CHUYÊN ĐỀ 6- TỨ GIÁC NỘI TIẾP
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Hai đỉnh cùng nhìn một cạnh
là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh
là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh
Hai góc đối bù nhau
Cùng cách đều một điểm
Góc trong = góc ngoài tại đỉnh đối diện
là góc ngoài tại
ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
1. Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
2. Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp.
3. Một tam giác bất kì luôn có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp có tâm là giao điểm của ba đường trung trực.
1. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng
Phương pháp giải
Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .
Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc bằng thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm đường kính . Vẽ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và ). Lấy điểm trên cung nhỏ ( khác và ), cắt tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Giải chi tiết:
Tứ giác có:
(giả thiết);
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn đường kính . Điểm (khác ) bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho . Điểm thuộc cung nhỏ sao cho . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh là tiếp tuyến của .
d) Hỏi khi thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, thuộc đường tròn cố định nào?
(HKII Hoàn Kiếm – Hà Nội năm học 2017 – 2018)
Phân tích đề bài
c) là tiếp tuyến của
d) Để chứng minh điểm luôn thuộc một đường tròn cố định, ta cần chỉ ra luôn cách một điểm cố định một khoảng không đổi.
Giải chi tiết:
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
.
Tứ giác có là tứ giác nội tiếp.
b) Xét và có: ;
chung.
(hai cạnh tương ứng).
.
c) Gọi là giao điểm của và . Vì là trực tâm của nên .
cân tại nên (hai góc ở đáy).
Ta có là đường trung tuyến của tam giác vuông nên . Do đó cân tại nên (hai góc ở đáy).
(vì vuông tại ).
. Vậy là tiếp tuyến của đường tròn.
d) Gọi là điểm chính giữa của cung không chứa điểm ( cố định).
Khi đó nên .
Chứng minh tương tự câu c, ta có được là tiếp tuyến của đường tròn.
Do đó tứ giác là hình chữ nhật. Lại có nên tứ giác này là hình vuông cạnh .
Tam giác vuông tại có là trung tuyến nên .
Ta có: và nên là hình bình hành.
Do vậy .
Vậy thuộc đường tròn tâm bán kính .
Ví dụ 3: Cho tam giác và đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp và đi qua trung điểm của .
Phân tích đề bài
Để chứng minh là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh:
.
Ta cần tìm sự liên hệ của các góc với các góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.
Giải chi tiết:
Ta có:
Suy ra hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Kẻ , giả sử cắt tại thì là cát tuyến của hai đường tròn .
Lại có (tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giác cân
nguon VI OLET
