Con lắc đơn

Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n vÒ CON LẮC ĐƠN

I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT:

1. Con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, treo bằng một sợi dây mảnh không co giãn ( kích thước của vật rất nhỏ so với độ dài của dây, khối lượng của dây rất nhỏ so với m).

2. Lúc chưa dao động, con lắc đứng yên ở vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng đứng. Trong quá trình vật dao động, hợp lực tác dụng lên vật theo phương chuyển động là

( α là góc lệch khỏi vị trí cân bằng )

Với dao dộng nhỏ                                                                                                    

Phương trình dao động                                                                                                                       

                                                                                  α                                                          

Hay

Tần số góc                                                                                              l

Chu kì dao động ( f: tần số dao động )                                            m

3. Thế năng:                                                            s             

    Động năng:

Cơ năng toàn phần

4. Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao ( hoặc độ sâu ). Ở độ cao h, gia tốc trọng trường

( Rđ là bán kính trái đất, h là độ cao của vật ( con lắc ) so với mặt đất, Rđ = 6400km, g0 là gia tốc trọng trường ở mặt đất ).

Ở độ sâu d so với mặt đất

Chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nhiệt độ:

λ là hệ số nở dài của dây treo con lắc, l0 là độ dài ở 00C, còn l là độ dài ở nhiệt độ t0C ).

5. Nếu ngoài lực căng của dây treo và trọng lực của vật, con lắc còn chịu them tác dụng của ngoại lực không đổi ( lực điện…) thì coi như con lắc chịu tác dụng của trọng lực “hiệu dụng” ( ngoài lực căng )

Gia tốc gọi là gia tốc “hiệu dụng”

. Khi đó chu kì dao động của con lắc là:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Xác định chu kì ( hoặc độ dài ) của con lắc đơn và sự phụ thuộc chu kì con lắc đơn vào độ cao và nhiệt độ.

BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Con lắc của một chiếc đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn có chu kì dao động là 2s ở nhiệt độ 00C và tại nơi có g = 9,81m/s2.

a)     Tính chiều dài của thanh treo quả lắc.

b)    Thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài .Hỏi nhiệt độ tăng lên đến 200C thì đồng hồ đó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một tuần lễ nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?

c)     Đưa đồng hồ lên cao 1km, tại đó nhiệt độ là 00C thì nó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một ngày nó chạy nhanh chậm bao nhiêu?

GIẢI:

a) Áp dụng công thức tính chu kì

                              ( 1 )

                   Ta được:        

b) Gọi T’ là chu kì con lắc ở 200C và áp dụng công thức về sự dãn nở dài ta có

                               ( 2 )

Từ đó     

đồng hồ chạy chậm đi.

Số lần dao động n mà bây giờ con lắc thực hiện được trong 1 ngày là ( 1 ngày = 24.3600 = 86400s )

Cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’) kim đồng hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, vậy sau n lần dao động ( sau 1 ngày ) đồng hồ chỉ một thời gian biểu kiến là

Nghĩa là đồng hồ ở nhiệt độ t = 200C mỗi ngày chậm là: , và trong một tuần lễ đồng hồ chạy chậm

a)     Gọi T là chu kì con lắc ở độ cao h = 1km

         Ta có:   ( 3 )

Từ 1, 2 ta được:

Nghĩa là T’’ > T’ : ở trên cao đồng hồ đã chạy chậm đi.

Lập luận tương tự như trên, ta tìm được số lần dao động n’ mà con lắc ở trên cao đã thực hiện được trong một ngày là:

Và mỗi ngày đồng hồ chạy chậm

Bµi tËp vÝ dô 2: Hai con l¾c ®¬n cã chiÒu dµi lÇn l­ît lµ l1; l2vµ cã chu k× dao ®éng T1,T2 t¹i mét n¬i cã gia tèc träng tr­êng g = 9,81m/s2. BiÕt r»ng còng t¹i n¬I ®ã, con l¾c ®¬n cã chiÒu dµi l1+ l2 cã chu k× dao ®éng lµ 4,8s vµ con l¾c ®¬n cã chiÒu dµi l1+ l2 ë chu k× dao ®éng lµ 1,6s. H·y tÝnh T1,T2, l1vµ l2.

                                                          Gi¶i:

  ¸p dông c«ng thøc: ta ®­îc

Theo ®Ò bµi

®é dµi cña con l¾c:

      ;    

Bµi tËp ¸p dông:

Bµi tËp 1: Mét con l¾c ®ång hå ch¹y ®óng trªn mÆt ®Êt víi chu k× dao ®éng b»ng 2s.

a)     §­a ®ång hå xuèng giÕng s©u 100m th× trong mét ngµy ®ªm ®ång hå ch¹y nhanh chËm bao nhiªu?

b)    Khi ®­a ®ånh hå lªn cao, nã ch¹y chËm ®i 2,16s mçi ngµy ®ªm, tÝnh ®é cao cña ®ång hå so víi mÆt ®Êt.

    Bµi tËp 2: Mét ®ång hå qu¶ l¾c chØ giê ®óng ë møc mÆt biÓn vµ ë nhiÖt ®é 180C. Thanh treo con l¾c cã hÖ sè në dµi .

a) Khi nhiÖt ®é h¹ xuèng ®Õn 80C th× ®ång hå vÉn chØ giê ®óng. Gi¶i thÝch hiÖn t­îng vµ tÝnh ®é cao cña ®Ønh nói ®ã so víi møc mÆt biÓn.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1. Áp dụng công thức  , khi biết chu kì dao động của con lắc, ta tính được chiều dài con lắc, và ngược lại, khi biết l ta tính được T. cũng có trường hợp, nếu đo được T và l tại một nơi nào đó ta sẽ tính được giá trị của gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc.
2. Dựa vào công thức ta tính được chiều dài con lắc ở một nhiệt độ nhất định, từ đó ta tính được chu kì dao động T’ của con lắc ở nhiệt độ đó. Từ đó nếu T’ > T thì chu kì dao động bây giờ lớn hơn trước , nghĩa là đồng hồ (quả lắc đồng hồ) chạy chậm đi. Còn nếu T’ < T  thì đồng hồ chạy nhanh lên.
3. Cũng như vậy dựa vào công thức tính gia tốc trọng trường gh ở độ cao h so với mặt đất (hoặc gia tốc trọng trường gd ở độ sâu d so với mặt đất) ta tính được chu kì dao động T’’ của con lắc ở độ cao h (hoặc ở độ sâu d). Từ đó ta thấy ở độ cao h T’’ > T, nghĩa là ở độ cao h so với mặt đất đồng hồ chạy chậm lại ( và một cách tương tự, ở độ sâu d đồng hồ chạy nhanh hơn ).
4. Để xác định xem đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một khoảng thời gian  nhất định ( trong một ngày, 1 tuần lễ, trong một tháng…), phải xác định số lần dao độngn mà can lắc đã thực hiện trong khoảng thời gian ( bằng cách tính thương của n và T’ (hoặc T’’): .

          Và lưu ý rằng cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’ hoặc T’’) kim đồng hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, từ đó tìm được là: sau n lần dao động đó đồng hồ đã chỉ một thời gian biểu kiến bằng nT. Từ đó xác định được rằng trong khoảng thời gian đồng hồ đã chạy chậm ( hoặc nhanh ) là

5. Khi giải các bài toán về con lắc đơn ta thường sử dụng các công thức gần đúng:

        Khi x << 1.

1. Khi tính toán bằng số cần chú ýđến đơn vị đo các đại lượng và phải đổi các dữ liệu  cho trong đề về các đơn vị SI, trước khi thay chúng vào các công thức tính.

DẠNG 2: Xác định chu kì dao động của con lắc bằng phương pháp trùng phùng

BÀI TẬP VÍ DỤ 1:  Cho một con lắc đơn, có chu kì T chưa biết, dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động cùng chiều và trùng với nhau tại vị trí cân bằng của chúng ( gọi là những lần trùng phùng ). Quan sát cho thấy khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng lien tiếp bằng 7 phút 30 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và độ dài của con lắc đơn. Cho biết g = 9,8m/s2.

GIẢI:

Vì con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ ( nghĩa là trong cùng một khoảng thời gian số dao động của nó nhỏ hơn số dao động của con lắc đồng hồ ), cho nên, trong khoảng thời gian = 7 phút 30 giây = 450 giây nếu con lắc đơn thực hiện được n dao động thì con lắc đồng hồ thực hiện được ( n + 1 ) dao động. ta có:

      Hay

Suy ra:

Từ công thức tìm được độ dài của con lắc đơn

Bµi tËp vÝ dô 2: Cho mét con l¾c ®ång hå cã chu k× T0 = 2s vµ mét con l¾c ®¬n dµi 1m cã chu k× T ch­a biÕt. Con l¾c ®¬n dao ®éng nhanh h¬n con l¾c ®ång hå mét chót. Dïng ph­¬ng ph¸p trïng phïng ng­êi tag hi ®­îc kho¶ng thêi gian gi÷a hai lÇn trïng phïng liªn tiÕp b»ng 8 phót20 gi©y.H·y tÝnh chu k× T cña con l¾c ®¬n vµ gia tèc träng tr­êng t¹i n¬i quan s¸t.

                                                           Gi¶i:

Ta cã:

Hay

Bµi tËp ¸p dông: Cho mét con l¾c ®¬n dao ®éng tr­íc mÆt mét con l¾c cña ®ång hå gâ gi©y ( cã chu k× dao ®éng lµ 2s ).

   Con l¾c ®¬n dao ®éng chËn h¬n con l¾c ®ång hå mét chót nªn cã nh÷ng lÇn hai con l¾c ®ã chuyÓn ®éng cïng chiÒu vµ ®i qua vÞ trÝ c©n b»ng cïng mét lóc ( gäi lµ nh÷ng lÇn trïng phïng). Quan s¸t cho th©ý hai lÇn trïng phïng kÕ tiÕp c¸ch nhau 9 phót 30gi©y.

a)     TÝnh chu k× dao ®éng cña con l¾c ®¬n.

b)    BiÕt ®é dµi cña con l¾c ®¬n lµ 1m, h·y x¸c ®Þnh gia tèc r¬i tù do g.

PH¦¥NG PH¸P GI¶I:

    Đây là bài toán về phương pháp trùng phùng, nhờ đó có thể đo được chu chu kì dao động của con lắc ( hoặc gia tốc trọng trường ). Nội dung của bài toán là: cho hai con lắc ( Một con lắc có chu kì T0 đã biết và một con lắc có chu kì T cần các định )dao động trong hai mặt phẳng thẳng đứng, song song, trước mặt người quan sát. Chúng được bố trí sao cho người quan sát ghi được những lần chúng đi qua vị trí cân bằngcùng một lúc và cùng chiều ( những lần trùng phùng ). Gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp.

   Nếu T < T0 thì con lắc có chu kì T cần xác định sẽ thực hiện được nhiều lần dao động hơn con lắc có chu kì T0 một đơn vị, và ta có

Ngược lại, nếu chu kì T > T0 ta lại có

Từ đó suy ra:   

Từ đó ta xác định được T ( theo T0 và ) và áp dụng công thức ta sẽ xác định được độ dài l ( khi biết g ) hoặc gia tốc trọng trường g( khi biết l ).

DẠNG 3: Xác định chu kì dao động của con lắc đơn chịu tác dụng của ngoại lực (ngoài trọng lực).

BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g mang điện tích q= + 10-5C, được treo bằng một sợi dây có độ dài l. Đặt con lắc vào trong một điện trường đều mà véc tơ cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên và có độ lớn E = 100V/cm. Hãy xác định chu kì dao động của con lắc, biết gia tốc trọng trường g = 9,80m/s2 và khi không có điện trường thì chu kì dao động của con lắc bằng 1,4s.

gi¶i:

Con lắc dao động trong trọng trường và điện trường; trường này tổng hợp có tính chất hoàn toàn giống như trọng trường nên được gọi là “trọng trường hiệu dụng” và ta có thể coi con lắc chịu tác dụng của “trọng trường hiệu dụng”

         với F = qE.

Gäi lµ gia tèc träng tr­êng hiÖu dông ( gäi t¾t lµ “gia tèc hiÖu dông”)

Ta cã  hay (1)

Chän trôc xx’ h­íng th¼ng ®øng xuèng d­íi vµ chiÕu ®¼ng thøc vÐc t¬ (1) xuèng trôc xx’ ta ®­îc

Do ®ã chu k× dao ®éng T’ cña con l¾c b©y giê b»ng

BiÕt  ta cã

Thay sè ta ®­îc  víi E = 100V/cm = 104 V/m

Bµi tËp vÝ dô 2: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu nhá b»ng kim lo¹i cã khèi l­îng

m = 40g ®­îc treo vµo mét sîi d©y dµi 1,2m, t¹i n¬I mµ g = 9,8m/s2.

a) tÝnh chu k× dao ®éng cña con l¾c.

b) TÝch ®iÖn cho qu¶ cÇu mét ®iÖn tÝch q = + 104C råi cho nã dao ®éng trong ®iÖn tr­êng ®Òu cã c­êng ®é E = 10V/cm. H·y x¸c ®Þnh vÞo trÝ c©n b»ng vµ chu k× dao ®éng cña con l¾c trong hai tr­êng hîp: vect¬ h­íng th¼ng ®øng xuèng d­íi, vect¬ h­íng n»m ngang.

Gi¶i:

a)

b) E = 10V/cm = 1000 V/m

   Tr­êng hîp 1: Con l¾c cã vÞ trÝ c©n b»ng theo ph­¬ng th¼ng ®øng  vµ cã chu k×

   Tr­êng hîp 2: ë vÞ trÝ c©n b»ng d©y treo con l¾c cã ph­¬ng nghiªng mét gãc so víi ph­¬ng th¼ng ®øng, víi

Chu k× cña con l¾c lµ:

Víi

Suy ra    T2 2,16s

Bµi tËp ¸p dông:

Bµi tËp 1: Mét con l¾c ®¬n cã chu k× dao ®éng T = 1,5s t¹i n¬i cã gia tèc träng tr­êng g = 9,80m/s2. Treo con l¾c vµo trÇn mét thang m¸y. H·y tÝnh chu k× cña con l¾c trong c¸c tr­êng hîp:

a) Thang m¸y ®i lªn nhanh dÇn ®Òu víi gia tèc 0,6m/s2.

b) Thang m¸y ®i lªn chËm dÇn ®Òu víi gia tèc 0,6m/s2.

c) Thang m¸y chuyÓn ®éng ®Òu.

Bµi tËp 2: Mét con l¾c ®¬n cã chu k× dao ®éng T = 2s t¹i n¬i cã gia tèc träng tr­êng

g = 10m/s2. Treo con l¾c vµo trÇn mét thang m¸y.

a) T×m chu k× dao ®éng cña con l¾c trong tr­êng hîp thang m¸y ®i lªn: nhanh dÇn ®Òu víi gia tèc a = 0,2m/s2, chËm dÇn ®Òu víi gia tèc a = 0,2m/s2, ®Òu.

b) Hái nh­ c©u 1 trong tr­êng hîp thang m¸y ®i xuèng.

c) §Ó chu chu k× dao ®éng cña con l¾c gi¶m 2%  so víi lóc thang m¸y ®øng yªn th× thang m¸y ph¶i chuyÓn ®éng víi gia tèc b»ng bao nhiªu. H·y nãi râ tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña thang m¸y khi ®ã.

Ph­¬ng ph¸p gi¶i:

1. NÕu ngoµi lùc c¨ng vµ träng lùc con l¾c cßn chÞu thªm t¸c dông cña mét ngo¹i lùc kh«ng ®æi th× coi nh­ con l¾c chÞu t¸c dông cña “träng lùc hiÖu dông” . Gäi lµ gia tèc träng tr­êng hiÖu dông ( gäi t¾t lµ “gia tèc hiÖu dông”)

     Ta cã  hay

Nh­ vËy khi cã thªm ngo¹i lùc kh«ng ®æi t¸c dông th× chu k× dao ®éng cña con l¾c ®­îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc:

2. NÕu ngo¹i lùc h­íng th¼ng ®øng lªn trªn ta cã:                                  

   NÕu ngo¹i lùc h­íng th¼ng ®øng xuèng d­íi                                                                                                                                                                                                                                     

Cßn nÕu cã ph­¬ng n»m ngang th× ë vÞ trÝ c©n b»ng                                 

d©y treo cña con l¾c lÖch víi ph­¬ng th¼ng ®øng mét gãc .                              

Träng lùc hiÖu dông:                                                                               

Suy ra:

Gãc lÖch ®­îc x¸c ®Þnh bëi

NÕu cã ph­¬ng bÊt k× th× ë vÞ trÝ c©n b»ng d©y treo cña con l¾c lÖch theo ph­¬ng cña hîp lùc vµ . BiÕt ph­¬ng cña lùc ( biÕt gãc gi÷a vµ ), dùa vµo hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c t¹o bëi vµ , ta sÏ t×m ®­îc P’ vµ gãc gi÷a vµ , tõ ®ã suy ra g’ vµ vÞ trÝ c©n b»ng míi cña con l¾c, do ®ã tÝnh ®­îc chu k× T’.

3. C¸c ngo¹i lùc th­êng gÆp lµ:

a) Lùc ®iÖn tr­êng , trong ®ã ®­îc cho biÕt trong ®Ò bµi ( c¶ ®é lín vµ h­íng ), hoÆc tÝnh tõ c«ng thøc trong tr­êng hîp ®iÖn tr­êng trong kho¶ng kh«ng gian gi÷a hai b¶n tô ®iÖn.

b) Lùc ®Èy Acsimet FA = DVg

c) Lùc tõ.

d) Lùc qu¸n tÝnh: Khi con l¾c treo trong mét hÖ chuyÓn ®éng víi gia tèc , nã chÞu t¸c dông cña lùc , cã h­íng ng­îc víi vµ cã ®é lín ma.

4. Chó ý quy ®æi vÒ hÖ ®¬n vÞ SI vµ c¸c ®¹i l­îng ®· cho trong ®Ò.

d¹ng 4: Dùa vµo sù biÕn ®æi n¨ng l­îng cña con l¾c ®Ó x¸c ®Þnh vËn tèc cña con l¾c vµ lùc c¨ng cña d©y treo.

Bµi tËp vÝ dô1: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu cã khèi l­îng 200g treo vµo sîi d©y kh«ng d·n dµi 1m.

  KÐo con l¾c lÖch khái ph­¬ng th¼ng ®øng mét gãc råi bu«ng ra kh«ng cã vËn tèc ®Çu.

a) TÝnh vËn tèc cña qu¶ cÇu vµ lùc c¨ng T cña d©y treo khi gãc lÖch cña con l¾c ( li ®é gãc ) b»ng . VËn tèc cña qu¶ cÇu ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i vÞ trÝ nµo cña con l¾c ? H·y tÝnh vËn tèc cùc ®¹i ®ã. Lùc c¨ng T ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i vÞ trÝ nµo? TÝnh lùc c¨ng cùc ®¹i.

b) B©y giê ng­êi ta ®ãng mét c¸I ®inh n»m ngang t¹i mét ®iÓm ë d­íi ®iÓm treo trªn ph­¬ng th¼ng ®øng vµ c¸ch ®iÓm treo mét ®o¹n b»ng 40cm, ®Ó cho d©y treo va vµo ®Êy. KÐo con l¾c lÖch khái ph­¬ng th¼ng ®øng mét gãc