Chuyên đề bồi dưỡng hình 9

NHỮNG LƯU Ý KHI DẠY HÌNH HỌC

1/ Kỹ năng vẽ hình:

- Trước khi vẽ hình vào bài bao giờ cũng phải yêu cầu HS vẽ hình nháp trước để HS biết mô hình của hình từ đó vẽ vào vở cho chính xác.

- Điền đủ tên các điểm trong bài, nếu lấy thêm điểm khác thì điểm đó phải khác với các điểm đã có (Hai điểm không thể cùng 1 tên). Cần phải điểm điền điểm đúng vị trí

- Không nên vẽ hình trong các trường hợp đặc biệt, cần vẽ hình to rõ ràng dễ nhìn, các đường tránh trùng nhau.

- Để đảm bảo hình vẽ nhanh và chính xác nhiều khi vẽ hình theo kết luận của bài toán

- Đánh ký hiệu góc phải hêt sức cẩn thận, khi vẽ hết hình mới nên dùng ( tốt nhất nên viết đầy đủ tên góc)

2/ Kỹ năng phân tích đề bài tìm hướng chứng minh:

- HS hiểu được phương pháp học hình khác hoàn toàn phương pháp học đại số và số học vì thường biết kết quả trước, do đó HS cần phải biết cách phân tích đề  bài tìm hướng chứng minh.( phân tích bằng sơ đồ đi lên)

- Cần phải đọc hết đề bài để thấy được kết quả của câu trước phục vụ gì cho câu sau, câu sau loại trừ dấu hiệu chứng minh  nào đó của câu trước.

- Đối với những câu khó phải biết phân tích tìm hướng chứng minh từ nhiều hướng khác nhau: Từ đề bài, từ kết quả câu trước, từ những kiến thức liên quan....

- Tùy theo từng dạng toán cụ thể mà có những hướng phân tích tìm lời giải phù hợp.

3/ Kỹ năng trình bầy lời giải:

  - Sau khi HS phân tích tìm được hướng chứng minh phần trình bầy lời giải là khâu quan trọng quyết định điểm của bài thi, vì vậy GV hướng dẫn HS cách trình bày sao cho logic, chính xác, khoa học, ngắn gọn nhưng đầy đủ. GV có thể trình bầy mẫu cho HS trước, sau đó rèn kỹ năng trình bầy cho HS thông qua việc HS lên bảng, thông qua chấm trả bài, kiểm tra vở ghi của HS....

-         Khi chứng minh hình học phải có những căn cứ để chứng minh, những căn cứ có thể giải thích trước hoặc sau, tuy nhiên nên giải thích sau cho rõ phần chứng minh.

-         Các ký hiệu phải viết chính xác, rõ ràng như dấu góc, dấu cung, tỷ số lượng giác của góc nhọn (sin, cos, tan, cot) ký hiệu về sự bằng nhau, đồng dạng  của tam giác, ký hiệu góc

 

PHẦN THỨ NHẤT: NHỮNG DẠNG TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN

I. Toán chứng minh:

1. Chứng minh các quan hệ hình học:

  a) Quan hệ bằng nhau ( đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau)

  b) Quan hệ vuông góc( 2 đường thẳng vuông góc, tam giác vuông)

  c) Quan hệ song song

  d) Quan hệ thẳng hàng

  e) Quan hệ đồng quy

2. Chứng minh tứ giác nội tiếp

3.Chứng minh hệ thức

4. Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn.

5. Chứng minh các hình đặc biệt( tam giác cân; tam giác đều; tam giác vuông cân; hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình  chữ nhật, hình thoi, hình vuông).

6. Chứng minh tính chất đối xứng (Trục, tâm)

7. Chứng minh tam giác đồng dạng.

8. Chứng minh đường thẳng luôn đi qua1 điẻm cố định

9. Chứng minh đoạn thẳng, góc có độ dài không đổi

10. Chứng minh tích 2 đoạn thẳng có độ dài không đổi

 

II. Toán tính toán:

1. Tính độ dài đoạn thẳng, tính độ dài cung, độ dài đường tròn

2. Tính diện tích

3. Tính góc

 

III. Toán quỹ tích:

1. Quỹ tích là đường thẳng

2. Quỹ tích là đường tròn.

 

IV. Toán bất đẳng thức, cực trị trong hình học

 

PHẦN THỨ HAI: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP  TRÊN

I. Toán chứng minh:

 1) Chứng minh các quan hệ hình học:

   a) Chứng minh quan hệ bằng nhau:

     * Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta có thể:

 - Chứng minh 2 tam giác bằng nhau

 - Chứng minh 2 cạnh của tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều

 - Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 2.

 - Tính chất tia phân giác của 1 góc

 - Cạnh của các tứ giác đặc biệt (Hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)

 - Sử dụng Talet, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác để chứng minh các tỷ số đoạn thẳng bằng nhau

 - Tính chất trọng tâm của tam giác

 - Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

 - Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

 - Đường kính vuông góc với dây của đường tròn

 - 2 dây căng 2 cung bằng nhau của 1 đường tròn

.............................

* Để chứng minh 2 góc bằng nhau ta có thể:

 - Chứng minh 2 tam giác bằng nhau

 - Góc so le trong, đồng vị của 2 đường thẳng song song

 - 2 góc cùng phụ, cùng bù với góc thứ ba

 - Chứng minh 2 góc của tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều

 - Tính chất 3 đường phân giác của tam giác

 - Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

 - Góc của các tứ giác đặc biệt (Hình thang cân, hình bình hành, hình thoi)

 - Tính chất hình thoi, hình vuông

 - Góc nội tiếp, góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1 dây, góc có đỉnh bên trong hay bên ngoài đường tròn.

 - ......

b) Chứng minh quan hệ vuông góc:

      Để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta có thể:

 - Dùng định nghĩa

 - Chứng minh đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì vuông góc với đường còn lại.

 - Hai tia phân giác của 2 góc kề bù

 - Đường trung tuyến( phân giác) trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân.

 - Tam giác có tổng 2 góc bằng 900.

 - Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy.

 - Định lý Pitago đảo

 - Tính chất trực tâm của tam giác

 - Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

 - Hai đường chéo hình vuông, hình thoi

 - Đường kính đi qua điểm chính giữa của 1 dây trong đường tròn

 - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 - Tứ giác nội tiếp

       .......

c) Chứng minh quan hệ song song:

     Để chứng minh 2 đường thẳng song song ta có thể chứng minh:

 - Hai góc so le trong (đồng vị) bằng nhau

 - Hai góc trong cùng phía bù nhau

 - Đường trung bình của tam giác, của hình thang

 - Hai đường thẳng cùng vông góc với đường thẳng thứ ba

 - Hai đường thẳng cùng song song song với đường thẳng thứ ba

 - Tính chất cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

 - Định lý Talet đảo

 .......

d) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

  Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh:

 - Góc tạo bởi 3 điểm bằng 1800

 - 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau

 - Mỗi góc chỉ có 1 tia phân giác

 - Mỗi đoạn thẳng chỉ có 1 đường trung trực

 - Tiên đề Ơclit

 - Qua 1 điểm chỉ có 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho

 - Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox chỉ có một tia OA sao cho góc xOA = m0

 - Sử dụng tính chất trọng tâm, trực tâm, giao 3 đường phân giác trong tam giác

 - ......

e) Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:

    Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể:

    - Dựa vào tính chất các đường trong tam giác

    - Dựa vào tính chất đường chéo hình bình hành, hình thoi

    - Chứng minh giao 2 trong 3 đường thuộc đường thẳng còn lại

2. Chứng minh tứ giác nội tiếp:

- Tổng 2 góc đối bằng 1800

- Từ 2 đỉnh nhìn 2 đỉnh còn lại dưới 2 góc bằng nhau

- 4 đỉnh của một tứ giác cách đều 1 đỉnh

- Góc ngoài của tứ giác bằng góc trong tại đỉnh đối diện

- Chứng minh từ 5 điểm trở lên cùng thuộc một đường tròn .....

3. Chứng minh tiếp tuyến của đuờng tròn: Dựa dấu hiệu nhận biết (Quan hệ vuông góc)

4. Chứng minh hệ thức:

 - Dùng định lý ta let, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác

 - Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

  - Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

5. Chứng minh các hình đặc biệt

  a) Tam giác cân:

   - Tam giác có 2 cạnh bằng nhau

 - Tam giác có 2 góc bằng nhau

 - Tam giác có đường cao đồng thời là trung tuyến hoặc phân giác......

b) Tam giác đều:

 - Tam giác có 3 cạnh bằng nhau

 - Tam giác có 3 góc bằng nhau

 - Tam giác có 2 góc bằng 600

 - Tam giác cân có 1 góc bằng 600

c) Tam giác vuông cân:

 - Tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau

 - Tam giác vuông có 1 góc bằng 450

 - Tam giác có 2 góc bằng 450

d) Hình thang cân:

- Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau

- Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau

- Hình thang có trục đối xứng

e) Hình bình hành: 5 dấu hiệu

f) Hình chữ nhật: 4 dấu hiệu

g) Hình thoi: 4 dấu hiệu

h) Hình vuông: 5 dấu hiệu

6. Chứng minh tính chất đối xứng:

  - Đối xứng trục

   - Đối xứng tâm

7. Chứng minh tam giác đồng dạng: Dựa vào đề bài sử dụng phù hợp các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.

8 Chứng minh đường thẳn( tròn) luôn đi qua 1 điểm cố định: Cho HS xác định được yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi từ đó khéo léo đưa bài toán chứng minh đi qua điểm cố định về bài toán cơ bản như chứng minh tia phân giác của góc, chứng minh 2 đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, chứng minh hình đặc biệt,.......

9. Chứng minh đoạn thẳng, góc có độ dài không đổi: HS cũng cần nhận biết được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, biết dự đoán đoạn thẳng, góc đó không đổi như thế nào  từ đó khéo léo chuyển thành bài toán chứng minh các quan hệ cơ bản.

10.Chứng minh tích 2 đoạn thẳng có độ dài không đổi: Cho HS thấy được thực chất chính là chứng minh các hệ thức trong hình học, nhưng do có những yếu tố thay đổi và những yếu tố cố định nên có thể đoạn thẳng đó có độ dài thay đổi nhưng tích của chúng luôn không đổi.

II. Toán tính toán:

   a) Tính độ dài:

       - Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông

       - Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

       - Đường trung bình của tam giác, của hình thang

       - Tam giác đồng dạng, định lý Talet, tính chất đường phân giác

       - .........

b) Tính diện tích: Dựa vào công thức tính diện tích các hình

c) Tính góc:

    - Góc của những tam giác đặc biệt

    - Dùng tỷ số lượng giác của góc nhọn

III. Toán quỹ tích:

    - Trước hết HS phải hiểu bài toán quỹ tích là gì?Khi có những yếu tố cố định và những yếu tố chuyển động thì có những điểm thay đổi theo, nhưng nó luôn chạy theo 1 quỹ đạo nào đó mà ta phải tìm xem đường chuyển động của nó như thế nào.Đường mà nó chuyển dộng phải là một đường cố định nên HS phải tìm được mối quan hệ của điểm cần tìm quỹ tích với những điểm cố định. Trong chương trình phổ thông mới chủ yếu nghiên cứu 2 loại quỹ tích đó là:

    1. Thẳng: - Trung trực của đoạn thẳng

       - Tia phân giác của góc

       - Đường thẳng song song cách đều

    2. Tròn: - Cách 1 điểm cố định một khoảng không đổi r >0

     - Nhìn 2 điểm cố định dưới một góc không đổi.

 ( Đặc biệt trường hợp nhìn 2 điểm cố định dưới 1 góc vuông)

  - Để làm bài toán quỹ tích HS nên có bước dự đoán quỹ tích bằng cách vẽ chính xác 3 vị trí khác nhau của điểm chuyển động trên giấy nháp (có thể xét các vị trí đặc biệt) để xem quỹ tích của điểm cần tìm thuộc loại thẳng hay tròn, từ đó định hướng chuyển từ bài toán quỹ tích thành bài toán cơ bản.(Có nhiều bài toán quỹ tích rất đơn giản HS có thể nhìn thấy ngay, không cần phải thông qua phần dự đoán mất thời gian)

IV. Toán bất đẳng thức, cực trị trong hình học:

- Sử dụng bất đẳng thức Cosi hoặc bất đẳng thức dạng:

Dấu "=" xảy ra khi a = b

- Sử dụng tính chất đường kính là dây lớn nhất trong đường tròn

- Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác

- Sử dụng quan hệ đường xiên và hình chiếu

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 CỦA NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY CỦA TỈNH HÀ NAM

Bài 1: Đề thi vào 10 năm học 2005 - 2006

   Cho điểm A nằm ngoài (O,R). Từ A kẻ đường thẳng d không đi qua O cắt (O, R)

tại B và C ( B nằm giữa O và A). Các tiếp tuyến với (O,R) tại B và C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO (H thuộc AO), BH cắt cung BC nhỏ tại M. E là giao của OD và BC. Chứng minh:

a)     DHOC là tứ giác nội tiếp

b)    OH.OA = OE.OD

c)     Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O)

Bài 2: Đề thi vào 10 năm học 2006 - 2007

Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng ( B nằm giữa A và C) Đường tròn (O1) đường kính AB và đường tròn (O2) đường kính BC. Hai điểm phân biệt M, N lần lượt thuộc đường tròn (O1) và (O2) sao cho góc MBN = 900. P là giao của AM và CN.

 a) Chứng minh MN = PB

 b) I là trung điểm của MN. Chứng minh khi M, N thay đổi trên 2 đường tròn thì I luôn nằm trên 1 đường tròn cố định             

 c) Chứng minh khi AMNC là tứ giác nội tiếp thì PB là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O1) và (O2)

    *Bài tương tự: Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại B, qua B vẽ đường kính BA của (O1) và đường kính BC của (O2). MN là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (M thuộc (O1), N thuộc (O2)). AM và CN cắt nhau tại P.  

 a) Chứng minh O1M // O2N

 b) Chứng minh MBNP là hình chữ nhật và BP là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O1) và (O2)

 c) Chứng minh AMNC là tứ giác nội tiếp

 d) O là trung điểm của AC, I là giao của MN và BP. Đường thẳng qua O vuông góc với AC  và đường thẳng qua I song song với OP cắt nhau tại H. Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

 

Bài 3: Đề thi vào 10 năm học 2007 - 2008

    Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( < ). Đường thẳng qua A vuông góc  với BC cắt BC tại H và cắt (O) tại D ( khác A). Trong tam giác ABD vẽ đường cao AK. I là trung điểm của AK.

 a) Chứng minh HI // DK

 b) Tia BI cắt đường tròn (O) tại E, chứng minh AEHI là tứ giác nội tiếp

 c) Tia EH cắt (O)  tại M, tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng      BC tại N. Chứng minh tam giác HNO đông dạng tam giác HNE

Bài 4: Đề thi vào 10 năm học 2008 - 2009

   Cho (O) và đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại 2 điểm phân biệt A và B. Qua M nằm trên d và ở ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với (O) ( C,D là các tiếp điểm)

 a) Chứng minh MCOD là tứ giác nội tiếp

 b) Chứng minh tam giác MCA đồng dạng với tam giác MBC

 c) AC.BD = AD.BC

 d) Khi M di chuyển trên d chứng  minh tâm đường  tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Bài 5: Đề thi vào 10 năm học 2009 - 2010

  Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Từ M bất kỳ trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt tại E và F.

  a) Chứng minh  = 900

 b) Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác MAB

 c) K là giao của AF và BE, chứng minh MK vuông góc với AB

 d) Biết MB = MA. AB = a. Tính diện tích tam giác KAB

Bài 6: Đề thi vào 10 năm học 2010 - 2011

   Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có độ dài cạnh AB khác độ dài cạnh AC; các đường cao AM, BN, CP và trực tâm H; kẻ đường kính AD.

a)     Chứng minh: DC CA

b)    Chứng minh: DC = BH và HC = BD

c)     Chứng minh: trọng tâm của AHD cũng là trọng tâm của ABC

d)    Tiếp tuyến tại điểm A với đường tròn (O) cắt các đường cao BN, CP lần lượt tại E và K. Chứng minh BKEC là tứ giác nội tiếp.

Bài 7: Đề thi vào 10 năm học 2011 - 2012

   Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Tia AO cắt (O) tại B và C sao cho B nằm giữa A và O; I là giao của AO và MN

 a) Chứng minh tam giác AMN cân và CM = CN

 b) Chứng minh MA.MB = AB.CM

 c) Chứng minh: và

 d) Đường tròn đường kính MI cắt đường tròn (O) tại K khác M, chứng minh

 

 

MỘT SỐ  BÀI HÌNH TRONG ĐỀ THI VÀO 10 CỦA CÁC TỈNH KHÁC

 

Bài 8: Đề thi vào 10 Tỉnh Thái Bình 2002 - 2003

  Tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy 1 điểm E, nối BE kéo dài cắt AC tại F

 a) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp

 b) Kéo dài DE cắt AC tại K, phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N, phân giác của góc CBF cắt DE,CF tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

 c) Gọi r, r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD, ACD. Chứng minh r2 = r12 + r22

 

Bài 9: Đề thi vào 10 TP Hà Nội 2006 - 2007

Cho(O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao của Ak và MN

 a) Chứngminh rằng BCHK là tứ giác nội tiếp

 b) Tính AH.AK theo R

 c) Xácđịnh vị trí của điểm K để KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Bài 10: Đề thi vào 10 TP Hà Nội Năm học 2011 - 2012:

   Cho (O) đường kính AB = 2R, d1, d2 là 2 tiếp tuyến của (O) tại 2 điểm A và B. I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O)( E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt 2 đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M và N.

a)     Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

b)    Chứng minh góc ENI = góc EBI và góc MIN = 900 

c)     Chứng minh AM.BN = AI.BI.

d)    Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa E của (O). Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R khi 3 điểm E, I, F thẳng hàng.

Bài 11.

    Cho (O) trên đó lấy A cốđịnh. Kẻ Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy M trên Ax, kể tiếp tuyến MB với đường tròn( B là tiếp điểm). I là trung điểm của MA và K là giao diểm thứ 2 của BI với (O). Tia MK cắt (O) tại C

a)     Chứng minh IA2 = IK.IB

b)    Chứng minh tam giác MIK và tam giác BIM đồng dạng

c)     Chứng minh BC // MA

d)    H là trực tâm của tam giác MAB. Khi M di động trên Ax thì H chạy trên đường nào?

Bài 12.

  Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). H là trực tâm tam giác, I là trung điểm BC. D là điểm đối xứng của H qua I

a)     Chứng minh rằng D thuộc (O) và  góc BAH = góc OAC

b)    Đường vuông góc với HD tại H cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N, Chứng minh tam giác DMN cân

c) K là trung điểm của AH, chứng minh đường thẳng IK vuông góc với tiếp tuyến của (O) tại A

c)     Cho BC = AH. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây BC và cung BC của (O) có chứa D 

Bài 13 

  Cho nửa (O) đường kính AB = 2R và điểm P cố định thuộc OA, M là điểm di động trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc với PM tại M cắt các tia  tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) lầ lượt tại C và D.

a)     Chứng minh tam giác CPD đồng dạng với tam giác AMB.

b)    Chứng minh tích AC.BD không đổi

c)     AM cắt PC tại E; BM cắt PD tại F. Chứng minh EF // AB

d)    Xác định vị trí của M trên đường tròn để tứ giác ACBD có diện tích nhỏ nhất

 

Bài 14. Đề thi vào 10 TP Hà Nội  2009 - 2010

   Cho (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm)

a)     Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

b)    Gọi E là giao của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2

c)     Trên cung nhỏ BC của (O) lấy K bất kỳ( K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O) cắt AB, AC thứ tự tại P và Q, Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

d)    Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC         theo thứ tự tại M và N. Chứng minh PM + QN   MN

Bài 15   

  Cho (O, R) và dây AB < 2R, Trên tia AB lấy C sao cho AB < AC. Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CP, CK với (O) ( P,K là các tiếp điểm). I là trung điểm của AB

a)     Chứng minh 5 điểm C, K, O, I, P cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh tam giác CPB đồng dạng với tam giác CPA và  =

c)     H là trực tâm của tam giác CKP. Tính PH theo R

d)    Giả sử PA // CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của   góc CBP

Bài 16

   Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn và AM à trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ 2 của CE với (O).

a)     Chứng minh 4 điểm A,O,E,C cùng thuộc 1đường tròn

b)    Chứng minh góc OAC = góc BIC

c)     Chứng minh BI //MN

d)    Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất

 

Bài 17:

  Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại I. AI, BI, CI lần lượt cắt (O) tại M, N, P.

 a) Chứng minh tam giác NIC cân

b) Chứng minh I là trực tâm của tam giác MNP.

c) E là giao của MN và AC, F là giao của PM và AB, chứng minh E, I, F thẳng hàng.

         d) K là trung điểm của BC, giả sử BI vuông góc với IK và BI = 2IK. Tính góc BAC.

Bài 18.

  Cho (O) đường kính AB cố định và đường kính EF bất kỳ (E khác A và B). Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt các tia AE, AF lần lượt tại H và K. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M.

 a) Chứng minh AEBF là hình chữ nhật

 b) Chứng minh EFHK là tứ giác nội tiếp

 c) Chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác AHK.

 d) P, Q lần lượt là trung điểm của BH và BK. Xác định vị trí của đường kính EF  để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất.

Bài 19

Cho (O) đường kính BC và A thuộc cung BC sao cho AB > AC. Về phía C dựng hình vuông BADE.

 a) Chứng minh AE luôn đi qua điểm F cố định

 b) Chứng minh tam giác FCD cân

 c) Tiếp tuyến của (O) tại B cắt CF tại I. Chứng minh D, E, I thẳng hàng

 d) Khi A chạy trên cung BC thì E chạy trên đường nào?

Bài 20

  Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D.

 a) Chứng minh AD.AC = AE. AB

 b) H là giao của BD và CE, K là giao của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC

 c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với (O) ( M, N là các tiếp điểm). Chứng minh góc ANM = góc AKN

 d) Chứng minh M, H, N thẳng hàng

Bài 21.

   Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) và (O') lần lựot tại C và D. P, Q lần lượt là hình chiếu của O và O' trên CD.

 a) Chứng minh góc CBD không đổi

 b) E là giao của OC và O'D. Chứng minh 4 điểm O, E, B, O' cùng thuộc 1 đường tròn

 c) Xác định vị trí của CD để PQ  có độ dài lớn nhất

 d) Khi CD quay quanh A thì trung điểm I của PQ chuyển động trên đường nào?

Bài 22.

  Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD, I là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành.

a)     Chứng minnh D thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC

b)    So sánh góc BAH và góc OAC

c)     G là giao của AI và OH, chứng minh G là trọng tâm của các tam giác AHD và ABC.

d)    Giả sử OH // BC. Chứng minh tan .tan = 3

Bài 23.

  Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc nửa đường tròn đó, lấy C thuộc đoạn AB(AC < BC). Trên nửa mặtphẳng bờ AB chứa M kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q. D là giao của CP và AM, E là giao của CQ và BM. Chứng minh rằng:

a)     Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp

b)    AB // DE

c)     Ba điểm P, M, Q thẳng hàng

d)    Đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP và EMQ tiếp xúc nhau.

Bài 24.

  Cho (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là một đường kính thay đổi (không trùng với AB). M, N lần lượt là giao của AC và AD với xy.

a)     Chứng minh MCDN là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh AC.AM = AD.AN và BM.BN không đổi khi CD thay đổi.

c)     Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Chứng minh rằng khi CD quay quanh O thì I chạy trên 1 đường thẳng cố định

Bài 25.

  Cho (O, R), đường kính AB và M là điểm bất kỳ trên đường tròn. H, I lần lượt là điểm chính giữa của các cung AM và BM. AM và HI cắt nhau tại K.

a)     Chứng minh góc HKM không đổi.

b)    Kẻ IP vuông góc với AM (P thuộc AM), chứng minh IP là tiếp tuyến của (O)

c)     Gọi Q là trung điểm của MB, vẽ hình bình hành APQS, chứng minh S thuộc (O)

d)    Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn thì HI luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định