m«n thi to¸n

(Dµnh cho mäi thÝ sinh dù thi)

Thêi gian lµm bµi 150 phót

============

Bµi 1 (3, 5 ®iÓm)

Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

1)     (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)

2)     + = 2

3)     (x2 - 1)2 + 4(x - 1)2 = 12(x + 1)2

Bµi 2 (2,5 ®iÓm)

      Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai  mx2 - (m + 2)x + 1 - m = 0 ; (m  0)

1)     Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 vµ x2 víi mäi gi¸ trÞ cña m

2)     T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tháa m·n ®iÒu kiÖn  x12 + x22 - (2 - x1)(2 - x2) = 1

Bµi 3 (1, 0 ®iÓm)

             Chøng minh biÓu thøc:

      A =  kh«ng phô thuéc vµo x vµ y.

Bµi 4 (3, 0 ®iÓm)

       Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 900) néi tiÕp ®­êng trßn t©m O, vµ ®­êng kÝnh AD.

1)     Chøng minh tø gi¸c ABDC lµ h×nh ch÷ nhËt ;

2)     Gäi M, N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B, C trªn AD. KÎ AH vu«ng gãc víi BC. Chøng minh HM vu«ng gãc víi c¹nh AC ;

3)     Gäi b¸n kÝnh cña ®­êng trßn néi, ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lµ r vµ R. Chøng minh r + R 

_________________

§¸p ¸n vµ vµ biÓu ®iÓm m«n to¸n

(Dµnh cho mäi thÝ sÝnh)

============

Bµi 1

1)  (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)

     2x2 + 7x - 4 = x2 - 3x - 4       0,50

     x2 + 10x = 0         0,25

    x = 0 ; x = -10         0,25

2) x  2 , x  6          0,25

   6 - x + 3x - 6 = 2(x - 2)(6 - x)      0,25

   x2 - 7x + 12 = 0  x = 3; x = 4      0,50

3) NhËn xÐt x = - 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

Chia hai vÕ cho (x + 1)2 ta cã ph­¬ng tr×nh:

     (x-1)2 + 4 = 12 thªm, bít 4

     + - 12 = 0     0,50

®Æt = y  y2 + 4y - 12 = 0  y = - 6 ; y = 2   0,25

y = - 6 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm       0,25

y = 2  x2 -  4x - 1 = 0  x =       0,50

Bµi 2

1)     TÝnh  = (m + 2)2 - 4m(1 - m) =       0,50

= 5m2 + 4 > 0         0,25

2)     do m  0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

    x1 + x2 = vµ x1x2 =       0,25

x12 + x22 - (2 - x1)(2 - x2) = (x1 + x2)2 - 3x1x2 + 2(x1 + x2) – 4 =  0,50

= = 1  m2 + 5m + 4 = 0  0,50

Gi¶i ph­¬ng tr×nh  m2 + 5m + 4 = 0  m = -1 ; m = - 4   0,50

Bµi 3

  XÐt biÓu thøc B = b×nh ph­¬ng

B2 = ( + )2 + ( - )2 + 2xy - =   0,25   

B2 = (x + y)2  B =  x + y        0,25

 A = x + y - (x + y)        0,25

Do xy  0  x + y = x + y  A = 0     0,25

Bµi 4

1)     A = 900  BC lµ ®­êng kÝnh      0,25

  AD, BC lµ ®­êng kÝnh  ABDC lµ h×nh b×nh hµnh   0,25

A = 900  ABDC lµ h×nh ch÷ nhËt      0,50

2)     Tam gi¸c AOB c©n A = B       0,25

  Tø gi¸c ABHM lµtø gi¸c néi tiÕp  MHO = A = B  0,25

      HM song song víi AB  HM vu«ng gãc víi AC   0,50

3)     Chøng minh c«ng thøc S = pr (p lµ nöa chu vi)    0,25 

Tõ ®ã r = , mÆt kh¸c R =     

r + R = + = =  0,50

  daóu b»ng khi AB = AC  tam gi¸c ABC vu«ng c©n 0,25