Chuyên đề: Tuyển tập đề thi Đại học thử ở các trung tâm luyện thi

I. §Æt vÊn ®Ò

Trong ch­¬ng tr×nh to¸n ë tr­êng phæ th«ng viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc lµ mét vÊn ®Ò cã thÓ nãi lµ phøc t¹p nhÊt, nã rÌn cho ng­êi lµm to¸n trÝ th«ng minh, sù s¸ng t¹o, ngoµi ra cßn cã c¶ sù khÐo lÐo, mçi kÕt qu¶ cña nã lµ mét c«ng cô s¾c bÐn cña to¸n häc. Nh­ng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc th× kh«ng ®¬n gi¶n chót nµo, nhÊt lµ ®èi víi häc sinh, c¸c em tá ra lóng tóng khi chän cho m×nh mét c«ng cô ®Ó chøng minh hiÖu qu¶ nhÊt. §· cã rÊt nhiÒu tµi liÖu ®­a ra mét sè ph­¬ng ph¸p rÊt tèt ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ch¼ng h¹n:

- Ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông tam thøc bËc 2.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông nh÷ng bÊt ®¼ng thøc kinh ®iÓn.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông ph¶n chøng.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông quy n¹p.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông ®¹o hµm.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông h×nh häc.

- Ph­¬ng ph¸p sö dông hµm låi.

MÆc dï vËy song vÉn lµ ch­a ®ñ bëi s¸ng t¹o cña mçi ng­êi lµm to¸n lµ v« h¹n. ChÝnh v× vËy trong bµi viÕt nµy t«i muèn ®Ò cËp vÒ "Mét sè ph­¬ng ph¸p  l­îng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè " nh»m trang bÞ thªm cho häc sinh mét sè c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ho¸ ®· ®­îc mét sè s¸ch cña c¸c t¸c gi¶ ®Ò cËp nh­ gi¸o s­ Phan §øc ChÝnh, gi¸o s­ Phan Huy Kh¶i, phã tiÕn sÜ Vò ThÕ Hùu... viÕt. Nh­ng do cÊu tróc môc tiªu cña c¸c cuèn s¸ch ®ã mµ c¸c t¸c gi¶ ®Òu kh«ng ®i s©u vµo ph­¬ng ph¸p nµy hay nãi c¸ch kh¸c lµ ch­a thËt cô thÓ ho¸, hÖ thèng ho¸ nã.

Lµ mét gi¸o viªn gÇn 20 n¨m gi¶ng d¹y víi c¸c ®èi t­îng häc sinh kh¸ giái cña c¸c líp chän t«i ®· ph©n chia ph­¬ng ph¸p nµy thµnh 5 d¹ng bµi tËp. Nh»m cung cÊp cho häc sinh nhËn ra c¸c dÊu hiÖu ban ®Çu ®Ó thùc hiÖn c¸c b­íc l­îng gi¸c ho¸ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè, ®Ó råi dïng c¸c kÕt qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc l­îng gi¸c chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè.

Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë c¸c líp chän khèi 11 tr­êng THPT t«i nhËn thÊy viÖc ph©n chia d¹ng cña t«i lµ hîp lý, l«gÝc cô thÓ, cã thÓ nhanh chãng t×m ra ph­¬ng ph¸p chøng minh ®­îc bÊt ®¼ng thøc b»ng c¸ch ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p t­ duy nµy cña t«i.

T«i sÏ tr×nh bµy vÒ hiÖu qu¶ cña ph­¬ng ph¸p nµy ®èi víi häc sinh ë phÇn 4 kÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn.

C¸c tµi liÖu tham kh¶o

1. BÊt ®¼ng thøc cña gi¸o s­ Phan §øc ChÝnh - NXB Gi¸o dôc 1995.

2. C¸c bµi to¸n chän läc vÒ bÊt ®¼ng thøc 2 tËp cña gi¸o s­ Phan Huy Kh¶i - NXB Gi¸o dôc Hµ Néi 2000.

3. Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ho¸ cña PTS Vò ThÕ Hùu - NXB Gi¸o dôc 2002.

II. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m

1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n

+    + 1 + tg2 =

+ tg . cotg = 1 (  )  + 1 + cotg2 =

1.2. C«ng thøc céng gãc

+ cos(  ) = cos cos sin sin

+ sin(  ) = sin cos  cos sin

+ tg (  ) =

+ cotg(  ) =

1.3. C«ng thøc nh©n

+ sin2 = 2 sin cos

+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2

+ tg2 =

+ cotg2 =

+ sin3 = 3sin - 4sin3

+ cos3 = 4cos3 - 3cos

+ tg3 = )

1.4. C«ng thøc h¹ bËc

+ cos2 =    + sin2 =

+ tg2 =

1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch:

+ cos + cos = 2cos

+ cos - cos = - 2sin

+ sin + sin = 2sin

+ sin - sin = = - 2cos

+ tg  tg =

1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng:

+ cos.cos =

+ sin.sin =

+ sin.cos =

2. Néi dung cña s¸ng kiÕn

Qua mét qu¸ tr×nh nghiªn cøu tham kh¶o bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ë nhiÒu s¸ch ®Òu ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c rÊt m¬ hå ch­a cã hÖ thèng, ch­a ph©n chia thµnh c¸c d¹ng bµi tËp. Víi c¸c kiÕn thøc vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c mµ t«i ®­îc biÕt t«i ®· ph©n chia thµnh 5 d¹ng bµi tËp c¬ b¶n mµ t«i sÏ giíi thiÖu sau ®©y.

Trong mçi d¹ng bµi tËp t«i ®Òu ®­a ra ph­¬ng ph¸p chän c¸ch ®Æt ®Ó häc sinh nhanh chãng chuyÓn 1 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè ph¶i chøng minh vÒ biÓu thøc l­îng gi¸c sau ®ã biÕn ®æi ®Ó ®¸nh gi¸ bÊt ®¼ng thøc l­îng gi¸c b»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc l­îng gi¸c ®¬n gi¶n nh­:

* §Ó häc sinh n¾m kiÕn thøc mét c¸ch hÖ thèng t«i ®· lËp b¶ng mét sè dÊu hiÖu nhËn biÕt sau:( Gi¶ sö c¸c hµm sè  l­îng gi¸c sau ®Òu cã nghÜa)

mét sè ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ®Ó chøng minh

bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè

I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1

1) Ph­¬ng ph¸p:

a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt víi   [0, 2]

b) NÕu thÊy x2 + y2 = a2 (a > 0) th× ®Æt víi   [0, 2]

2. C¸c vÝ dô minh ho¹:

VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1

Chøng minh r»ng: S = a(c+d) + b(c-d) 

Gi¶i:

§Æt vµ  S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)

 S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)

(®pcm)

VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

§Æt a = cos vµ b = sin víi 0    2. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi.

= cos4 + sin4 +

=

=

= (®pcm)

B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét b­íc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1

VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng:

A =

Gi¶i:

BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1

§Æt

A (®pcm)

VD4: Cho a, b tho¶ m·n : = 13

Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1

Gi¶i:

BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1  (a-1)2 + (b + 1)2  1

§Æt víi R  0 

Ta cã:



Tõ ®ã  (a-1)2 + (b+1)2 = R2  1  a2 + b2 + 2(b - a)  - 1 (®pcm)

II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ

1. Ph­¬ng ph¸p:

a) NÕu thÊy |x|  1 th× ®Æt  

b) NÕu thÊy |x|  m (  ) th× ®Æt

2. C¸c vÝ dô minh ho¹:

VD1: Chøng minh r»ng:  (1+x)p + (1-x)p  2p  |x|  1 ;  P  1.

Gi¶i:

§Æt x = cos víi   [0, ], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p

=

(®pcm)

VD2: Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

Tõ ®k 1 - a2  0  |a|  1 nªn

§Æt a = cos víi 0      = sin. Khi ®ã ta cã:

A=

=(®pcm)

VD3: Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

Tõ ®k |a|  1 nªn

§Æt a=cos víi [0,] 

(1) 



 ®óng  (®pcm)

VD4: Chøng minh r»ng: S =

Gi¶i:

Tõ ®k |a|  1 nªn:

§Æt a = cos víi   [0, ]  = sin. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:

S=

=  (®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng A =

Gi¶i:

Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2  0 ; 1 - b2  0  |a|  1 ; |b|  1 nªn.

§Æt a = sin, b = sin  víi ,  

Khi ®ã A = =

=

(®pcm)

VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26|  1 a  [1; 3]

Gi¶i:

Do a  [1, 3] nªn a-2  1 nªn ta ®Æt a - 2 = cos  a = 2 + cos. Ta cã:

A =

(®pcm)

VD7: Chøng minh r»ng: A =

Gi¶i:

Do a  [0, 2] nªn a-1  1 nªn ta ®Æt a - 1 = cos víi   [0, ]. Ta cã:

A =

= (®pcm)

III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 =

1) Ph­¬ng ph¸p:

a) NÕu |x|  1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc

th× ®Æt x = víi 

b) NÕu |x|  m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc

th× ®Æt x = víi 

2. C¸c vÝ dô minh ho¹:

VD1: Chøng minh r»ng A =

Gi¶i:

Do |a|  1 nªn :

§Æt a = víi  . Khi ®ã:

A = (®pcm)

VD2: Chøng minh r»ng: - 4  A =  9  

Gi¶i:

Do |a|  1 nªn:

§Æt a = víi  . Khi ®ã:

A = = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos=
=

 - 4 = (®pcm)

VD3: Chøng minh r»ng: A =  1     

Gi¶i:

Do |a|  1; |b|  1 nªn .

§Æt a =  ; b =  víi . Khi ®ã ta cã:

A = (®pcm)

VD4: Chøng minh r»ng: a +

Gi¶i:

Do |a| > 1 nªn:

§Æt a = víi . Khi ®ã:

a+ (®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng

Gi¶i:

BÊt ®¼ng thøc 

Do |x|; |y|  1 nªn §Æt x = ; y= víi , .

Khi ®ã: (1)  S = sin + cos(4sin + 3cos) 

Ta cã: S  sin + cos

  (®pcm)

IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 =

1. Ph­¬ng ph¸p:

a) NÕu x  R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tg  víi  

b)  NÕu x  R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtg  víi  

2. C¸c vÝ dô minh ho¹:

VD1: Chøng minh r»ng: S =

Gi¶i:

§Æt x = tg víi    , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:

S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3|  1  (®pcm)

VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

Gi¶i:

§Æt a= tg víi  th× ta cã: A =

=

= 3 -

Víi = 0  a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi =  a = th× MinA =

VD3: Chøng minh r»ng:  a, b  R

Gi¶i:

§Æt a = tg, b = tg. Khi ®ã

=

=  (®pcm)

VD4: Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

§Æt a = tg, b = tg, c = tg. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc 





 sin(-)+sin(-)  sin(-). BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã:

sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-) 

sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)

 sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-)  (®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

(1) 

§Æt tg2=, tg2= víi ,   BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc



 cos cos + sin sin = cos(-)  1 ®óng  (®pcm)

DÊu b»ng x¶y ra  cos(-) = 1  = 

VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

Gi¶i:

§Æt a = tg. Khi ®ã A =

A = 3sin  + 4 |cos|  3 sin + 4.0 = 3sin  3.(-1) = -3

Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã:

A2 = (3sin + 4 |cos|)2  (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25  A  5

Víi sin = 1  a = 1 th× MinA = - 3 ; víi th× MaxA = 5

V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®­a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c

1) Ph­¬ng ph¸p:

a) NÕu th×

b) NÕu th×

c) NÕu th×