Mặt khác là trung điểm của BB'
B'C MN
MN
B'
C'
B'C
AMN
d
AM,B'C d
B',
AMN
A'
H
N
B
nên d B', AMN d B, AMN
Kẻ BI AM thì AM
d B, AMN BH
BNI
,kẻ BH NI BH
AMN
nên
M
C
.
I
1
BH
1
1
Ta có
A
2
2
2
BN BI
1
1
1
7
a
.
2
2
2
2
BN BA BM
a 7
7
a 7
.
7
BH
. Vậy
d
AM,B'C
Cách 2. Kẻ BI AM thì
Xét phép chiếu vuông góc lên
B'C trên nên
IBB' AM,B'C
Hạ IH B'K,HB'K , ta có
IBB'
AM, kẻ CK AM thì CK
IBB'
IBB'
thì ta có B'K là hình chiếu của
d
d
I,B'K
.
C'
B'
1
BI
1
1
5
2
BA BM a
a 5
a 5
BI
.
2
2
2
5
A'
M
H
2
2
2
2
a
2
14
5
C
Dễ thấy BK
và B'K BK BB'
2a a
.
B
5
5
I
IH IK
Ta có ΔKHI ΔKBB'
K
BB' B'K
A
IK.BB' a 5
5
a 7
.
IH
.a 2.
B'K
5
7
a 14
a 7
.
7
Vậy
d
AM,B'C
Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
BA BC a,AD 2a
.
trên SB . Tính
Cạnh bên SA
khoảng cách từ
ABCD
và SA a 2 . Gọi
H A
là hình chiếu vuông góc của
SCD
H
đến
.
(
Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2007)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 45
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a
3
a
2
a
4
A. d H, SCD
B. d H, SCD
C. d H, SCD a
D. d H, SCD
AD
2
Bài làm:71. Gọi
CD AC
Lại có SA
ABCD
I
là trung điểm của AD , thế thì IA ID IC
nên ΔACD vuông tại
C
1
S
SA CD
2
. Từ
1 , 2
suy ra
CD SAC
CD SC , hay tam giác SCD vuông tại .
C
I
D
A
H
F
Gọi d ,d2 lần lượt là khoảng cách từ B,H đến
SCD
.
1
Ta có
C
2
B
K
d2 SH SH.SB SA
2
3
SB
2
2
d1 SB
SB
2
3
d d1
.
2
E
Kẻ AF SC thì dễ thấy AF SCD
, kẻ BK AF,KEF thì d BK
.
1
Gọi E AB CD
.
BK EB
AF EA
1
2
1
2
Ta có
BK AF
.
1
AF
1
1
1
1
1
AF a
2
Mặt khác,trong tam giác vuông SAC ta có
2
2
2
2
2
AC AS
2a 2a
a
a
2
a
2
2 a
3 2
a
3
KB d d .
1
2
a
3
Vậy d H,
SCD
d
.
2
Lƣu ý: Có thể tính khoảng cách từ
H
đến
SCD
theo
S
cách khác như sau:
Gọi E AB CD,K AH SE
SH
SB
2
3
Dễ thấy
B
là trung điểm của AE và
H
nên là
I
D
A
K
H
trọng tâm của tam giác ASE
.
d H, SCD
KH
KA
1
3
Ta có
C
d A, SCD
B
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 46
E
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Tứ diện ABES có AB,AE,AS đôi một vuông góc nên
1
1
1
1
1
1
1
1
.
2
2
2
2
2
2
2
2
d A, SCD
AE AD AS
4a 4a 2a
a
a
d A, SCD a d H, SCD
.
3
Câu 72. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a
b
. Gọi SH là đường cao của hình chóp.
. Tính SH
2ab
Khoảng cách từ trung điểm
I
của SH đến
SBC
bằng
.
2
ab
ab
3ab
2
A. SH
B. SH
C. SH
D. SH
2
2
2
2
2
2
2
a 16b
a 16b
3a 16b
a 16b
Bài làm: 72. Gọi
E
là trung điểm của BC , ta có
S
BC HE
BC SH
BC
SHE
K
SHE
SBC
. Do đó IK SE thì IK
SBC
IK b
.
I
IK SK
HE SH
Ta có ΔSKI ΔSHE
B
A
2
E
HE.SK
IK
a
2
SH
4
2
2
2
SH
*
, mà HE ,IK b,SK SI IK
b nên
H
C
2
D
a
SH
4
2ab
2
2
*
SH
b SH
.
2
a 16b
2
b
2
ab
Vậy SH
.
2
2
a 16b
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
O
, cạnh
a
và AC a . Gọi
H
là
trung điểm của cạnh AB, biết SH
ABCD
và SH a . Tính khoảng cách
a) Từ
O
đến
SCD
.
a 2
a 21
4
A. d O,
SCD
B. d O,
SCD
14
3a 21
a 21
14
C. d O,
SCD
D. d O,
SCD
14
b) Từ
A
đến
SBC
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 47
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a 57
2a 5
19
A. d A, SBC
B. d A, SBC
19
2
a 7
2a 57
D. d A, SBC
19
C. d A, SBC
19
d O, SCD
OI
HI
1
2
S
Bài làm:73. a) Gọi I HO CD
d H, SCD
Tam giác ABC đều nên CH AB mà AB CDCH CD
SHC
Mặt khác CD SHdo đó CD , kẻ
d H, SCD HJ
.
D
HJ SC,JSC HJ
SCD
.
A
J
K
a 3
2
1
HJ
1 1
2
I
Ta có HC
, trong tam giác SHCcó
O
2
2
HC HS
H
B
C
1
1
a
4
3a
1
a
7
3a
E
F
.
2
2
2
2
2
a 3
2
3
7
a 21
7
1
2
a 21
HJ a
d O, SCD d H, SCD
14
d A, SBC
BA
BH
b) Ta có B AB
SBC
nên
2
d H, SBC
AE BC
HF AE
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC,BE thì
HF BC
BC HF
BC SH
Vậy
BC
SHF
SBC
SHF
, do đó kẻ HK SF thì HK
SBC
nên
d H, SBC HK
.
AE a 3
1
HK
1
1
16
3a
1
a
19
2
Ta có HF
2
2
2
2
2
2
4
HF HS
3a
a 3
2a 57
HK
d A, SBC 2d H, SBC
.
19
19
2
a 57
Vậy d A,
SBC
.
19
Câu 74. Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a
. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của AA',BB' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B'M và CN
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 48
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
3
a 3
4
5a 3
4
7a 3
4
a 3
4
A. d B'M,CN
B. d B'M,CN
C. d B'M,CN
D. d B'M,CN
Bài làm:74.
C'
A'
Gọi O,O' lần lượt là trung điểm của BC,B'C'
,
I OO' CN
.
O'
B'
B'M AN
Do
B'M
CAN
AN
ACN
M
d
B'M,CN
d
B'M,
.
ACN
N
I
d B', ACN 1
C
A
O
Mặt khác
N
là trung điểm của BB' nên
B
d B', ACN d B, CAN
2
.
d B, CAN
d O, CAN
CB
CO
Ta có CB
CAN
C
2
3
Dễ thấy tứ diện OACI có OA,OC,OI đôi một vuông góc nên
1
1
1
1
2
2 2
OA OC OI
4
2
d O, ACN
a
2
CN
2
a
4
a 3
2
Dễ thấy OC ,OI
,OA
nên
4
1
1
1
1
4
a
16 64
2 2
2
2
2
2
2
2
d O, ACN
3a
a
3a
a a
a 3
2
2
4
a 3
8
d O, ACN
5
.
a 3
4
Từ
1
,
2
,
3
,
4
,
5
ta có
d
B'M,CN
.
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
AC 4,BD 2,SO 3. Tính
O
,
SO ABCD
,
a) Khoảng cách từ
A
đến .
SBC
2
3
9
4 3
B.
d A, SBC
17
A.
d
A, SBC
1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 49
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
6
3
9
4 3
19
C. d A,
SBC
D. d A,
SBC
1
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
.
3
2 3
19
4 3
19
4 3
19
A.
Bài làm: 75.
a) Ta có AO
d
AB,SD
B.
d
AB,SD
C.
d
AB,SD
D. d AB,SD
19
d A, SBC
CA
2
SBC
C nên
1
d O, SBC
CO
Mặt khác dễ thấy tứ diện OBCS có các cạnh OB,OC,OS
1
1
1
1
2
đôi một vuông góc nên
2 2
OB OC OS
2
S
d O, SBC
1
4
1
3
19
12
2 3
19
1
d
O,
SBC
4
3
9
d A, SBC
.
1
B
A
b) Ta có
vậy
SCD
là mặt phẳng chứa SD và song song với AB vì
O
d
AB,SD
SCD
2
d AB,
SCD
d B,
SCD
Tương tự như câu a)
D
C
ta có d B,
2d O,
SCD
mà
3
9
4 3
19
4 3
.
19
d O, SCD
d B,
SCD
, hay
d
AB,SD
1
Câu 76. Cho tứ diện ABCD có AB CDa,AD BC b,AC BD c
Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối của tứ diện.
.
2
2
2
2
2
2
a c b
a b c
A.
B.
C.
D.
d
AD,BC
2
,
d
AC,BD
2
.
2
2
2
2
2
2
2
2
a c b
a b c
d
d
AD,BC
,
d
AC,BD
.
3
3
2
2
2
2
2
2
a c b
a b c
AD,BC
3
,
d
AC,BD
3
.
2
2
2
2
2
2
2
2
a c b
a b c
d
AD,BC
,
d
AC,BD
.
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 50
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Bài làm: 76.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD
.
Xét hai tam giác ACD và BCD có CD chung AC BD,AD BC nên ΔACD ΔBCD , mà
trung điểm của AB nên MN AB
Lí lưaanj tương tự ta cũng có MN CD
Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD , do đó
M
là
.
.
A
d
AB,CD
MN
.
2
2
2
2
2
2
a
2
b c a
AC AD CD
2
Ta có AN
b
2
4
4
M
b
2
2
2
2
2
b c a
a
4
2
2
2
MN AN AM
4
c
B
c
D
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c a
b c a
b c a
MN
, hay
d
AB,CD
.
2
2
2
N
a
Tính tương tự ta có :
C
2
2
2
2
2
2
a c b
a b c
d
AD,BC
,
d
AC,BD
.
2
2
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi
trung điểm của SA là trung điểm của AE là trung điểm của BC . Chứng minh MN BD
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC
E
là điểm đối xứng của
D
qua
,
M
, N
.
(
Trích đề thi ĐH Khối B Năm 2007)
a3 2
4
5a 2
4
7a 2
4
a 2
4
A.
d
MN,AC
B.
d
MN,AC
C.
d
MN,AC
D.
d
MN,AC
Bài làm: 77. Gọi
P
là trung điểm của SA
.
Ta có MP là đường trung bình của
ΔEAD MP AD MP BC
E
S
.
Do đó MP NC nên MPCN là hình bình hành MN CP
Mặt khác ABCD là hình chóp đều nên dễ dàng chứng minh
.
P
M
được BD
SAC
BD CP
.
D
MN CP
BD CP
A
Vậy
MN BD
.
D
N
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 51
C
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ta có
1
SAC
là mặt phẳng chứa AC và song song với MN nên d MN,AC d N, SAC
a 2
4
d B, SAC
.
2
a 2
Vậy d MN,AC
.
4
Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a,AD 2a , cạnh
0
SA
ABCD
, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Trên SA lấy điểm
M
sao cho
a 3
3
AM
S
. Tính khoảng cách từ đến BCM .
1
2
1
3
A. d S,
BCM
2a
B. d S,
BCM
a
C. d S,
BCM
a
D. d S,
BCM
a
Bài làm:78. Kẻ SH BM. Ta có
BC AB
BC SA
BC SAC BC SH Lại có
S
SH BM
SH BC
SH
MBC
.
H
Vậy d S,
MBC
SH
.
M
Ta có SA
ABCD
SB,
ABCD
D
A
0
0
SBA 60 SA ABtan60 a 3
2
B
C
a 3
3
2a
3
2
2
2
MB AB AM a
2
a 3 a 3
.
MH MS
MS.MA
MB
a 3
3
3
3
Dễ thấy ΔMHS ΔMAB nên
HM
.
MA MB
2a
3
2
a
3
a
3
2
2
2
2
BH BM MH
a 3 SH SB BH 4a 3a a
Vậy d S,
BCM
a
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 52
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
a
Câu 79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh . Gọi M,N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB và AD là giao điểm của CN và DM . Biết SH
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
;
H
ABCD
và SH a 3 . Tính
.
a 57
2a 57
9
2a 7
19
2a 57
D. d DM,SC
A. d DM,SC
B. d DM,SC
C. d DM,SC
19
19
DM CN
DM SH
S
Bài làm: 79. Ta có
DM SCN
DM SC. Gọi
I
là hình chiếu của
H
trên SC thì HI là đoạn
DM,SC HI
vuông góc chung của SC và DM nên
d
.
N
DN.DA
DM
A
D
Tứ giác AMHN nội tiếp nên DH.DM DN.DA DH
I
H
2
2
M
B
a
a
a
.
2
2
2
2
AM AD
a
4
5
2
2
a
C
2
2
a
4a
5
2a
5
2
2
2
2
Ta có HC DC DH a
HC
5
1
HI
1
1
2
Tam giác SCH vuông tại
H
5
và có đường cao HI nên
2
2
HS HC
1
1
1
19
2 3a
19
HI
.
2
2
2
2
2
3a
4a
12a
2a
5
a 3
2
a 57
Vậy
d
DM,SC
.
19
0
Câu 80. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB a,AC 2a,AA' 2a 5 và BAC 120 . Gọi
M
là
trung điểm của cạnh CC'. Tính khoảng cách từ
A
đến .
A'BM
a 5
2
a 3
3
A. d A,
A'BM
A'BM
B. d A,
A'BM
a 5
3
a 6
3
C. d A,
D. d A,
A'BM
Bài làm: 80. Áp dụng định lí cô sin ta có
1
2
2
2
2
2
2
BC AB AC 2AB.ACcosA a 4a 2.2a.a. 7a
2
BC a 7
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 53
VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
2
2
2
2
Ta có BM BC MC 2a 3,A'B AB AA' a 21
2
2
2
2
2
2
A'M A'C C'M 3a , từ đó ta có MB MA' 21a A'B nên tam giác MA'B vuông tại
hay MB MA'.Kẻ BI AC tại
M
I
.
d A, A'BM
NA
NI
Gọi N A'N AC , ta có IA
A'BM
N nên
d I, A'BM
a
2
a
2
9a
2
0
Ta có AN 2AC 4a
,
AI ABcos60 nên IN IA AN 4a
, do đó
d A, A'BM
4a
8
.
9a
9
d I, A'BM
2
Dễ thấy BI
ACC'A'
A'M
BM nên kẻ IK BM thì
BI A'M , vậy
A'
C'
A'M BI
A'M MB
IMB
B'
M
IBM
A'BM
IK
A'BM
.
I
A
N
Vậy d I,
A'BM
IK
.
C
K
Ta có
2
B
2
5a
2a 5
2
3a 5
2
2
2
IM IC CM
2
1
IK
1
1
4
4
64
45a
3a 5
8
IK
2
2
2
2
2
2
IM IB 3a 45a
8
.
9
3a 5 a 5
Do đó d A,
A'BM
8
3
d A, A'BM
NA
NC
Lƣu ý: Có thể sử dụng
dựng như hình vẽ cũng tính được khoảng cách từ
A
d C, A'BM
đến .
A'BM
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 54
VUÔNG GÓC
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả