Chuyên đề luyện thi THPT và đại học môn toán

Chuyeân ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ & BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. AÙp duïng: Bieát vaø . Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S vaø P A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: 1. Daïng : ax + b = 0 (1) 2. Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1) ax = -b (2) Bieän luaän: Neáu a 0 thì (2) Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b * Neáu b 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm * Neáu b = 0 thì phöông trìn

Thể loại Giáo án bài giảng Không dùng thư mục này

Số trang 1

Ngày tạo 4/19/2009 6:50:21 AM +00:00

Loại tệp doc

Kích thước 3.79 M

Tên tệp chuynluynthiihcmnton doc doc

Download

Chuyeân ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

& BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN

AÙp duïng:

Bieát vaø . Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S vaø P

A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát:

1. Daïng : ax + b = 0 (1)

2. Giaûi vaø bieän luaän:

Ta coù : (1) ax = -b (2)

Bieän luaän:

Neáu a 0 thì (2)
Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b

* Neáu b 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm

* Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x

Toùm laïi :

a 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát
a = 0 vaø b 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x

AÙp duïng:

Ví duï : Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau:

3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình:

Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù:

(1) coù nghieäm duy nhaát a 0
(1) voâ nghieäm
(1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x

AÙp duïng:

Ví duï :

1) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b thì phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x

2) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm

II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai:

1. Daïng: (1)

2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :

Xeùt hai tröôøng hôïp

Tröôøng hôïp 1: Neáu a thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0

b 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát
b = 0 vaø c 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x

Tröôøng hôïp 2: Neáu a0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù

Bieät soá ( hoaëc )

Bieän luaän:

 Neáu thì pt (1) voâ nghieäm

 Neáu thì pt (1) coù nghieäm soá keùp ( )

 Neáu thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ( )

AÙp duïng:

Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau:

Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :

3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:

Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : (1)

 Pt (1) voâ nghieäm hoaëc

 Pt (1) coù nghieäm keùp

 Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät

 Pt (1) coù hai nghieäm

 Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x

Ñaëc bieät

Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät.

AÙp duïng:

Ví duï 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät:

Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät:

4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai:

 Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ( ) coù hai nghieäm x1, x2 thì

 Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá maø vaø thì laø nghieäm cuûa

phöông trình

x2 - Sx + P = 0

 YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT:

Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x1, x2 vaø khoâng thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x1,x2 cho nhau .Ví duï: ) maø khoâng caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng ….

Chuù yù:

 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø

 Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø

AÙp duïng:

Ví duï 1 : Cho phöông trình: (1)

Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn

Ví duï 2: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn

Ví duï 3: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn

5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:

Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau:

Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : (1) ( )

 Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät

 Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät

 Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu

AÙp duïng:

Ví duï : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm döông phaân bieät:

II. Phöông trình truøng phöôngï:

1.Daïng : (1)

2.Caùch giaûi:

 Ñaët aån phuï : t = x2 (). Ta ñöôïc phöông trình: (2)

Giaûi pt (2) tìm t. Thay t tìm ñöôïc vaøo t = x2 ñeå tìm x

Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (2) maø ta suy ra ñöôïc soá nghieäm

cuûa phöông trình (1)

AÙp duïng:

Ví du 1ï: Giaûi phöông trình : vôùi

Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät:

III . Phöông trình baäc ba:

1. Daïng: (1) ()

2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1)

Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0

Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân

töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá :

(1) (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0

Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù).

AÙp duïng:

Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau:

a) b)

Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät

Chuù yù

Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE, ñeå giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc)

Ví duï: Giaûi phöông trình:

IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ

1.Daïng I:

 Ñaët aån phuï : t = x2

2. Daïng II. trong ñoù a+b = c+d

 Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b)

3.Daïng III:

 Ñaët aån phuï : t =

4.Daïng IV:

Chia hai veá phöông trình cho x2

 Ñaët aån phuï : t =

B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

I. Baát phöông trình baäc nhaát:

1. Daïng : (hoaëc )

2. Giaûi vaø bieän luaän:

Ta coù :

Bieän luaän:

Neáu thì
Neáu thì
Neáu thì (2) trôû thaønh :

* thì bpt voâ nghieäm

* thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x

AÙp duïng:

Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình :

Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình sau:

Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:

II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát:

1. Daïng:

2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc:

x
ax+b	Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a

AÙp duïng:

Ví duï : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau:

III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai:

1. Daïng:

2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai:

3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc:

Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai:

AÙp duïng:

Ví duï1 : Cho tam thöùc

Tìm m ñeå

Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì thoûa vôùi moïi

IV. Baát phöông trình baäc hai:

1. Daïng: ( hoaëc )

2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp.

AÙp duïng:

Ví duï1 : Giaûi caùc heä baát phöông trình: a) b)

Ví duï 2 : Giaûi baát phöông trình:

Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät:

Ví duï 4: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá:

Ví duï 5: Chöùng minh raèng phöông trình sau voâ nghieäm:

Ví duï 6: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình:

V. So saùnh moät soá vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai ()

Ñònh lyù:

AÙp duïng:

Ví duï 1: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1, x2 thoûa maõn

Ví duï 2: Xaùc ñònh m ñeå phöông trình : coù nghieäm

Ví duï 3 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì

Ví duï 4 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN:

Baøi 1: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät (m>1)

Baøi 2: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm döông phaân bieät ()

Baøi 3: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ()

Baøi 4: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 4 nghieäm phaân bieät

Baøi 5: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät

Baøi 6: Cho phöông trình: (1)

Tìm k ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät

Baøi 7: Cho phöông trình : (1)

Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa

Baøi 8: Cho phöông trình : (1)

Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa

Baøi 9: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn

Baøi 10: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå pt (1) hai nghieäm phaân bieät x1, x2 sao cho bieåu thöùc ñaït GTNN

Baøi 11: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät nhoû hôn -1

Baøi 12: Cho phöông trình: (1)

Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieämphaân bieät x1, x2, x3 thoûa maõn

--------------------Heát--------------------

Chuyeân ñeà 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån

1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån

a. Daïng : (1)

Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...

b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän

Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :

(goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)
(goïi laø ñònh thöùc cuûa x)
(goïi laø ñònh thöùc cuûa y)

Böôùc 2: Bieän luaän

Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát
Neáu D = 0 vaø hoaëc thì heä voâ nghieäm
Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm

YÙ nghóa hình hoïc: Giaû söû (d1) laø ñöôøng thaúng a1x + b1y = c1

(d2) laø ñöôøng thaúng a2x + b2y = c2

Khi ñoù:

1. Heä (I) coù nghieäm duy nhaát (d1) vaø (d2) caét nhau

2. Heä (I) voâ nghieäm (d1) vaø (d2) song song vôùi nhau

3. Heä (I) coù voâ soá nghieäm (d1) vaø (d2) truøng nhau

AÙp duïng:

Ví duï1: Giaûi heä phöông trình:

Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình :

Ví duï 3: Cho heä phöông trình :

Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thoûa x >1 vaø y > 0

Ví duï 4: Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa tham soá m heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát

(x;y) vôùi x, y laø caùc soá nguyeân.

()

Ví duï 5: Cho heä phöông trình :

Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) sao cho ñaït

giaù trò lôùn nhaát.

II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:

1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:

Ví duï : Giaûi caùc heä:

a) b)

Caùch giaûi: Giaûi baèng pheùp theá

2. Heä phöông trình ñoái xöùng :

1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I:

a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau

thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.

b.Caùch giaûi:

Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.

Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn .

Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :

( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).

Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä

AÙp duïng:

Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau :

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

1) (0;2); (2;0) 2) 3)

4) 5) 6)

7) (4;4) 8)

Ví duï2 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:

Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:

2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II:

a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau

thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.

b. Caùch giaûi:

Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .

AÙp duïng:

Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:

a. Daïng :

b. Caùch giaûi:

Ñaët aån phuï hoaëc . Giaû söû ta choïn caùch ñaët .

Khi ñoù ta coù theå tieán haønh caùch giaûi nhö sau:

Böôùc 1: Kieåm tra xem (x,0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?

Böôùc 2: Vôùi y0 ta ñaët x = ty. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông trình ta

khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .

Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x,y.

AÙp duïng:

Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) 2) 3)

IV. Caùc heä phöông trình khaùc:

Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau:

a. Ñaët aån phuï:

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình :

1) 2)

3) 4)

b. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá:

Ví duï: Giaûi heä phöông trình :

c. Bieán ñoåi veà tích soá:

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1) 2) 3)

--------------------------Heát--------------------------

Chuyeân ñeà 3:

PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Ñònh nghóa vaø caùc tính chaát cô baûn :

1. Ñònh nghóa:

2. Tính chaát :

II. Caùc ñònh lyù cô baûn :

a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A 0 vaø B 0 thì : A = B A2 = B2

b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A 0 vaø B 0 thì : A > B A2 > B2

III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái cô baûn

& caùch giaûi :

* Daïng 1 : ,

* Daïng 2 : , ,

* Daïng 3 : ,

* Daïng 4: , ,

* Daïng 5: ,

IV. Caùc caùch giaûi phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :

* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

* Phöông phaùp 2 : Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

1) 2)

V. Caùc caùch giaûi baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng :

* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn

Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

1) 2) 3)

* Phöông phaùp 2 : Söû duïng phöông phaùp chia khoaûng

Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :

-------------------Heát-----------------

Chuyeân ñeà 4:

PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

CHÖÙA CAÊN THÖÙC

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Caùc ñieàu kieän vaø tính chaát cô baûn :

* coù nghóa khi A 0

* vôùi A 0

* &

* vôùi A 0

* khi A , B 0

II. Caùc ñònh lyù cô baûn :

a) Ñònh lyù 1 : Vôùi A 0 vaø B 0 thì : A = B A2 = B2

b) Ñònh lyù 2 : Vôùi A 0 vaø B 0 thì : A > B A2 > B2

c) Ñònh lyù 3 : Vôùi A, B baát kyø thì : A = B A3 = B3

A > B A3 > B3

III. Caùc phöông trình vaø baát phöông trình caên thöùc cô baûn & caùch giaûi :

* Daïng 1 :

* Daïng 2 :

* Daïng 3 :

* Daïng 4:

IV. Caùc caùch giaûi phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :

* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn

Ví duï 1 : Giaûi phöông trình sau :

Ví duï 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:

Ví duï 3: Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät

* Phöông phaùp 2 : Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû

caên thöùc

Ví duï : Giaûi phöông trình sau :

* Phöông phaùp 3 : Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình hoaëc heä pt

ñaïi soá

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

* Phöông phaùp 4 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá : A.B = 0

hoaëc A.B.C = 0

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

* Phöông phaùp 5 : Söû duïng baát ñaúng thöùc ñònh giaù trò hai veá

Ví duï : Giaûi phöông trình sau :

V. Caùc caùch giaûi baát phöông trình caên thöùc thöôøng söû duïng :

* Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi veà daïng cô baûn

Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

* Phöông phaùp 2 : Ñaët ñieàu kieän (neáu coù) vaø naâng luyõ thöøa ñeå khöû

caên thöùc

Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau :

* Phöông phaùp 3 : Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá

Ví duï : Giaûi phöông trình sau :

* Phöông phaùp 4 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá hoaëc thöông

Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

Chuyeân ñeà 5:

PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG

COÙ CHÖÙA MUÕ VAØ LOGARÍT

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ MUÕ

1. Caùc ñònh nghóa:

2. Caùc tính chaát :

3. Haøm soá muõ: Daïng : ( a > 0 , a1 )

Taäp xaùc ñònh :
Taäp giaù trò : ( )
Tính ñôn ñieäu:

* a > 1 : ñoàng bieán treân

* 0 < a < 1 : nghòch bieán treân

Ñoà thò haøm soá muõ :

Minh hoïa:

II. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ HAØM SOÁ LOÂGARÍT

1. Ñònh nghóa: Vôùi a > 0 , a 1 vaø N > 0

Ñieàu kieän coù nghóa: coù nghóa khi

2. Caùc tính chaát :

Ñaëc bieät :

3. Coâng thöùc ñoåi cô soá :

* Heä quaû:

vaø

* Coâng thöùc ñaëc bieät:

4. Haøm soá logarít: Daïng ( a > 0 , a 1 )

Taäp xaùc ñònh :
Taäp giaù trò
Tính ñôn ñieäu:

* a > 1 : ñoàng bieán treân

* 0 < a < 1 : nghòch bieán treân

Ñoà thò cuûa haøm soá loâgarít:

Minh hoïa:

5. CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN:

1. Ñònh lyù 1: Vôùi 0 < a 1 thì : aM = aN M = N

2. Ñònh lyù 2: Vôùi 0 < a <1 thì : aM < aN M > N (nghòch bieán)

3. Ñònh lyù 3: Vôùi a > 1 thì : aM < aN M < N (ñoàng bieán )

4. Ñònh lyù 4: Vôùi 0 < a 1 vaø M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N M = N

5. Ñònh lyù 5: Vôùi 0 < a <1 thì : loga M < loga N M >N (nghòch bieán)

6. Ñònh lyù 6: Vôùi a > 1 thì : loga M < loga N M < N (ñoàng bieán)

III. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:

1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM = aN

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

3. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá A.B = 0 ...

Ví duï : Giaûi phöông trình sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

3) (

4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng

minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï

ñaïo haøm)

* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:

Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho

f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)

Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x))

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

1) 3x + 4x = 5x

2) 2x = 1+

IV. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:

1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn :

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

3) )

2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá.

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

3. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá A.B = 0 ...

Ví duï : Giaûi phöông trình sau :

4. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh

nghieäm duy nhaát.

(thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm)

* Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát sau:

Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho

f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)

Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x))

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

V. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:

1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM < aN ()

Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

1) 4)

2) 5)

3) 6)

VI. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG SÖÛ

DUÏNG:

1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn :

()

Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau :

1) 2)

3) 4)

2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau :

Chuyeân ñeà 6: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA

CAÊN THÖÙC-MUÕ VAØ LOÂGARÍT

Caùc phöông phaùp giaûi thöôøng söû duïng

1. Phöông phaùp 1: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông vaø pheùp theá

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10) 11)

2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï

Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình

1) 2)

3) 4)

5) 6)

-------------------------Heát---------------------------

Chuyeân ñeà 7: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Soá thöïc döông, soá thöïc aâm:

Neáu x laø soá thöïc döông, ta kyù hieäu x > 0
Neáu x laø soá thöïc aâm, ta kyù hieäu x < 0
Neáu x laø soá thöïc döông hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng aâm, kyù hieäu
Neáu x laø soá thöïc aâm hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng döông, kyù hieäu

Chuù yù:

Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a > 0" laø meänh ñeà ""
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a < 0" laø meänh ñeà ""

II. Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc:

1. Ñònh nghóa 1: Soá thöïc a goïi laø lôùn hôn soá thöïc b, kyù hieäu a > b neáu a-b laø moät soá döông, töùc

laø a-b > 0. Khi ñoù ta cuõng kyù hieäu b < a

Ta coù:

Neáu a>b hoaëc a=b, ta vieát . Ta coù:

2. Ñònh nghóa 2:

Giaû söû A, B laø hai bieåu thöùc baèng soá

Meänh ñeà : " A lôùn hôn B ", kyù hieäu : A > B

" A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B

" A lôùn hôn hay baèng B " kyù hieäu

" A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu

ñöôïc goïi laø moät baát ñaúng thöùc

Quy öôùc :

Khi noùi veà moät baát ñaúng thöùc maø khoâng chæ roõ gì hôn thì ta hieåu raèng ñoù laø moät baát ñaúng thöùc ñuùng.
Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc laø chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoù ñuùng

III. Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc :

1. Tính chaát 1:

2. Tính chaát 2:

Heä quaû 1:

Heä quaû 2:

3. Tính chaát 3:

4. Tính chaát 4:

Heä quaû 3:

Heä quaû 4:

5. Tính chaát 5:

6. Tính chaát 6:

7. Tính chaát 7:

8. Tính chaát 8:

Heä quaû 5: Neáu a vaø b laø hai soá döông thì :

Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì :

IV. Baát ñaúng thöùc lieân quan ñeán giaù trò tuyeät ñoái :

1. Ñònh nghóa:

2. Tính chaát :

3. Vôùi moïi ta coù :

V. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :

Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :

a > 0, b > 0, c > 0

VI. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :

a. Baát ñaúng thöùc Cauchy:

Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b

Toång quaùt :

Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an

b. Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :

Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx

Toång quaùt :

Cho hai boä soá vaø ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng

c) Baát ñaúng thöùc cô baûn: Cho hai soá döông a,b ta luoân coù:

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b

Caùc phöông phaùp cô baûn chöùng minh baát ñaúng thöùc :

Ta thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp sau

1. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông

Bieán ñoåi töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán moät baát ñaúng thöùc ñaõ bieát raèng ñuùng .

Ví du1ï:

Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

1. vôùi moïi soá thöïc a,b,c

2. vôùi moïi a,b

Ví duï 2:

Cho hai soá a,b thoûa ñieàu kieän a+b , chöùng toû raèng:

Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu x>0 thì

2. Phöông phaùp 2: Phöông phaùp toång hôïp

Xuaát phaùt töø caùc baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát duøng suy luaän toaùn hoïc ñeå suy ra ñieàu phaûi chöùng

minh.

Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :

Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän . Chöùng minh raèng:

Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng:

Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù:

Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :

Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng :

Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng :

Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng :

Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn . Chöùng minh raèng :

Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng :

3. Phöông phaùp 3: Söû duïng ñaïo haøm xeùt caùc tính chaát cuûa haøm soá

Ví duï 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sinx < x vôùi moïi x > 0

Ví duï 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: vôùi moïi x > 0

Ví duï 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: vôùi moïi

Ví duï 4: Vôùi , chöùng minh

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng

Khi ñaúng thöùc xaûy ra?

Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi x, ta coù:

Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra?

Baøi 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn . Chöùng minh raèng :

Baøi 4: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc , chöùng minh raèng:

Chuyeân ñeà 8: LÖÔÏNG GIAÙC

TOÙM TAÉTGIAÙO KHOA

A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN:

I. Ñôn vò ño goùc vaø cung:

1. Ñoä:

2. Radian: (rad)

3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng:

Ñoä	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800	3600
Radian	0

II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc:

1. Ñònh nghóa:

2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:

Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät:

III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc:

1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:

A: ñieåm goác
x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh )
y'Oy : truïc sin ( truïc tung )
t'At : truïc tang
u'Bu : truïc cotang

2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:

a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= .

Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy

T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu

Ta ñònh nghóa:

b. Caùc tính chaát :

Vôùi moïi ta coù :

c. Tính tuaàn hoaøn

IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:

Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät

Goùc Hslg	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800	3600
Goùc Hslg	0
sin	0				1				0	0
cos	1				0				-1	1
tg	0		1		kxñ		-1		0	0
cotg	kxñ		1		0		-1		kxñ	kxñ

V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät:

Ñoù laø caùc cung :

1. Cung ñoái nhau : (toång baèng 0) (Vd: ,…)

2. Cung buø nhau : ( toång baèng ) (Vd: ,…)

3. Cung phuï nhau : ( toång baèng ) (Vd: ,…)

4. Cung hôn keùm : (Vd: ,…)

5. Cung hôn keùm : (Vd: ,…)

1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau :

3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm

5. Cung hôn keùm :

Ví duï 1: Tính ,

Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc:

VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:

1. Caùc heä thöùc cô baûn:

Ví duï: Chöùng minh raèng:

2. Coâng thöùc coäng :

Ví duï: Chöùng minh raèng:

3. Coâng thöùc nhaân ñoâi:

4 Coâng thöùc nhaân ba:

5. Coâng thöùc haï baäc:

6.Coâng thöùc tính theo

7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :

Ví duï:

1. Bieán ñoåi thaønh toång bieåu thöùc:

2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:

8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :

Ví duï: Bieán ñoåi thaønh tích bieåu thöùc:

9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:

B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc

Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa

Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi

Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)

Böôùc 4: Keát luaän

I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )

( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø )

Ví duï : Giaûi phöông trình:

1. 2.

3. 4.

II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:

1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( )

* Gpt : sinx = m (1)

Neáu thì pt(1) voâ nghieäm
Neáu thì ta ñaët m = sin vaø ta coù

* Gpt : cosx = m (2)

Neáu thì pt(2) voâ nghieäm
Neáu thì ta ñaët m = cos vaø ta coù

* Gpt: tgx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm )

Ñaët m = tg thì

* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm )

Ñaët m = cotg thì

Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:

Ví duï:

1) Giaûi caùc phöông trình :

a) b)

c) d)

e) f)

2) Giaûi caùc phöông trình:

a) c)

b) d)

2. Daïng 2:

( )

Caùch giaûi:

Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)

Ta ñöôïc phöông trình : (1)

Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x

Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù)

Ví duï :

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

k) l)

3. Daïng 3:

Caùch giaûi:

Chia hai veá cuûa phöông trình cho thì pt

(2)

Ñaët vôùi thì :

Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.

Chuù yù :

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :

a) b)

c) d)

d. Daïng 4:

(1)

Caùch giaûi 1:

Aùp duïng coâng thöùc haï baäc :

vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3

Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )

Chia hai veá cuûa pt (1) cho ta ñöôïc pt:

Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi

Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng?

Ví duï : Giaûi phöông trình:

d. Daïng 5:

(1)

Caùch giaûi :

Ñaët

Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình :

(2)

Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: tìm x.

Ví duï : Giaûi phöông trình :

Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng :

Ví duï : Giaûi phöông trình :

4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :

a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng

giaùc cô baûn ñaõ bieát

Ví duï: Giaûi phöông trình:

b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá

Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:

hoaëc

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :

a. b.

c. d.

c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï

Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :

* Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)

Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :

* Phöông trình coù chöùa

Ví duï : Giaûi phöông trình : a.

Chuyeân ñeà 9: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Caùc kyù hieäu:

A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C
a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C
ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C
ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C
la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C
R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC
p = (a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC
S : laø dieän tích tam giaùc ABC

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng :

Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc:

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng

1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN:

Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai

laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng.

Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

, ,

2. Ñònh lyù haøm soá SIN:

Trong tam giaùc ABC ta coù :

Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù:

Ghi nhôù:

Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.

3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán:

Trong tam giaùc ABC ta coù :

4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc:

Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau:

5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc:

CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN

Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC

Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau

Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia

Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh

VÍ DUÏ MINH HOÏA:

Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:

Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau:

a) (ABC khoâng vuoâng)

Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC

I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :

Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :

a > 0, b > 0, c > 0

II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :

1. Baát ñaúng thöùc Cauchy:

Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b

Toång quaùt :

Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an

2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :

Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx

Toång quaùt :

Cho hai boä soá vaø ta coù :

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng

3) Baát ñaúng thöùc cô baûn:

a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù:

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y

b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù:

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y

III. Baát ñaúng thöùc JENSEN :

1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 (f laø haøm loài) thì

Vôùi moïi ta coù:

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi

2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0 (f laø haøm loõm) thì

Vôùi moïi ta coù:

Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi

Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc AB (>,) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau:

Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng

Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh

VÍ DUÏ MINH HOÏA:

Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:

Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:

Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:

Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC

KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1:

KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2:

"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø:

Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc
Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...)
Ñaúng thöùc ñoä daøi
Heä ñaúng thöùc

1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng

Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho

tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc

2) Nhaän daïng tam giaùc caân

Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho

tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc

3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu

Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau

Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng

ñaúng thöùc A = B

Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc hoaëc (1)

Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu

VÍ DUÏ MINH HOÏA:

Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù . Chöùng minh raèng ABC vuoâng

Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu thoûa maõn ñieàu kieän thì tam

giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng

Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân

1) 2)

Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu

1) 2)

3) 4)

Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát:

Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù :

Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng

trong ñoù BC = a, AB = c,

--------------------------------Heát---------------------------

Chuyeân ñeà 10: CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN

COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

1.BAØI TOAÙN 1 : ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

Phöông phaùp chung:

Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau:

Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái .

Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái

Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái

( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc)

Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä)

* Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng:

1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái :

2. Ñònh lyù cô baûn:

3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò:

a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh

b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng

c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng

* Ba daïng cô baûn:

Baøi toaùn toång quaùt:

Töø ñoà thò (C):y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

Daïng 1: Töø ñoà thò

Caùch giaûi

B1. Ta coù :

B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C1) nhö sau:

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) )
Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) )
Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C1)

Minh hoïa

Daïng 2: Töø ñoà thò ( ñaây laø haøm soá chaün)

Caùch giaûi

B1. Ta coù :

B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C2) nhö sau:

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) )
Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy

( do do tính chaát haøm chaün )

Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôï (C2)

Minh hoïa:

Daïng 3: Töø ñoà thò

Caùch giaûi

B1. Ta coù :

B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C3) nhö sau:

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) )
Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (2) )
Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C3)

Minh hoïa:

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1: Cho haøm soá : (1)

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)

2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

b) c)

Baøi 2: Cho haøm soá : (1)

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)

2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

b) c) d) e)

2.BAØI TOAÙN 2 : SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ

Baøi toaùn toång quaùt:

Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá :

(C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung (C1) vaø (C2) caét nhau (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau

Phöông phaùp chung:

* Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho:

f(x) = g(x) (1)

* Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) . Soá nghieäm cuûa phöông trình (1)

chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).

Ghi nhôù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).

Chuù yù 1 :

* (1) voâ nghieäm (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung

* (1) coù n nghieäm (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung

Chuù yù 2 :

* Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2).

Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0).

AÙp duïng:

Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): vaø ñöôøng thaúng

Minh hoïa:

b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá :

Ñònh lyù :

(C1) tieáp xuùc vôùi (C1) heä :coù nghieäm

AÙp duïng:

Ví duï: Cho vaø . Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau

Minh hoïa:

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1: Cho haøm soá (1)

Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.

Baøi 2: Cho haøm soá (C)

Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d) caét

Baøi 3: Cho haøm soá (C)

Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm A(3;20) vaø coù heä soá goùc baèng m. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d)

caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät.

Baøi 4 : Cho haøm soá (1)

Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät.

Baøi 5: Cho haøm soá (1)

Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = mx+2-2m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät

Baøi 6: Cho haøm soá (1)

Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m(x-3)+1 caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät

Baøi 7: Cho haøm soá

Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng (d):y=mx+2-m caét ñoà thò haøm soá taïi hai ñieåm phaân bieät

thuoäc cuøng moät nhaùnh cuûa ñoà thò.

Baøi 8: Cho haøm soá (1)

Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä

döông .

Baøi 9: Cho haøm soá (1)

Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B sao cho .

Baøi 10: Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa haøm soá caét caùc truïc toaï ñoä taïi hai ñieåm A,B sao cho

dieän tích tam giaùc OAB baèng 8.

Baøi 11: Cho haøm soá

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(2;) sao cho (d) caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm

phaân A,B vaø M laø trung ñieåm cuûa AB.

Baøi 12: Cho haøm soá (1)

Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB=1

Baøi 13: Cho haøm soá (1)

Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh. Xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm trong moãi tröôøng

hôïp tìm ñöôïc

Baøi 14: Cho haøm soá . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M(0;1) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò

haøm soá

Baøi 15: Cho haøm soá (C)

Tìm treân (C) taát caû caùc caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm

Baøi 16: Cho haøm soá (C) vaø hai ñöôøng thaúng

Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå (C) caét (d1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B ñoái xöùng nhau qua (d2)

Baøi 17: Cho haøm soá (1)

Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng luoân caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A,B. Goïi I laø

trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, haõy tìm m ñeå I naèm treân ñöôøng thaúng

3.BAØI TOAÙN 3: TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG

a. Daïng 1:

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm

Phöông phaùp:

Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng:

y - y0 = k ( x - x0 )

Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm

y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0)

k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0)

AÙp duïng:

Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá taïi ñieåm uoán cuûa noù

`b. Daïng 2:

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

Böôùc 1: Goïi laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C)

Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : , töø ñoù suy ra =?

Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc .

Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau:

Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng () coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa () laø:

Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng () ñi qua hai ñieåm thì heä soá

goùc cuûa () laø :

Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng . Khi ñoù:

AÙp duïng:

Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2.

Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

c. Daïng 3:

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA)

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () qua A vaø coù heä soá

goùc laø k bôûi coâng thöùc:

(*)

Böôùc 2: Ñònh k ñeå () tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù:

Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

AÙp duïng:

Ví duï1: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1)

Ví duï 2: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm uoán vaø

chöùng minh raèng laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát

Baøi 2: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

Baøi 3: Cho haøm soá (C)

Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

Baøi 4: Cho ñöôøng cong (C):

Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C).

Baøi 5: Cho haøm soá (C)

Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng

thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C).

Baøi 6: Cho haøm soá (Cm)

Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng -1 . Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song

song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0

Baøi 7: Cho ñöôøng cong (C):

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7)

4.BAØI TOAÙN 4: BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ

Cô sôû cuûa phöông phaùp:

Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1)

Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1):y=f(x) vaø (C2):y=g(x)

Daïng 1 : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = m (*)

Phöông phaùp:

Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:

Böôùc 2: Veõ (C) vaø () leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä

Böôùc 3: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa () vaø (C)

Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*)

Minh hoïa:

Daïng 2: Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : f(x) = g(m) (* *)

Phöông phaùp: Ñaët k=g(m)

Böôùc 1: Xem (**) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:

Böôùc 2: Veõ (C) vaø () leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä

Böôùc 3: Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa () vaø (C) . Döï a vaøo heä thöùc k=g(m) ñeå suy ra m

Töø ñoù keát luaän veà soá nghieäm cuûa phöông trình (**).

Minh hoïa:

AÙp duïng:

Ví duï: 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá

2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:

3) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät:

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa caùc phöông trình :

a. b.

Baøi 2: Tìm k ñeå phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät:

Baøi 3: Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:

Baøi 4 :Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät:

Baøi 5: Tìm m ñeå phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät:

Baøi 6: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình :

Baøi 7: Tìm a ñeå phöông trình sau coù nghieäm:

5. BAØI TOAÙN 5: HOÏ ÑÖÔØNG CONG

BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:

Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )

Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua ñieåm cho tröôùc.

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:

Ta coù :

Hoï ñöôøng cong ñi qua ñieåm (1)

Xem (1) laø phöông trình theo aån m.

Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0

Cuï theå:

Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0
Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0

Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong

AÙp duïng:

Ví duï: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá . Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa (Cm) ñi qua ñieåm

A(2;0)

Ví duï: Cho haøm soá (1). Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng

thaúng y=x+1

TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG

BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:

Cho hoï ñöôøng cong ( m laø tham soá )

Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm)

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Böôùc 1: Goïi laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:

nghieäm ñuùng m (1)

Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:

Daïng 1:

Daïng 2:

AÙp duïng ñònh lyù: (2)

(3)

Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc

6. BAØI TOAÙN 6: TÌM CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

Baøi 1: Cho haøm soá

Tìm treân ñoà thò haøm soá taát caû nhöõng ñieåm coù caùc toaï ñoä laø nguyeân .

Baøi 2: Cho haøm soá

Tìm ñieåm thuoäc ñoà thò haøm soá sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán truïc hoaønh baèng hai laàn khoaûng

caùch töø ñoù ñeán truïc tung .

Baøi 3: Cho haøm soá

Tìm treân ñoà thò haøm soá nhöõng ñieåm coù toång khoaûng caùch ñeán hai tieäm caän nhoû nhaát

Baøi 4: Cho haøm soá

Tìm ñieåm M treân ñoà thò (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän laø

nhoû nhaát

Baøi 5: Cho haøm soá

Tìm ñieåm thuoäc ñoà thò haøm soá sao cho khoaûng caùch töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng y+3x+6=0 laø

nhoû nhaát.

Baøi 6: Cho haøm soá

Tìm treân ñoà thò haøm soá ñieåm M sao cho khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng (d):y=2x-1 laø nhoû

nhaát.

Baøi 7: Cho haøm soá (C)

Tìm hai ñieåm A,B treân hai nhaùnh khaùc nhau cuûa (C) sao cho ñoä daøi ñoaïn AB nhoû nhaát

Baøi 8: Cho haøm soá

Tìm treân ñoà thò haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm

Baøi 9: Cho haøm soá

Tìm treân ñoà thò haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y=x-1

7. BAØI TOAÙN 7: CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ SÖÏ ÑOÁI XÖÙNG

Baøi 1: Cho haøm soá (C). Chöùng minh raèng (C) nhaän giao ñieåm hai tieäm caän ñöùng vaø xieân

laøm taâm ñoái xöùng.

Baøi 2: Cho haøm soá (Cm)

Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò (Cm) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toaï ñoä

Baøi 3: Cho haøm soá (Cm)

Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò (Cm) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toïa ñoä

Baøi 4: Cho haøm soá (Cm)

Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå ñoà thò (Cm) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toaïñoä

----------------------------------Heát-----------------------------------

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Chuyeân ñeà 11: TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn:

Baûng 1 Baûng 2

Haøm soá f(x)	Hoï nguyeân haøm F(x)+C	Haøm soá f(x)	Hoï nguyeân haøm F(x)+C
a ( haèng soá)	ax + C




sinx	-cosx + C	sin(ax+b)
cosx	Sinx + C	cos(ax+b)
	tgx + C
	-cotgx + C

tgx
cotgx

Phöông phaùp 1:

Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn
Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn.

Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:

1. 2.

Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân

Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. 2. 3.

I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN

1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì:

( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz)

2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:

Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì :
Tính chaát 2:
Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân thì:
Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân vaø thì
Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân vaø thì

Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân vaø thì

Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân thì

Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø k laø moät haèng soá thì

Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân vaø c laø moät haèng soá thì

Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa laø :

Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12).

13) 14) 15) 16) 17) 18)

Baøi 2:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Baøi 3:

1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän

vaø

2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc :

II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ :

1) DAÏNG 1:Tính I = baèng caùch ñaët t = u(x)

Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1:

Caùch thöïc hieän:

Böôùc 1: Ñaët

Böôùc 2: Ñoåi caän :

Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc

(tieáp tuïc tính tích phaân môùi)

Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

2) DAÏNG 2: Tính I = baèng caùch ñaët x =

Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2:

Caùch thöïc hieän:

Böôùc 1: Ñaët

Böôùc 2: Ñoåi caän :

Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc

(tieáp tuïc tính tích phaân môùi)

Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18)

II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN:

Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN:

Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn:

Hay:

Caùch thöïc hieän:

Böôùc 1: Ñaët

Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn :

Böôùc 3: Tính vaø

Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG

Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì :

2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì :

Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì:

AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì ;

AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau:

1) 2) 3)

IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG:

Coâng thöùc:

Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:

1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3):

4) (H4): 5) (H5): 6) (H6):

7) (H7): 8) (H8) : 9) (H9):

10) (H10): 11) 12)

V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY.

Coâng thöùc:

Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox

Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy

Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : vaø y = 4

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh:

a) Truïc Ox

b) Truïc Oy

Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : .

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox

Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng :

Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox

------------------------------Heát-------------------------------

Chuyeân ñeà 12: BAØI TAÄP HÌNH KHOÂNG GIAN

Baøi 1:

Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a vaø caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy (ABC) . Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (SBC) theo a, bieát raèng SA=

Baøi 2:

Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) vaø SA=a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa caïnh CD . Tính theo a khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán ñöôøng thaúng BE.

Baøi 3:

Hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , taâm O , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) vaø SA = a . Goïi I laø trung ñieåm cuûa SC vaø M laø trung ñieåm cuûa AB .

1. Chöùng minh

2. Tính khoaûng caùch töø ñieåm I ñeán ñöôøng thaúng CM.

Baøi 4:

Töù dieän SABC coù ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh B vaø AC = 2a , caïnh SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø SA = a.

1. Chöùng minh

2. Tính khoaûng töø A ñeán (SBC)

3. Goïi O laø trong ñieåm cuûa AC . Tính khoaûng caùch töø O ñeán (SBC)

Baøi 5:

Töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B , AB= 2a, BC=a, , SA=2a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.

1. Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC)

2. Tính ñöôøng cao AK cuûa tam giaùc AMC

3. Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SMC) vaø (ABC)

4. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (SMC)

Baøi 6:

Hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , vaø SA = a . Döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng :

a) SA vaø AD b) SC vaø BD c) SB vaø CD

Baøi 7:

Hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a vaø SA=SB=SC=SD=a. Goïi Ivaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC

1. Chöùng minh

2. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø SB

Baøi 8:

Töù dieän ABCD coù ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , AD vuoâng goùc vôùi BC , AD=a vaø khoaûng caùch töø D ñeán BC laø a . Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC vaø I laø trung ñieåm cuûa AH .

1. Chöùng minh vaø DH=a

2. Chöùng minh

3. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø BC

Baøi 9:

Hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O, caïnh a, goùc A baèng 600 vaø coù ñöôøng cao SO=a.

1. Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SBC)

2. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø SB

Baøi 10:

Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = b, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC. Chöùng minh raèng tam giaùc AMB caân taïi M vaø tính dieän tích tam giaùc AMB theo a.

Baøi 11:

Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB=AC=a vaø goùc

BAC = 1200, caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh raèng tam giaùc AB'I vuoâng ôû A. Tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).

Baøi 12:

Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng . Tính theå tích khoái choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng (SBC).

Baøi 13:

Cho töù dieän ABCD vôùi AB = AC = a, BC = b. Hai maët phaúng (BCD) vaø (ABC) vuoâng goùc vôùi nhau vaø goùc BDC = 900. Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp ABCD theo a vaø b.

Baøi 14:

Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng goùc A,

AD =a, AC=b, AB=c. Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø Chöùng minh raèng

Baøi 15:

Cho töù dieän OABC coù ba caïnh OA;OB;OC ñoâi moät vuoâng goùc . Goïi laàn löôït laø caùc goùc giöõa maët phaúng (ABC) vôùi caùc maët phaúng (OBC);(OCA) vaø (OAB).Chöùng minh raèng :

Baøi 16: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng tam giaùc taïi taâm

O laáy ñieåm D sao cho . Goïi ñieåm giöõa cuûa BD vaø DC laàn löôït laø M, N.

1) Tính goùc giöõa caùc ñöôøng thaúng AM vaø BC

2) Tính tyû soá theå tích giuõa caùc phaàn cuûa khoái ABCD ñöôïc phaân chia bôûi thieát dieän AMN

3) Tính theå tích khoái ABCMN

Baøi 17: Cho töù dieän OABC coù caùc caïnh OA,OB,OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau vaø OA=BC=a vaø goùc

OCB=.

1) Chöùng minh raèng töù dieän coù caùc caïnh ñoái vuoâng goùc vaø hình chieáu cuûa O xuoáng maët phaúng

(ABC) laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC

2) Tính theå tích V cuûa töù dieän OABC. Xaùc ñònh ñeå theå tích V =

3) Tìm taâm vaø baùn kính R cuûa hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC.

Baøi 18: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng ABCD caïnh a. Caïnh SA=a vaø vuoâng goùc vôùi

ñaùy

1) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa töù dieän SBCD

2) Goïi MNPQ laø thieát dieän cuûa hình choùp vaø moät maët phaúng song song vôùi maët ñaùy. Trong

ñoù M ôû treân caïnh SA vaø AM=x. Tính dieän tích thieát dieän MNPQ theo a vaø x

3) Tính theå tích khoái ABCDMNPQ theo a vaø x

Baøi 19: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a vaø I laø ñieåm giöõa cuûa caïnh AB. Qua I döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi

maët phaúng hình vuoâng vaø laáy ñieåm S sao cho .

1) Chöùng minh raèng SAD laø tam giaùc vuoâng.

2) Tính dieän tích xung quanh hình choùp SABCD.

3) Tính theå tích hình choùp SACD, töø ñoù tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng SAD

Baøi 20: Ñaùy cuûa hình choùp SABC laø tam giaùc caân ABC coù AB=AC=a vaø B=C=.Caùc caïnh beân cuøng

nghieâng vôùi ñaùy moät goùc .

1) Tính theå tích hình choùp SABC

2) Tính dieän tích thieát dieän taïo bôûi hình choùp vôùi maët phaúng qua ñænh B vaø ñöôøng cao SO cuûa

hình choùp.

Baøi 21: Cho tam giaùc caân ABC (AB=AC=2b; BC=2a). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët

phaúng(ABC) taïi A laáy AS=a.

1) Tính theå tích hình choùp SABC

2) Tính dieän tích tam giaùc SBC vaø suy ra khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC)

3) Tìm treân AS ñieåm M sao cho thieát dieän MBC chia hình choùp thaønh hai phaàn coù theå tích baèng

nhau.

----------------------------Heát------------------------------------

Chuyeân ñeà 13: SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ

GIAÛI TOAÙN HÌNH KHOÂNG GIAN

PHÖÔNG PHAÙP:

Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O)

Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan

(coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát)

Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo :

YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä).
Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä
Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.
Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.

Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn

Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp:

Ñoä daøi ñoïan thaúng
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng
Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng
Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng
Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
Goùc giöõa hai maët phaúng
Theå tích khoái ña dieän
Dieän tích thieát dieän
Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc
Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích

Boå sung kieán thöùc :

1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu

2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S

Ta luoân coù:

MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA

Baøi 1: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA= vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy

1) Tính khoûang caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC).

2) Tính khoûang caùch töø taâm O hình vuoâng ABCD ñeán maët phaúng (SBC).

3) Tính khoaûng caùch töø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB ñeán maët phaúng (SAC).

Baøi 2: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O caïnh baèng a, SO vuoâng goùc vôùi

ñaùy.Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm SA vaø BC. Bieát raèng goùc giöõa MN vaø (ABCD) baèng 600

1) Tính MN vaø SO.

2) Tính goùc giöõa MN vaø maët phaúng (SBD) .

Baøi 3: Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng

SH(ABCD) vôùi SH=a

1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD).

2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC).

Baøi 4: Cho goùc tam dieän Oxyz, treân Ox, Oy, Oz laáy caùc ñieåm A,B,C

1) Haõy tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c

2) Giaû söû A coá ñònh coøn B, C thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn OA=OB+OC . Haõy xaùc ñònh vò

trí cuûa B vaø C sao cho theå tích töù dieän OABC laø lôùn nhaát.

Baøi 5: Cho töù dieän OABC (vuoâng taïi O), bieát raèng OA,OB,OC laàn löôït hôïp vôùi maët phaúng (ABC) caùc

goùc . Chöùng minh raèng:

Baøi 6: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, sa vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi

M,N laø hai ñieåm theo thöù töï thuoäc BC,DC sao cho . CMR hai maët phaúng

(SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau.

Baøi 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng

goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho , CMR hai maët phaúng (SAB) vaø

(SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.

Baøi 8: Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A,B,C theo thöù töï thuoäc caùc tia Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau

töøng ñoâi moät sao cho OA=a , OB=. OC=c (a,c>0). Goïi D laø ñieåm ñoái dieän vôùi O cuûa hình

chöõ nhaät AOBD vaø M laø trung ñieåm cuûa ñoïan BC. (P) laø maët phaúng qua A,M vaø caét maët phaúng

(OCD) theo moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AM.

a) Goïi E laø giao ñieåm cuûa (P) vôùi OC , tính ñoä daøi ñoïan OE.

b) Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñöôïc taïo thaønh khi caét khoái choùp C.AOBD bôûi

maët phaúng (P).

c) Tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (P).

Baøi 9: Cho töù dieän SABC coù SC=CA=AB=, , ABC vuoâng taïi A, caùc ñieåm M

thuoäc SA vaø N thuoäc BC sao cho AM=CN=t (0

1) Tính ñoä daøi ñoaïn MN. Tìm giaù trò cuûa t ñeå MN ngaén nhaát.

2) Khi ñoaïn MN ngaén nhaát, chöùng minh MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA.

Baøi 10: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi coù AC=4, BD=2 vaø taâm O.SO=1 vuoâng goùc

vôùi ñaùy. Tìm ñieåm M thuoäc ñoaïn SO caùch ñeàu hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD).

Baøi 11: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng a. Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc

caïnh AD,CD. Laáy sao cho BP=3PB'. Tính dieän tích thieát dieän do (MNP) caét hình laäp

phöông .

Baøi 12: Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A'B'C'D' coù AB=a, AD=2a, AA'=a

1) Tính theo a khoaûng caùch giöõa AD' vaø B'C.

2) Goïi M laø ñieåm chia ñoïan AD theo tyû soá . Haõy tính khoaûng caùch töø M ñeán maët

phaúng (AB'C).

3) Tính theå tích töù dieän AB'D'C.

Baøi 13: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng a..Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa BC vaø DD'

1) CMR .

2) CMR .

3) Tính khoaûng caùch giöõa BD naø MN theo a

Baøi 14: Cho laêng truï ABCD.A'B'C'D' coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O caïnh baèng a, goùc A=600 . B'O

vuoâng goùc vôùi ñaùy ABCD, cho BB'=a

1) Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy.

2) Tính khoaûng caùch töø B, B' ñeán maët phaúng (ACD').

Baøi 15: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng

goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y

1) Tính theå tích hình choùp ABCMN.

2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 .

Baøi 16: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4

Caïnh beân vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB

1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN

2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN.

Baøi 17: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' coù caïnh baèng 1

1) Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BB' .Chöùng minh raèng .

Tính ñoä daøi ñoïan MN

2) Goïi P laø taâm cuûa maët CDD'C' . Tính dieän tích .

Baøi 18: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a vaø caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi

maët phaúng ñaùy (ABC) . Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (SBC) theo a, bieát raèng

SA=

Baøi 19: Cho töù dieän OABC coù ba caïnh OA;OB;OC ñoâi moät vuoâng goùc . Goïi laàn löôït laø caùc goùc

giöõa maët phaúng (ABC) vôùi caùc maët phaúng (OBC);(OCA) vaø (OAB).Chöùng minh raèng :

Baøi 20: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng

(ABCD) vaø SA=a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa caïnh CD . Tính theo a khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán

ñöôøng thaúng BE.

Baøi 21: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB=AC=a vaø goùc

BAC = 1200, caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh raèng tam giaùc AB'I vuoâng

ôû A. Tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).

-------------Heát----------

Chuyeân ñeà 14: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP

I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA:

1.Ñònh nghóa: Vôùi nNvaø n > 1

Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n

ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n!

Ta coù :

n! = 1.2...n

* Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1

2. Moät soá coâng thöùc:

* n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2)...n (n k) *

II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:

1. QUY TAÉC COÄNG:

Ví duï: Coù 8 quyeån saùch khaùc nhau vaø 6 quyeån vôû khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät trong caùc

quyeån ñoù.

Quy taéc coäng cho tröôøng hôïp hai ñoái töôïng : (AÙp duïng khi ta phaân chia tröôøng hôïp ñeå ñeám)

Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x

n caùch choïn ñoái töôïng y

vaø neáu caùch choïn x khoâng truøng vôùi baát kyø caùch choïn y naøo

thì coù (m+n) caùch choïn.

Toång quaùt:

Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1

m2 caùch choïn ñoái töôïng x2

.........................................

mn caùch choïn ñoái töôïng xn

vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng vôùi caùch choïn ñoái töôïng xj naøo (ij ; i,j=1,2,...,n)

thì coù (m1+m2+...mn) caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho.

2. QUY TAÉC NHAÂN: (AÙp duïng khi ta phaân tích vieäc thöïc hieän moät pheùp choïn ra thaønh nhieàu böôùc lieân

tieáp )

Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 3 con ñöôøng. Töø nhaø Bình ñeán

nhaø Cöôøng coù 4 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng

Quy taéc nhaân:

Neáu moät pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp:

böôùc 1 coù m1 caùch choïn

böôùc 2 coù m2 caùch choïn

-----------------------------

böôùc n coù mn caùch choïn

thì coù (m1.m2...mn) caùch choïn.

Ví duï: Ngöôøi ta coù theå ghi nhaõn cho nhöõng chieác gheá trong moät giaûng ñöôøng baèng moät chöõ caùi vaø moät soá

nguyeân döông khoâng vöôïc quaù 100. Baèng caùch nhö vaäy, nhieàu nhaát coù bao nhieâu chieác gheá coù theå

ñöôïc ghi nhaõn khaùc nhau.

III. HOAÙN VÒ:

Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau.

1.Ñònh nghóa :

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû (n >1).

Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp X

ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù

2.Ñònh lyù :

Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn , ta coù coâng thöùc:

Ví duï: Moät toå coù 10 hoïc sinh. Hoûi coù bao nhieâu caùch toå naøy ñöùng thaønh moät haøng doïc

IV.CHÆNH HÔÏP:

Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau.

1.Ñònh nghóa:

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k ( phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp X

ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa X.

2.Ñònh lyù:

Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø , ta coù coâng thöùc:

Ví duï: Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá goàm toaøn caùc chöõ soá leû khaùc nhau ?

V. TOÅ HÔÏP:

Ví duï: Cho taäp hôïp X=.Vieát taát caû caùc taäp con cuûa X goàm 2 phaàn töû

1.Ñònh nghóa:

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû .Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû () cuûa X

ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.

2. Ñònh lyù :

Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø , ta coù coâng thöùc:

Ví duï 1: Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra 3 saûn phaåm

Ví duï 2: Trong maët phaúng cho 7 ñieåm, trong ñoù khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu tam

giaùc ñöôïc taïo thaønh .

3.Moät soá coâng thöùc veà toå hôïp:

Toå hôïp coù hai tính chaát quan troïng sau ñaây:

a) vôùi moïi k = 0,1,...,n

b) vôùi moïi k = 0,1,...,n-1

VI. NHÒ THÖÙC NIU TÔN:

Ví duï 1 : Khai trieån

Ví duï 2 : Chöùng minh raèng :

LÖU YÙ QUAN TROÏNG:

Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö :

laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh ,

laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v...

1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi

giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân.

2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû ,

thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp.

3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû

thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp.

Luyeän taäp

Baøi 1: Töø caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù boán chöõ soá

a) Caùc chöõ soá khoâng caàn khaùc nhau

b) Caùc chöõ soá khaùc nhau

c) Soá ñaàu vaø soá cuoái truøng nhau, khaùc vôùi 3 soá giöõa.

Baøi 2: Töø caùc chöõ soá 0,1,2,3,4,5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu

a) Soá coù 3 chöõ soá

b) Soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau

c) Soá chaün coù 3 chöõ soá khaùc nhau

d) Soá nhoû hôn 2005, khaùc 0

Baøi 3: Coù bao nhieâu caùch xeáp 7 ngöôøi ngoài vaøo moät daõy baøn coù coù baûy choå ngoài

Baøi 4: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi tröïc lôùp

a) Moät caùch tuøy yù.

b) Coù ñuùng moät nöõ

c) Coù ít nhaát moät nöõ

d) Coù nhieàu nhaát hai nöõ

Baøi 5: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn moät ban caùn söï goàm 1 lôùp tröôûng, 1 lôùp phoù

hoïc taäp, 1 lôùp phoù phong traøo

a) Moät caùch tuyø yù

b) Lôùp tröôûng laø nöõ

c) Coù ñuùng moät nöõ

d) Coù ít nhaát moät nöõ

Baøi 6: Cho n ñieåm A1,A2,...,An thuoäc ñöôøng thaúng a vaø moät ñieåm B khoâng thuoäc ñöôøng thaúng a. Noái B vôùi

A1,A2,...,An. Hoûi coù bao nhieâu tam giaùc ñöôïc taïo thaønh?

Baøi 7: Treân ñöôøng troøn cho n ñieåm A1,A2,...,An.Hoûi neáu laáy caùc ñieåm naøy laøm ñænh thì:

a) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu tam giaùc

b) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu töù giaùc loài

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:

Baøi 1:Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5

chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260

Baøi 2: Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao

nhieâu caùch choïn. KQ: 840

Baøi 3: Cho hai ñöôøng thaúng song song (d1) , (d2) . Treân (d1) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d2)

laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ

choïn treân (d1) vaø (d2) . KQ:5950

Baøi 4: Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá

trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ?

KQ: 15840

Baøi 5: Xeùt daõy goàm 7 chöõ soá , moåi chöõ soá ñöôïc choïn töø caùc soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoaû maõn

caùc ñieàu kieän sau :

- Chöõ soá vò trí soá 3 laø soá chaün

- Chöõ soá cuoái cuøng khoâng chia heát cho 5

- Caùc chöõ soá ôû vò trí 4,5,6 ñoâi moät khaùc nhau

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn . KQ:2.880.000

Baøi 6: Ngöôøi ta vieát caùc soá coù 6 chöõ soá baèng caùc chöõ soá 1,2,3,4,5 nhö sau: Trong moãi soá ñöôïc

vieát coù moät chöõ soá xuaát hieän hai laàn coøn caùc chöõ soá coøn laïi xuaát hieän moät laàn . Hoûi coù

bao nhieâu soá nhö vaäy. KQ:1800

Baøi 7: Cho taäp hôïp

a) Coù bao nhieâu taäp hôïp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän chöùa moät vaø khoâng chöùa 2 ?

b) Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø taäp A vaø

khoâng baét ñaàu bôûi 123? KQ: a) 64 b) 3348

Baøi 8: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân

bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630

Baøi 9: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá

ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800

Baøi 10: Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 10 chöõ soá ñöôïc

choïn töø 8 chöõ soá treân , trong ñoù chöõ soá 6 coù maët ñuùng 3 laàn , caùc chöõ soá khaùc coù maët

ñuùng 1 laàn . KQ: 544.320

Baøi 11: Coù 9 vieân bi xanh , 5 vieân bi ñoû , 5 vieân bi vaøng coù kích thöùôc ñoâi moät khaùc nhau .

1) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi ñoû ? KQ:10.010

2) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù soá bi xanh baèng soá bi ñoû? KQ:4.665

Baøi 12: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù .

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645

Baøi 13: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá

goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260

Baøi 14:Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc

nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000

Baøi 15: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû?

KQ: 42000

Baøi 16: Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün

( chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc khoâng ). KQ:64800

Baøi 17: Trong maët phaúng cho ña giaùc ñeàu H coù 20 caïnh . Xeùt caùc tam giaùc coù ñuùng 3 ñænh ñöôïc laáy töø caùc ñænh

cuûa H .

1) Coù bao nhieâu tam giaùc nhö vaäy? Coù bao nhieâu tam giaùc maø coù ñuùng hai caïnh laø hai

caïnh cuûa H . KQ:20

2) Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñuùng moät caïnh laø caïnh cuûa H? KQ:320

Coù bao nhieâu tam giaùc khoâng coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H? KQ:800

Baøi 18: Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh , trong ñoù coù hai caùn boä lôùp . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 3

ngöôøi ñi döï Hoäi nghò sinh vieân cuûa tröôøng sao cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn

boä lôùp . KQ:324

Baøi 19: Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam , 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lyù nam . Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn

coù caû nam vaø nöõ , caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù . Hoûi coù bao nhieâu caùch.

KQ:90

Baøi 20: Cho ña giaùc ñeàu (n, n nguyeân) noäi tieáp trong (O). Bieát raèng soá tam giaùc coù ñænh laø 3

trong 2n ñieåm nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm

. Tìm n.

Baøi 21: Cho taäp hôïp . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau

sao cho caùc soá naøy chia heát cho 5 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?

Baøi 22: Cho taäp hôïp . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau

sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3?

Baøi 23: Cho taäp hôïp . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau

sao cho chöõ soá thöù ba chia heát cho 3 vaø chöõ soá cuoái chaün?

Baøi 24: Cho taäp hôïp . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau

sao cho caùc soá naøy chia heát cho 2 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû?

Baøi 25: Cho taäp hôïp . Töø A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá :

a) Coù naêm chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 7 luoân coù maët moät laàn

b) Coù saùu chöõ soá sao cho caùc soá naøy luoân leû; chöõ soá ñöùng ôû vò trí thöù ba luoân chia heát cho 6?

Baøi 26: Cho taäp hôïp . Töø A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá :

a) Coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3

b) Coù baûy chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 2 vaø 5

Baøi 27: Moät tröôøng trung hoïc coù 8 thaày daïy toaùn, 5 thaày daïy vaät lyù, vaø ba thaày daïy hoùa hoïc. Choïn töø ñoù ra

moät ñoäi coù 4 thaày döï ñaïi hoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå coù ñuû ba boä moân?

Baøi 28: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Bieát raèng, soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa A baèng 20 laàn soá taäp

con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát

Baøi 29: Ñoäi thanh nhieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh

lôùp B, vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc khoâng

quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?

Baøi 30: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm hai chöõ soá khaùc nhau ? Tính toång cuûa taát caû caùc soá ñoù.

Baøi 31: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng moät laàn,

hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät

II. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI PT,BPT,HPT:

Baøi 1: Giaûi phöông trình :

Baøi 2: Giaûi phöông trình:

Baøi 3:Giaûi phöông trình:

Baøi 4: Giaûi baát phöông trình:

Baøi 5: Giaûi heä phöông trình:

Baøi 6: Giaûi heä phöông trình: a) b)

Baøi 7: Tìm caùc soá nguyeân döông m, n thoûa maõn:

III. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ NHÒ THÖÙC NIU-TÔN:

Baøi 1: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x43 trong khai trieån

Baøi 2: Bieát toång heä soá cuûa ba soá haïng ñaàu tieân trong khai trieån baèng 79. Tìm soá haïng

khoâng chöùa x

Baøi 3: Cho khai trieån . Bieát toång heä soá cuûa ba soá haïng ñaàu tieân trong khai trieån treân

baèng 631. Tìm heä soá cuûa soá haïng coù chöùa x5.

Baøi 4: Tìm giaù trò cuûa x sao cho trong khai trieån cuûa ( n laø soá nguyeân döông ) coù soá haïng

thöù 3 vaø thöù 5 coù toång baèng 135, coøn caùc heä soá cuûa ba soá haïng cuoái cuûa khai trieån ñoù coù toång baèng

Baøi 5: Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån :

Baøi 6: Chöùng minh raèng: vôùi

Baøi 7: Chöùng minh raèng :

Baøi 8: Chöùng minh raèng :

Baøi 9: Chöùng minh raèng :

Baøi 10: Chöùng minh raèng:

Baøi 11: Tính toång :

Baøi 12: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa , bieát raèng

Baøi 13: Tính toång , bieát raèng

Baøi 14: Khai trieån bieåu thöùc ta ñöôïc ña thöùc coù daïng . Tìm heä soá cuûa x5,

bieát

Baøi 15: Tìm heä soá cuûa trong khai trieån cuûa

Baøi 16: Tìm n sao cho :

Baøi 17: Tìm soá töï nhieân n sao cho :

Baøi 18: Chöùng minh raèng

Baøi 19: Cho . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá

haïng?

Baøi 20: Tìm soá töï nhieân n thoûa maõn ñaúng thöùc sau:

-----------------Heát-------------------

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Chuyeân ñeà 15: ÖÙNG DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ÑEÅ

CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

********

Cô sôû ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø duøng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá vaø döïa vaøo chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ñeå keát luaän veà nghieäm cuûa phöông trình , baát phöông trình, heä phöông trình .