chuyên đề bdhsg Toán 7 năm 2019-2020

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

PHẦN ĐẠI SỐ

Chuyền đề 1:  Các bài toán thực hiện phép tính:

1. Các kiến thức vận dụng:

-         Tính chất của phép cộng , phép nhân

-         Các phép toán về lũy thừa:

an = ;    am.an = am+n ;     am : an = am –n ( a 0, mn)

(am)n = am.n ;    ( a.b)n = an .bn   ;

     2 . Một số bài toán :

 Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +….   +  n , 1+ 3 + 5 +….   + (2n -1)

            b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)

                                    1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +  ….+ n(n+1)(n+2)

               Với n là số tự nhiên khác không.

HD :  a) 1+2 + 3 +  .. ..+ n = n(n+1)

                1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2

           b)  1.2+2.3+3.4+   …+ n(n+1)

           = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3

            = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3

            = n(n+ 1)(n+2) :3

               1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

    = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4

    = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

Tổng quát:

Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an

           b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k

       HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an   aS = a + a2 +…..+ an + an+1

                Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1

             Nếu a = 1 S = n

             Nếu a khác 1 , suy ra S =

b)     Áp dụng với b – a = k

Ta có : A =

                =

                =

Bài 3 :  a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2

             b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3

          HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6

               b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2

Bài 3: Thực hiện phép tính:

         a) A = 

         b)

HD : A = ; B =

Bài 4:     1, Tính:    P =

    2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 

Tính:     S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203

Bài 5: a) TÝnh

b) Cho

Chøng minh r»ng .

Bài 6:  a) Tính :

    b) TÝnh

HD:  Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….

          =

c)

 Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức:

          b) Chứng tỏ rằng:

Bài 8:   a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Chứng minh rằng tổng:

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

1. Kiến thức vận dụng :

-

 -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa

- Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk

2. Bài tập vận dụng

           Dạng 1   Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức

Bài 1:    Cho . Chứng minh rằng:

HD:    Từ suy ra     

              khi đó                 

    =

Bài 2:  Cho a,b,c  R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:

                     = 

HD: Ta có  (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac

                               = a( a + 2.2012.b + 20122.c)

                   (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2

                               = c( a + 2.2012.b + 20122.c)

Suy ra : = 

Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th×

HD : Đặt a = kb, c = kd .

Suy ra :   và

           Vậy

Bài 4:            BiÕt   với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :

hoặc

   HD : Ta có  = (1)

                 = (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

Xét 2 TH đi đến đpcm

Bài 5 :    Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng:

              vµ    

HD : Xuất phát từ biến đổi theo các

hướng làm xuất hiện

Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tính

HD : Từ

       Suy ra :

Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)

  = -4

Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4

Bài 7 : a) Chứng minh rằng:

Nếu

Thì 

         b) Cho:     .  Chứng minh: 

HD : a) Từ

      (1)

             (2)

       (3)

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :

Bài 8:   Cho

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

HD  Từ

   Nếu  x + y + z + t = 0 thì  P = - 4

   Nếu  x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

                            Hãy tính giá trị của biểu thức :   B =

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính

                  T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011

            Biết x,y,z,t thỏa mãn:  

              b)  Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:

            M = a + b = c +d = e + f

    Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;;

b)     Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : .

Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2

Một số bài tương tự

    Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

TÝnh

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

               ( n là số tự nhiên)

              và  x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

            Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để  tìm x,y,z,…

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :  

        HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=> với y = 0 thay vào không thỏa mãn

 Nếu y khác 0

 => -x = 5x -12

=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y  => y =

Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài

Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.

Tính b, c.

     HD : từ a = b = c = 2012

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :          

HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

       (vì x+y+z 0)

Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z

Bài 5 : Tìm x, biết rằng:

        HD : Từ

               Suy ra :

Bài 6: T×m x, y, z biÕt:      (x, y, z )

  HD : Từ

     Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x.

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt   vµ 

Bài 8 : Tìm x , y biết :

                 Chuyên đề 3:  Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

1. Kiến thức vận dụng :

-         Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

-         Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

-         Tính chất về giá trị tuyệt đối : với mọi A ;

-         Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

     dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

         ; với m > 0

-         Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)

0< A < B An < Bn ;

2. Bài tập vận dụng

          Dạng 1:  Các bài toán cơ bản

Bài 1: Tìm x biết

             a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

             b)

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013

        x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

      b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4

        Từ

Bài 2  Tìm x nguyên biết

    a)

     b) 1- 3 + 32 – 33 + ….+ (-3)x  =

Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối

• Dạng : và

     Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Bài 1 : Tìm x biết :

         a)        b)

HD : a) (1) do VT =

            nên VP = x – 2012 (*)

Từ (1)

                                Kết hợp (*) x = 4023:2

             b) (1)

    Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)

    Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x  = 2012 hay 1 = 2012 (loại)

    Nếu  x từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)

                 Vậy giá trị x là : 2009 :2  hoặc 6033:2

                             Một số bài tương tự:

   Bài 2 : a) T×m x biÕt

b)        T×m x biÕt:

c)        T×m x biÕt:

  Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:

b)     Tìm x biết:

Bài 4 : tìm x biết :

            a)           b)

                   Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

   Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :

               b) Tìm x biết :

HD : a) ta có (1)

    Mà suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

Hay do x nguyên nên x {3;4;5}

        b) ta có (*)

Mà nên (*) xẩy ra dấu “=”

Suy ra:

                      Các bài tương tự

Bài 2 : Tìm x nguyên biết :

 Bài 3 : Tìm x biết

 Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:   =  3

 Bài 5 : Tìm x, y biết :

   HD : ta có với mọi x,y và    với mọi x

           Suy ra : với mọi x,y mà

Bài 6 :    T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.

                       Dạng  chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

          a)  5x + 5x+2 = 650                              b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2

b)     3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27 x = 4

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

               a) 2x + 1 . 3y = 12x                             b) 10x : 5y = 20y

HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 

    Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1

          b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y  x = 2y

Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

            a) 2m + 2n = 2m +n                              b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1

           (2m -1)(2n – 1) = 1

         b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28

Dễ thấy m n, ta  xét 2 trường hợp :

   + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9

    + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

Bài 4 : Tìm x , biết :

          HD :

Bài 5 : Tìm x, y biết :

         HD : ta có với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y

     Suy ra : với mọi x,y . Mà

                Các bài tập tương tự :

Bài 6 : Tìm x, y biết :

          a)                  b)

Chuyên đề 4:  Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức.

    1 . Các kiến thức vận dụng:

       - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

       - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

       - Tính chất chia hết của một tổng , một tích

       - ƯCLN, BCNN của các số

    2. Bài tập vận dụng :

                  * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

           b) Tìm số tự nhiên x, y biết:

           c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y)  do 3,17 là số NT nên x mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT  y =

   b) Từ (1)

 do 7(x–2004)2 0

Mặt khác 7 là số NT vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)

suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4

b)     Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc

hoặc hoặc

c)     x2-2y2=1

do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra  x > 2 , mặt khác y nguyên tố

Bài 2       a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 

                b)  Tìm biết:   

HD : a) Từ  x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13

         b) Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x

Bài 3   a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:  

            b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :

                      và

HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*)

      + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

         5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư(5) , từ đó tìm được y, x

       b) a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà   a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)