CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
TỔ HỢP
Vấn đề 1. Quy tắc đếm
Phương pháp .
1. Quy tắc cộng
a) Định nghĩa: Xét một công việc .
Giả sử có phương án thực hiện công việc . Nếu có cách thực hiện phương án , có cách thực hiện phương án ,.., có cách thực hiện phương án và mỗi cách thực hiện phương án không trùng với bất kì cách thực hiện phương án () thì có cách thực hiện công việc .
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
2. Quy tắc nhân.
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc bao gồm công đoạn . Công đoạn có cách thực hiện, công đoạn có cách thực hiện,…, công đoạn có cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
.
3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng
Để đếm số cách thực hiện một công việc nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?
4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân
Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn ().
Nhận xét:
1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động thỏa mãn tính chất Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp ta phải chia hành động trong mỗi trường hợp đó thành phương án hành động nhỏ liên tiếp nhau
Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phương án thực hiện các hành các hành động nhỏ đó.
* Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
+) Tất cả n phần tử đều phải có mặt
+) Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
+) Có thứ tự giữa các phần tử.
* Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
+) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
+) phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
* Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
+) Cần chọn phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
+) Không quan tâm đến thứ tự phần tử đã chọn.
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay không) ta được phương án.
Đếm số phương án thực hiện hành động không thỏa tính chất ta được phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là:
2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:
* và
* là số chẵn là số chẵn
* là số lẻ là số lẻ
* chia hết cho chia hết cho
* chia hết cho chia hết cho
* chia hết cho
* chia hết cho là số chẵn và chia hết cho
* chia hết cho chia hết cho
* chia hết cho chia hết cho
* chia hết cho tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho
* chia hết cho hai chữ số tận cùng là
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Các ví dụ
Ví dụ 1. Từ thành phố đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu
nguon VI OLET
