chuong 6 . cung goc luong giac phan 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG 6. CUNG GÓC LƯỢNG GIÁC. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC § A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng: sin(a b) sina.cos b sin b.cosa sin(a b) sina.cos b sin b.cosa cos(a b) cosa.cos b sina.sin b cos(a b) cosa.cos b sina.sin b tana tan b tan(a b) 1 tana.ta
Thể loại Giáo án bài giảng Đại số 10
Số trang 60
Ngày tạo 2/9/2017 3:38:04 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước
Tên tệp 3 pdf
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG 6. CUNG GÓC
LƯỢNG GIÁC. MỘT SỐ
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ
0
946798489
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
§
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:
sin(a b) sina.cos b sin b.cosa
sin(a b) sina.cos b sin b.cosa
cos(a b) cosa.cos b sina.sin b
cos(a b) cosa.cos b sina.sin b
tana tan b
tan(a b)
1
tana.tan b
tana tan b
tan(a b)
1
tana.tan b
2
. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.
sin2α 2sinα.cosα
2
2
2
2
cos2α cos α sin α 2cos α 1 12sin α
2
tanα
tan2α
2
1
tan α
b) Công thức hạ bậc.
1
1
cos2α
2
sin α
2
cos2α
2
cos α
2
1
1
cos2α
2
tan α
cos2α
3
4
. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
2
1
cosacosb cos(a b) cos(a b)
sinasin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sinacosb sin(a b) sin(a b)
2
. Công thức biển đổi tổng thành tích.
a b
2
a b
2
sin(a b)
cosa.cosb
cosa cosb 2cos
.cos
tana tanb
tana tanb
a b
2
a b
2
sin(a b)
cosa.cosb
cosa cosb 2sin
.sin
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
a b
2
a b
2
a b
2
a b
2
sin(a b)
sina.sinb
sina sinb 2sin
sina sinb 2cos
.cos
.sin
cota cot b
cota cot b
sin(b a)
sina.sinb
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC.
1
. Phƣơng pháp giải.
Sử dụng công thức lƣợng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lƣợng giác nhằm triệt tiêu các
giá trị lƣợng giác của góc không đặc biệt và đƣa về giá trị lƣợng giác đặc biệt.
. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a)Tính giá trị lƣợng giác sau: cos795
2
0
.
6
2
4
6 2
4
6
4
2
4
A.
B.
C.
D.
D.
0
b)Tính giá trị lƣợng giác sau: sin18
5
1
2
5 2
2
5 1
3
5 1
4
A.
B.
C.
7
1
π
2
c)Tính các giá trị lƣợng giác sau: tan
A. 2 3
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 2 3
5
8
π
d)Tính các giá trị lƣợng giác sau: cot
A. 1 2
B. 3 2
C. 2 2
D. 1 2 2
Lời giải
0
0
0
0
0
0
a)Vì 795 75 2.360 30 45 2.360 nên
3
2
2
2
1
2
6 2
4
0
0
0
0
0
0
cos795 cos75 cos30 cos45 sin30 sin45
.
.
2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
0
0
0
0
0
b)Vì 54 36 90 nên sin54 cos36
0
0
2
0
Mà cos36 cos 2.18 1 2sin 18
0
0
0
0
0
0
0
sin54 sin 18 36 sin18 cos36 sin36 cos18
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
sin18 . 12sin 18 2sin18 cos 18 sin18 . 12sin 18 2sin18 1sin 18
0
3
0
3sin18 4sin 18
0
3
0
2
0
0
2
0
0
Do đó 3sin18 4sin 18 12sin 18 sin18 1 4sin 18 2sin18 1 0
5
2
1
5 1
2
0
0
0
sin18 1 hoặc sin18
hoặc sin18
5
2
1
.
0
0
Vì 0 sin18 1 nên sin18
π
3
π
4
π
tan tan
7
1
π
2
π π
3 1
2 3
1 3
c) tan
d) cot
tan
cot
3
4
π
1
tan tan
3
4
5
8
π
π π
π
8
tan
2
8
π
tan
8
2
π
4
π
π
8
π
8
π
8
π
8
2
2
Ta lại có 1 tan tan 2.
suy ra 1 tan
2tan tan
2tan 1 0
8
2
π
1
tan
8
π π
tan 1 2 hoặc tan 1 2
8 8
π
8
π
8
Do tan 0 nên tan 1 2
5
8
π
Vậy cot
1 2
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lƣợng giác sau:
0
0
a) A sin22 30'cos202 30'
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
4
2
5
2
3 2
4
A.
B.
C.
3
D
π
π
8
4
b) B 4sin
2cos
16
6
2
4
5 2
3 2
6 2
A.
B.
C.
D.
4
4
4
π
2π
15
2π
sin sin
5
c) C
π
cos cos
5
15
A. 3
B.
B.
3
C. 3 3
D. 2 3
D. 2 3
π
5π
9
7π
9
d) D sin sin
sin
9
A.0
3
C. 3 3
Lời giải
0
0
0
0
a) Cách 1: Ta có cos202 30' cos 180 22 30' cos22 30'
1
2
2
4
0
0
0
Do đó A sin22 30'cos22 30' sin45
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
Cách 2: A sin 22 30' 202 30' sin 22 30'202 30'
sin225 sin 180
1
2
1
2
2
4
0
0
0
0
sin 180 45 sin180 sin45
2
2
π
π
8
π
π
8
2
b) B 2sin
2cos 1cos 2.
2cos
16
16
π
4
2
2
1
cos
1
π
8
π
8
π
8
6 2
2
1 2cos cos
2cos 1
1
2
2
4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
2
π 2π
1 π 2π
sin
π
2π
15
2π
π
6
π
2
cos
sin sin
cos
sin
5
15
2 5 15
π
6
5
c) C
cot 3
π
1 π 2π
2 5 15
1 π 2π
2 5 15
cos cos
2sin
sin
5
15
6
π
9
7π
5π
9
4π
9
π
3
5π
9
4π
9
5π
9
d) D sin sin
sin
2sin
.cos sin
sin
sin
0
9
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lƣợng giác sau:
1
1
a) A
0
0
cos290
3 sin250
4
3
3
2
2 3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
3
0
0
b) B 1 tan20 1 tan25
A.2
B.1
C.3
C.3
D.5
D.5
0
0
0
0
c) C tan9 tan27 tan63 tan81
A.2
B.4
π
9
2π
9
π
9
2π
9
2
2
d) D sin
sin
sin sin
3
4
1
2
A.2
B.
C.
D.5
Lời giải
0
0
0
0
0
0
0
sin20
a) Ta có cos290 cos
180 90 20
cos
90 20
0
0
0
0
0
0
0
sin250 sin 180 90 20 sin 90 20 cos20
3
2
1
2
0
0
0
0
cos20 sin20
1
1
3 sin20 sin20
C
4
0
0
0
0
0
0
sin20
3 cos20
3 sin20 .cos20
3.2.sin20 .cos20
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
0
0
0
0
0
4sin40
sin60 cos20 cos60 sin20
4 3
3
4
0
3 sin40
0
3
sin40
0
0
0
0
0
0
sin20
sin25 sin20 cos20 sin25 cos25
b) Cách 1: Ta có B 1
1
.
0
0
0
0
cos25
cos20
cos25
cos20
0
0
0
0
0
0
0
0
sin20 cos45 cos20 sin45
sin25 cos45 cos25 sin45
2.
. 2.
0
0
cos20
cos25
0
0
sin65 sin70
cos20 cos25
2
2
0
0
0
0
tan20 tan25
1
0
0
0
Cách 2: Ta có tan45 tan 20 50
0
0
tan20 tan25
0
0
tan20 tan25
1
0 0 0 0
tan20 tan25 tan20 tan25 1
Suy ra 1
0
0
tan20 tan25
0
0
1 tan20 1 tan25 2
.
Vậy B 2
0
0
0
0
c) C tan9 tan81 tan27 tan63
0
0
0
0
0
0
0
0
sin9 cos81 sin81 cos9 sin27 cos63 sin63 cos27
0
0
0
0
cos9 cos81
cos27 cos63
0
0
2
2
sin54 sin18
1
1
2
0
sin18 sin54
0
0
0
0
0
0
0
cos9 sin9 cos27 sin27
sin18 sin54
0
0
4
cos36 .sin18
4
0
0
sin18 .sin54
2
π
9
2π
2
9
π
9
2π
9
π
9
2π
π
9
2π
9
2
d) D sin
sin
sin sin
sin sin
sin sin
9
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
π
2sin cos
6
π 1
π
3
π
π
1 1
π
2
cos cos
cos
cos
18
2
9
18 2 2
9
π
9
1
cos
1
2 2
1
π
3
4
cos
2
9
Lưu ý: Biến đổi sau thƣờng xuyên đƣợc sử dụng
1
2
3
2
π
3
sinx 3 cosx 2 sinx
cosx 2sin(x
)
)
3
1
2
π
6
3 sinx cosx 2
sinx cosx 2sin(x
2
1
1
2
π
.
sinx cosx 2
sinx
cosx 2 sin(x )
4
2
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lƣợng giác sau:
π
π
π
π
8
a) A sin cos .cos .cos
32 16
32
3
1
2
6
3
16
12
16
2
16
A.
B.
C.
D.
o
o
o
o
b) B sin10 .sin30 .sin50 .sin70
1
3
4
1
2
A.
B.
C.
D.5
1
6
π
5
3π
5
c) C cos cos
3
4
1
2
A.2
B.
C.
C.
D.5
D.5
π
7
2π
7
3π
2
cos
2
2
d) D cos
A.2
cos
7
3
4
5
4
B.
Lời giải
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
2
π
32
π
π
.cos .cos
16
π
8
1
2
π
16
π
16
π
8
1
4
π
sin .cos
8
π
8
1
8
π
4
2
16
a) A 2sin cos
sin .cos .cos
sin
32
1
2
0
0
o
b) Ta có B cos20 cos40 cos80 do đó
0
0
0
0
o
1
6sin20 .B 8sin20 cos20 cos40 cos80
0
0
o
4sin40 cos40 cos80
0
0
0
2sin80 cos80 sin160
0
sin160
1
1
16
Suy ra B
.
0
6sin20
π
5
2π
5
π
5
c) Ta có C 2cos cos
. Vì sin 0 nên
π
5
π
5
π
5
2π
5
2π
5
2π
5
4π
5
2
sin .C 4sin cos cos
2sin
cos
sin
1
2
Suy ra C
2
7
π
4π
7
6π
7
1
cos
1 cos
1 cos
3
1
2π
7
4π
7
6π
cos
7
c) D
cos
cos
2
2
2
2
2
2
7
π
4π
7
6π
7
π
7
Xét T cos
cos
cos
, vì sin 0 nên
π
7
π
2π
7
π
7
4π
7
π 6π
2sin cos
7
2
sin T 2sin cos
2sin cos
7
3π
7
7
π
7
5π
7
3π
5π
sinπ sin
sin
sin
sin
sin
7
7
π
7
sin
1
2
Suy ra T
.
3
2
1 1
5
4
Vậy D .
.
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
2
6
2
Ví dụ 5: Cho α,β thoả mãn sinα sinβ
và cosα cosβ
.
a) Tính cos
α β
.
3
4
5
4
A.0
B.
B.
C.
D.5
b) Tính sin
α β
.
3
4
5
4
3
2
A.2
C.
D.
Lời giải
2
2
1
2
2
2
Ta có sinα sinβ
sin α sin β 2sinαsinβ (1)
6
2
3
2
2
2
cosα cosβ
cos α cos β 2cosαcosβ (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đƣợc
2
2
2
2
sin α sin β cos α cos β 2sinαsinβ 2cosαcosβ 2
2 2 sinαsinβ cosαcosβ 2 2cos α β 0
Vậy cos α β 0
2 6
.
2 2
Từ giả thiết ta có
sinα sinβcosα cosβ
3
2
sinαcosα sinαcosβ sinβcosα sinβcosβ
1
2
3
sin2α sin2β sin α β
2
Mặt khác sin2α sin2β 2sin
α β
cos
α β
0 (Do cos
α β
0
)
3
2
Suy ra sin
α β
3
. Bài tập rèn luyện.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
8
Bài 6.26: a)Tính giá trị lƣợng giác sau sin
1
2
2
2 2
2
3 2
2
2 2 2
A.
B.
C.
C.
D.
D.
2
π
1
b) Tính giá trị lƣợng giác sau sin
6
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A.
B.
2
3
7
2
1
1
1π
2
c) Tính giá trị lƣợng giác sau cot
A. 2 3
Lời giải:
Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính đƣợc
B. 2 3
C. 2 3
D. 2 2 3
π
8
π
4
2 2
π
8
2 2
2
2
2
2
sin
sin
1
1cos
sin
2
π
π
2 2
π
2 2 2
2
1cos 1
sin
16
8
2
16
2
π
π
4
π
1
tan tan
1π
2
π
cot cot
12
π π
1 3
2 3
3
cot
1
3
4
π
3
3 1
tan tan
4
Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:
0
0
0
0
0
a) A 4sin45 cos12 cos3 sin54 sin36
1
3
2
1 2 3
1 3
1 3
A.
B.
C.
D.
2
2
3
0
0
b) B
1cot23
1cot22
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
A.2
B.3
C.4
D.5
D.5
π
9
5π
9
7π
9
c) C cos cos
cos
A.0
B.3
C.4
π
π
20
π
2
2
sin 2 sin
5
d) D
π
cos 2 sin
5
20
A.1
Lời giải:
B.3
C.4
D.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Bài 6.27:a) 4sin45 cos12 cos3 sin54 sin36 2sin45 cos15 cos9 2sin45 cos9
1
3
2
0
0
0
0
2
sin45 cos15 sin30 sin60
0
0
0
0
0
0
2
sin 23 45 . 2 sin 22 45
cos23 cos22
b) C1: B 1
1
2
0
0
0
0
sin23
sin22
sin23 sin22
0
0
cot22 cot23 1
0
0
0
C2: 1 cot45 cot 22 23
B 2
0
0
cot22 cot23
3
9
π
2π
9
7π
9
2π
9
7π
9
c) C 2cos
cos
cos
cos
cos
0
π
π
20
π
π
4
π
π
3π
10
3π
π
5
π
π
π
10
π
2
2
sin 2sin cos
2sin sin
sin
cos
2sin cos
4
5
π
5
d) D
1
π
π
2cos cos
4
cos 2sin sin
2cos cos
5
20
4
5
10
5
10
Bài 6.28: Tính:
π
a) Tính giá trị lƣợng giác của góc cos
12
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
6
4
1 2 3
1 3
1 3
A.
B.
C.
D.
2
2
3
π
π
24
4
4
b) cos
sin
24
2
6
4
1 2 3
1 3
1 3
A.
B.
B.
B.
C.
C.
C.
D.
D.
D.
2
2
3
0
0
c) cos36 cos72
2
6
4
1 2 3
1
2
1 3
A.
2
3
0
0
0
d) sin10 sin50 sin70
2
6
4
1
8
1
2
1 3
A.
3
Lời giải:
π
π π
π
3
π
4
π
3
π
4
2 6
4
Bài 6.28: a) cos cos
cos cos sin sin
12
3
4
π
6 2
4
π
12
π
12
Tƣơng tự sin
,tan 2 3,cot 2 3
12
π
π
24
π
24
π
π
24
π
24
π
12
2 6
4
4
4
2
2
2
2
b) cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
24
24
0
0
0
0
2
cos36 cos72 cos36 cos72
0
0
c) cos36 cos72
0
0
2
cos36 cos72
2
0
2
0
0
0
2
2
cos 36 2cos 72
cos72 cos144
1
2
0
0
0
0
0
cos36 cos72
2 cos36 cos72
0
0
0
0
0
0
0
d) 8sin20 sin10 sin50 sin70 8sin20 cos20 cos40 cos80
0
0
0
0
0
0
0
4sin40 cos40 cos80 2sin80 cos80 sin160 sin20
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
8
0
0
0
sin10 sin50 sin70
Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:
2
0
2
0
0
0
a) A cos 73 cos 47 cos73 cos47
3
4
1
8
1
2
1 3
A.
B.
C.
C.
D.
D.
3
0
0
0
0
b) B sin6 sin42 sin66 sin78
1
1
8
1
2
1 3
A.
B.
B.
1
6
3
π
4π
5π
c) C cos cos
cos
7
7
7
1
1
8
1
2
1 3
A.
C.
C.
D.
D.
1
6
3
1
0
d) D
4sin70
0
sin10
1
1
8
1
2
A.
B.
2
1
6
Lời giải:
2
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
Bài 6.29: a) A cos73 cos47 cos73 cos47 2cos60 cos18
cos120 cos36
0
0
1
cos36
1
4
cos36
2
3
4
2
0
0
0
0
sin96
sin12 sin24
sin48
.
0
1
16
0
0
0
0
b) B sin6 cos48 cos24 cos12
.
.
0
0
0
2
cos6 2sin12 2sin24 2cos48
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
7
π
4π
7
8π
7
sin
sin
sin
.
π
7
4π
7
2π
7
1
8
c) C cos cos
cos
.
π
7
2π
7
4π
7
2
sin
2sin
2sin
0
0
0
0
1
2 cos80 cos60
1
4sin70 sin10
d) D
2
0
0
sin10
sin10
Bài 6.30: Cho α,β thoả mãn sinα sinβ m và cosα cosβ n
,
mn 0
.
Tính cos
α β
2
2
2
2
2
2
2
2
m n
3m n
m n
m n
A.
1
B.
B.
B.
2m
2m
C.
C.
C.
1
D.
D.
D.
2n
2n
2n
2
2
2
2
Tính cos
α β
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n m
3m n
m n
m n
A.
1
2
m n
2
2
2
Tính sin
α β .
2
2
2
2
2
2
2
n m
2mn
m n
m n
m n
A.
1
2
2
2
m n
2
2
Lời giải:
2
2
2
2
2
Bài 6.30: + Ta có
sinα sinβ
cosα cosβ
m n
2
2
2
2
2
sin α sin β cos α cos β 2sinαsinβ 2cosαcosβ m n
2
2
m n
cos
α β
1
2
2
2
n m cos2α cos2β 2cos
2
2
2
2
+
cosα cosβ
sinα sinβ
α β
n m
2
2
2
2
2cos
α β
cos
α β
2cos
α β
n m 2cos
α β
cos
α β
1 n m
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
2
2
2
2
m n
n m
2
2
Suy ra 2cos
α β
.
n m cos
α β
2
2
m n
+
sinα sinβcosα cosβ mn
sinαcosα sinαcosβ sinβcosα sinβcosβ mn
1
2
sin2α sin2β
sin
α β
mn sin
α β cos α β sin α β mn
2
2
m n
2mn
m n
sin
α β
mn sin
α β
2
2
2
Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
π
7π
30
13π
30
19π
30
25π
30
a) A sin sin
sin
sin
sin
30
1
1
2
1
4
1
8
A.
B.
C.
D.
3
2
o
o
o
o
b) cos24 cos48 cos84 cos12
1
1
2
1
4
1
8
A.
B.
C.
C.
D.
D.
3
2
π
7
2π
7
3π
7
c) cos cos
cos
1
1
2
1
4
1
8
A.
B.
3
2
Lời giải:
Bài 6.31: a)
1
1
2
1
c)
b)
3
2
2
Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
7
4π
7
5π
7
a) A cos .cos
.cos
1
8
3
8
1
16
1
32
A.
B.
C.
C.
D.
D.
0
0
0
b) B cos10 .cos50 .cos70
1
8
3
8
1
16
1
32
A.
B.
o
o
o
o
c) C sin6 .sin42 .sin66 .sin78
1
8
3
8
1
16
1
32
A.
B.
C.
C.
D.
2
π
4π
31
8π
.cos .cos
31
16π
32π
31
d) E cos
.cos
.cos
31
31
1
8
3
8
1
16
1
32
A.
B.
D.
D.
o
o
o
o
o
e) F sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85
1
8
3
8
1
16
2
A.
B.
C.
512
Lời giải:
1
8
3
8
1
16
1
32
Bài 6.32: a)
b)
c)
d)
e)
0
0
0
1 tan45
Bài 6.33: Tính A
1 tan1
1 tan2 ...
3
8
2
512
23
24
A.
2
B.
C.
2
D.
Lời giải:
0
0
2
cos 45 k
0
0
0
0
Bài 6.33: 1 tank
1 tank 1 tan 45 k 2
0
cosk
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
23
Do đó A 2
2
π
Bài 6.34: Tính A cosαcos2αcos3α...cos999α với α
1999
1
2
512
23
24
2
A.
2
B.
C.
D.
9
99
2
Lời giải:
Bài 6.34: Đặt B sinαsin2αsin3α...sin999α khi đó
999
2
A.B sin2αsin4α...sin1998α
(sin2αsin4α...sin998α).sin
2π 1002α
2π 1998α
...sin B
1
Suy ra A
.
9
99
2
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1
. Các ví dụ minh họa.
4
5
π
4
π
2
Ví dụ 1: Cho cos2x , với x
.
a) Tính sinx,
.
2
3
1
2
A.
B.
C.
C.
D.
D.
3
10
10
10
10
b) Tính cosx
.
2
3
1
2
A.
B.
B.
3
10
10
10
10
π
c) Tính sin x
.
3
3
3
2 3
2 10
1 2 3
1 3
2 10
A.
C.
D.
2
10
2 10
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
d) Tính cos 2x
.
4
2
0
3
10
3
10
2
10
A.
B.
C.
D.
1
Lời giải
π
4
π
2
Vì x nên sinx 0, cosx 0
.
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :
1
cos2x
9
10
3
1
2
sin x
sinx
cosx
2
0
1
cos2x
1
10
1
1
2
cos x
2
0
Theo công thức cộng, ta có
π
π
3
π
3
3
10
1
1
10
3 3 3
2
2 10
sin x
sinxcos cosxsin
.
2
.
3
π
π
4
π
4
4
5 2
2
2
2
3
1
10 10
2
10
cos 2x
cos2xsin cos sin2x .
.2.
.
4
π
2
2
Ví dụ 2: Cho cos4α 2 6sin α với α π . Tính tan2α
.
A. tan2α 3 3
Lời giải
B. tan2α 2 3
C. tan2α 3
D. tan2α 3
2
2
Ta có cos4α 2 6sin α 2cos 2α 12 3
1cos2α
1
2
2
2cos 2α 3cos2α 2 0
2cos2α 1cos2α 2
0 cos2α (Vì cos2α2 0
)
1
1
2
2
Ta có 1 tan 2α
tan 2α
1 3
2
2
cos 2α
cos 2α
π
2
Vì α π π α 2π nên sin2α 0. Mặt khác cos2α 0 do đó tan2α 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
Vậy tan2α 3
1
1
1
1
2
Ví dụ 3: Cho
7 . Tính cos4α .
2
2
2
tan α cot α sin α cos α
7
7
11
7
12
7
9
A. cos4α
B. cos4α
C. cos4α
D. cos4α
10
Lời giải
1
1
1
1
Ta có
7
2
2
2
2
tan α cot α sin α cos α
2
2
sin α 1 cos α 1
7
2
2
cos α
sin α
2
2
2
2
sin α sin α 1 cos α cos α 1
7
2
2
sin αcos α
4
4
2
2
sin α cos α 1 7 sin αcos α
2
2
2
2
2
2
2
sin α cos α 2sin αcos α 1 7 sin αcos α
2
2
2 9sin αcos α
2
8 9
2sinαcosα
2
8 9sin 2α
16 9
1 cos4α
7
9
cos4α
7
9
Vậy cos4α
α
2
α 2013π
Ví dụ 4: Cho sinα cosα cot với 0 α π. Tính tan
.
2
1
D.
2
A. 1
B.
1
C.
0
Lời giải
α
2
α
α
2
sin
cos
2tan
α
2
α
2
α
2
2
Ta có sinα 2sin cos 2cos
.
α
2
tan
1
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
α
α
2
2
2
1 tan
sin
α
2
α
2
α
2
2
2
2
2
α
cosα cos
sin
cos 1
α
2
2
tan
cos
1
2
2
α
2
α
2
2
2
tan
1 tan
α
2
1
Do đó sinα cosα cot
α
α
α
2
2
tan
1 tan
1 tan
2
2
2
α
α
2
α
α
2
α
2
α
2
α
2
2
2
3
2
tan
1 2tan tan
1 tan
tan
tan
tan 1 0
2
2
2
α
2
α
α
2
tan 1 tan 1 0 tan 1
2
α
2
π
2
α
2
α
2
α
2
Vì 0 α π 0
do đó tan 0 nên tan 1 cot 1
α 2013π
α
π
α
2
Ta có tan
tan
2006π
cot 1
2
2
2
α 2013π
Vậy tan
1
2
α
2
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sinα,cosα,tanα,cotα qua t tan nhƣ sau:
2
2
2
2
t
t
1 t
1 t
2t
1 t
1 t
2t
sinα
,cosα
,tanα
,cotα
2
với
α
làm các biểu thức có nghĩa.
2
1
1
3
Ví dụ 5: Cho sin
α β
, tanα 2tanβ .
3π
π
5π
π
Tính A sin α
cos α
sin β
sin β
.
8
8
12
12
3
1
1
3
2
3
4
7
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có sin
1
3
1
3
α β
sinαcosβ cosαsinβ (1)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
tanα 2tanβ sinαcosβ 2sinβcosα (2)
1
3
2
1
9
4
1
9
4
2
2
2
2
cosαsinβ
sinαcosβ
cos αsin β
1 sin α sin β
Từ (1) và (2) ta đƣợc
2
2
2
2
sin αcos β
sin α 1 sin β
3
9
9
1
9
2
2
1
sin α sin β
2
1
3
2
1
9
1 sin β sin β
1
3
2
2
sin α sin β
2
2
3
1
9
1
1
3
4
2
2
2
sin β sin β 0 sin β
3
0 sin β
1
3
2
3
2
2
Do đó sin α sin β
3
8
π
π
8
1
2
π
2
π
4
1
2
2
2
Ta có sin α
cos α
sin 2α
sin
cos2α
1
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2 3 2
2
1 2sin α
1 2.
12
π
5π
12
1
2
π
2
π
3
1
2
3
sin β
cos β
sin 2β
sin
cos2β
12
2
1
2
3
2
1
2
1
3
3
2
2 3 2
2
1 2sin β
1 2.
12
2
3 2 2 3 2
1
Do đó A
12
12
3
2
. Bài tập luyện tập.
3
5
3π
4
Bài 6.35: Cho cos2x (với
x π ).
a)Tính sinx
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
b)Tính cosx
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
Lời giải:
3
4
π
Bài 6.35: Vì
x π nên sinx 0, cosx 0
.
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :
1
cos2x
1
5
1
sinx
2
sin x
2
5
1
cos2x
4
5
2
cosx
2
cos x
2
5
Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lƣợng giác, khi biết:
8
5
12
a) sin(a b), cos(a b), tan(a b) khi sina , tanb
và a, b là các góc nhọn.
17
2
1
10
21
1
140
1
2
10
2
21 140
221 221 220
21
.
A.
;
;
.
B.
;
;
.
C.
;
;
.
D.
D.
D.
;
;
221 221 220
221 221 220
221 221 220
π
3
12 3π
,
b) cos
α khi sinα
α 2π
13
2
(
5 3)
(5 2 3)
(5 12 3)
(5 12 3)
A.
B.
C.
C.
2
6
26
6
26
π
3
3 π
, α π
5 2
c) tan α
khi sinα
38 25 3
38 3
B.
38 2 3
3 25 3
A.
1
1
11
11
11
Lời giải:
2
1
140
21
(5 12 3)
38 25 3
Bài 6.36: a)
;
;
.
b)
c)
221 221 220
26
11
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
1
Bài 6.37: Cho 2cos
α β
cosαcos
π β
. Tính A
.
2
2
2
2
2
sin α 3cos α 2sin β 3cos β
5
6
38 3
38 2 3
6
5
A.
B.
C.
D.
11
11
Lời giải:
3
Bài 6.37: Từ giả thiết ta có
2
cosαcosβ sinαsinβ
cosαcosβ tanβ
.
2
tanα
9
2
2
2
1
2
1
2
tan α
1 tan β
1 tan α
4
tan α
Khi đó ta có: A
2
2
2
tan α 3 2tan β 3 2tan α 3
9
2
3
2
tan α
4
2
2
2
1
2
tan α
4tan α 9
10tan α 15
5
6
A
2
2
2
tan α 3 6 2tan α 3
6 2tan α 3
m
n
Bài 6.38: a) Cho tanα . Tính A msin2αncos2α
.
2
2
2
tanα
1 2tan α
tanα
1 tan α
1 tan α
A.
C.
m
m
n
n
B.
m
m
n
n
2
2
2
2
1
1
tan α
1 tan α
1 tan α
2
2
tanα
tan α
1 2tan α
2tanα
1 tan α
D.
2
2
2
2
1 tan α
1 tan α
1 tan α
cos
α β
α β
m
n
b) Cho
. Tính B tanα.tanβ .
cos
n m
m n
2n m
B.
n 2m
m n
n m
m n
A.
C.
C.
D.
D.
2
m n
c) Cho tan
α β
m và tan
α β
n . Tính tan2α
.
m 2n
m n
1 mn
2m n
1 mn
m n
2 mn
A.
B.
1
mn
Lời giải:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
2
tanα
1 tan α
Bài 6.38: a) A msin2α ncos2α m
b) Áp dụng công thức cộng ta có
n
2
2
1
tan α
1 tan α
cosαcosβ sinαsinβ
cosαcosβ sinαsinβ
m
n
1tanαtanβ
1 tanαtanβ
m
n
n m
m n
tanαtanβ
tan α β tan α β
tan α β
m n
1 mn
c) tan2α tan
α β
α β
1
tan
α β
7
2
π
4
2α 2015π
Bài 6.39: Cho sinα cosα
và 0 α . Tính tan
.
4
7
7
5
1
7 4
7 1
38 2 3
7 5
7 1
A.
B.
C.
D.
11
Lời giải:
2
2
α
2
2t
1 t
1 t
1 t
Bài 6.39: Đặt t tan ta có sinα
,cosα
từ giả thiết ta có
2
7
3
2
2
2
t
1 t
7
t
2
2
7 2 t 4t 7 2 0
2
2
1
t 1 t
t 7 2
π
4
α
2
7 2
3
Do 0 α nên t tan
.
2
α 2015π
α
π
α π
Ta có tan
tan
504π
tan
4
4
2
4
2
α
2
π
4
π
7 2
3
tan tan
1
2
7
5
α
7
7 1
1
tan tan
1
2
4
3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ
CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.
1
. Phƣơng pháp giải.
Để chứng minh đẳng thức lƣợng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tƣơng đƣơng,
biến đổi hai vế cùng bằng một đại lƣơng trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt
các công thức lƣợng giác.
Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lƣợng nào
để từ đó liên tƣởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lƣợng ở vế trái. Và ta thƣờng biến
đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.
2
. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi góc lƣợng giác
α
làm cho biểu thức xác định thì
3
4
cos4α
4
4
a) sin α cos α
4
5
8
3
8
6
6
b) sin α cos α cos4α
1
1
sin2α
sin2α
π
4
2
c)
cot ( α)
Lời giải
2
1
2
4
4
2
2
2
2
2
a) Ta có sin α cos α sin α cos α 2sin αcos α 1 sin 2α
1
cos4α
3
4
cos4α
1
4
4
b) Ta có
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
3
3
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin α cos α sin α cos α 3sin αcos α sin α cos α 3sin αcos α sin α cos α
3
3
4
2
3
4
3
2
2
2
2
2
sin α cos α 3sin αcos α 1 2sinαcosα 1 sin 2α 1 1cos4α
c) Ta
8
5
3
8
cos4α
8
2
2
2 2
sin2α sin α cos α 2sinαcosα
2 2
sinα cosα
1
1
có
sin2α sin α cos α 2sinαcosα
sinα cosα
2
π
π
4
2
2
2
cos α
2cos α
4
π
2
cot α
2
π
4
π
2
2
sin α
sin α
4
4
π
2
Ví dụ 2: Cho 0 α π,α . Chứng minh rằng:
α
2
π
a) 1 cosα 1cosα 2sin
4
1
1
cosα 1cosα
cosα 1cosα
α π
tan
b)
2
4
Lời giải
α
2
π
a) Do 0 α π nên sin
0,sinα 0
4
Đẳng thức tƣơng đƣơng với
2
α
2
π
2
1
cosα 1 cosα 4sin
4
π
2 2 1 cosα 1 cosα 2 1 cos α
2
2
1 cos α sinα
2
2
2
2
1cos α sin α sin αcos α 1(luôn đúng)
ĐPCM.
2
1
cosα 1cosα
b) VT
1
cosα 1cosα
1 cosα 1cosα
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
1
sinα
2
2 1 cosα. 1cosα 1 1cos α
2
cosα
cosα
cosα
Vì 0 α π nên sinα 0 do đó
2
α
2
α
α
2
α
2
α
2
α
2
2
2
sin cos
sin
cos
2sin cos
1
sinα
cosα
2
VT
α
2
α
α
2
α
α
2
α
2
2
cos
sin
sin cos
cos sin
2
2
2
α π
α
α
2
α
2
sin
sin cos
2
4
α π
tan VP
2
ĐPCM.
α
α π
2
4
cos sin
2 cos
2 4
2
2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
2
2
a) sin(α β).sin(α β) sin α sin β
α
β
b) cot cot 2 với sinα sinβ 3sin α β ,α b k2π
2
2
sinα sinβcos
cosα sinβsin
α β
α β
c)
tan
α β
Lời giải
1
2
a) Ta có sin(α β).sin(α β) cos2α cos2β
1
2
2
2
2
2
1 2sin α 1 2sin β sin α sin β
α β
2
α β
2
α β
2
α β
2
b) Từ giả thiết ta có 2sin
cos
6sin
cos
α β
2
α β
2
α β
2
Do α β k2π sin
0 suy ra cos
3cos
α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
β
2
cos cos sin sin 3 cos cos sin sin
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
α α
β
2sin sin cos cos
2 2 2
β
2
α
β
cot cot 2 ĐPCM
2
2
1
2
sinα sin
α 2β
sin
α
sinα sin
cosα cos
α 2β
c) Ta có VT
1
α 2β
cosα cos
α 2β
cos α
2
2
2
sin
cos
α β
cos
cos
β
tan
α β
VP ĐPCM
α β
β
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
2π
3
2π
2
2
2
a) A cos α cos
α cos
α
3
3
2
1
2
1
4
A.
B.
C.
D.
D.
1
1
π
3
π
4
π
6
3π
.cos α
b) B cos α .cos α
cos α
4
3
2
2 6
1
4
A.
B.
C.
4
Lời giải
2π
3
2π
3
2
2
2
a) Ta có: A cos α cos
α cos
α
1
2
4π
4π
3 cos2α cos
2α cos
2α
3
3
1
2
4π
3
3
2
3 cos2α 2cos
cos2α
π
6
π π
π
π
3π
π
b) Vì α α
cos α
sin α
và cos α
sin α
nên
3
2
6
3
4
4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
3
π
4
π
3
π
4
B cos α .cos α
sin α .sin α
π
3
π
π π
π π
cos α
α
cos
cos
3 4
4
3
4
π
π
4
π
3
π
4
1
2
2
3
2
2
2 6
4
cos cos sin sin
.
.
3
2
2
Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:
cosa 2cos2a cos3a
a) A
sina sin2a sin3a
A. cot2α
B. tan2α
C. sin2α
D. cos2α
D. cos2α
π
3
π
cos a
cos a
3
a
2
b) B
cota cot
1
A. cot2α
B. 2tan2α
C. sin2α
2
c) C cosa cos(a b)cos(a 2b)...cos(a nb) (nN)
nb
2
nb
sin
sin
2n 1
bcos
b
a
sin
3n 1
bcos
b
a
2
A. C
C. C
B. C
D. C
sin
sin
2
2
nb
2
nb
n 1
bcos
b
a
sin
4n 1
bcos
b
a
2
sin
sin
2
2
Lời giải
cosa cos3a
2cos2a 2cos2acosa 2cos2a 2cos2a
2sin2a 2sin2acosa 2sin2a 2sin2a
cosa 1
cot2a
cosa 1
a) A
sina sin3a
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
π
π
3
b) Ta có cos a
cos a
2cosacos cosa và
3
3
a
a
cos
2
a
2
a
2
a
2
sin a
sin cosa cos sina
2
sin
a
2
cosa
sina
1
sina
a
2
cota cot
a
2
a
2
a
2
sin
sinasin
sinasin
sinasin
cosa
1
sina
sin2a
.
Suy ra B
sinacosa
2
b
2
b
2
b
2
b
2
b
2
c) Ta có C.2sin 2sin cosa 2sin cos(a b) 2sin cos(a 2b) ... 2sin cos(a nb)
b
2
b
3b
b
5b
3b
sin
a sin
a sin
a sin a sin
a sin
a
2
2
2
2
2
2n 1
b
2n 1
b
... sin
a sin
a
2
2
2n 1
b
b
2
nb
sin a sin
a 2sin
n 1
bcos
a
2
2
nb
2
sin
n 1
bcos
b
a
Suy ra C
sin
2
1
1
Ví dụ 6: Cho sin
a b
2cos
a b
. Rút gọn biểu thức M
2
sin2a 2 sin2b
4
A.
3
1
2
1
3
B.
C.
D.
1
Lời giải
4
sin2a sin2b
4
sin2a sin2b
Ta có M
4 2
2 sin2a2 sin2b
sin2a sin2b
sin2asin2b
Ta có sin2a sin2b 2sin
a b
cos
a b
2
2
a b
Mà sin
a b
2cos
a b
sin
a b
4cos
nên
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
2
cos2
a b
cos2
a b
1 2sin
a b
2cos
a b
1
2
2
2
2 2sin
a b
cos
a b
2 10cos
a b
2
2
2
4
4cos
a b
4 4cos
a b
4
3
Suy ra M
1
3 3cos a b
2
2
4
8cos
a b
.2 10cos
a b
2
Ví dụ 7: Chứng minh rằng
π
3
π
3
a) sin3α 3sinα 4sin α 4sinα.sin
α .sin
α
3
α
3
α
3
α
3
1
4
α
3
3
3
n1
3
n
b) sin
3sin
... 3 sin
3 sin sinα .
2
n
n
Lời giải
a) Ta có sin3α sin
2α α
sin2αcosα cos2αsinα
2
2sinαcos α cos2αsinα
2
2
2sinα 1 sin α 1 2sin α sinα
3
3sinα 4sin α (1)
π
3
π
1
2
2π
3
Mặt khác 4sinα.sin
α .sin
α 4sinα. cos
cos 2α
3
1
2
1
2
2sinα. cos2α 2sinα 1 2sin α
2
3
3sinα 4sin α (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
3
sinα sin3α
3
3
b) Theo câu a) ta có sin3α 3sinα 4sin α sin α
4
α
3
4
α
α
3
α
3
α
3
3
sin sinα
3sin sin
3sin sin
2
n
n1
α
3
α
3
α
3
3
3
3
3
Do đó sin
, sin
, ...,sin
2
n
4
4
α
3
4
α
α
3
α
3
α
3
3
sin sinα
3sin sin
3sin sin
2
n
n1
3
n1
Suy ra VT
3
... 3
4
4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
α
3
3
sin
4
n
sinα
4
1
4
α
n
3 sin sinα VP ĐPCM.
n
3
n1
3
3
3
Lƣu ý: Hoàn toàn tƣơng tự ta chứng minh đƣợc cos3α 4cos α 3cosα
công thức này đƣợc gọi là công thức nhân ba
,
sin3α 3sinα 4sin α, hai
3
. Các bài tập luyện tập.
Bài 6.40: Chứng minh rằng
3
8
1
2
1
8
4
a) sin α cos2α cos4α
π
3π
16
5π
16
7π
16
3
2
4
4
4
4
sin
b) sin
sin
sin
16
Lời giải:
1
cos4α
2
1 2cos2α
2
1cos2α 1 2cos2α cos 2α
3
8
1
2
1
8
4
2
Bài 6.40: a) sin α
cos2α cos4α
2
4
4
3
8
1
π
8
3π
8
5π
8
7π 1
π
4
3π
4
5π
4
7π
b) Theo câu a ta có: VT 4. cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
2
8
8
4
3
8
π
5π
8
π
8
7π
8
π
4
3π
4
5π
4
7π
4
3
2
Mà cos
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
0 nên VT VP
π
2
siny
Bài 6.41: Cho sinx 2sin
Lời giải:
x y
,x y kπ . Chứng minh tan
x y
.
cosy 2
x y x y cosy cos x y siny
Bài 6.41: sinx sin y sin
sin
x y
cosy cos
x y
sin y 2sin x y
cosy 2
sin
x y
cos
x y sin y
sin y
tan
x y
cosy 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:
3
3
a) 4 cos αsinα sin αcosα sin4α
2
sin(x y)
b) tanx tany
cos(x y) cos(x y)
2
2
tan 2x tan x
1
c) tanx.tan3x
Lời giải:
2 2
tan 2x.tan x
2
2
Bài 6.42: a) VT 4sinαcosα cos α sin α 2sin2αcos2α sin4α VP
2
sinxcosy sinycosx
tanx tany VT
b) VP
c) VP
2
cosxcosy
tan2x tanxtan2x tanx
tan 2x x tan 2x x VT
1 tan2x.tanx1 tan2x.tanx
Bài 6.44: Đơn giản biểu thức sau:
1
cosα cos2α
sin2α sinα
a) A
A. cotα
B. tanα
C. sin2α
D. cos2α
D. cos2α
D. cos2α
1
2
1
2
1
2
1
2
b) B
cosα (0 α π)
α
2
A. cotα
B. tanα
C. sin
cosa cos3a cos5a cos7a
sina sin3a sin5a sin7a
c) C
5α
A. cot
B. tanα
C. sin2α
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
π
cos 2a
cos 2a
6
6
d) D cosa
2
cosa
A. cotα
B. tanα
C. sin2α
D. cosα2sinα
Lời giải:
2
cosα 2cos α 1
cotα
1
Bài 6.44: a) A
sinα
2cosα 1
α
2
α
2
b) Vì 0 α π sin 0, cos 0 nên
1
2
1
2
α
2
1
2
1
2
α
2
α
2
α
2
2
2
B
cos
cos sin
sin
5
a
a
2
2
cos sin
2
2sin4asin
3a 2sin4asin2a
sin3a sin2a
cos3a cos2a
5a
c) C
cot
2
2
sin4acos3a 2sin4acos2a
5a
a
2sin sin
2
2
π
2
2
cos a 2sin2asin
2
6
2cos a 4sinacosa
d) D
cosa 2sina
2
cosa
2cosa
Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:
a) Nếu 2tana tan(a b) thì sinb sina.cos(a b)
b) Nếu 2tana tan(a b) thì 3sinb sin(2a b)
c) Nếu tan(a b).tanb 3 thì cos(a 2b)2cosa 0
2
d) Nếu 3sin
Lời giải:
a b
cos
a b
thì 8sin
a b
cos2acos2b
Bài 6.45: a) 2tana tan(a b) tana tan(a b)tana
sinb
tana
sinacos(a b) sinb
cos(a b)cosa
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
sin
2a b
b) 2tana tan(a b) 3tana tan(a b) tana
cos(a b)cosa
3sinacos
a b sin 2a b
Theo câu a) ta có sinb sina.cos(a b) suy ra 3sinb sin(2a b)
c) tan(a b).tanb 3 sin
a b
sinb 3cos
a b
a b
cosb
cos
a b
cosb sin
2a b
cos(a 2b) 2cosa 0
a b
sin b 2cos
cosb
cosa cos
cosa
2
2
a b
d) Từ giả thiết ta có 9sin
a b
cos
1
cos2
a b
1 cos2
a b
9.
2
2
81 cos2
a b
cos2
a b
cos2
a b
2
16sin
a b
2cos2acos2b
2
Hay 8sin
a b
cos2acos2b. ĐPCM.
π
9
2π
9
4π
9
π
18
5π
18
7π
18
3
Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin
sin
cos cos
cos
8
Lời giải:
π
3
π
π
π
Bài 6.46: Ta có sin3α 4sinα.sin
α .sin
α
,
cos3α 4cosα.cos
α .cos
α
3
3
3
π
Suy ra sin sin
9
2π
9
4π
9
1
4
π
3
3
8
π
5π
18
7π
18
1
4
π
18
1
4
π
6
3
8
sin
sin
;
cos cos
18
cos
cos3.
cos
Bài 6.47: Chứng minh rằng
sin2x
2
a) cosx
.
sinx
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
x
2
x
2
x
2
sinx
sin
b) cos cos ... cos
n
.
x
2
2
n
2
n
Lời giải:
sin2x
Bài 6.47: a) Ta có sin2x 2sinxcosx cosx
2
sinx
b) Áp dụng câu a ta có
x
2
x
x
x
sin
sin
sin
2
n1
x
2
x
2
x
2
sinx
sinx
2
2
VT cos cos ... cos
n
.
.
...
VP
x
2 sin
n
2
x
x
x
2
n
2
sin 2sin
2sin
2sin
2
3
n
2
2
2
2
1
sinx
x
2
Bài 6.48: Chứng minh rằng: a)
cot cotx
.
1
1
1
sin2
α
2
n1
n1
b)
...
cot cot2 α (2 α kπ)
n1
sinα sin2α
α
Lời giải:
x
2
x
x
2
x
2
x
2
cos
sin
sinxcos cosxsin
sin
x
2
cosx
sinx
1
sinx
Bài 6.48: a) VP cot cotx
VP
x
sinxsin
2
x
2
sinxsin
2
b) Áp dụng câu a ta có
α
2
α
2
n2
n1
n1
VT cot cotα
cotα cot2α
...
cot2 α cot2
α
cot cot2 α VP
Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tanx cotx2cot2x
1
2
a
2
1
2
a
2
1
2
a
2
1
2
a
2
b) .tan .tan ... .tan
.cot cota
2
2
n
n
n
n
Lời giải:
2
2
2
2
cosx
sinx
cos2x cos x cos2x cos x 2cos x 1
sin2x
sin x
Bài 6.49: a) VP
2
tanx VT
sinxcosx
sinxcosx
sinxcosx
b) Áp dụng câu a) ta có
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
2
a
2
1
a
2
a
1
a
2
a
n1
VT cot 2cota
cot 2cot ...
cot 2cot
2
2
n
n
2
2
2
2
1
2
a
2
.cot cota VP
n
n
kπ
6
tan3x
tanx
π
π
Bài 6.50: Chứng minh rằng nếu x
,k Z thì
tan
x tan
x
3
3
o
o
o
Áp dụng tính A tan6 tan54 tan66
.
Lời giải:
3
3 tanx
3 tanx
3
tanx tan x
1
Bài 6.50: tan3x
tanx.
π
2
3tan x
1
3 tanx 1 3 tanx
3
tanx
3 tanx
1 3 tanx
π
.tanx.
tan
x .tanx.tan
x
3
3
1
3 tanx
5
1
A
1
0 2 5
Bài 6.51: Cho
n
là số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng
1
1
1
0
0
0
...
cot1 cotn
0
sin(n 1) sinn
0
0
0
0
sin1 sin2 sin2 sin3
Lời giải:
0
0
0
0
0
0
0
Bài 6.51: Ta có sin1 sin
k 1
k sin
k 1
cosk cos
k 1
sink
0
sin1
0
k 1
0
cotk cot
0
0
sink sin
k 1
0
0
0
sin1
sin1
sin1
Do đó
...
0
0
0
0
0
0
sin1 sin2 sin2 sin3
sin(n 1) sinn
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
0
0
0
0
0
0
cot1 cot2 cot2 cot3 ...cot
n 1
cotn
1
1
1
0
0
Suy ra
...
cot1 cotn
0
0
0
0
0
0
sin1 sin2 sin2 sin3
sin(n 1) sinn
0
0
0
0
Bài 6.52: Chứng minh rằng 2sin2 4sin4 ...178sin178 90cot1
Lời giải:
0
0
0
0
0
0
0
Bài 6.52: 2sin2 .sin1 2 2sin4 .sin1 ...89 2sin178 .sin1 90cos1
0
0
0
Vì 2sin2k sin1 cos
2k 1
cos
2k 1
nên
0
0
0
0
0
0
VT cos1 cos3 2 cos3 cos5 ... 89 cos177 cos179
0
0
0
0
cos1 cos3 ... cos177 89cos179
0
0
0
0
0
0
cos1 cos3 cos177 ... cos89 cos91 89cos1
0
90cot1 VP
DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC.
1
-
. Phƣơng pháp giải.
Sử dụng phƣơng pháp chứng minh đại số quen biết.
Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lƣợng giác một góc.
-
-
Sử dụng kết quả sinα 1, cosα 1 với mọi số thực
α
2
. Các ví dụ điển hình.
π
2
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0 α
thì
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
a) 2cot α 1cos2α
b) cotα 1cot2α
Lời giải
a) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với
1
1
2
2
2
2
1 2cos α
1 1 sin α
2
sin α
sin α
1
2
4
2
sin α 2 sin α 2sin α 1 0
2
sin α
2
2
sin α 1 0 (đúng) ĐPCM.
b) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với
cosα sin2α cos2α cosα sin2α cos2α
2sinαcosα
(*)
sinα
sin2α
sinα
nên
2
π
2
sinα 0
Vì 0 α
cosα 0
2
2
(*) 2cos α sin2α cos αsin α
1 sin2α (đúng) ĐPCM.
π
2
1
1
Ví dụ 2: Cho 0 α . Chứng minh rằng sinα
cosα
2
2cosα
2sinα
Lời giải
1
1
1
Ta có sinα
cosα
sinαcosα
1
4sinαcosα
2
cosα
2sinα
π
2
Vì 0 α nên sinαcosα 0
.
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
1
sinαcosα
2 sinαcosα.
1
4
sinαcosα
4sinαcosα
1
1
Suy ra sinα
cosα
2 ĐPCM.
2
cosα
2sinα
2
α π
2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 0 α π thì
2cos2α 1
4sin
2sinα 2
3 2cos2α
.
2
4
Lời giải
Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với
2
π
2
2cos2α 1
2 1cos α
2
3 2cos2α
2sinα 3 2
12sin α
2
2
2
4cos 2α 8cos2α 5 2sinα 2sinα 4sin α 1
2
2
4
1cos2α
1 2sinα 2sinα
4sin α 1
4
2
16sin α 2sinα 1 2sinα 4sin α 1
Đặt 2sinα t , vì 0 α π 0 t 2
.
8
2
4
8
5
2
Bất đẳng thức trở thành t t 1 t t 1 t t t t 1 0 (*)
8
2
3
3
2
8
+
+
Nếu 0 t 1
:
(*) t t 1 t 1 t 0 đúng vì 1t 0, 1t 0,t 0 và t 0
.
5
3
5
3
Nếu 1 t 2
:
(*) t
t 1
t
t 1
1 0 đúng vì
t
t 1
0, t
t 1
0
.
Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) A sinxcosx
A. maxA 2 và minA 2
maxA 2 2 và minA 2 2
.
B. maxA 3 và minA 3
D. maxA 2 và minA 2
.
C.
.
.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 40
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
4
4
b) B sin xcos x
1
2
1
2
A. maxB 2
C. maxB 1
,
min B
B. maxB 2 ,
min B
1
2
1
2
,
min B
D. maxB 1,
min B
Lời giải
2
2
2
2
a) Ta có A
sinxcosx
sin xcos x 2sinxcosx 1sin2x
2
Vì sin2x 1 nên A 1sin2x 11 2 suy ra 2 A 2
.
π
4
3π
4
Khi x
thì A 2
,
x
thì A 2
Do đó maxA 2 và minA 2
.
2
2
2
2
1cos2x 1 cos2x 12cos2x cos 2x 1 2cos2x cos 2x
b) Ta có B
2
2
4
4
2
2
2cos 2x 2 1cos4x 3 1
.cos4x
4 4
4
4
1
2
3
4
1
4
1
2
Vì 1 cos4x 1 nên
.cos4x 1 suy ra B 1
.
.
1
2
Vậy maxB 1 khi cos4x 1 và min B khi cos4x 1
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất A 22sinxcos2x
1
2
1
3
1
2
3
2
A. minA
B. minA
C. minA
D. minA
Lời giải
Ta có A 22sinx
2
2
12sin x
2sin x 2sinx 1
2
Đặt t sinx, t 1 khi đó biểu thức trở thành A 2t 2t 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 41
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
Xét hàm số y 2t 2t 1 với t 1
Bảng biến thiên:
.
t
1
2
1
1
y
5
1
1
2
Từ bảng biến thiên suy ra maxA 5 khi t 1 hay sinx 1
.
1
2
1
2
1
2
minA khi t hay sinx
.
3
. Bài tập luyện tập.
π
2
Bài 6.53: Cho 0 x . Chứng minh rằng tanxcotx 2
Lời giải:
π
2
tanx 0
Bài 6.53: 0 x
cotx 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có tanxcotx 2 tanx.cotx 2
.
2
Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B cos2x 1 2sin x
A. maxB 3
C. maxB 2
,
,
minA 3 1
minA 3 1
B. maxB 2
D. maxB 3
,
minA 3 2
minA 3 3
,
Lời giải:
Bài 6.54: Ta có B cos2x 11cos2x cos2x 2cos2x
2
Đặt t 2cos2x cos2x 2 t , vì 1 cos2x 11 t 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 42
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
Biểu thức trở thành B 2t t
.
2
Xét hàm số y t t 2 với 1 t 3
.
Bảng biến thiên
t
1
2
3
y
3
1
Từ bảng biến thiên suy ra maxB 2 khi t 1 hay cos2x 1
minA 3 1 khi t 3 hay cos2x 1
.
.
2
Bài 6.55: Chứng minh rằng cosx(sinx sin x 2) 3
Lời giải:
2
2
2
2
3
sin x cos x 3cos x sin x 2
2
Bài 6.55: Ta có: 3P 3 sinx.cosx 3 cosx. sin x 2
3
2
2
Vậy: P 3
Bài 6.56: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2sinx sin2x
.
3
3
3 3
2
3 2
4
3
D. P
A. P
B. P
C. P
4
4
Lời giải:
Bài 6.56: Ta có P 2sinx 2sinxcosx 2sinx
1cosx
2
2
2
2
2
Suy ra P 4sin x
1cosx
sin x
1 2cosx cos x
2
1
1
4
1
2
3
2
2
2
2
2
2
Ta có cosx
0 cos x cosx suy ra P sin x 1 2cos x cos x sin x 3cos x
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 43
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
x y
Mặt khác theo bất đẳng thức xy
, x,yR ta có
2
2
3
2
2
3
sin x 3cos x
5
4
1
3
3
1
2
27
16
2
2
2
2
sin x 3cos x .3sin x 3cos x
.
2
3
2
3
3
.
Suy ra P
4
A
2
B
C
2
Bài 6.57: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin
sin sin
2
.
3
7
3
6
3
9
5
D. maxP
A. maxP
B. maxP
C. maxP
9
Lời giải:
A
2
C
2
1
A C
2
A C
1
2
A C
2
1
2
A C
2
Bài 6.57: Ta có sin sin cos
cos
cos
1
cos
2
2
A C
B
A C
2
A
2
C
2
1
2
B
2
Vì cos
sin và cos
1 nên sin sin
sin
2
2
2
1
2
B
2
B
2
Do đó P 1sin . sin
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
B
sin . sin
B
2
1
2
B
B
B
2
1
1 sin
1 sin
2sin
2
2
2
3
B
2
B
2
B
2
1
sin 1 sin 2sin
1
2
1
2
8
27
2 3
9
3
1
2
2 3
9
3
.
Suy ra P
.
9
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 44
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
A C
cos
1
A C
2
Dấu bằng xảy ra khi
.
B
2
1
3
B
B
2
sin
1
sin 2sin
2
3
9
Vậy maxP
.
DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1
. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
2
B
2
C
2
a) sinA sinBsinC 4cos cos cos
2
2
2
b) sin Asin Bsin C 2(1cosAcosBcosC)
c) sin2Asin2Bsin2C 4sinAsinBsinC
Lời giải
A B
2
A B
2
C
2sin cos
2
C
2
a) VT 2sin
cos
A B
2
π
2
C
2
Mặt khác trong tam giác ABC ta có A BC π
A B
2
C
2
C
2
A B
2
Suy ra sin
cos , sin cos
C
2
A B
2
A B
cos
C
2
C
A B
2
A B
c os
Vậy VT 2cos cos
2cos
2cos
cos
2
2
2
C
2
A
2
B
2
4cos cos cos VP ĐPCM.
1
cos2A 1cos2B
cos2A cos2B
2
2
b) VT
1cos C 2
cos C
2
2
2
2
2cos
A B
cos
A B
cos C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 45
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
Vì A BC π cos cosC nên
A B
VT 2cosCcos A B cosCcos A B AB cos A B
2 cosCcos
2cosC.2cosAcosB 2(1cosAcosBcosC) VP ĐPCM.
c) VT 2sin
A B cos A B 2sinCcosC
Vì A BC π cosC cos
A B , sin
VT 2sinCcos A B 2sinCcos A B
2sinCcos
2sinC.2sinAsin 4sinAsinBsinC VP ĐPCM.
B
A B
sinC nên
AB cos A B
Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:
a) tanAtanBtanC tanA.tanB.tanC
b) cotA.cotBcotB.cotCcotC.cotA 1
Lời giải
a) Đẳng thức tƣơng đƣơng với tanAtanB tanA.tanB.tanC tanC
tanA tanB tanC
tanAtanB1
*
π
2
Do tam giác ABC không vuông nên A B
cos A B
0
sinAsinB
cosAcosB
sinAsinBcosAcosB
tanAtanB1
1
cosAcosB
cosAcosB
tanA tanB
tanAtanB1
tanA tanB
1tanAtanB
Suy ra
*
tanC
tanC tan A B tanC
Đẳng thức cuối đúng vì A BC π ĐPCM.
b) Vì A BC π cot A B cotC
Theo công thức cộng ta có:
1
1
1
1 tanAtan B
tanA tan B
cotAcot B 1
cotA cot B
cotAcot B
cot
A B
tan A B
1
1
cotA cot B
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 46
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
cotAcot B1
cotC cotAcot B1 cotC cotA cot B
Suy ra
cotA cot B
Hay cotA.cotBcotB.cotCcotC.cotA 1 ĐPCM.
Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
3
2
a) cosA cosB cosC
3
3
b) sinA sinB sinC
3
c) tanAtanBtanC 3 3 với ABC là tam giác nhọn.
Lời giải
A B
2
A B
2
a) Ta có cosA cosB cosC 2cos
cos
cosC
A B
2
π
2
C
2
A B
2
C
2
Vì
nên cos
sin
C
2
2
Mặt khác cosC 1 2sin
do đó
C
2
A B
2
C
2
C
2
C
2
A B 1
2
2
2
cosA cosB cosC 2sin cos
12sin
2 sin
sin cos
2
C
2
C 1
2sin . cos
2 2
A B
2
1
4
A B
1
2
A B
2
2
2
2
2 sin
cos
1 cos
2
2
C
2
1
2
A B
1
2
A B
2
2 sin cos
1 cos
2
2
A B
2
A B
2
2
Vì cos
1 cos
1 nên
1
2
3
cosA cosB cosC 1
ĐPCM.
2
b) Trƣớc tiên ta chứng minh bổ đề sau:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 47
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
sinx siny
x y
2
Nếu 0 x π, 0 y π thì
x y
sin
.
2
x y
2
x y
Thật vậy, do 0
π sin
0 và cos
1 nên
2
2
sinx siny
x y
2
x y
2
x y
2
sin
cos
sin
2
π
3
π
3
sinC sin
C
sinA sinB
A B
2
Áp dụng bổ đề ta có:
sin
sin
,
sin
2
2
2
π
sinC sin
3
π
C
3
2
π
C
sinA sin B
A B
2
1 A B
π
3
3
Suy ra
sin
2sin
2sin
2
2
2
2
2
π
3
3 3
3
Do đó sinA sinB sinC 3sin hay sinA sinB sinC
ĐPCM.
c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tanA 0, tanB 0, tanC 0
.
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanAtanBtanC 3 tanA.tanB.tanC
Theo ví dụ 2 ta có tanAtanBtanC tanA.tanB.tanC nên
2
3
3
3
tanAtanBtanC 3 tanA.tanB.tanC tanA.tanB.tanC
tanAtanBtanC
3 0
2
3
tanAtanBtanC
3 tanAtanBtanC 3 3 ĐPCM.
Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
2
B
2
C
2
a) sinA sinBsinC cos cos cos
A
2
B
2
C
2
b) cosAcosBcosC sin sin sin
A
2
B
2
C
2
c) tanA tanB tanC cot cot cot Với tam giác ABC không vuông.
Lời giải
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 48
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
A B
2
C
2
A B
2
A B
2
A B
2
C
2
a) Vì sin
cos 0 và cos
1 nên sinA sinB 2sin
cos
2cos
A
2
B
2
Hoàn toàn tƣơng tự ta có sinBsinC 2cos , sinC sinA 2cos
Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta đƣợc
A
2
B
2
C
2
sinA sinBsinC cos cos cos . ĐPCM.
π
2
π
2
π
2
b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: không mất tính tổng quát giả sử A B ,C
suy ra
cosA 0, cosB 0, cosC 0
A
2
B
2
C
2
cosAcosBcosC 0. Mà sin sin sin 0 do đó bất đẳng thức luôn đúng.
1
2
+
TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cosAcosB cos
A B
cos
A B
.
1
2
C
2
2
Vì cos
A B
cosC và cos
A B
1 nên cosAcosB
1cosC
sin
.
A
2
B
2
2
2
Chứng minh tƣơng tự ta có cosBcosC sin
, cosCcosA sin
.
Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc
C
2
A
2
B
2
2
2
2
sin
cosAcosBcosBcosCcosCcosA
sin
sin
A
2
B
2
C
2
cosAcosBcosC sin sin sin ĐPCM.
sin
A B
2sin
A B
A B
c) Ta có tanA tanB
cosAcosB cos
cos
A B
Mà sin A B sinC, cos A B cosC nên
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 49
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
C
sin cos
2
C
2
4
2
sinC
2sinC
C
2
tanA tan B
2cot
cosC cos A B 1cosC
2
C
2
sin
2
A
2
B
2
Tƣơng tự ta có tanB tanC 2cot , tanC tanA 2cot
Công vế với vế và rút gọn ta đƣợc
A
2
B
2
C
2
tanA tanB tanC cot cot cot ĐPCM.
Nhận xét:
+
Để chứng minh x y z a bc ta có thể đi chứng minh x y 2a (hoặc 2b, 2c ) rồi xây dựng bất
đẳng thức tƣơng tự. Cộng vế với vế suy ra đpcm.
2 2 2
Để chứng minh xyz abc với x,y,z,a,b,c không âm ta đi chứng minh xy a (hoặc b , c ) rồi xây
+
dựng bất đẳng thức tƣơng tự. nhân vế với vế suy ra đpcm.
Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
3
2
a) sinA sin B sinC 3
3
1
. 1
1
. 1
1
2
b) 1
1
sinA
sinB
sinC
3
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức x y 2
2
2
x y
với mọi x,y không âm ta có
A B
2
A B
2
A B
2
sinA sinB 2
sinA sinB
2.2sin
cos
2 sin
π
3
1
π
Tƣơng tự ta có sinC sin 2 sin C
2
3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 50
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
3
A B
2
1
sin C
π
Công vế với vế ta đƣợc sinA sin B sinC sin 2 sin
2
3
A B
2
1
sin C
π
A B 1
π
π π
π
3
Mà sin
2 sin
C
2 sin
2 sin
6
2
3
2
2
3
2
π
3
π
3
Suy ra sinA sinB sinC sin 4 sin
π
3
3
ĐPCM.
Hay sinA sinB sinC 3 sin 3
2
1
. 1
1
1
1
1
b) Ta có 1
1
.
sinA
sinB
sinA sinB sinAsinB
1
x
1
y
4
x y
Áp dụng bất đẳng thức
với mọi x,y dƣơng ta có
1
1
4
4
2
sinA sinB sinA sinB
2
sinAsinB
sinAsinB
2
1
. 1
1
2
1
1
Do đó 1
1
1
sinA
sinB
sinAsinB
sinAsinB
sinAsinB
Mặt khác
1
2
1
1
2
sinAsin B cos
A B
cos
A B
cos
A B
cos
A B
cos
A B
A B
2
sin
2
2
2
1
. 1
1
1
Nên 1
1
(1)
sinA
sin B
A B
sin
2
2
1
1
1
Tƣơng tự ta có 1
.1
1
(2)
sinC
π
1
π
3
sin
sin C
3
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 51
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta đƣợc
2
2
1
. 1
1
sin B
1
1
1
1
1
. 1
.1
1
1
sinA
sinC
π
A B
1
π
sin
sin
sin C
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
π
Ta lại có 1
1
1
1
A B
π
1
1 A B 1
C
2
2
π
sin
sin C
sin
sin
2
2
3
3
2
3
4
1
. 1
1
. 1
1
1
1
Suy ra 1
.1
1
sinA
sin B
sinC
π
π
sin
sin
3
3
3
3
1
. 1
1
. 1
1
1
2
3
Hay 1
1
1
ĐPCM.
sinA
sin B
sinC
π
sin
3
Nhận xét: Cho tam giác ABC và hàm số
f
π
3
A B
2f
Để chứng minh
f
A
f
B
f
C
3f
. Ta đi chứng minh
f
A
f
B
2
π
π
C
C
π
π
A B
π
3
3
khi đó
f
C
f
f
2f
từ đó suy ra
f
A
f
B
f
C
f
2 f
f
4f
3
3
2
3
2
2
π
3
Do đó
f
A
B
f
C
f
3f
.
π
A B
3
2
Để chứng minh
A
f
B
f
C
f
. Ta đi chứng minh
π
f
A
f
B
f
3
2
π
π
3
C
C
π
3
A B
π
3
2
3
2
2
4
khi đó
f
C
f
f
từ đó suy ra
f
A
f
B
f
C
f
f
f
f
2
3
2
2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 52
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
π
3
Do đó
f
A
f
B
f
C
f
.
3
A
2
BC
2
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos cos(BC) cosAcos
0
.
Chứng minh rằng cos2Bcos2C 1
Lời giải
.
Từ giả thiết ta có
A
BC
2
BC
A
2
2
2
cos
2cos
1 cos
2cos
1 0
2
2
A
BC
BC
2
A
A
2
BC
2cos cos
2
cos
cos
cos cos
0
2
2
2
A
BC
2
A
BC
2
cos cos
2cos cos
2
1 0 (1)
2
A
2
π
2
A
A
2
BC
2
π
2
B C
2
π
2
B C
2
B C π A
A
2
B C
2
Vì 0
cos 0
,
cos
BC
0 và
cos sin
nên
2
2
2
BC
2
(
1) 2cos cos
1 0 2sin
cos
1 sinBsinC 1
2
2
2
2
x y
2
sin B sinC
1
2
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức x y
suy ra sin B sin C
2
1
2
2
2
Do đó cos2y cos2z 2 2 sin y sin z 2 2. 1 ĐPCM.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có
A
2
B
2
B
2
C
2
C
2
A
2
3 3
4
sin cos sin cos sin cos
Lời giải
π
2
A
2
B
2
C
2
Do A,B,C bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử A B C
0
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
Suy ra sin sin sin 0,cos cos cos 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 53
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
A
2
B
B
2
C
sin sin
cos cos
0
2
2
A
2
B
2
A
2
C
2
B
2
B
2
B
2
C
2
sin cos sin cos sin cos sin cos 0
A
2
B
2
B
2
C
2
A
2
C
2
B
2
B
2
sin cos sin cos sin cos sin cos
A
2
B
2
B
2
C
2
C
2
A
2
A
2
C
2
C
2
A
2
B
2
B
2
Do đó sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos
A
2
C
2
C
2
A
2
B
2
B
2
A C
B
2
B
2
B
2
B
2
B
2
Mà sin cos sin cos sin cos sin
sin cos cos sin cos (1)
2
2
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
B
2
3
4
3
2 cos
4
B
2
B
2
B
2
B
2
B
2
B
2
2
B
2
B
2
2
2
2
2
2
cos
3 cos
,
3sin cos 2 3sin cos 2 3 sin cos
B
2
3
B
2
B
B
2
B
2
B
2
2
2
2
Suy ra 2 cos
3sin cos
2 3 cos 2 3 sin cos
4
2
B
2
B
2
B
3
2
B
2
B
9
2
2
2
Hay 2 3 cos sin cos
3 sin cos
2
2
B
2
B
2
B
2
3 3
(2)
cos sin cos
4
A
2
B
2
B
2
C
2
C
2
A
2
3 3
4
Từ (1) và (2) ta có sin cos sin cos sin cos
ĐPCM.
2
. Bài tập luyện tập.
Bài 6.58: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
a) sinC sinA.cosBsinB.cosA
sinC
cosA.cosB
0
b)
tanA tanB (A,B 90 )
cosC
sinB.cosA
cosB
sinC.cosA
o
c) cot B
cotC
(A 90 )
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 54
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
d) cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
A
2
B
2
C
2
A B
1 2sin sin sin
2 2
C
2
2
2
2
e) sin
sin sin
Lời giải:
Bài 6.58: c) VT = VP = tanA
A
2
B
2
C
2
d) Khai triển cos
A
2
B
2
C
2
e) Khai triển sin
.
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
Chú ý: Từ cos
sin
cos .cos sin sin .sin
A
2
B
2
C
2
A
2
A B
sin .sin .sin
2 2
C
2
2
sin .cos .cos sin
Bài 6.59: Cho tam giác ABC . Chứng minh:
a) tanA tanBtanC 3 3, ΔABC nhọn
2
2
2
b) tan Atan Btan C 9, ΔABC nhọn
6
6
6
c) tan Atan Btan C 81, ΔABC nhọn
A
2
B
2
C
2
2
2
2
d) tan
tan tan
1
A
2
B
2
C
2
e) tan tan tan 3
Lời giải:
Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tanAtanBtanC tanA.tanB.tanC và BĐT Cô–si
A
2
B
2
B
2
C
2
C
2
A
2
2
2
2
d) Sử dụng a b c ab bc ca và tan .tan tan .tan tan .tan 1
2
A
2
B
2
C
2
e) Khai triển tan tan tan
và sử dụng câu c)
Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 55
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
cosAcosBcosC 3 sinAsinBsinC
1
Lời giải:
Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2 2 2 2 2 2
3
3
sin Asin Bsin C)(sinAsinBsinC) 3 sin Asin Bsin C.3 sinAsinBsinC
(
2
2
2
hay (sin Asin Bsin C)(sinAsinBsinC) 9sinAsinBsinC
3
3
nên
Mặt khác: sinA sinB sinC
2
3
3
9sinAsinBsinC
2
2
2
(
sin A sin B sin C)
2
2
2
2
Mà theo ví dụ 1 thì sin Asin Bsin C 2(1cosAcosBcosC)
3
3
9sinAsinBsinC
2(1 cosAcosBcosC)
2
Do đó 1cosAcosBcosC 3sinAsinBsinC . ĐPCM
Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin2Asin2Bsin2C 4sinAsinBsinC và
2
2
2
cos2Acos2Bcos2C 32 sin Asin Bsin C
34(1cosAcosBcosC) 14cosAcosBcosC
Do đó bất đẳng thức tƣơng đƣơng với
4
1(cos2Acos2Bcos2C) 3(sin2Asin2Bsin2C)
3
2
1
2
3
2
1
2
3
sin2C cos2C)
2
3
2
(
sin2A cos2A)(
sin2B cos2B)(
π
3
π
3
π
3
3
2
cos(2A ) cos(2B )cos(2C )
(*)
π
π
π
Ta có 2A
2B
2C
2 A B C π π nên
3
3
3
π
, 2B
π
, 2C
π
2
A
là ba góc của một tam giác do đó bất đẳng thức (*) đúng theo ví dụ 3
3
3
3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 56
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
ĐPCM
Cách 3: Bất đẳng thức (*) tƣơng đƣơng với
2
2
2
1
(cos A cos Bcos C)
2
2
2
1
3. (1cos A)(1cos B)(1cos C) 0 (**)
2
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
3
2
2
2
2
2
2
3
(cos A cos B cos C)
3 (cos A cos B cos C)
VT(**)
3.
2
3
3
4
2
2
2
đặt t cos A cos B cos C dễ thấy 3 t
3
3
t
2
3 t
1
1
3
3
4
VT(**)
3.
(3 t)
3 t 0 vì từ điều kiện 3 t
3
2
1
2
1
3
1
2
1
3
3
4
ta có 3 t 0,
3 t
3 0
ĐPCM
A
2
B
2
C
2
Cách 4: Đặt x tan , y tan , z tan
xy yz zx 1
x,y,z 0
Bài toán trở thành : cho
chứng minh:
2
2
2
2
1
1
x 1 y 1 z
2x
2y
2z
1
.
.
3
.
.
(***)
2
2
2
2
2
x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
2
2
2
2
2
2
Ta có : (4) (1 x )(1 y )(1 z )(1x )(1y )(1z ) 8 3xyz
Khai triển rút gọn ta có:
2
2
2
2
2
2
(
***) x y y z z x 1 4 3xyz
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có
1
3
1
3
2
2
2
2
2
2
2
x y y z z x (xy yz zx)
3
xy yz zx
1
27
xyz xy.yz.zx
3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 57
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
3
1
27
2
2
2
2
2
2
Nên x y y z z x 1 1 4 3.
4 3xyz
ĐPCM
A
2
B
2
C
2
Bài 6.71: Cho ΔABC . Chứng minh rằng 2sinA 3sinB 4sinC 5cos 3cos cos
.
Lời giải:
A B
2
A B
2
C
2
Bài 6.71: Ta có sinA sinB 2sin
cos
2cos
5
2
A
2
3
2
B
2
Tƣơng tự
sinB sinC
5cos
,
sinC sinA
3cos
A
2
B
2
C
2
Cộng vế với vế ta đƣợc 2sinA 3sin B 4sinC 5cos 3cos cos
2
Bài 6.72: Cho ΔABC . Chứng minh rằng x 2(cosBcosC)x 22cosA 0 x
.
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Lời giải:
Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a 1 0 . Do đó để chứng minh ta chỉ cần
chứng minh: Δ 0 . Ta có:
B C
2
BC
2
A
2
2
2
2
2
4sin
Δ' (cosBcosC) 2(1cosA) 4cos
.cos
A
BC
2
A
2
BC
2
2
2
2
2
4sin
cos
1 4sin
.sin
0
.
2
BC
0
sin
B C
Đẳng thức có
2
.
x 2cosB
x cosB cosC
Bài 6.73: Cho ΔABC nhọn . Chứng minh bất đẳng thức sau:
A
2
2
(
tanB tanC)x 4x 2tan 0 x . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Lời giải:
sin(B C)
cosB.cosC
Bài 6.73: VT của bất đẳng thức là một tam thức có : a tanB tanC
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 58
NGUYỄN BẢO VƢƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
sinA
cos(B C) cos(BC) 1cosA
chứng minh Δ' 0
2sinA
A
2
2cot 0 (do ΔABC nhọn). Nên để chứng minh (1) ta chỉ cần
.
A
2
A
2
A
2
Ta có: Δ' 4 2tan (tanB tanC) 4 2tan .cot 0
cos(B C) 1
B C
Đẳng thức xảy ra
2
1
x
x
tan B tanC
tan B
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 59
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả