Chuyên đề: Gải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.

PHÖÔNG PHAÙP:

Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O)

Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan

   (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát)

Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo :

• YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä).
• Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö  baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä
• Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.
• Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.

Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn

Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp:

• Ñoä daøi ñoïan thaúng
• Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng
• Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng
• Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng
• Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
• Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
• Goùc giöõa hai maët phaúng
• Theå tích khoái ña dieän
• Dieän tích thieát dieän
• Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc
• Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích

Boå sung kieán thöùc :

1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu

2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S

    Ta luoân coù:

Ta thường gặp các dạng sau

1. Hình chóp tam giác

a. Dạng tam diện vuông

Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c  đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Ví dụ:

Giaûi

Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

b. Dạng khác

Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.

Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Hướng dẫn giải

Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.

Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Hướng dẫn giải

,

.

2. Hình chóp tứ giác

a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.

b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0),

3. Hình lăng trụ đứng

Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.

Ví dụ: Cho h×nh lËp phư­¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD)

Lêi gi¶i: Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz

 sao cho O  A; B  Ox; D  Oy

 vµ A'  Oz Gi¶ sö h×nh lËp ph­¬ng

  ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ

   A(0;0;0),   B (a;0;0),   D(0;a;0),    A' (0;0;a)   C'(1;1;1) Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña mÆt ph¼ng (A'BD):

  x + y + z = a hay x + y + z –a = 0

   Ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1)

  VËy AC' vu«ng gãc (A'BC)

2. Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau;         AB = 3; AC = AD= 4

TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD)

Lêi gi¶i:

+ Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A  O

D Ox; C  Oy vµ B  Oz

 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

 Ph­ư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ:

  3x + 3y + 4z – 12 = 0

Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ:

Nhấn mạnh cho học sinh:

II. Ph­¬ng ph¸p gi¶i:

 §Ó gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông täa ®é §Ò c¸c trong kh«ng gian ta lµm nh­ sau:

* B­íc 1: ThiÕt lËp hÖ täa ®é thÝch hîp, tõ ®ã suy ra täa ®é c¸c ®iÓm cÇn thiÕt.

* B­íc 2: ChuyÓn h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch:

+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh.

+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®iÒu kiÖn ®Ó suy ra kÕt qu¶ cÇn

chøng minh.

+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t­îng cÇn t×m cùc trÞ.

+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t­îng cÇn t×m quü tÝch

 v.v…

III. LuyÖn tËp.

Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Òu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cña ABC. I lµ trung ®iÓm cña SO.

1. MÆt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lÖ thÓ tÝch cña tø diÖn SBCM vµ tø diÖn SABC.

2. H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cña SAC.

Lêi gi¶i:

Chän hÖ trôc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é

 AOx, S Oz, BC//Oy

Täa ®é c¸c ®iÓm:;;;;

Ta có: ;;

 Ph­ư¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (IBC) lµ:

Hay: mà ta lại có:

Phư­¬ng tr×nh ®ư­êng th¼ng SA: .

+ Täa ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ: Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

;

 M n»m trªn ®o¹n SA vµ .

2. Do G lµ träng t©m cña  ASC

 SG ®i qua trung ®iÓm N cña AC

 GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång ph¼ng     (1)

Ta l¹i cã täa ®é G

Tõ (1) vµ (2)

Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trô ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iÓm cña BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña diÖn tÝch MC1D.

Lêi gi¶i:

+ Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho A  O; B  Oy; A1  Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)

vµ D(0;a;a)

Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t  [0;2a]

Ta cã :

Ta có:

Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè

XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2

f(t) = 4t2 – 12at + 15a2      (t [0;2a])

f'(t) = 8t – 12a

Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cñakhi t =0   hay M A

Chú ý

+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy.

+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC

Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).

Bài 2. Cho vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.

1. Chứng minh H là trung điểm của SD.

2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).

3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.

Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).

1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.

2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.

Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).

1. Chứng minh H là trực tâm của .

2. Chứng minh

3. Chứng minh

4. Chứng minh

Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.

1. Tính góc giữa (OMN) và (OAB).

2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm .

3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, .

1. Tính độ dài SA.

2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].

Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một.

1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.

2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.

1. Tính diện tích theo a.

2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.

3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].

Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.

1. Chứng minh HK vuông góc với CS.

2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.

3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).

4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.

1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.

2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.

3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C].

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và .

1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với SC.

1. Tìm điều kiện của h theo a để cắt cạnh SC tại K.

2. Tính diện tích .

3. Tính h theo a để chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.

2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.

1. Tính diện tích SBE.

2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).

3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và .

1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.

3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cm. Mp đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.

2. Chứng minh BD song song với .

3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của .

4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.

1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).

2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).

4. Tìm điều kiện của a và b để . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM.

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.

1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).

2. Mặt phẳng qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ cắt các cạnh SB, SD.

3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại .

1. Chứng minh đều.

2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m .

1. Tìm vị trí điểm M để diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.

2. Cho , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B].

3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.

1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.

2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.

3. Tính diện tích tứ giác IKNM.

Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D].

Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 

1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).

2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).

3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k

    a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).

    b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB.

Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).

2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.

3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp .

4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’.

1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.

2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.

3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.

Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’.

1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.

2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông.

Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng qua B và vuông góc với B’C.

1. Tìm điều kiện của a, b, c để cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’).

2. Cho cắt CC’ tại I.

    a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.

    b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.

Bài tập :

MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA

Baøi 1: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA= vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy

         1) Tính khoûang caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC).

         2) Tính khoûang caùch töø taâm O hình vuoâng ABCD ñeán maët phaúng (SBC).

         3) Tính khoaûng caùch töø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB ñeán maët phaúng (SAC).

Baøi 2:  Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O caïnh baèng a, SO vuoâng goùc vôùi

            ñaùy.Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm SA vaø BC. Bieát raèng goùc giöõa MN vaø (ABCD) baèng 600

        1) Tính MN vaø SO.

         2) Tính goùc giöõa MN vaø maët phaúng (SBD) .

Baøi 3:  Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng 

            SH(ABCD) vôùi SH=a

        1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD).

         2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC).

Baøi 4:  Cho goùc tam dieän Oxyz, treân Ox, Oy, Oz laáy caùc ñieåm A,B,C

     1) Haõy tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c

     2) Giaû söû A coá ñònh coøn B, C thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn OA=OB+OC . Haõy xaùc ñònh vò

                    trí  cuûa B vaø C sao cho theå tích töù dieän OABC laø lôùn nhaát.                 

Baøi 5:  Cho töù dieän OABC (vuoâng taïi O), bieát raèng OA,OB,OC laàn löôït hôïp vôùi maët phaúng (ABC) caùc

            goùc . Chöùng minh raèng:

          1)

          2)

Baøi 6:  Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, sa vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi

            M,N laø hai ñieåm theo thöù töï thuoäc BC,DC sao cho . CMR hai maët phaúng

            (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau.

Baøi 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng

           goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho , CMR hai maët phaúng (SAB) vaø

           (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.

Baøi 8: Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A,B,C theo thöù töï thuoäc caùc tia Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau

           töøng ñoâi moät sao cho OA=a , OB=. OC=c (a,c>0). Goïi D laø ñieåm ñoái dieän vôùi O cuûa hình

           chöõ nhaät AOBD vaø M laø trung ñieåm cuûa ñoïan BC. (P) laø maët phaúng qua A,M vaø caét maët phaúng

           (OCD) theo moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AM.

       a) Goïi E laø giao ñieåm cuûa (P) vôùi OC , tính ñoä daøi ñoïan OE.

       b) Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñöôïc taïo thaønh khi caét khoái choùp C.AOBD bôûi

                       maët phaúng (P).

       c) Tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (P).

Baøi 9:  Cho töù dieän SABC coù SC=CA=AB=, , ABC vuoâng taïi A, caùc ñieåm M

            thuoäc SA vaø N thuoäc BC sao cho AM=CN=t (0