Chuyªn ®Ò Hµm sè

Ch­¬ngI: øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t hµm sè

& vÏ ®å thÞ cña hµm sè

-------------------------------@@@@-------------------------------

 

Chñ ®Ò i :  tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè     

D¹ng 1:  T×m c¸c kho¶ng ®¬n ®iÖu cña hµm sè

                          Ph­¬ng ph¸p:

  • B­íc 1: T×m TX§, tÝnh ®¹o hµm
  • B­íc 2: T×m c¸c ®iÓm mµ ë ®ã ®¹o hµm b»ng 0 hoÆc kh«ng x¸c ®Þnh
  • B­íc 3: S¾p xÕp c¸c ®iÓm ®ã theo thø tù t¨ng dÇn vµ lËp b¶ng biÕn thiªn.
  • B­íc 4: Nªu kÕt luËn vÒ c¸c kho¶ng ®ång biÕn, nghÞch biÕn.

VÝ dô 1: T×m c¸c kho¶ng ®¬n ®iÖu cña c¸c hµm sè sau:

a)    ;    b)

c)           ;    d)

e)

Gîi ý:

a)    

BBT:

              x                        0                    2                  

 

                                 +       0        -          0          +

                                               5                                            

 

             y

                                                              1

 

KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (; 0), (2; ) vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2)

b)

D = IR

BBT:      x                   -1            0                1                

 

                             +        0        -   0       +       0       -

                                        -2                                 -2                  

 

             y

                                                    -3            

 

KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (; -1), ,(0; 1) vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-1; 0), (2; ).

c)

TX§ : D = IR\ .

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

> 0

BBT:

 

              x                      -1            

 

                               +               +         

                                                                                          

                                                                 

             y

                                                             

 

KÕt luËn : Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng  (; -1), (-1; ).

d)

TX§ : D = IR\ .

BBT:

              x                   -1            1               3                

 

                             +       0        -          -        0       -

                                                                                             +

             y

                                                                

 

 

KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (; 1), (3; ) vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-1; 1),(1; 3 ).

 

e)

TX§ : D =(- ; -2] [2 ; +)

. Ta cã :  

BBT: 

 

 

              x                       -2                      2                       

 

                             -                                             +

                                                                                         +

             y

                                                                

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

                                              0                      0

D¹ng 2: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖu trong mét kho¶ng

Ph­¬ng ph¸p:

  • §Þnh lÝ ViÐt: NÕu PT bËc hai ax2 + bx +c = 0 (a )   ()

                          cã hai nghiÖm x1, x2 th×:

  • HÖ qu¶:

1)     PT (*) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu x1< 0 < x2 .

2)     PT (*) cã hai ngiÖm cïng dÊu

3)     PT (*) cã hai nghiÖm cïng ©m

4)     PT (*) cã hai nghiÖm cïng d­¬ng

  • NhËn xÐt: §Æt : f(x) = ax2 + bx + c (a )

1)     f(x) = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 < < x2 tøc lµ .

§Æt: ,. DÉn ®Õn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

2)     f(x) = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n tøc lµ cã hai nghiÖm cïng ©m 

3)     cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n tøc lµ

        cã hai nghiÖm cïng d­¬ng

VÝ dô 1: T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng

Gîi ý: TX§ :

Ta cã: . §Æt : . Hµm sè (1) ®ång biÕn trªn ,(*) cã hai nghiÖm tho¶ m·n

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

. §Æt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1). ¸p dông nhËn xÐt 2 §K (2) t­¬ng ®­¬ng víi

  g(t) = t2 – m cã hai nghiÖm kh«ng d­¬ng.

Tøc lµ:  

. VËy víi th× hµm sè (1) ®ång biÕn trªn .

VÝ dô 2: T×m m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn (-1 ; 0)

Gîi ý: TX§: D = R

Ta cã: . Hµm sè (2) nghÞch biÕn trªn (-1 ; 0)

+ Khi m = 2, ta cã tøc lµ  

+ Khi nªn ta cã cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tho¶ m·n

  • XÐt TH (a): §Æt : t = x + 1; g(t) = f(t - 1) theo nhËn xÐt (1) ta cã: cã hai nghiÖm x1,x2 tho¶ m·n cã hai nghiÖm t1,t2 tho¶ m·n
  • XÐt TH (b): t­¬ng tù dÉn ®Õn

KÕt hîp c¸c TH, ta cã th× hµm sè (3) nghÞch biÕn trªn (-1; 0).

VÝ dô 3: T×m m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn

Gîi ý: TX§ : D = R. Ta cã: Hµm sè (4) nghÞch biÕn trªn .

+ Khi m = 0, ta cã : tøc lµ kh«ng tho¶ m·n .

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

+ Khi , ta cã (*) cã hai nghiÖm tho¶ m·n .

  • XÐt TH (a) : dÉn ®Õn .
  • XÐt TH (b). §Æt : t = x + 2, g(t) = f(t - 2), theo nhËn xÐt 3 cã cã hai nghiÖm

  

KÕt hîp c¸c TH ta cã th× hµm sè (4) nghÞch biÕn trªn .

Bµi TËp:

1)     T×m a ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (0 ; 3)

2)     T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng .

3)     T×m m ®Ó hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng

4) T×m c¸c gi¸trÞ cña m sao cho hµm sè : f(x) = x3 – 3x2 + 3mx -1

a)      §ång biÕn trªn TX§ cña nã.

b)     §ång biÕn trªn kho¶ng (2; +)

c)      NghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 3)

Gîi ý :

 

Ta cã :  . §©y lµ mét tam thøc bËc hai. Do ®ã:

a)      f(x) ®ång biÕn trªn TX§ R cña nã khi vµ chØ khi :

                 

b)     f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (2; +) khi vµ chØ khi :

   .

Ta ®i ®Õn bµi to¸n: T×m m sao cho tam thøc bËc hai g(x) = x2 – 2x + m lu«n kh«ng ©m víi mäi x > 2.

XÐt 2 tr­êng hîp:

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

+ Lóc nµy víi mäi x thuéc R, do ®ã víi    .

  + > 0. Lóc nµy g(x) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1­, x2 (x1­ < x2). Bëi vËy:

  vµ ®iÒu kiÖn t­¬ng ®­¬ng lµ:

                                    

XÐt chung 2 tr­êng hîp, ®k m ph¶i tho¶ m·n lµ:

                                                                                                       

a)      f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0 ; 3) khi vµ chØ khi

          .

T­¬ng tù c©u b) ta cã ®k t­¬ng ®­¬ng lµ : g(x) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 sao cho , tøc lµ:

                    

D¹ng 2: Dïng tÝnh ®¬n ®iÖu ®Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc

Ph­¬ng ph¸p:

  • Chä hµm sè f(x) thÝch hîp (th«ng th­êng ®Æt b»ng hiÖu hai vÕ).
  • XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña f(x) ®Ó suy ra B§T ph¶i chøng minh.

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:

a)

b) sinx + tanx > 2x , 

Gîi ý:

a)  (1)

§Æt f(x) = x – sinx víi x > 0  (v× )

Suy ra hµm sè ®ång biÕn  khi x > 0

Do ®ã : 

Suy ra : x – sinx > 0  (2), ®­îc chøng minh.

§Æt : g(x)= . Ta cã :

                              

do (2)

Suy ra hµm sè®ång biÕn khi x > 0.

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

Suy ra     

Suy ra g(x) ®ång biÕn khi x > 0

Suy ra g(x) > g(0) = 0

Suy ra :  (®pcm)

b) sinx + tanx > 2x , 

* §Æt : f(x) =  sinx + tanx - 2x ,  .

Ta cã :

nªn 0 <  cosx <1 . Suy ra :

0 < x < víi ®ång biÕn víi

Suy ra : f(x) > f(0) = 0

Do ®ã : sinx + tanx – 2x > 0 víi .Ta cã ®pcm.

Bµi tËp1:CMR víi x > 0 ta cã:

(§HKT HN -98)

Gîi ý: B§T ph¶i chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi .

XÐt hs: , cã

Hµm sè ®ång biÕn trªn R. Do ®ã víi x > 0, ta cã:  

  • L­u ý: Víi x d­¬ng vµ , ta cã B§T tæng qu¸t sau:

               ex >

Bµi tËp 2: Chøng minh c¸c B§T sau:

a) ;

b)

Bµi tËp ¸p dông:

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

Bµi 1: Kh¶o s¸t tÝnh ®¬n ®iÖu cña c¸c hµm sè sau:

a)   ;                       b)      ;        c) ;                    

d)        ;                        e)  y = cosx – x      ;        f) 

§S:

a) hµm sè t¨ng trong c¸c kho¶ng x¸c ®Þnh.

e) hµm sè lu«n nghÞch biÕn.

f)

  +

   

   

+ BBT :

              x                       -1                      3                       

 

                             -                                              +

                       1                                                                  +

             y

                                                                

                                              -1                      3

 

Bµi 2: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho hµm sè : y = x3 – 2x2 + mx -1

a)      §ång biÕn trªn R

b)     §ång biÕn trong kho¶ng (0 ; 1/3).

Gîi ý:

a)      D = R.

 

Hµm sè ®ång biÕn trªn R

b)     Víi th× hµm sè ®ång biÕn trªn R nªn ®ång biÕn trong (0; 1/3)

Víi . §Ó hµm sè ®ång biÕn trong (0; 1/3) ®iÒu kiÖn lµ:

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

v« nghiÖm.

VËy víi th× hµm sè lu«n ®ång biÕn trong (0 ; 1/3)

Bµi 3: Cho hµm sè : y = x3 – 3(a - 1)x2 + 3a(a - 2)x +1 trong ®ã a lµ tham sè. Víi c¸c gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè ®ång biÕn trªn tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho :

                                                                                          (§H LuËt – D­îc HN-2001)

Gîi ý:

+

Ta xÐt 4 tr­¬ng hîp:

  • TH1: : v« nghiÖm
  • TH2:
  • TH3:
  • TH4:

KÕt luËn :

Bµi 4: T×m a ®Ó  hµm sè : y = x3 + 3x2 + ax +a nghÞch biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 1

                                                                                          (Khèi D - §HQGHN-2000)

Gîi ý:

+ D = R.

+ (1)

Hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n dé dµi b»ng 1 khi vµ chØ khi pt (1) cã 2 nghiÖm ©m x1, x2 tho¶ m·n : {x1 – x2} = 1

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

       

§S :

Bµi 5 : Cho hµm sè :

     Trong ®ã m – tham sè . X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m sao cho hµm sè lu«n 

     nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã.

                                                                                                      (HVTCKT HN - 2001)

     Gîi ý:

     Ta cã:

     §Ó hµm sè lu«n lu«n nghÞch biÕn trong c¸c kho¶ng x¸c ®Þnh ta ph¶i cã:

     F(x) =

     + Víi m = -1: suy ra kh«ng tho¶ m·n (lo¹i)

     + Víi : ®Ó v« nghiÖm

     KL : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m tho¶ m·n.

     Bµi 6: Cho hµm sè :

Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè nghÞch biÕn trªn (-1/2 ; )

(Kh«Ý B - §HNNI-2001)

Bµi 7: Cho hµm sè : , trong ®ã m lµ tham sè.

T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m sao cho hµm sè ®ång biÕn trªn [1 ; +)

(§H Má - §C 2001)

Gîi ý:

Ta cã :

§Ó hµm sè ®ång biÕn trªn [1 ; +) §K lµ:

                             

XÐt (2): Cã 2 TH

  + . KÕt hîp (1) ta ®­îc :

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸


Chuyªn ®Ò Hµm sè

  + (tho¶ (1))

D¹ng 3: Sö dông tÝnh ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh

VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (1)

(HVNH_§HQG Khèi D -2001)

Gîi ý:

§K :

NhËn xÐt r»ng sè nghiÖm cña PT (1) lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = vµ ®­êng th¼ng y = 1

+ XÐt hµm sè : y =

    D = [

   . Do ®ã hµm sè lu«n lu«n ®ång biÕn víi .

Nªn PT nÕu cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt.

NhËn thÊy tho¶ m·n PT.

VËy PT cã nghiÖm duy nhÊt.

VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

                        

Gîi ý:

§Æt :

Suy ra: v – u = x2- 3x +2

Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi :

XÐt hµm sè:  , cã : nªn hµm sè ®ång biÕn khi t > 0.

Tõ (1) cã f(u) = f (v), suy ra u = v hay v – u = 0, tøc lµ x2 – 3x + 2 = 0.

PT  cã nghiÖm x = 1, x = 2.

  • L­u ý:
    • Víi PT d¹ng , ta th­êng biÕn ®æi:

Lª DiÔm H­¬ng – To¸n Tin – Tr­êng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸

nguon VI OLET