Cực trị hàm số

Cùc trÞ hµm bËc ba

I,Tãm t¾t lý thuyÕt:

  1.Hµm  sè ()

  2.§¹o hµm :

  3.§iÒu kiÖn tån t¹i cùc trÞ

     Hµm sè cã cùc trÞ cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cã                 hai nghiÖm ph©n biÖt.

  4.Kü n¨ng tÝnh nhanh cùc trÞ:

     B­íc1:Thùc hiÖn phÐp chia cho ta cã:

      Tøc lµ:

      B­íc 2: Do nªn

.HÖ qu¶:§­êng th¼ng ®i qua C§,CT cã ph­¬ng tr×nh lµ:

  hay

II.C¸c d¹ng bµi tËp:

D¹ng 1:Sù tån t¹i vµ vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ:

Bµi tËp:

Bµi 1:T×m m ®Ó hµm sè : cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu

Gi¶i:Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

cã hai nghiÖm ph©nbiÖt

Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu

Gi¶i:                     

Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cã hai nghiÖm ph©n biÖt

Bµi 3:T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn  x1<-1

Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n cã hai nghiÖm ph©n biÖt  x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn  x1<-1

Bµi 4:T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn  -1

Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n cã hai nghiÖm ph©n biÖt  x1,x2 tháa m·n ®iÒu kiÖn  -1

Bµi 5: T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=2.

Gi¶i:

*§iÒu kiÖn cÇn:

Gi¶ sö hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x=-2 suy ra ta cã suy ra

*§iÒu kiÖn ®ñ:

NÕu m=3 th×

NÕu m=1 th× nh­ng lóc ®ã ta cã

Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ

*KÕt luËn:m=3

D¹ng 2:ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu

Bµi 1:T×m cùc trÞ vµ viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i,cùc tiÓu cña hµm sè 

Gi¶i:

.Ta cã

suy ra hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2

.Thùc hiÖn phÐp chia cho ta cã do

nªn

.

.Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua C§,CT lµ

Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè cã ®­êng th¼ng®i qua C§,CT song song víi ®­êng th¼ng

Gi¶i:

.§¹o hµm

hµm sè cã C§,CT cã hai nghiÖm ph©n biÖt

.Thùc hiÖn phÐp chia cho ta cã

Víi th× cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2

do    nªn

suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():

 ta cã () song song víi ®­êng

vËy nÕu th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th×

Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu n»m trªn ®­êng th¼ng

Gi¶i:

.§¹o hµm

hµm sè cã C§,CT cã hai nghiÖm ph©n biÖt

.Thùc hiÖn phÐp chia cho ta cã

Víi th× cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2

do    nªn

suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():

Ta cã C§,CT n»m trªn ®­êng th¼ng

Bµi 4: T×m m ®Ó hµm sè cã ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiÓu vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng

Gi¶i:

Hµm sè cã C§,CT cã hai nghiÖm ph©n biÖt

.Thùc hiÖn phÐp chia cho ta cã

Víi th× cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2

do    nªn

suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():

ta cã () vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng

d¹ng 3:sö dông ®Þnh lý viÐt cho c¸c ®iÓm cùc trÞ

bµi 1:Cho

1.CMR:hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.

2.Gi¶ sö hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i  x1,x2.CMR:x1+x2

Gi¶i:

1.XÐt ph­¬ng tr×nh:

Ta cã

NÕu th× v«lý

Tõ ®ã suy ra cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2.

2.Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã

Suy ra x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=

Khi ®ã B§T:x1+x2 lu«n ®óng

Bµi 2: Cho

1.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.

2.T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm >1.

3.Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ x1,x2.t×m max cña A=

Gi¶i:

§¹o hµm

1.-5

2.hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm >1 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tháa m·n

3.Theo ®Þnh lý viÐt ta cã

Khi ®ã A=

Víi m=-4 th× Max A=