- Trang Chủ
- Toán học 10
- Chuyên đề khảo sát hàm số
Chuyên đề khảo sát hàm số
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý CHUYEÂN ÑEÀ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ x 1 x 1 C©u 1 Cho haøm soá y (1) ,coù ñoà thò laø (C) 1 2 3 . Khaûo saùt haøm soá (1). . Vieát phöông trình tieáp tuye án cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1). . M(x , y )la ømoät ñieåm baát kyø thuoäc (C) .Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét tieäm 0 0 caän ñöùng vaø ñöôøng tieäm caän ngang cuûa(C) theo thöù töï taïi A vaø B .Goïi I laø giao ñi
Thể loại Giáo án bài giảng Toán học 10
Số trang 90
Ngày tạo 3/16/2011 10:24:29 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 2.56 M
Tên tệp b k cac cau hoi phu trong cac bai toan khao sat ham so hay 5231 pdf
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
CHUYEÂN ÑEÀ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
x 1
x 1
C©u 1
Cho haøm soá y
(1) ,coù ñoà thò laø (C)
1
2
3
. Khaûo saùt haøm soá (1).
. Vieát phöông trình tieáp tuye án cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1).
. M(x , y )la ømoät ñieåm baát kyø thuoäc (C) .Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét tieäm
0
0
caän ñöùng vaø ñöôøng tieäm caän ngang cuûa(C) theo thöù töï taïi A vaø B .Goïi I laø giao ñieåm cuûa
hai ñöôøng tieäm caän cuûa (C) .Chöùng minh raèng die än tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc
vaøo vò trí cuûa ñieåm M.
x 2
C©u 2: (2 ñieåm)
Cho haøm soá: y x 1
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
2
) Cho ñieåm A(0;a). Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp tuye án ñeán (C) sao cho hai
tieáp ñieåm töông öùng naèm veà hai phía ñoái vôùi truïc Ox.
C©u 3: (2 ñieåm)
2
2
x x 1
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò(C) cuûa haøm soá y
x 1
2
) Goïi M (C) coù hoaønh ñoä x m . Chöùng toû raèng tích caùc khoaûng caùch töø M
M
ñeán hai ñöôøng tieäm caän cuûa(C) khoâng phuï thuoäc vaøo m
2
2
x mx 2
C©u 4: (2 ñieåm)
Cho haøm soá: y
vôùi m laø tham soá.
x 1
1
) Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc taïo bôûi 2 truïc toaï ñoä vaø ñöôøng tieäm caän xieân cuûa haøm soá
treân coù dieän tích baèng 4.
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá treân khi m= -3.
2
4
2
2
C©u 5: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y x (m 10)x 9
1
.Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá öùng vôùi m=0
2.Chö ùn g minh raèng vôùi moïi m 0,ñoà thò cuûa haøm soá luoân caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân
bieät .Chöùng minh raèng trong soá caùc giao ñie åm ñoù coù hai ñieåm naèm trong khoaûng (-3,3)
vaø coù hai ñieåm naèm ngoaøi khoaûng (-3,3)
3
2
C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y f (x) x (m 3)x 3x 4 (m laø tham soá)
.Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu.Khi ñoù vieát phöông
trình ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò naøy
.Tìm m ñeå f (x) 3x vôùi moïi x 1
1
2
2
x 6x 9
C©u i 7: (2 ñieåm)
Cho haøm soá y
x 2
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá.
b) Tìm taát caû caùc ñieåm M treân truïc tung sao cho töø M keû ñöôïc
tieáp tuyeán vôùi ñoà thò,song song vôùi ñöôøng thaúng y 3
x
4
2
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
C©u 8: (2 ñieåm)
Cho haøm soá y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 (1)
a) Khaûo saùt haøm soá (1) khi m=1
b) Chöùng minh raèng,m haøm soá(1) luoân ñaït cöïc trò taïi x , x vôùi x x khoâng phuï thuoäc
1
2
1
2
m
C©u 9: (2 ñieåm)
2
a) Khaûo saùt haøm soá: y x 5x 4
2
2
b) Cho 2 parabol: y x 5x 6 vaø y x 5x 11
Vieát phöông trình tie áp tuyeán chung cuûa 2 parabol treân
Bµi 10: (2 ñieåm)
3
2
a. Khaûo saùt,veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá y x 3x
b. Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng ba tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò (C) ,trong ñoù coù hai tieáp tuye án vuoâng goùc nhau.
4
3
2
C©u 11: (2 ñieåm) Cho haøm soá y 3x 4(1 m)x 6mx 1 m coù ñoà thò(C ).
m
1
2
. Khaûo saùt haøm soá treân khi m= -1
. Tìm giaù trò aâm cuûa tham soá m ñeå ñoà thò vaø ñöôøng thaúng() : y 1 coù ba giao
ñieåm phaân bieät.
C©u 12: (2 ñieåm)
3
2
Cho haøm soá: y x 3x (m 2)x 2m (C )
m
1
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò(C ) cuûa haøm soá khi m=1
1
3 2
Cho haøm soá y x mx 7x 3 (1)
C©u 13: (2 ñieåm)
1
2
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) vôùi m= 5
. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua
ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoù.
4
2
C©u 14: (2 ñieåm)
Cho haøm soá y x 2x
1
1
a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá
b. Döïa vaøo ñoà thò (C) ,haõy bieän luaän theo tham soá m soá nghieäm cuûa phöông trình :
4
2
x 2x m 0
C©u 15: (2 ñieåm)
2
x 4x 8
a. Khaûo saùt haøm soá (C) coù phöông trình: y
x 2
2
x 4x 8
b. Töø ñoà thò haøm soá (C) suy ra ñoà thò cuûa ha øm soá : y
x 2
2
2
x 4x m 8
c. xeùt ñoà thò hoï (C ) cho bôûi phöông trình y
. Xaùc ñònh taäp
m
x 2
hôïp nhöõng ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo trong hoï (C ) ñi qua.
m
C©u 16:
2
y = -(x + 1) (x+4).
2
1. khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò(C) haøm soá:
2. Duøng ñoà thò (C) ñeå bie än luaän theo soá nghieäm cuûa phöông trình : (x + 1) (x+4) =
2
(m+1) (m+4)
3
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
C©u 17: ( 3 ñieåm) Cho haømsoá y (x 1)(x mx m) (1), vôùi m laø tham soá thöïc
1.Khaûo saùt haøm soá (1) öùng vôùi m= -2
2.Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh .Xaùc ñònh toïa
ñoä cuûa tieáp ñieåm töông öùng trong moãi tröôøng hôïp cuûa m.
x 1
C©u 18: ( 3 ñieåm) Cho haøm soá y
(1) ,coù ñoà thò laø (C)
x 1
1
2
3
. Khaûo saùt haøm soá (1).
. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1).
. M(x , y )la ømoät ñieåm baát kyø thuoäc (C) .Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét tieäm caän ñöùng vaø
0
0
ñöôøng tieäm caän ngang cuûa(C) theo thöù töï taïi A vaø B .Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng
tieäm caän cuûa (C) .Chöùng minh raèng die än tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí
cuûa ñieåm M.
m
3
C©u 19: ( 2 ñieåm) Cho haøn soá y= f(x) = 3 x 2(m 1)x ( m laø tham soá )
a. Khaûo saùt haøm soá khi m= 1
b. Tìm taát caû giaù trò m sao cho haøm soá coù cöïc ñaïi ,cöïc tieåu vaø tung ñoä ñieåm cöïc ñaïi yCD ,
2
2
3
y
(y y ) (4m4)
tung ñoä ñieåm cöïc tieåu
thoûa: CD
CT
CT
9
C©u 20: ( 2 ñieåm)
1
1
. Khaûo saùt haøm soá y x
.Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá.
x 1
2
. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) keû töø ñieåm A=(0;3)
3 2
CAÂU 21: ( 4 ñie åm ) Cho haøm soá y f (x) x 2x x 2
a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò(C) cu ûa haøm soá treân.
b. Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng (D ) : y=kx+2
1
c. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò (C) ,truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng(D ) : y =
2
-
x +1
2
x 3x 2
CAÂU 22:( 2 ñieåm)
Cho haøm soá y
x
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò(C) cuûa haøm soá.
. Tìm treân ñöôøng thaúng x=1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc hai tieáp tuyeán ñeán
(
C) vaø hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
2
x 3x 2
CAÂU 23:( 2 ñieåm)
Cho haøm soá y
x
1
2
.Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò( C) cuûa haøm soá.
.Tìm treân ñöôøng thaúng x=1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc hai tieáp tuyeán ñeán
(
C) vaø hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
CA� ꢀ 24:ꢁ3 ñieåm)
Cho haøm soá y x 2x 2 m (coù ñoà thò laø (C )), m laø tham soá
4
2
m
1
2
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá khi m= 0
. Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho ñoà thò (C ) chæ coù hai ñieåm chung vôùi truïc Ox
m
4
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
. Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m tam giaùc coù 3 ñænh laø ba ñieåm cöïc trò cuûa
ñoà thò (C ) laø moät tam giaùc vuoâng caân
m
CA� ꢀ 25
4 2
. Khaûo saùt haøm soá : y x 5x 4
1
2
4
2
. Haõy tìm taát caû caùc giaù trò a sao cho ñoà thò haøm soá y x 5x 4tieáp xuùc vôùi ñoà
2
thò haøm soá y x a Khi ñoù haõy tìm toïa ñoä cuûa taát caû caùc tieáp ñieåm
3
2
2
CAÂU 26:
Cho haøm soá y x (2m1)x (m 3m2)x 4
1
2
.Khaûo saùt haøm soá khi m=1
. Trong tröô øn g hôïp toång quaùt ,haõy xaùc ñònh taát caû caùc tham soá m ñeå ñoà thò cuûa haøm
soá ñaõ cho coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung
CAÂU 27:
2
x 3x 6
1
. Khaûo saùt haøm soá: y
(1).
x 1
. Töø ñoà thò cuûa haøm soá (1) , haõy neâu caùch veõ vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá: y
2
x 3x6
2
3.Töø
x1
goùc toaï ñoä coù theå veõ ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán cuûa haøm soá (1) ? Tìm toaï ñoä caùc tieáp
ñieåm (neáu coù).
1
3
CAÂU 28:
Cho haøm soá : y x x m (1) , m laø tham soá
3
2
3
1
. Khaûo saùt haøm soá (1) khi m
2. Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân
bieät.
2
x x
CAÂU 29:
Cho haøm soá : y x 2 (C)
1. Khaûo saùt haøm soá (C)
2. Ñöôøng thaúng() ñi qua ñieåm B(0,b) vaø song song vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi
ñieåm O(0,0) .Xaùc ñònh b ñeå ñöôøng thaúng () caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät M,N. Chöùng
minh trung ñieåm I cuûa MN naèm treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh khi b thay ñoåi.
2
x 2mx 2
CAÂU 30: Cho haøm soá : y
, (m laø tham soá )
x 1
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá vôùi m=1
. Tìm giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi ,ñieåm cöïc tieåu vaø
khoaûng caùch töø hai ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng x+y+2=0 baèng nhau
3 2
Cho haøm soá : y x 6x 9x
Caâu 31:
1
2
.Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá
.a) Töø ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho haõy suy ra ñoà thò cuûa haøm soá :
3
2
y x 6x 9 x
b) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
3
2
x 6x 9 x 3 m 0
5
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
x x 1
Caâu 32 :( 2,5 ñieåm)
1. Cho haøm soá y
x 1
a. Khaûo saùt haøm soá ñaõ cho.
b. Xaùc ñònh ñieåm A(x ; y ) ( vôùi x 1 ) thuoäc ñoà thò cuûa haøm soá treân sao cho khoaûng
1
1
1
caùch töø A ñe án giao ñieåm cuûa 2 tieäm caän cuûa ñoà thò laø nhoû nhaát.
x 3
2
. Tìm taäp giaù trò cuûa haøm soá y
vaø caùc tieäm caän cuûa ñoà thò cuûa haøm soá ñoù
2
x 1
Caâu 33:
2
x 2x 2
1
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá y
x 1
. Tìm ñieåm M treân ñoà thò cuûa haøm soá sao cho khoaûng caùch töø M ñeán giao ñieåm
2
cuûa hai ñöôøng tieäm caän laø nhoû nhaát.2
x mx 1
Cho haøm soá : y
x 1
Caâu 34:
Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho caét truïc toaï
ñoä taïi hai ñieåm A vaø B sao cho dieän tích tam giaùc OAB baèng 18.
3 2
Cho haøm soá y x 3(m1)x 3(2m1)x 4 ( m laø tham soá )
Caâu 35 :
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m=1
. Tìm giaù trò cuûa m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi ,ñieåm cöïc tieåu vaø hai ñieåm
ñoù ñoái xöùng qua ñieåm I(0,4)
2
2
x (6 m)x
Caâu 36: Cho haøm soá y
mx 2
1
2
3
. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tie åu .
. Khaûo saùt haøm soá khi m=1 (C).
. Chöùng minh raèng taïi moïi ñieåm cuûa ñoà thò (C) tieáp tuyeán luo ân luoân caét hai tieäm
caän moät tam giaùc coù dieän tích khoâng ñoåi.
Caâu 37:
3
2
1
. Cho haøm soá y x 3(a 1)x 3a(a 2)x 1 trong ñoù a laø tham soá .
a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá khi a= 0
b. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa a thì haøm soá ñoàng bieán treân taäp hô ïp caùc giaù trò cuûa x sao
cho:1 x 2
m
2
2
. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò haøm soá y x 3x x 3 coù ba ñieåm
cöïc trò .Khi ñoù chöùng minh raèng caû 3 ñieåm cö ïc trò naøy ñeàu naèm tre ân ñöôøng
2
cong: y 3(x 1)
Caâu 38:
2
2
2
2
1
. Haõy veõ ñoà thò haøm soá : y x x (x 1) 4x
x 1
2
.Tìm toaï ñoä caùc giao ñieåm cuûa caùc ñöô øn g tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y x 3 vôùi
truïc hoaønh ,bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y=x+2001.
6
Cï §øc Hoµ
Caâu 39: Cho haøm soá : y
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
3
2
(
m 1)x 2mx (m m 2)
x m
(C ) trong ñoù m laø tham soá.
m
1
2
. Khaûo saùt haøm soá ñaõ cho vôùi m= 0
. Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa m sao cho haøm soá (C ) luoân luoân nghòch bieán treân
m
caùc khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.
Caâu 40:
2
x x 5
1
. Khaûo saùt haøm soá : y
(C)
x 2
2
. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm M baát kyø treân ñoà thò (C) ñeán
caùc tieäm caän laø moät haèng soá khoâng phuï thuoäc vò trí ñieåm M.
. Tìm treân moãi nhaùnh cuûa ñoà thò (C) mo ät ñieåm sao cho khoaûng caùch giöõa chu ùn g nhoû
3
nhaát.
Caâu 41:
Cho haøm soá y x 3x m x m
3
2
2
1
2
. Khaûo saùt ( xeùt söï bieán thieân . veõ ñoà thò ) haøm soá ö ùn g vôùi m= 0.
. Tìm taát caû giaù trò cuûa tham soá m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi , cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc
1
5
ñaïi , cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng y x
2
2
3
CAÂU 42 :
Cho haøm soá : y x 3x (1)
1
2
. Khaûo saùt haøm soá (1)
. Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi ,ñöôøng thaúng cho bôûi phöông trình
y=m(x+1)+2 luo ân caét ñoà thò (1) taïi moät ñieåm A coá ñònh.
Haõy xaùc ñònh caùc gía trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng caét ñoà thò haøm soá (1) taïi 3 ñieåm
A,B,C khaùc nhau sao cho tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi B vaøC vuoâng goùc vôùi nhau.
Caâu 43:
2
2
x 2x m
Cho haøm soá : y
x 2
1
. Tìm giaù trò cuûa m sao cho y 2 vôùi moïi x 2
2
. Khaûo saùt haøm soá vôùi m=1
Caâu 44 :
2
x 8x
Cho haøm soá : y 8
(1) ,trong ñoù m laø tham soá .
(x m)
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) vôùi m=1.
. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m sao cho haøm soá (1) ñoàng bieán treân [1,)
Caâu 45:
. Khaûo saùt haøm soá : y (x 1) (x 2)
. Cho ñöông thaúng ñi qua ñieåm M(2,0) vaø coù heä soá goùc laø k . Haõy xaùc ñònh taát caû caùc
2
1
2
giaù trò cuûa k ñeå ñöôøng thaúng caét ñoà thò haøm soá sau taïi boán ñieåm phaân bieät :
3
y x 3 x 2
Caâu 46:
7
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
x 1
1
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá : y
(1)
x 3
2
. Tìm moät haøm soá maø ñoà thò cuûa noù ñoái xöùng vôùi ñoà thò haøm soá (1) qua ñöôøng thaúng
x + y – 3 = 0 .
3
. C laø ñieåm baát kyø treân ñoà thò haøm soá (1) .tieáp tuyeán vôùi ñoá thò haøm soá (1) taïi C caét
tieäm caän ñöùng vaø ngang taïi A vaø B .Chöùng minh raèng C laø trung ñieåm cuûa AB vaø tam
giaùc taïo bôûi tieáp tuyeán ñoù vôùi hai tieäm caän coù dieän tích khoâng ñoåi.
4
2
CAÂU 47 :
Cho haøm soá : y x 4x m (C).
1
2
. Khaûo saùt haøm soá vôùi m = 3
. Giaû söû ñoà thò caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät .Haõy xaùc ñònh m sao cho hình
phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò (c) vaø truïc hoaønh coù dieän tích phaàn phía treân vaø phaàn phía döôùi
truïc hoaønh baèng nhau .
1
3
2
Caâu 48:
Cho haøm soá : y x mx x m 1
3
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá öùng vôùi m= 0 .
. Trong taát caû caùc tieáp tuyeán vôùi ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ khaûo saùt , haõy tìm tieáp tuyeán
coù heä soá goùc nhoû nhaát .
3
. Chöùng minh raèng vôùi moïi m , haøm soá ñaõ cho luoân luoân coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu
.
Haõy xaùc ñònh m sao cho khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu laø nhoû nhaát
Caâu 49:
3 2
Cho haøm soá : y x 6x 9x
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ha øm soá.
. a. Töø ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho haõy suy ra ñoà thò cuûa haøm soá y x 6x 9 x
3
2
3
2
b. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : x 6x 9 x 3 m 0
3 2
Cho haøm soá : y (m 2)x 3x mx 5 (m laø tham soá )
Caâu 50 :
1
2
3
. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
. Khaûo saùt haøm soá (C) öùng vôùi m= 0 .
. Chöùng minh raèng töø ñieåm A(1;-4) coù 3 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C).
Caâu 51:
3
2
1
. Cho haøm soá : y x 3(a 1)x 3a(a 2)x 1 trong ñoù a laø tham soá .
a.Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá khi a= 0.
b.Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa a thì haøm soá ñoàng bieán treân taäp hôïp caùc giaù trò cuûa x
sao cho :1 x 2
m
2
2
. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò haøm soá : y x 3x x 3 coù ba
ñieåm cöïc trò .Khi ñoù chöùng minh raèng caû ba ñieåm cöïc trò naøy ñeàu naèm treân ñöôøng
2
cong: y 3(x 1)
2
x x 1
Caâu 52 :
Cho haøm soá : y
x 1
1
2
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá .Goïi ñoà thò ñoù laø (C)
. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kyø tre ân (C) tôùi hai
tieäm caän cuûa noù laø moät soá khoâng ñoåi .
8
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
Caâu 53:
Cho haøm soá : y 2x 3x 12x 1 (1)
1
2
. Khaûo saùt haøm soá (1) .
. Tìm ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) cuûa ha øm soá (1 ) sao cho tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai
ñieåm ñi qua goác toaï ñoä .
2
x (m 2)x m 1
Caâu 54: Cho haøm soá : y
x 1
1
2
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 2 .
. Tìm m ñeå treân ñoà thò coù hai ñieåm phaân bieät A,B sao cho :
5
x y 3 0, ; 5x y 3 0
A A B B
Tìm m ñeå hai ñieåm A,B ñoù ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình:
x + 5y + 9 = 0.
3
2
Caâu 55:
Cho haøm soá : y x 2x x
1
2
. Khaûo saùt haøm soá ñaõ cho .
. Tìm dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò vöøa veõ vaø ñöôøng thaúng y= 4x
2
2x 3x m
Caâu 56:
Cho haøm soá: y
2
x 1
1
. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa tham soá m thì haøm soá nghòch bieán trong khoaûng
1
; ?
2
2
. Khaûo saùt haøm soá khi m = 1.
3
2
Caâu 57 :
Cho haøm soá : y mx 3mx 2(m1)x 2 ,trong ñoù m laø tham soá thöïc.
1
2
. Tìm nhöõng ñieåm coá ñònh maø moïi ñöô øn g cong cuûa hoï treân ñeàu ñi qua .
. Chöùng toû raèng nhöõng ñieåm coá ñònh ñoù thaúng haøng vaø töø ñoù suy ra hoï ñöôøng cong
coù chung moät taâm ñoái xöùng.
3
4
. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá öùng vôùi giaù trò m=1
. Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi ñieåm uoán vaø chöùng toû raèng trong
caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò thì tie áp tuyeán naøy coù heä soá goùc nhoû nhaát.
. Tìm dieän tích phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá ( öùng vôùi m = 1) ; tieáp tuyeán
taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy.
Caâu 58:
Cho haøm soá : y x 3mx 3(m 1)x 2
5
3
2
2
1
2
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá ñaõ cho khi m= 1.
. Tìm giaù trò tham soá m ñeå ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm cöïc ñaïi ,cöïc tieåu ,ño àn g
thôøi caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi truïc tung .
2
x 3
CAÂU 59: Cho haøm soá y x 1 (1)
1
. Khaûo saùt haøm soá (1)
. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua ñieåm M 2,
2
2
sao cho d caét ñoà thò haøm
5
soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A ,B vaø M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB.
3 2 2
Cho haøm soá : y x 3x m x m
CAÂU 60:
. Khaûo saùt (xeùt söï bieán thieân, veõ ñoà thò ) haøm soá ö ùn g vôùi m= 0
1
9
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeà haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm
1
5
2
cöïc ñaïi ,cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y x
2
CAÂU 61:
2
x x 1
x 1
1. Khaûo saùt (xeùt söï bieán thieân ,veõ ñoà thò) haøm soá : y
.
Goïi ñoà thò laø (C)
2. Chöùng minh raèng vôùi moïi gía trò cuûa m ,ñöôøng thaúng y=m caét (C) taïi hai
ñieåm phaân bieät A ,B .Xaùc ñònh giaù trò cuûa m ñeå ñoä daøi ñoaïn AB ngaén nhaát.
CAÂU 62:
2
x
1
.Khaûo saùt (xeùt söï bieán thieân ,veõ ñoà thò) haøm soá : y
.Goïi ñoà thò laø (C)
x 1
.Tìm treân ñöôøng thaúng y=4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå keû tôùi ñoà thò
2
(
C) hai tieáp tuyeán laäp vôùi nhau moät goùc45
3
2
CAÂU 63:
Cho haøm soá y 2x 3(m-3)x 11-3m (C )
m
19
) Cho m=2 . Tìm phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua A(1 ,4)vaø tieáp xuùc
2
1
vôùi ñoà thò (C ) cuûa haøm soá .
2
2
) Tìm m ñeå haøm soá coù hai cöïc trò. Goïi M vaø M laø caùc ñieåm cöïc trò ,tìm
1 2
m ñeå caùc ñieåm M , M vaø B(0,-1) thaúng haøng.
1
2
1
2
3
Caâu 64:
Cho haøm soá : y x x (1)
3
3
a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø ceõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)
b. Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng
1
2
thaúng : y x
3
3
1
2
2
c. Tính tích phaân : (1 x x ) dx
0
10
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Chuyªn ®Ò kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n
Baøi 1:
x 1
x 1
1) Khaûo saùt haøm soá:y
(C) TXÑ: D = R \ (1)
2
2
y'
0 Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
(
x 1)
TCÑ: x = 1 vì lim y
x1
TCN: y = 1 vì lim y 1
x
BBT:
Ñoà thò:
y
A
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1):
M
Ñöôøng thaúng (d) qua P coù heä soá goùc k:y = k( x-3) + 1
x+1
x-1
=
k(x-3) + 1
(1)
(2)
B
O
(d) tieáp xuùc (C)
coù nghieäm
x
-2
=
k
2
(x-1)
Thay (2) vaøo (1) :
x 1 -2(x-3)
x 1 (x-1)
2
2
1 x 1 2(x 3) (x 1) 4x 8 x 2
2
Thay vaøo (2) k 2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7
) M (x ,y )(C). Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét 2 ñöôøng tie äm caän taïo thaønh moät tam giaùc
3
0
0
0
coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f '(x )(x x ) y
0
0
2
0
-3
x0 1
3
x 3x 1
0
0
y
(x x )
x
(x 1)
0
2
0
2
2
(x0 -1)
x 1 (x 1)
0
0
x0 4
x0 1
x 4
0
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng x =1.
x 1 y
A 1,
x0 1
5
x0 2
3
5x 2
0
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ngang y = 1. y 1 x
B
,1
3
Giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän: I(1, 1)
1
2
1
2
1 x 4
5x 2
0
0
Ta coù : SIAB IA.IB y y . x x
1 .
1
A
I
B
I
2 x 1
3
0
1
2
5
5x 2
25
6
0
.
1
haèng soá
Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
x0 1
3
11
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 2: (2 ñieåm)
x 2
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: y x 1
TXÑ: D=R\{1}
3
,
y
0 Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh
2
x 1
TCD: x=1 vì lim y
x 1
TCN: y=1 vì lim y 1
x
BBT:
Ñoà thò:
2) Xaùc ñònh a ñeå töø A(0,a) keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán
(C)
sao cho 2 tieáp ñieåm ñeán naèm veà 2 phía cuûa 0x.
x 2
0
Goïi M (x ; y )(C) y
0
0
0
x 1
0
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M:
'
y f (x )(x x ) y
0
0
0
2
x 2
x
0
x
2
4x 2
3
3
0
0
y
(x x )
y
2
0
2
x 1
(
x 1)
(x 1)
(x 1)
0
0
0
0
2
x
4x 2
Tieáp tuyeán qua A(0,a) a 0
0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0 (1)
2
2
x 1)
0
0
0
(
(
vì x =1 khoâng laø nghieäm)
0
Ñieàu kieän ñeå coù 2 tieáp tuyeán keû töø A laø:
a 1 0
a 2
Khi ñoù (1) coù 2 nghieäm laø
a 1
,
0
x0, x1
x 2
x 2
0
1
Tung ñoä tieáp ñieåm y
vaø y
Ñieàu kieän 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía
0
1
x 1
x 1
0
1
Ox.
12
Cï §øc Hoµ
x 2 x 2
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x x 2(x x ) 4
0 1
0
0
1
0
1
y y 0
.
0
0
1
x 1 x 1
x x x x 1
0
1
0
1
0
1
a 2 4(a 2)
4
1
9
a 6
2
a 1
a 1
0
0 3a 2 0 a
a 2 2(a 2)
3
3
a 1
a 1
a 2,a 1
2
2
Toùm laïi:
a
vaø a 1
3
ÑS: a 3 ,a 1
2
a
3
C©u 3: (2 ñieåm)
) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá: y
2
2
x x 1
x 1
1
TXÑ: D = R\{-1}
2
2
x 4x
x 0
y '
y ' 0
2
x 2
(
x 1)
Tieäm caän ñöùng: x= -1 vì lim y
x 1
2
2
Ta coù: y 2x 1
Tieäm caän xieân: y = 2x - 1 vì lim
0
x 1
x 1
x
BBT
Ñoà thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.
2
) Goïi M (C) coù X = m. Chöùng toû raèng tích caùc khoaûng caùch
M
töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C) khoâng phuï thuoäc m.
2
Ta coù: X = m yM 2m 1
M
m 1
Tieäm caän ñöùng : x + 1 = 0
(D1)
m 1
Suy ra d (M, D1)
m 1
1
1
2
2m 2m 1
1
m 1
2
Tieäm caän xie ân : 2x – y – 1 = 0 (D2)
d2(M,D2) =
2
(khoâng phuï thuoäc m)
5
5 m 1
2
Suy ra d .d = m 1
5
1
2
5
m 1
13
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
2
x mx 2
x 1
C©u 4: (2 ñieåm)
Cho haøm soá: y
1
) Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc taïo bôûi TCX vaø 2 truïc toïa ñoä baèng 4.
m
Ta coù: y 2x m 2
x 1
m
x 1
m 2
2
Vôùi m 0 thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim
x
0
m 2
Giao ñieåm TCX vaø Ox:
Giao ñieåm TXC vaø oy:
y = 0 x
A
,0
2
x 0 y m 2 B(0,m 2)
1
1
m 2
m 2
2
SOAB OA.OB
m 2 4
(m 2) 16
( thoûa ñieàu kieän
m 6
2
2
2
m 0 )
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi m = -3:
2
2
x 3x 2
x 1
2
y
(C)
TXÑ: D = R\ {1}
2
2
x 4x 5
y'
0
x 1
2
(
x 1)
Suy ra haøm soá taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
TCÑ: x = 1 vì lim y
x 1
TCX: y = 2x - 1
(theo caâu 1)
BBT:
Ñoà thò: x 0 y 2, x 2 y 0
4
2
2
C©u 5: (2 ñieåm)
1
Cho: y = x – (m + 10)x + 9
(Cm).
2
4
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 0. y = x – 10x + 9
TXD: D = R
x 0
3
2
y ' 4x 20x 4x(x 5)
y ' 0
x 5
5
3
44
5 44
5
3
44
2
y '' 12x 20 y'' 0 x
y
ñieåm uoán
;
;
9
3
9
9
BBT:
14
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñoà thò:
2
x 1
x 1
Cho y 0
2
x 3
x 9
2
) Chöùng minh raèng vôùi m 0, (C ) luoân luoân caét Ox
m
taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù coù hai ñieåm naèm (-3,3)
vaø 2 ñieåm naèm ngoaøi (-3,3).
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø Ox.
m
4
2
2
2
x (m 10)x 9 0 (1) Ñaët t x (t 0)
2
2
Phöông trình trôû thaønh: t (m 10)t 9 0 (2)
2 2
(m 10) 36 0,m
Ta coù: P 9 0
2
S m 10 0,m
0 < t < t2
(1) coù 4 nghieäm phaân bieät
x x x x
2 1 1 2
1
2
2
2
2
Ñaët f(t) =t (m 10)t 9
Ta coù: af(9)=81 9m 90 9 9m 0,m 0
x 3 x x 3 x
x (3;3)
2
0 t 9 t
1 2
2
x 9
1
x (3;3)
1
2
1
1
2
2
x
9
2
Vaäy (C ) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät trong ñoù 2 ñieåm(3,3) vaø 2 ñieåm (3,3) .
m
3 2
Cho haøm soá y f (x) x (m 3)x 3x 4 (m laø tham soá)
C©u 6: (2 ñieåm)
) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. Khi ñoù vieát phöông trình ñöôøng
1
thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò naøy.
Ta coù:
2
2
y ' 3x 2(m 3)x 3; y' 0 3x 2(m 3)x 3 0 (1)
Haøm soá coù CÑ, CT (1) coù 2 nghieäm phaân bieät.
2
2
' 0 (m 3) 9 0 m 6m 0 m 6 m 0
2
1
1
2
1
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc : y f '(x) x (m 3) (m 6m)x m 5
3
9
9
3
2
1
2
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø: y (m 6m)x m 5 .
9
3
2
) Tìm m ñeå f (x) 3x vôùi moïi x 1 Ta coù:
4
3
2
f (x) 3x,x 1 x (m 3)x 4 0 ,x 1 m x 3
,x 1
2
x
15
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
4
m min g(x) vôùi g(x) x 3
x 1
2
x
3
8
x 8
Ta coù: g '(x) 1
,x 1 ; g '(x) 0 x 2
3
3
x
x
+
) BBT:
C©u 7: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò y
TXÑ: D = R\ {2}
min g(x) 0 Vaäy: m 0
x 1
2
x 6x 9
(C)
x 2
2
x 4x 3
x 1
y '
y ' 0
2
x 3
(
x 2)
1
TCÑ: x = 2 vì lim ;
x 2
Ta coù: y x 4
0
x 2
x 2
1
TCX: y = - x + 4 vì lim
x
BBT:
Ñoà thò:
9
Cho x = 0 y 2
b) Tìm M Oy sao cho tieáp tuyeán keû töø M ñe án (C)
3
song song vôùi ñöôøng thaúng y= x coù daïng.
4
Goïi M(0, b) Oy , tieáp tieáp qua M song song
3
3
ñöôøng thaúng y x coù daïng: (D): y x b
4
4
2
x
6 x 9
x 2
3
x b
(1)
D) tieáp xuùc (C)
4
coùnghieäm
(
2
x
4 x 3
3
(2)
2
4
(
x 2)
9
Thay vaøo (1): x 0 b ; x 4 b
2
5
2
2
(
2) x 4x 0 x 0 x 4
9
5
Vaäy : M (0; ),M (0; )
1
2
2
2
C©u 8: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt (1)
3
2
y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1
(1) khi m= 1:
3
2
m 1: y 2x 9x 12x 1
TXÑ: D= R
16
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 1
x 2
y 6
y 5
11
2
y ' 6x 18x 12 ; y ' 0
3
3 11
ñieåm uoán I
2 2
y '' 12x 18 ; y '' 0 x
y
,
2
2
BBT:
Ñoà thò:
b) Chöùng minh raèng m haøm soá (1) luoân ñaït cöïc trò
taïi x , x vôùi x - x khoâng phuï thuoäc m.
1
2
1
2
Ta coù:
3
2
y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1
2
2
y ' 6x 6(2m 1)x 6m(m 1); y' 0 x (2m 1)x m(m 1) 0 (*)
2
(2m 1) 4m(m 1) 1 0
(*) luoân coù 2 nghieäm phaân bieät x , x .
Haøm soá luoân ñaït cöïc trò taïi x , x .
1 2
1
2
Ta coù:
x 2m 11 2m ; x 2m 11 2m 2 x x 2m 2 2m 2 (haèng soá)
1
2
2
1
Vaäy: x x khoâng phuï thuoäc m.
2
1
Bµi 9: (2 ñieåm)
2
a) Khaûo saùt haøm soá: y x 5x 4 .
Taäp xaùc ñònh: D = R
y’= 2x – 5
BBT:
Ñoà thò:
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol:
2
2
(
P ) : y x 5x 6 vaø (P ) : y x 5x 11
1
2
17
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
-
-
Goïi
: y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2).
tieáp xuùc vôùi (P1) vaø (P2).
2
x 5x 6 ax b
coùnghieäm keùp
2
x 5x 11 ax b coùnghieäm keùp
2
x (5 a)x 6 b 0
coùnghieäm keùp
x2 (5 a)x 11 b 0 coùnghieäm keùp
0
2
a 10a 4b 1 0
a 3
a 3
1
0
2
a 10a 4b 19 0
b 10
b 5
2
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø:
y = 3x – 10
hay y = - 3x + 5
C©u 10: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y x 3x
3
2
(C)
TXÑ: D = R
x 0
2
y ' 3x 6x 3x(x 2)
y ' 0
x 2
y '' 6x 6
y'' 0
x 1 y 2 Ñieåm uoán I(-1, 2)
+
) BBT:
Ñoà thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4
b) Tìm ñieåm M treân Ox sao cho töø M keû ñöô ïc 3 tieáp tuye án ñeán (C)
trong ñoù coù 2 tieáp tuye án vuoâng goùc nhau.
Goïi M(a,0)Ox , ñöô øn g thaúng (d) qua M vaø coù heä soá goùc K laø:
y = k( x - a)
3
2
x 3x k(x a) (1)
(d) tieáp xuùc (C)
coùnghieäm
2
3x 6x k
(2)
Thay (2) vaøo (1):
3
2
2
3
2
x 3x 3x 6x(x a) 2x 3(a 1)x 6ax 0
x 0
2
x 2x 3(a 1)x 6a 0
2
2x 3(a 1)x 6a 0
(3)
Vôùi x = 0 k = 0 1 tieáp tuye án laø y = 0.
18
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
+
) Töø M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau
(3) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x 0 vaø k k 1.
1
2
1 2
a 0
a 0
0
2
2
9(a 1) 48a 0
2
2
(3x 6x )(3x 6x ) 1
9(x x ) 18x x (x x ) 36x x 1
1
1
2
1
2
1 2
1 2 1
2
1 2
a 3 a vaø a 0
3
1
a 3 a vaø a 0
1
vì x x = - 3a
3
a
1
2
3(a-1)
2
27
8
1a 81a(a 1) 108a 1 0
-27a + 1 = 0
x + x =
1
2
2
1
Vaäy chæ coù 1 ñieåm M (2 ,0)Ox thoaû ñieàu kieän baøi toaùn.
7
4
3
2
C©u 11: (2 ñieåm)
Cho haøm soá: y 3x 4
1 m
x 6mx 1 m (C )
m
4
2
1) Khaûo saùt haøm soá khi m= -1:
y 3x 6x 2
TXÑ: D = R
x 0
x 1
1
3
2
y ' 12x 12x 12x x 1
y ' 0
1
1 1 1 1
2
y '' 36x 12 y '' 0 x
y
ñieåm uoán
- ,
3 3 3 3
,
3
3
BBT:
x
+
y’
-
-1
0
1
0
-
0
+
0
-
+
y
+
2
+
CÑ
-1
-1
Ñoà thò:
x 0
x 2
4
2
Cho y=2 3x 6x 0
2
) Tìm giaù trò m < 0 ñeå (C ) vaø() : y 1 coù ba giao ñieåm phaân bieät.
m
4 3 2
Ta coù: y 3x 4 1 m x 6mx 1 m ;
x 0 y 1m
y m
3
3
2
y' 12x 12
1m
x 12mx 12x x
1m
xm y' 0 x 1
4
3
x m
y m 2m m1
19
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
(
Cm) Vaø
caét nhau taïi 3 ñieåm phaân bieät neáu ñöôøng thaúng :y=1 ñi qua ñieåm cöïc trò
cuûa (C ) .
m
m 0 (loaïi)
m 1 (loaïi)
1
m1
m0(loaïi)
m1
m1(loaïi)
1
5
4
3
2
m
(loaïi)
m 2m m11
m m1 m m1 0
2
2
1
5
m
(nhaän vì m < 0)
1
5
ÑS: m
2
3
2
C©u 12: (2 ñieåm)
Cho y x 3x
m 2 x 2m (C )
m
3
2
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C ) khi m = 1.
y x 3x 3x 2 (C )
TXÑ: D = R
1
1
2
2
0 suy ra haøm soá luoân taêng treân R
y ' 3x 6x 3 3
x 1 ; y '' 6x 6 ; y '' 0 x 1 y 1 ñieåm uoán I(-1, 1).
BBT:
x 1
y ' 0
Ñoà thò:
Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
y ' 0 tieáp tuyeán taïi I song song Ox.
I
2
) Tìm m ñeå (C ) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät
m
coù hoaønh ñoä aâm.Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø Ox.
m
3
2
2
x 3x
m 2
x 2m 0
x 2 x x m 0
x 2
(1)
2
x x m 0 (2)
(
C ) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä aâm (2) coù 2 nghieäm aâm phaân bieät khaùc -2.
m
m 2
m 2
m 2
0
1 4m 0
1
4
1
4
1
m
0 m
ÑS: 0 m 4
P 0
S 0
m 0
m 0
1 0
3 2
Cho y x mx 7x 3 (1)
3 2
C©u 13: (2 ®iÓm)
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 5. y x 5x 7x 3
2
TXÑ :
�
y’= 3x +10x + 7
20
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 1 y 0
5
16
27
y ' 0
;
y '' 6x 10 y'' 0 x y
ñieåm uoán
7
32
27
x y
3
3
5 16
,
.
3 27
BBT :
Ñoà thò:
2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
Ta co3ù :
2
2
2
y' 0 3x 2mx 7 0(*)
y x mx 7x 3; y' 3x 2mx 7
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (*) coù hai nghieäm phaân bieät
2
' 0 m 21 0
m 21 v m 21
m 2(21 m ) 27 7m
2
1
Chia y cho y’ ta ñöôïc :
y f '(x) x
3
9
9
9
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu laø:
2
(21 m ) 27 7m
2
y
9
9
4 2
y x 2x
C©u 14: (2 ñieåm)
a) Khaûo saùt vaø veõ:
1
TXÑ:
�
1
5
3
2
y' 4x 4x y ' 0 x 0 x 1 ; y '' 12x 4; y" 0 x
y
3
9
1
5
1
5
=
> Ñieåm uoán I
; , I
;
1
2
3
9
3
9
BBT:
Ñoà thò:
+
) 1b. Bieän luaän soá nghie äm :
4 2 4
2
Ta coù : x 2x m 0 x 2x m
Döïa vaøo ñoà thò (C) ta keát luaän :
m< -1: voâ nghieäm. ;
m= -1: 2 nghieäm.
m= 0: 3 nghieäm. ; m> 0: 2 nghieäm.
-1< m < 0: 4 nghieäm. ;
21
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 15: (2 ñieåm)
2
x 4x 8
a.Khaûo saùt haøm soá : y
(C)
TXÑ: D R \{2}
x 2
2
x 4x
x 0
y '
y ' 0
x 4
2
(
x 2)
4
Tieäm caän ñöùng: x = -2 vì xlim2 x 2
4
Chia töû cho maãu: y x 2 x 2
4
Tieäm caän xieân: y= x + 2 vì lxim
0
x 2
Y
(I)
BBT:
Ñoà thò:
(C1)
(C1)
4
2
2
x 4x 8
x 2
-4
b.Töø ñoà thò (C) suy ra ñoà thò haøm soá : y
(C1)
1
-2
O
X
Ta coù :
-4
(III)
y
neáu x > -2
neáu x < -2
(C)
y1
-y
Do ñoù ñoà thò(C ) suy töø (C) nhö sau:
1
-
Neáu x > -2 thì (C ) (C)
1
-
Neáu x< -2 thì laáy phaàn ñoái xöùng cuûa (C) qua Ox ta ñöôïc (C1)
c. Xaùc ñònh taäp hô ïp nhöõng ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo trong hoï (C )ï ñi qua:
m
2
2
x 4x m 8
x 2
y
(Cm )
2
2
x 4x m 8
0
0
GoïiM (x , y )(C ),m y
voâ nghieäm vôùi moïi m
x 2
0
0
0
m
0
x0 2
2
2
hoaëc m y (x 2) x 4x 8 voâ nghieäm theo m.
0
0
0
0
2
0
2
0
y (x 2) x 4x 8 0 y (x 2) x 4x 8
0
0
0
0
0
0
2
0
x +4x +8
0
y0 <
y0 >
(neáu x >-2)
0
x0 +2
2
0
x +4x +8
0
(neáu x <-2)
0
x0 +2
M mieàn (I) giôùi haïn bôûi (C) vôùi x > -2
Mmieàn (III) giôùi haïn bôûi (C) vôùi x< -2
Vaäy nhöõng ñieåm M thoaû ñieàu kieän baøi toaùn laø nhöõng ñieåm thuoäc maët phaúng toaï ñoä
Oxy, khoâng naèm treân mieàn (I), mie àn (III) vaø khoâng naèm treân (C).
22
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
C©u 16:
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:y (x 1) (x 4) x 6x 9x 4
2
3
2
1
TXÑ: D = R
x 1
2
y' 3x 12x 9 y' 0
x 3
y'' 6x 12 y" 0 x 2 y 2
Ñieåm uoán :( -2, -2)
BBT:
Ñoà thò :
2
) Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa
2 2
phöông trình : (x 1) (x 4) (m 1) (m 4)
2 2
(x 1) (x 4) (m1) (m 4)
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C)
2
vaø ñöô øn g thaúng (d) coù phöông trình : y (m 1) (m 4)
-
Soá giao ñieåm laø soá nghieäm cuûa phöông trình .
Bieän luaän:
2
2
(m1) (m 4) 4 m(m 3) 0 m 0: 1 nghieäm
(m1) (m 4) 4 m 0 m 3: 2 nghieäm
4 (m1) (m 4) 0 4 m 0 : 3 nghieäm
(m1) (m 4) 0 m 1 m 4 : 2 nghieäm
2
2
2
2
(m1) (m 4) 0 m 4:1 nghieäm
2
C©u 17: ( 3 ñieåm)
Cho: y (x 1)(x mx m)
(1)
1
) Khaûo saùt haøm soá (1) töông öùng vôùi m= -2:
2 3 2
y (x 1)(x 2x 2) y x 3x 2
Taäp xaùc ñònh : D = R
x 0
x 2
2
y' 3x 6x 3x(x 2)
y ' 0
y '' 6x 6
y" 0 x 1 y 0
Ñieåm uoán : I(1, 0)
BBT:
Ñoà thò:
Ñieåm ñaëc bieät :
2
) Tìm m ñeå ñoà thò (1) tie áp xuùc truïc hoaønh.
Xaùc ñònh toaï ñoä tieáp ñieåm.
3
2
Ta coù : y x (m1)x m
Ñoà thò (1) tieáp xuùc truïc hoaønh
(1)
2
3
x +(m-1)x -m=0 (2)
(3)coù nghieäm .
2
3x +2(m-1)x=0
23
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 0
x
(3) x 3x 2(m 1) 0
2
(m 1)
3
Thay vaøo (2) :
x 0 m 0
2
(m 1)
8
4
3
3
x
(m 1) (m 1) m 0
3
27
9
3
3
2
4(m 1) 27m 0 4m 12m 15m 4 0
m 4
2
(m 4)(4m 4m 1) 0
1
2
m
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø :
1
m 0 x 0 m 4 x 2 m x 1
2
1
2
Vaäy ñoà thò (C) tieáp xuùc Ox khi: m= 0, m= 4, m
Toaï ñoä tieáp ñieåm töông öùng laø: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)
C©u 18: ( 3 ñieåm)
x 1
x 1
1) Khaûo saùt haøm soá:y
(C)
TXÑ: D = R \ (1)
2
2
y'
0 Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
(
x 1)
TCÑ: x = 1 vì lim y
TCN: y = 1 vì lim y 1
x
x1
BBT:
Ñoà thò:
y
A
M
2
) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1):
B
Ñöôøng thaúng (d) qua P coù heä soá goùc k: y = k( x-3) + 1
O
x
x+1
x-1
=
k(x-3) + 1
(1)
(2)
(d) tieáp xuùc (C)
coù nghieäm
-
2
=
k
2
(x-1)
x 1 -2(x-3)
Thay (2) vaøo (1) :
1
2
x 1 (x-1)
2
2
x 1 2(x 3)(x 1) 4x 8 x 2
24
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Thay vaøo (2) k 2
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7
) M (x ,y )(C). Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét 2 ñöôøng tie äm caän taïo thaønh moät tam giaùc
3
0
0
0
coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M.
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f '(x )(x x ) y
0
0
0
2
x 3x 1
0 0
x
2
-
3
x0 1
3
y
(x x )
2
0
2
(
x0 -1)
x 1 (x 1)
(x 1)
0
0
0
x0 4
x0 1
x 4
0
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng x =1.
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ngang y = 1.
x 1 y
A 1,
x0 1
5
x0 2
5x 2
0
y 1 x
B
,1
3
3
Giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän: I(1, 1)
Ta coù :
1
2
1
2
1 x 4
5x 2
0
0
SIAB IA.IB y y . x x
1 .
1
A
I
B
I
2 x 1
3
0
1
2
5
5x 2
25
6
0
.
1
haèng soá
x0 1
3
Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
m
3
3
C©u ( 2 ñieåm)
Cho y f (x) x 2(m 1)x
1
3
a) Khaûo saùt haøm soá khi m= 1:
y x 4x
3
TXÑ: D = R
x 2
; y" 2x y" 0 x 0 y 0
-2
2
y' x 4
y' 0
x 2
x
2
0
+
+
Ñieåm uoán O(0, 0).
BBT:
y’
0
6
+
+
1
3
y
Ñoà thò:
1
6
Cho x 4 y
3
1
6
x 4 y
3
b)Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù cöïc ñaïi,
cöïc tieåu sao cho:
2
2 3
y y ) (4m 4)
CÑ CT
9
(
m
3
2
Ta coù: y x 2(m 1)x
y' mx 2(m1)
3
25
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
y' 0 mx 2(m1) 0 (1)
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
2
(m 1)
0 m 1 m 0
m
Khi ñoù (1) coù 2 nghieäm x ,x (x x )
y f (x ) vaø y f (x )
1 2
CÑ CT
1
2
1
2
1 4
Ñeå tìm yCÑ vaø y ta chia f(x) cho f’(x) thì ñöôïc: f (x) f '(x). x (m 1)x
CT
3 3
4
y f (x ) (m 1)x
CÑ
1
1
3
(
Vì f'(x ) 0, f '(x ) 0)
1 2
4
3
y f (x ) (m1)x
2
CT
2
2
2
CT
3
Theo giaû thieát: (y y ) (4m 4)
CÑ
9
1
9
6
2
9
2
2
3
(m 1) (x x ) 64(m 1) (x x ) 8(m 1) ( Vì m+1 0 )
1
2
1
2
8
(m+1)
m
-2(m+1)
S2 4P 8(m+1)
0
(vì S = 0 , P =
)
m
m = 1 ( Vì m+1 0 )
So vôùi ñieàu kieän m< -1 m > 0 nhaän giaù trò m = 1
ÑS: m = 1.
C©u 20: ( 2 ñieåm)
1
x 1
1) Khaûo saùt haøm soá:
y x
(C)
Taäp xaùc ñònh: D R \ 1
2
1
x 2x
x 0
y' 1
y' 0
2
2
(
x 1)
(x 1)
x 2
Tieäm caän ñöùng: x = 1 vì lim
x1
1
x 1
Tieäm caän xie ân : y = x vì lxim
0
BBT:
Ñoà thò:
Y
3
2
-
) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán cuûa (C) keû töø A(0, 3)
Ñöôøng thaúng (D) qua A vaø coù heä soá goùc k: y = kx +3
1
x
kx + 3 (1)
x 1
1
(
-
D) tieáp xuùc (C)
coù nghieäm
O
1
k
(2)
2
1
2
X
(x 1)
-1
Thay (2) vaøo (1) :
26
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
x 1
x
x
x
3
2
(x 1)
2
2
x 1 x 3(x 1) 3x 8x 4 0
x 2
2
k 0
k 8
x
3
ÑS: y = 3
;
y = -8x + 3
Caâu 21:
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
3
2
y x 2x x 2 ;
TXÑ : D = R
x 1
2
y' 0
y' 3x 4x 1
1
3
x
2
3
52
27
2 50
y" 6x 4 ; y" 0 x y
Ñieåm uoán I ,
3 27
BBT:
Ñoà Thò:
b) Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (D ): y = kx + 2 .
1
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D ):
1
3
2
2
x 2x x 2 kx 2 x(x 2x 1 k) 0
x 0
x 2x 1 k 0
' 11 k k
2
Bieän luaän :
k > 0 vaøk 1: (C) vaø (D )coù 3 ñieåm chung.
1
k = 0 k = 1: 2 ñieåm chung.
k < 0: 1 ñieåm chung
c) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng (D ):y = -x + 1.
2
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D ).
2
27
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
3
2
x 2x x 2 x 1 x 2x 2x 1 0
2
(x 1)(x x 1) 0 x 1 y 2
Giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc hoaønh:
3
2
2
x 2x x 2 0 (x 2)(x 1) 0 x 2
Dieän tích hình phaúng cho bôûi:
1
1
1
1
x4
4
2x3
3
x2
2
2
x
17
41
2 (ñvdt)
12
3
2
S (x 2x x2)dx (x1)dx
2x x
12
2
2
1
2
1
CAÂU 22:
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
1
2
x 3x 2
2
y
x 3
(C)
TXÑ: D = R\ {0}
2
x
2
x 2
x 2
y '
; y ' 0
2
x
x 2
TCÑ: x = 0 vì lim y
x0
2
TCX: y = x – 3 vì lim 0
x
x
BBT:
Ñoà thò:
x 1
x 2
2
Cho y = 0 x – 3x +2 = 0
2)Tìm M treân ñöôøng thaúng x = 1 sao cho töø M keû ñöôïc
ñeán (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau.
Goïi M(1, b) naèm tre ân ñöôøng thaúng x = 1.
Ñöôøng thaúng (d) qua M vaø M coù heä soá goùc k: y= k(x - 1) + b
2
x 3x 2
k(x - 2) + b
(1)
x
(
d) tieáp xuùc vôùi (C)
coù nghieäm.
2
x 2
k
(2)
2
x
2
2
x 3 2 (x 2)(x 1)
2
Thay (2) vaøo (1):
b (b + 2)x – 4x + 2 = 0
(3)
2
x
x
Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau.
(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x 0 sao cho k , k = -1.
1
2
1
2
4 2(b 2 0)
1
' 0
k k 1
2
2
2
x 2 x 2
.
1
1
2
2
2
x1
x2
28
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
b 2
x x
1
2
b 0
2 2
vôùi
2
2
x x (x x ) 2 0
4
1
2
1
2
x x
1
2
b 2
b 0
b 0
2
b 6b 2 0
b 3 7
(nhaän)
CAÂU 23:
)Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
1
2
x 3x 2
2
y
x 3
(C)
TXÑ: D = R\ {0}
2
x
2
x 2
x 2
x 2
y '
; y ' 0
2
x
TCÑ: x = 0 vì lim y
x0
2
TCX: y = x – 3 vì lim 0
x
x
BBT:
x 1
x 2
2
Ñoà thò: Cho y = 0 x – 3x +2 = 0
2)Tìm M treân ñöôøng thaúng x = 1 sao cho töø M keû ñöôïc
ñeán (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau.
Goïi M(1, b) naèm tre ân ñöôøng thaúng x = 1.
Ñöôøng thaúng (d) qua M vaø M coù heä soá goùc k: y= k(x - 1) + b
2
x 3x 2
k(x - 2) + b
(1)
x
(d) tieáp xuùc vôùi (C)
coù nghieäm.
2
x 2
k
(2)
2
x
2
2
x 3 2 (x 2)(x 1)
2
Thay (2) vaøo (1):
b (b + 2)x – 4x + 2 = 0
(3)
2
x
x
Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau.
(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x 0 sao cho k , k = -1.
1
2
1
2
4 2(b 2 0)
1
' 0
2 2
x 2 x 2
2
. 1
2 2
k k 1
1
2
x1
x2
2
b 2
x x
1
2
b 0
vôùi
2
2
2
2
2
x x (x x ) 2 0
4
1
2
1
x x
1
2
b 2
29
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
b 0
b 0
2
b 6b 2 0
b 3 7
(nhaän)
Caâu 24:
Cho y x 2x 2 m
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 0
4
2
(Cm )
4
2
1
y x 2x 2
TXÑ: D = R
x 0
3
2
y' 4x 4x 4x(x 1) y' 0
x 1
1
13
1 13 1 13
y ñieåm uoán , , ,
3 9
2
y'' 12x 4 ; y'' 0 x
3
9
3 9
BBT:
Ñoà thò: Cho y=2 x - x =0
4
2
x 0
x 2
2
) Tìm m ñeå (C ) chæ coù hai giao ñie åm chung vôùi truïc Ox.
m
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø truïc Ox:
x - 2x + 2-m = 0
Ñaët t = x (t≥0)
m
4
2
(1)
2
Phöông trình trôû thaønh:
2
t - 2t + 2 – m = 0
(2)
(
1) chæ coù 2 nghieäm (2) coù nghieäm traùi da áu hoaëc (1)
coù nghieäm keùp döông
P 0
2 m 0
m 2
' 0
1 2 m 0
m 1
b
0
2a
Vaäy (C ) caét Ox taïi 2 ñieåm khi: m = 1 hay m > 2.
m
3
) Chöùng minh raèng m tam giaùc coù 3 ñænh laø 3 ñieåm cöïc trò cuûa (C ) laø moät tam giaùc
m
vuoâng caân: 4
2
3
Ta coù: y = x - 2x + 2 - my’= 4x - 4x
x 0
y 2 m
y' 0
x 1
y 1 m
Goïi 3 ñieåm cöïc trò laø:
A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m)
Ta coù:
AC AB 11 0, m
AB (1,1) AB 2 ; AC (1,1) AC 2
AB AC 2, m
30
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Vaäy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A, m.
Caâu 25:
a) Khaûo saùt haøm soá: y=x -5x +4
4
2
(C) TXD: D = R
x 0
3
2
y’= 4x - 10x = 2x (2x - 5)
y'=0
1
2
0
x
5
19
36
5 19 5 19
2
y’’= 12x – 10 y '' 0 x
y
ñieåm uoán:
,
,
6 36
6
6 36
BBT:
Ñoà thò:
x 1
x 2
4
4
Cho y 0 x 5x 4 0
b) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå (C) tieáp xuùc vôùi ñoà
2
thò y=x +a.
Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm: Goïi (P): y = x + a.
2
4
4
2
x 5x 4x a
(1)
(C) tieáp xuùc (P)
3
4x 10x2x
(2)
coù nghieäm
x 0
3
3
(
2) x 3x 0 x
x 3
0
x 3
Thay vaøo (1):
x 0 a 4; x 3 a 5
Vaäy a = 4, a = -55. Tie áp ñieåm
0,4 3,2
3,2 .
3
2
2
Caâu 26:
a) Khaûo saùt haøm soá khi m = 1:
Cho haøm soá: y = x -(2m + 1)x + (m - 3m + 2)x + 4
3
2
y=x - 3x + 4
TXD:D = R
x 0
2
y' = 3x - 6x ; y ' 0
x 2
y’’= 6x – 6 ; y’’= 0 x = 1 y = 2 ñieåm uo án I(1, 2)
BBT:
Ñoà thò:
x = 3, y = 4
x = -1, y = 0
31
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
b) Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà
3 2 2
phía truïc tung. Ta coù: y = x - (2m +1)x + (m - 3m + 2)x + 4
2 2
2
y’= 3x - 2(2m + 1)x + m - 3m + 2
Ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu ôû veà 2 phía cuûa truïc Oy.
y = 0 coù 2 nghieäm x x traùi daáu P< 0.
1,
2
2
m 3m 2
0 1 m 2
ÑS: 1 < m < 2
3
Caâu 27:
2
x 3x 6
x 1
a) Khaûo saùt haøm soá:
y
1
TXD: D=R\{1}
2
x 2x 3
x 1
y'
y' 0
2
x 3
x 1
Tieäm caän ñöùng: x=1 vì lim y
x1
4
4
0
Tieäm caän xie ân : Ta coù: y x 2
TCX: y = x - 2 vì lim
x 1
x x 1
BBT:
Ñoà thò:
Cho x = 0 y = -6
x = 2 y = 4
b) Töø ñoà thò haøm soá (1) haõy neâu caùch veõ vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x 3x 6
y
(C
1
)
Ta coù: y≥0 (C ) ôû phía treân Ox.
1
x 1
neáu (x 1)
y neáu (x 1)
y
y1
Suy ra caùch veõ (C ) nhö sau:
1
-
Phaàn cuûa ñoà thò (1) öùng vôùi x > 1 truøng vôùi (C1).
-
Boû phaàn cuûa (1) ö ùn g vôùi x < 1 vaø laáy phaàn ñoái xöùng
cuûa phaàn naøy qua truïc Ox ta ñöôïc (C1).
c) Töø goác O coù theå veõ ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán ñeán ñoà thò (C).
Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm (neáu coù).
-
Ñöôøng thaúng (d) qua 0 vaø coù heä soá goùc k laø: y=kx.
-
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä:
2
x 3x 6
kx
(1)
x 1
2
x 2x 3
k
(2)
2
x 1
Thay (2) vaøo (1):
32
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
2
x 3x 6 (x 2x 3)x
x 3 6
k 4 6 9
2
x 6x 3 0
x 3 6
2
x 1
x 1
k 4 6 9
Vaäy coù 2 tieáp tuyeán keû töø 0 ñeán ñoà thò (1).
Toïa ñoä tieáp ñieåm laø:
x 3 6 y 3 6 3 M (3 6,3 6 3)
1
x 3 6 y 3 6 3 M (3 6,3 6 3)
2
1
3
3
Caâu 28:
Cho haøm soá: y x x m
(1)
2
1
) Khaûo saùt haøm soá (1) khi m
3
1
3
2
3
3
y x x
(C)
TXD: D = R
2
y' x 1
x 1
x 1
y' 0
y'' 2x
2
3
2
3
y'' 0 x 0 y ñieåm uoán I(0, )
BBT:
Ñoà thò:
Cho
x 2, y 0
4
3
x 2, y
2) Tìm m ñeå ñoà thò (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät:
Ñoà thò (1) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
1
x3 x m 0
coù 3 nghieäm phaân bieät.
3
1
3
x3 x 2 m
2
(*) coù 3 nghieäm phaân bieät.
3
3
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø ñöôøng thaúng (d).
Phöông trình (*) coù 3 nghieäm phaân bieät (d) caét (C) taïi 3 ñieåm phaân bieät:
33
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
0 m
3
4
3
2
2
m
3
3
Caâu 29 :
2
x x
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá : y
(C)
x 2
TXÑ : D R \
2
2
x 4x 2
y'
2
(
x 2)
x 2 6
y' 0
x 2 6
Tieäm caän ñöùng :
x = 2 vì lim y
x2
6
x 2
Ta coù : y x 3
Tieäm caän xie ân :
y = x + 3 vì xlim
6
x 2
0
BBT:
Ñoà thò :
Cho x = 0 , y = 0
x = 1 , y = -2
Y
(C)
O
X
2) Xaùc ñònh b ñeå () caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät .
34
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi O.
1
y f '(O).x y x
2
(
)qua B(0, b) vaø song song (d) coù daïng :
1
2
(
) : y x b
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa () vaø (C) :
2
x x
x 2
1
2
x b
2
2
2x 2x x 2x 2bx 4b
2
3x 2bx 4b 0
(
)caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät : ' 0
2
b 12b 0 b 0 b 12
Toaï ñoä trung ñieåm I cuaû MN :
xM xN 2b
b
3
x
2
6
5x
2
y
1
y x b
2
5
2
x
Vaäy I naèm treân ñöôøng thaúng coá ñònh coù phöông trình :y
Caâu 30:
Cho haøm soá : y
x2 2mx 2
x 1
1
. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 1:
2
x 2x 2
y
x 1
TXÑ :D R \
1
2
x 2x
(
y'
x 1)2
x 0
x 2
y' 0
Tieäm caän ñöùng :
x = -1 vì lim
x1
1
x 1
Ta coù: y x 1
Tieäm caän xie ân :
y = x + 1 vì xlim
1
x 1
0
BBT:
35
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñoà thò:
2. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm
cöïc tieåu ñeán ñöôøng thaúng: x + y + 2 = 0 baèng nhau.
2
x 2mx 2
Ta coù: y
x 1
2
x 2x 2m 2
y'
2
(
x 1)
2
y' 0 x 2x 2m 2 0 (1)
Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu (1) coù 2 nghieäm phaân bieät.
3
2
' 3 2m 0 m
Toaï ñoä ñieåm CÑ M (x ,y ) vaø ñieåm CT M (x ,y ) cho bôûi:
1
1
1
2
2
2
u'(x1)
v'(x1)
u'(x2 )
x 1 3 2m y
2x 2m
1
1
1
x 1 3 2m y
2x 2m
2
2
2
v'(x2 )
Goïi (D): x + y +2 = 0, ta coù:d
M ,D
d
M ,D
1
2
36
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 2x 2m 2
x 2x 2m 2
1
1
2
2
2
2
3x 2m 2 3x 2m 2
1
2
3x 2m 2 3x 2m 2
1 2
3
x 2m 2 3x 2m 2
1 2
x x (loaïi)
1 2
4(m 1)
3
x x
1
2
2
4(m 1)
m
1
2
3
3
2
1
2
So vôùi ñieàu kieän m nhaän m
1
ÑS : m
2
Caâu 31:
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
3
2
y x 6x 9x (C)
TXÑ : D = R
y' 3x 12x 9
2
x 1
x 3
y' 0
y" 6x 12
y" 0 x 2 y 2 ñieåm uoán (2, 2)
BBT:
Ñoà thò:
Y
4
(C)
2
O
1
2
3
4
X
37
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
) a) Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò (C ) cuûa haøm soá:
1
3
2
y x 6x 9 x
1
3
2
Ta coù: y x 6 x 9 x y f ( x )
1
1
Ñaây laø haøm soá chaün neân ñoà thò (C ) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng.
1
Y
4
X
-3
O
3
(D)
Do ñoù ñoà thò (C ) suy töø (C) nhö sau:
1
-
-
Phaàn cuûa (C) beân phaûi truïc Oy giöõ nguyeân.
Boû phaàn cuûa (C) beân traùi Oy vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa
(
C) qua truïc Oy.
b) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
3
2
x 6x 9 x 3 m 0
3
2
x 6x 9 x 3 m
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø ñöôøng thaúng d: y = 3 – m Soá
1
giao ñieåm cuûa (C ) vaø d laø soá nghieäm cuûa phöông trình.
1
Bieän luaän:
3 m 0 m 3:voâ nghieäm
3 m 0 m 3: 3 nghieäm
0 3 m 4 1 m 3: 6 nghieäm
3 m 4 m 1: 4 nghieäm
3 m 4 m 1: 2 nghieäm
Caâu 32 :
1) a) Khaûo saùt haøm soá:
2
x x 1
y
x 1
TXÑ :D R \
1
2
x 2x
y'
2
(
x 1)
x 0
x 2
y' 0
Tieäm caän ñöùng:
1
x = 1 vì lxim1
x 1
38
Cï §øc Hoµ
Ta coù: y x
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
x 1
Tieäm caän xie ân :
1
y = x vì lim
0
x
x 1
BBT:
Ñoà thò :
(C)
Y
3
I
1
O
X
1
2
-1
b) Xaùc ñònh A(x ,y )(C) vôùi x 1 sao cho khoaûng caùch töø A ñeán giao ñieåm hai
1
1
1
ñöôøng tieäm caän nhoû nhaát.
Goïi I laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieäm caän:
x 1 y 1 I(1,1)
1
A(x ,y )(C) y x
1
1
1
1
x 1
1
2
2
2
Ta coù : AI (x 1) (y 1)
1
1
2
2
(x 1) x 1
1 1
x1 1
1
1
1
2
2
2
AI 2(x 1)
2 2 2(x 1) .
2
1
2
1
2
(
x1 1)
(x 1)
1
2 2 2 2( 2 1)
Min AI 2( 2 1) khi :
2
39
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
x1 1)2
1
1
2
2
4
2
(x 1)
(x 1)
1
1
(
x1 1 4
2
1
2
x1 1 4
1
2
4
y 2
1
4
1
x1 1 4 (loaïi)
2
1
2
1
2
, 4 2
Vaäy : A 1
thì Min AI 2( 2 1)
x 3
4
4
2
) Tìm taäp giaù trò cuûa y
vaø caùc tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá ñoù:
2
x 1
Mieàn xaùc ñònh R.
3x
1
1
3
y'
, y' 0 x
2
2
(
x 1) x 1
Baûng bieán thieân:
Döïa vaøo baûng bieán thieân ta keát luaän:
Mieàn giaù trò cuûa haøm soá :(1, 10}
Ñoà thò coù 2 ñöôøng tieäm caän ngang:y 1 y 1
CAÂU 33:
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x 2x 2
y
x 1
TXÑ: D = R\{1}
2
x 2x
y '
2
(
x 1)
x 0
x 2
y ' 0
Tieäm caän ñöùng:
x = 1 vì lim
x 1
1
Ta coù: y x 3
x 1
Tieäm caän xie ân :
40
Cï §øc Hoµ
y = x + 3 vì
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
lim
x
0
x 1
BBT:
Ñoà thò:
2
) Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán giao ñieåm 2 ñöôøng tieäm
caän laø nhoû nhaát.
Giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng tieäm caän laø: I(1,4)
1
Goïi M 1 a,4 a (C)
a
Xeùt a > 0
Ta coù:
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
IM a a
2a
2 2 2a .
2
a
a
a
2 2 2
IM 2 2 2
min(IM ) 2 2 2 khi 2a
1
1
2
2
4
a
2
a
1
1
1
,4 2
4
a
M 1
4
4
4
2
2
2
Do tính ñoái xöùng neân coù 2 ñieåm M thoaû ñieàu kieän baøi toaùn:
41
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
1
4
2
4
M 1
,4
,4
2
1
4
2
1
1
4
2
4
M
1
2
2
4
2
CAÂU34:
Cho haøm soá: y
2
x mx 1
x 1
Tìm m ñeå tieäm caän xuyeân caét caùc truïc toaï ñoä taïi A, B sao cho:
SOAB 18
m
Ta coù:
y x m 1
x 1
TCX: y = x + m + 1 vì lim
m
0
x 1
x
TCX caét Ox taïi A: y = 0 suy ra x = -m-1
A(-m-1, 0)
TCX caét Oy taïi B: x = 0 y = m + 1
B(0, m+1)
1
S
OA.OB 18
OAB
2
m 1 . m 1 36
m 5
2
m 1
36
m 7
CAÂU 35:
) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 1
1
3
2
y x 6x 9x 4
TXÑ: D = R
2
y ' 3x 12x 9
x 1
x 3
y ' 0
y '' 6x 12
y '' 0 x 2 y 2 ñieåm uoán (2, 2).
BBT:
Ñoà thò:
42
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Cho x = 0, y = 4
x = 4, y = 0
2) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua
ñieåm I(0, 4)
3
2
Ta coù: y x 3
m 1
x 3
2m 1 x 4
3
y ' 3x 6
m 1
x 3
2m 1
3
y ' 0 3x 6
m 1
x 3
2m 1
0
(1)
2
x 2
m 1 x 2m 1 0
Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ' 0
2
2
m 1
2m 1 0 m 0 m 0
x 1
y 3m 3
1
1
3
x 2m 1 y 4m 3m 3
2
2
Toïa ñoä ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu laø:
3
M (1,3m 3), M (2m 1,4m 3m 3)
1
2
M Vaø M ñoái xöùng nhau qua I I laø trung ñieåm M M
1
2
1
2
x x 0
2
m 2 0
1
2
3
y y 8
4m 3m 33m 3 8
1
2
m 1
m 1
3
3
m 1 4m 4m 2 0
4m 6m 2 0
m 1
(nhaän)
ÑS: m 1
CAÂU 36:
43
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
2
x (6 m)x
Cho haøm soá y
mx 2
1
) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu:
2
2
mx 8x 12 2m
Ta coù: y '
2
mx 2
2
y ' 0 2mx 8x 12 2m 0
2
mx 4x 6 m 0 (1)
Haøm soá ñaït cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (1) coù 2 nghieäm phaân bieät.
m 0
m 0
' 0
4 m 6 m 0
m 0
m 0
2
m 6m 4 0
m 3 5 m 3 5
Vaäy: m 3 5 m 3 5 vaø m 0 thì haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
2
) Khaûo saùt haøm soá khi m = 1:
2
2
x 5x
x 2
y
(C)
TXÑ: D = R\ {-2}
2
2
x 8x 10
y '
0
x 2
2
x 2
Haøm soá taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
Tieäm caän ñöùng :
x = -2 vì lim y
x 2
2
Ta coù:
y 2x 1
x 2
Tieäm caän xie ân :
2
y = 2x + 1 vì lim
0
x 2
x
BBT:
Ñieåm ñaëc bieät:
Ñoà thò:
44
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
) Chöùng minh raèng taïi moïi ñieåm cuûa (C) tie áp tuyeán luoân luoân caét 2 tieäm caän moät
tam giaùc coù dieän tích khoâng ñoåi.
Ñoåi truïc baèng tònh tieán theo veùc tô OI (2,3)
x X 2
y Y 3
2
Thay vaøo y 2x 1
x 2
2
2
Y 3 2X 3
Y 2X
X
X
2
2
Y ' 2
X
2
Goïi M (X ,Y )(C) Y 2X
0 0
0
0
0
X
0
Phöông trình tieáp tuyeán taïi M0 :
Y f '(X )(X X ) Y
0
0
0
2
2
Y 2
X X 2X
2
0
0
X
X
0
0
2
4
Y 2
X
2
X
X
0
0
TCÑ: X= 0
TCX: Y= 2X
Giao ñieåm vôùi tieäm caän ñöùng:
45
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
4
4
X 0 Y
A0,
X
X
0
0
Giao ñieåm vôùi TCX:
2
4
2X X 2X Y 4X
2
X
2
0
0
X
X
0
0
B 2X ,4X
0
0
1
1
4
S
X
Y 2X
B A
4 (khoâng ñoåi)
IAB
0
2
2
X
0
CAÂU 37:
3
2
1
) Cho haøm soá: y x 3(a 1)x 3a(a 2)x 1
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi a=0
3
2
y x 3x 1
D = R
2
y ' 3x 6x 3x
x 2
x 0
y ' 0
y '' 6x 6
x 2
y '' 0 x 1 y 3
Ñieåm uoán (-1, 3)
BBT:
Ñoà thò:
Cho
x 1 y 5
x 3 y 1
46
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì haøm soá ñoàn bieán vôùi 1 x 2
Ta coù:
y x 3
3
2
a 1
x 3a
a 2
x 1
2
y ' 3x 6
a 1
x 3a
a 2
Haøm soá ñoàng bieán vôùi 1 x 2
y' 0 vôùi 1 x 2
2
x 2
a 1
x a
a 2
0 vôùi : 2 x 1 1 x 2
BXD:
y ' 0 vôùi 2 x 1 1 x 2
1 a 2 a 1
a 1 a 1 a
�
Vaäy haøm soá ñoàng bieán trong 1 x 2 vôùi moïi a
�
m
2
2
) Tìm m ñeå ñoà thò y x 3x x 3 coù 3 ñieåm cöïc trò.
m
Ta coù: y ' 2x 3
2
x
Haøm soá coù 3 cöïc trò y’= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
3 2
2x 3x m 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
3 2
Xeùt haøm soá g
x
2x 3x m
2
g '(x) 6x 6x
x 0
x 1
ycñ m
y m 1
g '
x
0
CT
47
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
g(x) = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät y .y 0
cñ ct
m m 1 0 1 m 0
Vaäy ñoà thò coù 3 ñieåm cöïc trò khi: -1 < m < 0
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng cong chöùa 3 ñieåm cöïc trò:
1
3 3 3 m 3 m
y f ' x
x . .
2
2
4 4 2 x
4
x
Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò thoûa heä:
m
f ' x 0
2x 3
1
2
x
3 3 m 3 m
y . .
3 3 m 3 m
y . .
2
2
4
2 x
4
x
4
2 x
4
x
2
Khöû m ta coù:
m
m
2
2x 3 2x 3x
x
2
x
Thay vaøo (2) ta ñöôïc :
3
3
3
4
2
y 2x 3x
2x 3
4
2
2
y 3x 6x 3
2
y 3 x 1
Vaäy 3 ñieåm cöïc trò ôû treân ñöôøng cong coù phöông trình:
y 3
x 12
Caâu 38 :
2
) Veõ ñoà thò haøm soá:y x x (x 1) 4x
2
2
2
1
2
2
2
y x x (x 1)
2
2
y x x x 1
x-1
neáu x -1 x 1
y
2
-2x +x+1 neáu -1 x 1
48
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
x 1
vôùi truïc hoaønh
x 3
2
) Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá: y
bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc ñöôøng thaúng y = x + 2001.
Goïi (d): y = x + 2001
(
) : y x b laø tieáp tuyeán (d)
x 1
x 3
x b (1)
(
)
Tieáp xuùc (C)
4
(x 3)
-1
(2)
2
x 1
x 5
2
(
2) (x 3) 4
Thay vaøo (1): x 1 b 0
x 5 b 8
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán laø: y = -x hay y = -x + 8
Suy ra giao ñieåm vôùi truïc hoaønh laø O(0, 0), A(8, 0).
Caâu 39 :
2
3
2
(
m 1)x 2mx (m m 2)
x m
Cho haøm soá : y
(Cm )
1
) Khaûo saùt haøm soá ñaõ cho vôùi m = 0:
2
x 2
2
x
y
x
x
TXÑ: D R \ 0
2
x
y' 1
0,x
2
Haøm soá ñoàng bieán treân töøng khoaûng ñònh .
TCÑ: x = 0 vì lim y
x0
2
TCX: y = x vì xlim 0
x
BBT:
49
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñieåm ñaëc bieät:
x 2,y 0
x 1,y 1
x 1,y 1
Ñoà thò:
2
) Ñònh m ñeå haøm soá (C ) luoân luoân nghòch bieán treân caùc khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.
m
2 3 2
Ta coù: y
(
m 1)x 2mx (m m 2)
x m
2
2 3
m 1)x 2m(m 1)x m m 2
x m)2
(
y'
(
Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
y' 0,x m
(m 1)x 2m(m 1)x m m 2) 0,x m
2
3
2
m 1 0
' 0
m 1
2
2
3
2
m (m 1) (m 1)(m m 2) 0
m 1
m 1
m 1
( voâ nghieäm )
2(m 1) 0
Vaäy khoâng coù giaù trò naøo cuûa m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán treân caùc khoaûng xaùc ñònh
cuûa noù.
50
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Caâu 40 :
1) Khaûo saùt haøm soá:y
x2 x 5
x 2
(C)
TXÑ: D R \
2
2
x 4x 3
y'
2
(
x 2)
y' 0
x 1
x 3
Tieäm caän ñöùng: x = 2 vì lim
x2
1
x 2
Ta coù: y x 3
1
x 2
Tieäm caän xie ân : y = x + 3 vì xlim
0
BBT:
Ñoà thò:
5
2
Cho x 0 y
2) Chöùng minh raèng tích khoaûng caùch töø 1 ñieåm M baát kyø tre ân (C) ñeán caùc ñöôøng tieäm
caän laø 1 haèng soá.
1
Goïi M(x ,y )(C) y x 3
0
0
0
0
x0 2
TCÑ: x –2 = 0
TCX: x – y + 3 = 0
x 2 x y 3
0
0
0
Ta coù: d(M,TCÑ).d(M,TCX)
.
1
2
51
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
x0 2
1
= haèng soá
x0 2 .
2
2
3
) Tìm treân moãi nhaùnh cuûa (C) 1 ñieåm sao cho khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát:
1 1
Goïi A(2 a,5 a ) ( a > 0) vaø B(2 b,5 b ) (b > 0) laø hai ñieåm thuoäc 2 nhaùnh cuûa
a
b
(
C).
1
b
1
a
2
2
2
Ta coù: AB (b a) (b a )
2
1
ab
2 1
8ab 8
ab a b
4
ab
2
2
(b a) (b a) 1
4ab 4ab 1
2
2
4
ab
4
ab
8 8ab
8 2 8ab.
8 8 2
AB 2 2(1 2)
min(AB) 2 2(1 2)
khi:
a b
a b
4
ab
1
2
2
2
8ab
a b
1
2
1
2
4
4
a b a b 4
1
2
1
4
Vaäy: A 2
,5 2
4
4
2
1
1
4
B 2
,5 2
4
4
2
2
Caâu 41:
1
) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x
y
(C)
x1
TXÑ: D = R\{1}
2
x 2x
y'
2
(
x1)
x 0
x 2
y' 0
Tieäm caän ñöùng:
x = 1 vì lim y
x1
1
x1
Ta coù: y x1
Tieäm caän xie ân :
y = x + 1 vì lim
1
0
x x1
52
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
BBT:
Ñoà thò:
2
) Tìm treân ñöôøng thaúng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå keû tôùi
0
(
C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 45 .
-
Goïi M(a, 4) ñöôøng thaúng y = 4, ta coù ñöôøng thaúng y = 4 laø tieáp tuyeán keû töø M
0
ñeán (C) vaø song song Ox tieáp tuye án thöù hai taïo vôùi Ox 1 goùc baèng ± 45
Heä soá goùc tieáp tuyeán taïi M (x , y ) (C) laø f’(x ) = ± 1
0
0
0
0
2
x 2x
0
0
=1 (voâ nghieäm)
f'(x ) 1
0
(
x 1)2
0
2
x 2x
0
0
f'(x ) 1
= 1
0
(
x 1)2
0
2
2
2
2
x0 1
2
2x 4x 1 0
0
0
x 1
0
3
3
2
y0 2
y0 2
2
2
2
Phöông trình tie áp tuyeán taïi M laø:
0
53
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
y (x x ) y
0
0
y x 3 2 2
y x 3 2 2
(d1)
(d2 )
(
(
d1) qua M(a, 4) 4 a 3 2 2 a 1 2 2
d2) qua M(a, 4) 4 a 3 2 2 a 1 2 2
Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa ñieàu kieän cuûa baøi toaùn.
M (1 2 2,4); M (1 2 2,4)
1
2
Caâu42:
1
) Khaûo saùt haøm soá:
3
y= x 3x
(1)
TXÑ: D = R2
y’=3x 3
x1
x1
y'=0
y”=6x
y”=0 x=0 =>y=0
> ñieåm uoán O(0, 0)
=
BBT:
Ñoà thò:
2
) Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi, ñöôøng thaúng y = m(x + 1) + 2 luoân caét ñoà thò (1)
taïi 1 ñieåm coá ñònh A:
Ñöôøng thaúng (d): y = m(x + 1) + 2 luoân ñi qua ñieåm coá ñònh A(-1, 2).
*
Thay A(-1, 2) vaøo (1) thoaû =>A ñoà thò (1).
Vaäy: (d) luoân caét ñoà thò (1) taïi ñieåm coá ñònh A(-1, 2).
54
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñònh m ñeå (d) caét ñoà thò (1) taïi 3 ñieåm A, B, C phaân bieät sao cho tieáp tuyeán taïi B vaø
C vuoâng goùc vôùi nhau.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C):
3
x 3x = m(x + 1) + 2
2
(x+1)( x - x – 2 - m) = 0
(d) caét (1) taïi 3 ñieåm phaân bieät.
x 1
x x 2m0 (2)
2
(2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc –1.
9
4
m
0
14(2m)0
m 0
g(1)0
m 0
Khi ñoù (2) coù 2 nghieäm x , x => heä soá tieáp tuyeán taïi B vaø C laø: f’( x ), f’( x )
B
C
B
C
Tieáp tuyeán taïi B vaø C vuoâng goùc nhau f’( x ).f’( x ) = -1
B
C
2 2
(3 x -3)(3 x - 3) = -1
B C
2 2 2 2
9 x x - 9( x + x ) + 9 = -1
B
C
B
C
2
2
9 P -9(S - 2P) +10 = 0
b
a
S 1
Maø:
P 2 m
2
=
=
> 9(2m) - 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0
> 9m +18m – 9 = 0
2
m1 2
(loaïi)
m1 2
2
=
>m +2m-1=0
9
So vôùi ñieàu kieän: m > - vaø m -1+ 2 .
4
Caâu43:
Cho haøm soá: y=
2
2
x 2x m
x 2
1
) Tìm giaù trò cuûa m sao cho y 2 vôùi moïi x -2
Ta coù: y 2 y-2 y2
maxy 2 min y 2
x2
x2
2
2
x 4x 4 m
Maø: y’=
2
(
x 2)
x12m
x22m
2
2
y’= 0 x 4x 4 m 0
(m 0)
55
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
u'(x )
1
y
22m
22m
CÐ
v'(x )
1
(m 0)
u'(x )
2
y
CT
v'(x )
2
Ta coù:
max y 2
x2
min y 2
x2
22m 2
22m 2
m0
m2m2
m 2 m 2
Vaäy: y 2,x 2 khi m 2 m 2
) Khaûo saùt haøm soá vôùi m = 1:
2
2
x 2x 1
1
y
x
x 2
x 2
TXÑ: D = R\{-2}
x 4x 3
2
y '
2
(
x 2)
x3
x1
y ' 0
Tieäm caän ñöùng:
x = -2 vì lim y
x2
Tieäm caän xie ân :
1
y = x vì lxim
0
x 2
BBT:
Ñoà thò:
1
Cho x=0, y = 2
56
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Caâu 44:
Cho haøm soá: y = 8
2
x 8x
(x m)
(1)
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) vôùi m = 1:
2
x 8x
y= 8
(x 1)
TXÑ: D = R\{-1}
2
8x 16x 64
2
x 2x 8
y’=
=
2
2
6
4(x 1)
x4
x2
8(x 1)
y’= 0
Tieäm caän ñöùng:
x = -1 vì lim y
x1
1
9
8
9
Ta coù: y= x -
+
8
8(x 1)
Tieäm caän xie ân :
1
9
9
y= x- vì lim
0
x
8
8
8(x 1)
BBT:
Ñoà thò:
57
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
) Tìm m sao cho haøm soá (1) ñoàng bieán treân [1, )
2
x 8x
Ta coù: y
(1)
8(xm)
D = R\{-m}
2
2
8
x 16mx64m x 2mx8m
y'
2
2
6
4(xm)
8(xm)
Haøm soá (1) ñoàng bieán treân [1, ) y' 0, x [1;)
2
x 2mx 8m 0, x [1;)
2
'0
m 8m0
1m0
m1
m1
'0
1
6
'0
Hay
af '(1)0
0m
x x 1
1
2
S
10
2
1
ÑS: 1 m
6
Caâu 45:
1
) Khaûo saùt haøm soá :
2
y (x 1) (x 2)
(C)
3
y x 3x 2
58
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
TXÑ: D = R
y' 3x 3
2
y’=0
x1
x1
y”=6x
y”= 0 x= 0 x = 0 y= 2 ñieåm uoán I(0, -2)
BBT:
Ñoà thò: Cho x = 2 , y = 4
x = 2, y = 0
2
) Xaùc ñònh k ñeå ñöôøng thaúng () qua M(2, 0) vaø coù heä soá goùc k caét ñoà thò haøm soá sau
taïi 4 ñieåm phaân bieät:
y x 3 x 2 (C )
3
1
1
Ta coù: y f x
1
Ñaây laø haøm soá chaün neân ñoà thò (C ) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng.
1
Ñoà thò (C ) suy töø ( C) nhö sau:
1
59
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
-
Phaàn cuûa (C) beân phaûi Oy giöõ nguyeân, boû phaàn cuûa (C) beân traùi Oy vaø laáy phaàn ñoái
xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa (C) qua Oy.
Xeùt ñöoøng thaúng (d ) qua 2 ñie åm M(2, 0) vaø I(0, -2)
1
yM yI
2
Heä soá goùc k
1
1
xM xI
2
Xeùt ñöôøng thaúng (d ) qua 2 ñie åm M(2, 0) vaø A(-1, -4):
2
yM yA
xM xA
4
Heä soá goùc k
2
3
Neáu () qua M vaø naèm giöõa (d ) vaø (d ) thì () caét (C ) taïi 4 ñieåm phaân bieät.
2
1
1
4
3
1 k
Caâu 46:
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá :
1
3
x 1
y
(1)
x 3
TXÑ: D = R \{3}
10
y'
0
2
(
x 3)
Haøm soá giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh .
Tieäm caän ñöùng :
x = 3 vì lim y
x3
TCN:
y = 3 vì lim y 3
x
BBT:
60
Cï §øc Hoµ
Ñieåm ñaëc bieät:
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2) Tìm haøm soá maø ñoà thò cuûa noù ñoái xöùng cu ûa (C) qua ñöôøng thaúng x + y – 3 = 0.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän cuûa (C) I(3, 3)
Goïi () : x + y –3 = 0
Ta coù: I vaø O ñoái xöùng qua ().
Ñoåi truïc baèng tònh tieán theo vectô OI (3,3)
x X 3
y Y 3
Thay vaøo phöông trình cuûa (C):
X 10
3
10
Y 3
Y
X
X
Ta coù:
TCÑ cuûa (C) ñoái xöùng qua () laø truïc Ox.
TCN cuûa (C) ñoái xöùng qua () laø truïc Oy.
Hai Ñöôøng tieäm caän cuûa (C ) ñoâi xöùng cuûa (C) qua () laø 2 truïc Ox, Oy neân phöông
1
trình cuûa (C ) laø :
1
1
x
0
y
3
) C(a,b) laø 1 ñieåm tuyø yù treân (C). Tieáp tuye án taïi C caét 2 ñöôøng tieäm caän taïi A vaø B.
Chöùng minh raèng C laø trung ñieåm cuûa AB vaø dieän tích IABkhoâng ñoåi.
Ta coù ñoái vôùi heä truïc môùi:
1
0
10
'
(C) Y = -
Y=
2
X
X
61
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
10
C(a , b ) C b
a
Tieáp tuyeán taïi C coù phöông trình:
1
0
2
Y f '(X )(X X ) Y
Y ' (X a) b
c
c
c
a
1
0
2
10 10
Y X
a
20
a
a
a
1
0
2
Y X
a
20
A 0 ,
Tieáp tuyeán caét TCÑ taïi A
Tieáp tuyeán caét TCN taïi B
a
B (2a , 0)
X X
A
B
a X
C
2
Y Y
10
A
B
Y
C
2
a
C laø trung ñieåm AB
Maët khaùc:
1
2
1
2
20
20 (ñvdt)
a
S
X . Y 2a .
IAB
B A
Vaäy: C laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø SIAB = 20 (khoâng ñoåi).
Caâu 47:
4
2
Cho haøm soá: y = x – 4x + m (C)
1
) Khaûo saùt haøm soá vôùi m = 3:
4 2
y = x – 4x + 3
TCÑ: D = R
3
2
y' 4x 8x 4x(x 2)
x 0
y' 0
x 2
2
y'' 12x 8
2
7
9
y'' 0 x
y
3
62
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
3
7
2
7
Ñieåm uoán:
,
,
,
9
3 9
BBT:
Ñoà thò (hoïc sinh haõy töï veõ)
x 1
Cho y 0
x 3
2) Giaû söû (C) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät. Xaùc ñònh m sao cho dieän tích hình phaúng giôùi
haïn bôûi (C) vaø truïc Ox coù dieän tích phía treân vaø phía döôùi Ox baèng nhau.
4
2
(
C) caét Ox taïi 4 ñieåm phaân bieät x 4x m 0 (1)
2
coù 4 nghie äm phaân bieät t 4t m 0 (2)
2
(
vôùi t x 0) coù 2 nghieäm phaân bieät.
0
P 0
S 0
4 m 0
m 0
4 0
0 m 4
Khi ñoù, do tính ñoái xöùng, theo ñeà baøi ta coù : S = S .
1
2
a
b
f (x)dx f (x)dx
a
0
F(a) F(0) F(b) F(a)
F(b) F(0)
63
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
maø:
5
3
x
4x
F(x)
mx
5
3
5
3
b
4b
mb 0
m 0
5
3
4
2
b
4b
(b 0)
(1)
5
3
Maø ñieåm
4
2
(b , 0) (C) b 4b m 0
(2)
2 4
m 4b b
Thay vaøo (1)
4
2
b
4b
2
4
4b b 0
5
3
2
4
8
b
4b
10
3
40 100 20
m
2
0 b
3
5
3
9
9
2
0
Vaäy m
9
CAÂU 48:
1
3
2
Cho haøm soá : y x mx x m 1
3
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 0
1
3
y x x 1 (C)
3
TXÑ : D = R
2
y ' x 1
x 1
x 1
y ' 0
y '' 2x
y '' 0 x 0 y 1
ñieåm uoán I(0, 1)
BBT:
64
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñoà thò:
1
Cho x 2 , y 3
5
x 2 , y
3
2
) Tìm tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát
1
3
Ta coù : y x x 1
3
2
y' x 1
y'' 2x
BXD:
min y ' 1 taïi x = 0, y = 1 I(0, 1)
R
Vaäy : Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán I laø nhoû nhaát.
Phöông trình tieáp tuyeán taïi I laø:
2
y ' x 2mx 1
2
y ' 0 x 2mx 1 0 (1)
2
' m 1 0 ,m (1) coù hai nghieäm phaân bieät.
Haøm luoân luo ân coù CÑ, CT.
Tìm m sao cho khoaûng caùch giöõa ñieåm CÑ vaø ñieåm CT laø nhoû nhaát.
Goïi M (x , y ) vaø M (x , y ) laø ñieåm CÑ vaø CT cuûa ñoà thò, ta coù:
-
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
M M (x x ) (y y )
1
1
2
1
2
Ñeå tìm y , y ta chia f(x) cho f ’(x) :
1
2
1
1 2
2
2
y f '(x). x m (m 1)x m 1
3
3 3
3
Vì f ’(x ) = 0, f ’(x ) = 0
1
2
65
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
2
2
y1 (m 1)x m 1
1
3
2
3
2
2
y
(m 1)x m 1
2
1
3
3
4
2
2
2
2
2
M M (x x ) (m 1 )(x x )
1
2
2
1
2
1
9
4
9
2
2
(m 1) 1
2
1
(x x )
2
2
' 4
(m 1) 1
2
2
a
9
5
2
2
2
min M M
khi m = 0
1
9
2
3
khi m = 0
min M M
1
2
3
Caâu 49 :
1. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá :
3 2
y x 6x 9x (C)
TXÑ : D = R
y' 3x 12x 9
2
x 1
x 3
y' 0
y" 6x 12
y" 0 x 2 y 2 ñieåm uoán (2,2)
BBT :
Ñoà thò :
Y
4
(C)
2
O
1
2
3
4
X
2
.a.Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò (C ) cuûa haøm soá :
1
3
2
y x 6x 9 x
1
66
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
Ta coù : y x 6 x 9 x y f ( x )
1
1
Ñaây laø haøm soá chaún neân ñoà thò (C ) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng
1
Y
4
X
-3
O
3
(D)
Do ñoù ñoà thò (C ) suy töø (C) nhö sau :
1
-
-
Phaàn cuûa (C) beân phaûi truïc Oy giöõ nguyeân
Boû phaàn cuûa (C) beân traùi Oy vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa (C) qua truïc
Oy.
b.Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình :
3
2
x 6x 9 x 3 m 0
3
2
x 6x 9 x 3 m
Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø ñöôøng thaúng d : y = 3 – m . Soá
1
giao ñieåm cuûa (C ) vaø d laø soá nghieäm cuûa phöông trình .
1
Bieän luaän :
3
3
0
3
3
m 0 m 3:voâ nghieäm
m 0 m 3: 3 nghieäm
3 m 4 1 m 3: 6 nghieäm
m 4 m 1: 4 nghieäm
m 4 m 1: 2 nghieäm
Caâu 50:
Cho haøm soá : y = (m + 2)x + 3x + mx – 5
3
2
1
) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá coù CÑ, CT:
2
Ta coù:
y’ = 3(m + 2)x + 6x + m
2
y’ = 0 3(m + 2)x + 6x + m = 0 (1)
Haøm soá coù CÑ, CT (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
m 2 0
m 2
' 0
9 3m(m 2) 0
m 2
m 2
3 m 1
2
3m 6m 9 0
Vaäy haøm soá coù CÑ, CT khi:
3 < m < 1 vaø m -2
) Khaûo saùt haøm soá öùng vôùi m = 0
-
2
3
2
y = 2x + 3x – 5
(C)
67
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
TXÑ: D = R
y ' 6x 6x
2
x 0
y ' 0
x 1
y '' 12x 6
1
9
1 9
y '' 0 x y ñieåm uoán ,
2 2
2
2
BBT:
Ñoà thò :
1
Cho x , y 4
2
3
x , y 5
2
x 1, y 0
68
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3) Chöùng minh raèng töø ñieåm A(1, -4) coù 3 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) : Ñöôøng thaúng (d) qua
A coù heä soá goùc k coù phöông trình:
y = k(x - 1) – 4
3
2
2
x 3x 5 k(x 1) 4 (1)
(d) tieáp xuùc vôùi (C)
coù nghieäm.
(2)
2
6x 6x k
Thay (2) vaøo (1)
3 2 2
x 3x 5 (6x 6x)(x 1) 4
2
3 2 3 2 2
2x 3x 5 6x 6x 6x 6x 4
3
2
4x 3x 6x 1 0
(3)
x 1
2
(x 1)(4x 7x 1) 0
7
33
x
8
(3) coù 3 nghieäm thay vaøo (2) 3 giaù trò k
Vaäy : Töø A(1, -4) coù 3 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C)
CAÂU 51:
3
2
1
) Cho haøm soá: y x 3(a 1)x 3a(a 2)x 1
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi a=0
3
2
y x 3x 1
D = R
2
y ' 3x 6x 3x
x 2
x 0
y ' 0
y '' 6x 6
x 2
y '' 0 x 1 y 3
69
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñieåm uoán (-1, 3)
BBT:
Ñoà thò:
Cho
x 1 y 5
x 3 y 1
b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì haøm soá ñoàn bieán vôùi 1 x 2
Ta coù:
3
2
y x 3
a 1
x 3a
a 2
x 1
2
y ' 3x 6
a 1
x 3a
a 2
Haøm soá ñoàng bieán vôùi 1 x 2
y' 0 vôùi 1 x 2
2
x 2
a 1
x a
a 2
0 vôùi : 2 x 1 1 x 2
BXD:
y ' 0 vôùi 2 x 1 1 x 2
1 a 2 a 1
a 1 a 1 a
�
Vaäy haøm soá ñoàng bieán trong 1 x 2 vôùi moïi a
�
70
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
m
2
2
) Tìm m ñeå ñoà thò y x 3x 3 coù 3 ñieåm cöïc trò.
x
m
Ta coù: y ' 2x 3
2
x
Haøm soá coù 3 cöïc trò y’= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
3 2
2x 3x m 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
3 2
Xeùt haøm soá g
x
2x 3x m
2
g '(x) 6x 6x
x 0
x 1
ycñ m
y m 1
g '
x
0
CT
g(x) = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät y .y 0
cñ ct
m
m 1
0 1 m 0
Vaäy ñoà thò coù 3 ñieåm cöïc trò khi: -1 < m < 0
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng cong chöùa 3 ñieåm cöïc trò:
1
3 3 3 m 3 m
y f ' x
x . .
2
2
4 4 2 x
4
x
Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò thoûa heä:
m
f ' x 0
2x 3
1
2
x
3 3 m 3 m
y . .
3 3 m 3 m
y . .
2
2
4
2 x
4
x
4
2 x
4
x
2
Khöû m ta coù:
m
m
2
2x 3 2x 3x
x
2
x
Thay vaøo (2) ta ñöôïc :
3
3
3
4
2
y 2x 3x
2x 3
4
2
2
y 3x 6x 3
2
y 3 x 1
Vaäy 3 ñieåm cöïc trò ôû treân ñöôøng cong coù phöông trình:
y 3
x 12
Caâu 52:
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá : y
TXÑ : D = R\ 1
2
x x1
1
1
x 2
x1
x1
71
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
x 2x
y'
2
(x1)
x 0
x 2
y' 0
Tieäm caän ñöùng : x = 1 vì lim y
x1
1
0
x x1
Tieäm caän xie ân : y = x + 2 vì lim
BBT:
Ñoà Thò:
2) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø 1 ñieåm baát kì treân (C) tôùi hai tieäm caän cuûa
(
C) laø 1 soá khoâng ñoåi.
1
Goïi M(a, b) (C) b = a + 2 +
a - 1
TCÑ : x – 1 = 0
TCX : y – x – 2 = 0
b a 2
Ta coù: d(M, TCÑ). d(M, TCX) = a 1
a 1
2
1
1
2
(khoâng ñoåi)
(C)
2
a 1
Caâu 53:
3
2
1) Khaûo saùt haøm soá : y = 2x + 3x – 12x – 1
72
Cï §øc Hoµ
TXÑ : D = R
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
y' 6x 6x12
x 1
y' 0
x 2
y'' 12x 6
1
11
y'' 0 x y
2
2
1 11
ñieåm uoán ,
2
2
BBT:
Ñieåm ñaët bieät:
7
x , y 8
2
5
x , y 19
2
2) Tìm ñieåm M thuoäc (C) sao cho tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M ñi qua O. Ñöôøng thaúng (d) ñi
qua O vaø coù heä soá goùc k coù phöông trình:
y = kx
3
2
2
x 3x 12x1 k x
(1)
(d) tieáp xuùc (C)
coù nghieäm.
(2)
2
6x 6x12 k
Thay (2) vaøo (1) :
73
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
2
2
x 3x 12x1 (6x 6x12)x
3 2 3 2
2x 3x 12x1 6x 6x 12x
3
2
4x 3x 1 0
2
(x1)(4x x1) 0
x 1 y 12
2
(voâ
4
x x1 0
nghieäm)
Vaäy toaï ñoä tieáp ñieåm M laø: M(-1, 12).
Caâu 54:
2
x (m 2)x m 1
Cho haøm soá: y
x1
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 2:
2
x 3
x1
4
y
x1
(C)
x1
TXÑ: D = R\-1
2
x 2x 3
y'
2
(x1)
x 1
y' 0
x 3
Tieäm caän ñöùng:
x = –1 vì lim y
x1
Tieäm caän xie ân :
y = x – 1 vì lim
4
0
x x1
BBT:
Ñoà thò:
Cho x = 0 , y = 3
x = –2 , y = –7
74
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
) Tìm m treân ñoà thò coù 2 ñieåm A, B sao cho :
5
x – y + 3 = 0, 5x – y + 3 = 0
A
A
B
B
Ta coù: A, B (d’) : 5x – y + 3 = 0 y = 5x + 3
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C ) vaø (d’) :
m
2
x (m 2)x m 1
5x 3
x1
2
x (m 2)x m 1 (5x 3)(x1)
2
4x (m 10)x 2 m 0
2
2
(m 10) 16(2 m) m 4m 68 0,m
Vaäy (d’) luoân luo ân caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B vôùi moïi m.
m
-
Tìm m ñeå 2 ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng (d) : x + 5y + 9 = 0
Ta coù: (d) (d’).
Toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB:
xA xB m 10
x1
2
8
(m 10)
8
5
5m 26
y 5x 3
3
1
1
8
A vaø B ñoái xöùng nhau qua (d) I (d)
m 10 5(5m 26)
9 0
8
8
6
2
8
6
34
13
26m 68 0 m
34
Vaäy : m 1
3
Caâu 55:
3
2
1) Khaûo saùt haøm soá: y = x – 2x + x (C)
TXÑ : D = R
75
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
y' 3x 4x1
x 1
y' 0
1
x
3
y'' 6x 4
2
2
2 2
ñieåm uoán
3 27
y'' 0 x y
,
3
27
BBT:
Ñieåm ñaëc bieät:
Cho x = 0, y = 0
4
4
x , y
3
27
2) Tìm dieän tích giôùi haïn bôûi (C) vaø ñöôøng thaúng y = 4x.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm :
3
2
x 2x x 4x
3
2
x 2x 3x 0
2
x(x 2x 3) 0
x 0
x 1
x 3
Dieän tích hình phaúng cho bôûi:
76
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
0
3
3
2
3
2
S (x 2x x 4x)d x (4x x 2x x)d x
1
0
0
3
4
3
2
4
3
2
x
2x
3
3x
2
x
2 x
3
3x
2
4
4
1
0
7
45 71
(dvdt)
12
4
6
Caâu 56:
Cho haøm soá : y
2
2x 3x m
x1
a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá nghòch bieán trong khoaûng , .
2
1
2
2
Ta coù : y'
4x 4x 3 2m
2
(
2x1)
1
1
Haøm soá nghòch bieán trong : , y' 0,x ,
2
2
2
1
4x 4x 3 2m 0, x ,
2
' 0 4 4(3 2m) 0
m 1
b) Khaûo saùt haøm soá khi m = 1
2
2x 3x1
y
2
x1
1
TXÑ: D = R\
2
2
4x 4 x 5
1
0,x
y'
2
(
2 x1)
2
Haøm soá nghòch bie án trong töøng khoaûng xaùc ñònh.
Tieäm caän ñöùng:
1
x
vì lim y
1
2
x
2
2
Ta coù: y x1 2
x1
Tieäm caän xie ân :
2
y x1 vì lim
0
x 2x1
BBT:
77
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Ñieåm ñaët bieät:
Caâu 57:
Cho haøm soá y = mx – 3mx + 2(m – 1)x + 2
) Tìm nhöõng ñieåm coá ñònh maø moïi ñöôøng cong cuûa hoï treân ñeàu ñi qua.
3
2
1
3
2
Ta coù theå vieát : m(x – 3x + 2x) + 2 – 2x – y = 0
(1)
Ñieåm coá ñònh A(x, y) thoaû (1), m.
3
2
2
x(x 3x 2) 0
x 3x 2x 0
2 2x y 0
y 2x 2
x 0 , y 2
x 1 , y 0
x 2 , y 2
Vaäy hoï ñöôøng cong luoân ñi qua 3 ñieåm coá ñònh :
A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2)
2) Chöùng toû raèng nhöõng ñie åm coá ñònh ñoù thaúng haøng. Töø ñoù suy ra hoï ñöôøng cong coù 1
taâm ñoái xöùng.
Toaï ñoä 3 ñieåm A, B, C thoaû phöông trình y = –2x + 2 neân 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng vì
A vaø C ñoái xöùng qua B neân hoï ñöôøng cong coù chung 1 taâm ñoái xöùng laø B(1, 0).
3) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 1:
78
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
3
2
y = x – 3x + 2
(C)
-
TXÑ : D = R
2
y' 3x 6x
x 0
x 2
y' 0
y'' 6x 6
y'' 0 x 1 y 0 ñieåm uoán (1, 0)
-
-
BBT
Ñoà thò :
Cho x = –1 , y = –2
x = 3 , y = 2
4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng toû raèng trong caùc tieáp
tuyeán cuûa (C) thì tieáp tuyeán naøy coù heä soá goùc nhoû nhaát.
Ta coù ñieåm uoán I(1, 0) phöông trình tieáp tuye án cuûa (C) taïi I:
y = f’(1).(x – 1) y = –3(x – 1)
y = –3x + 3
Ta coù heä soá goùc caùc tieáp tuyeán laø:
2
y’= 3x – 6x
y = 6x – 6
y’’= 0 x = 1
BXÑ:
min y’ = –3 taïi x = 1
Vaäy heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán I nhoû nhaát.
79
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
5) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy.
Dieän tích hình phaúng laø :
1
1
4
2
x
3x
2
3
2
3
S (3x 3) (x 3x 2) d x
x
x
4
0
0
1
S (ñvdt)
4
Caâu 58:
3
2
2
Cho haøm soá y = x – 3mx + 3(m – 1)x + 2
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 1
3 2
y = x – 3x + 2
TXÑ: D = R
y' 3x 6x
-
2
x 0
y' 0
x 2
y'' 6x 6
y'' 0 x 1 y 0 ñieåm uoán (1, 0)
-
-
BBT:
Ñoà Thò:
2) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá ñaõ cho coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ñoàng thôøi caùc ñieåm CÑ vaø
ñieåm CT naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc tung.
3
2
2
Ta coù: y = x – 3mx +3(m – 1)x +2
2
2
y’ = 3x – 6mx +3(m – 1)
y’= 0 x – 2mx + m – 1 = 0 (1)
2
2
Haøm soá coù ñieåm CÑ vaø ñieåm CT ôû hai beân Oy
(1) coù hai nghieäm x , x sao cho : x < 0 < x
1 2 1 2
2
P < 0 m – 1 < 0 –1 < m < 1
80
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
Vaäy -1< m < 1.
Caâu 59:
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x 3
y
(1)
x1
TXD: D = R \{1}
2
x 2x 3
y'
2
(x1)
x 1
x 3
y' 0
Tieäm caän ñöùng:
x = -1 vì lim y
x1
4
x1
Ta coù: y x1
Tieäm caân xie ân :
y = x – 1 vì lim
4
0
x x1
BBT:
Ñoà thò
Cho x = 0 y = 3
x = -2 y = – 7
Ñoà thò:
81
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
5
2
) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(2, ) sao cho (d) caét ñoà thò
haøm soá (1) taïi hai ñieåm A, B vaø M laø trung ñieåm AB.
2
Ñöôøng thaúng (d) qua M(2, ) vaø coù heä soá goùc k:
5
2
y k(x 2)
5
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (1) vaø (d):
2
x 3
2
5
k(x 2)
x1
2
2
5(x 3)x 5k(x 2)(x1) 2(x1) x 0
2
5(1 k)x (5k 2)x10k 13 0
Ñöôøng thaúng (d) caét ñoà thò (1) taïi 2 ñieåm A, B sao cho M laø trung ñieåm cuûa AB.
82
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1 k 0
0
x x 2x
A
B
M
k 1
2
(5k 2) 20(1 k)(10k 13) 0
2
5k
4
5(1 k)
k 1
1
6
5
2
4 20 (25) 0 k
5
6
5
k
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø:
6
5
2
5
y (x 2)
6
5
y x 2
Caâu 60:
2
2
2
Cho haøm soá: y x 3x m x m
1
) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá öùng vôùi m = 0.
3 2
y x 3x
TXD: D = R
y’ = 3x - 6x
2
x 0
y' 0
x 2
y’’= 6x – 6
y’’= 0 x = 1 y = -2
ñieåm uoán I(1, -2)
BBT:
Ñoà thò:
83
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
) Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm CÑ vaø CT ñoái xöùng nhau
1
5
qua ñöôøng thaúng y x
2
2
3
2
2
Ta coù: y = x - 3x + m x + m
2
2
2
y'= 3x - 6x + m
2
y'= 0 3x - 6x + m = 0
(1)
Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu (1) coù hai nghieäm phaân bieät.
2
’ > 0 9 – 3m > 0
3 m 3
Goïi M (x , y ), M (x , y ) laø ñieåm CÑ, ñieåm CT cuûa ñoà thò.
1
1
1
2
2
2
1
5
M , M ñoái xö ùn g qua (d): y x
1
2
2
2
Trung ñieåm I cuûa M M (d)
1 2
M M (d)
1
2
-
Chia f(x) cho f’(x) ta ñöôïc phöông trình ñöôøng thaúng M M :
1 2
1 1 2 1
2 2
m 2 x m m
3 3 3
y f'(x) x
3
2 2
2 1
M M : y m 2 x m m
1 2
3 3
-
Trung ñieåm I cuûa M M laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò:
1
2
Ta coù: y’’= 6x – 6
y' = 0 x = 1 y = m + m – 2 I(1, m + m – 2)
2
2
Ta coù:
84
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
1
2
m 2 . 1
M M
3
2
1
2
I (d)
1 5
2
m m 2
2 2
m 0
m 0
m 0
2
m m 0
m 0 m 1
So vôùi ñieàu kieän: 3 m 3 nhaän m = 0.
ÑS: m = 0
Caâu 61:
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x x1
x1
y
(C)
TXD: D = R\{1}
2
x 2x 2
y'
0, x 1
2
(
x1)
Haøm soá giaûm trong töøng khoaûng xaùc ñònh.
Tieäm caän ñöùng:
x = 1 vì lim y
x1
1
Chia töû cho maãu: y x
x1
Tieäm caän xie ân :
1
Ta coù: y = - x vì lim
x x1
BBT:
Ñoà thò:
85
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng y = m caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Xaùc
ñònh m ñeå ñoä daøi ñoaïn AB ngaén nhaát.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm:
2
x x1
m
x1
2
x x1 m x m
2
x (m1)x m1 0
2
2
(m1) 4(m1) m 2m 5
2
(m1) 4 0, m
Ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B, m.
Ta coù:
2
2
2
2
1
AB (x x ) (y y ) (x x ) 0
2
1
2
2
2
2
2
2
1
x x 2x x
1
2
2
2
S -2P-2P=S -4P
Maø:
b
S m1
a
c
P m1
a
2
2
2
A B ( m1) 4(m1) m 2m 5
2
2
A B (m1) 4
2
A B (m1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
Caâu 62:
1
) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá:
2
x
y
(C)
x1
TXÑ: D = R\{1}
86
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
x 2x
y'
2
(
x1)
x 0
x 2
y' 0
Tieäm caän ñöùng:
x = 1 vì lim y
x1
1
x1
Ta coù: y x1
Tieäm caän xie ân :
y = x + 1 vì lim
1
0
x x1
BBT:
Ñoà thò:
2
) Tìm treân ñöôøng thaúng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå keû tôùi
0
(
C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 45 .
-
Goïi M(a, 4) ñöôøng thaúng y = 4, ta coù ñöôøng thaúng y = 4 laø tieáp tuyeán keû töø M
0
ñeán (C) vaø song song Ox tieáp tuye án thöù hai taïo vôùi Ox 1 goùc baèng ± 45
Heä soá goùc tieáp tuyeán taïi M (x , y ) (C) laø f’(x ) = ± 1
0 0 0 0
87
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
x 2x
0
0
=1 (voâ nghieäm)
f'(x ) 1
0
(
x 1)2
0
2
x 2x
0
x 1)2
0
0
f'(x ) 1
= 1
0
(
2
2
2
2
x0 1
2
2x 4x 1 0
0
0
x 1
0
3
3
2
y0 2
y0 2
2
2
2
Phöông trình tie áp tuyeán taïi M laø:
0
y (x x ) y
0
0
y x 3 2 2
y x 3 2 2
(d1)
(d2 )
(
(
d1) qua M(a, 4) 4 a 3 2 2 a 1 2 2
d2) qua M(a, 4) 4 a 3 2 2 a 1 2 2
Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa ñieàu kieän cuûa baøi toaùn.
M (1 2 2,4); M (1 2 2,4)
1
2
CAÂU 63:
Cho haøm soá y 2x 3(m-3)x 11-3m (C )
3
2
m
9
. Cho m=2. Tìm phöông trình caùc ñöôøng tha ún g qua A(1 ,4) vaø tieáp xuùc vôùi (C2).
2
1
3
2
Vôùi m=2: y 2x 3x 5
(C2).
Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø coù heä soá goùc k:
1
9
y k(x ) 4
12
3
2
19
x 3x 5 k(x ) 4 (1)
2
6
12
(
d) tieáp xuùc (C )
2
2
x 6x k
(2)
coù nghieäm.
Thay (2) vaøo (1):
88
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
9
3
2
2
2
x 3x 5 (6x 6x)(x ) 4
1
2
3
2
8x 25x 19x 2 0
2
(x 1)(8x 17x 2) 0
x 1 k 0
x 2 k 12
1
21
x k
8
32
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua A vaø tieáp xuùc vôùi (C ) laø:
2
2
1
645
128
y=4 hay y=12x - 15 hay y 3 x
2
2
. Tìm m ñeå haøm soá coù 2 cöïc trò.
3
2
Ta coù: y 2x 3(m 3)x 11 3m
,
2
y 6x 6(m 3)
,
2
y 0 6x 6(m 3) 0 (1)
x 0
(1)
x 3 m
Haøm soá coù 2 cöïc trò (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
m 3 0 m 3 .
Tìm m ñeå 2 ñieåm cöïc trò M , M vaø B(0, -1) thaúng haøng.
1
2
'
Ñeå tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò M , M ta chia f(x) cho f (x):
1
2
1
m3
'
2
(m 3) x 113m
f (x) f (x) x
3
6
Suy ra phöông trình ñöôøng thaúng M M laø:
1
2
2
y (m 3) x 113m
M , M , B thaúng haøng B M M
2
1
2
1
-1=11-3m m= 4
So vôùi ñieàu kieän m 3 nhaän m= 4
ÑS:m=4
Caâu 64:
1
3
2
3
3
1
) a. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:y x x (C)
TXÑ: D = R2
y' x 1
x 1
x 1
y' 0
y" 2x
89
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
2
3
2
3
y" 0 x 0 y Ñieåm uoán 0,
BBT:
Ñoà thò:
Cho x 2, y 0
4
3
x 2, y
b. Tìm ñieåm treân (C) taïi ñoù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
1
3
2
3
y x (d)
2
0
Goïi M (x ,y )(C) heä soá goùc tieáp tuyeán taïi M laø: f '(x ) x 1
0
0
0
0
0
1
kd
Tieáp tuyeán taïi M vuoâng goùc (d) f '(x )
0
0
2 2
x 1 3 x 4 x 2
0 0 0
4
3
x 2 y
0
0
x 2 y 0
0
0
4
3
Vaäy coù 2 ñieåm M: M (2,0) vaø M (2, )
0
1
1
2
2
2
) I (1 x x ) .dx
0
90
Cï §øc Hoµ
Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý
1
2
4
2
3
(1 x x 2x 2x 2x )dx
0
1
4
3
2
(x 2x x 2x 1)dx
0
1
x5
5
1
x3
3
4
2
x x x
2
0
1
5
1 1
2 3
11
30
11
91
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả